2009年理科数学海南省高考真题含答案下载

第 – 1 -页 共 13 页 2009年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷） 数学（理工农医类） 第 I 卷 一， 选择题：（本大题共12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符 合题目要求的。 （1） 已知集合A  1,3,5,7,9 ,B  0,3,6,9,12 ,则 ACN B  (A) (C) 1,5,7 (B) 3,5,7 1,3,9 (D) 1,2,3 3 2i 3 2i 2 3i 2  3i (2) 复数 （A）0 （B）2 （C）-2i (D)2 （3）对变量 x, y有观测数据理力争（ x1 有观测数据（u1 1 ）（i=1,2,…，10）,得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。 ， y1 ）（i=1,2,…，10），得散点图 1；对变量 u ，v ，v（A）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 （C）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 （B）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关 （D）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关 x2 y2 （4）双曲线 （A） 2 3 -=1 的焦点到渐近线的距离为 412 （B）2 （C） 3（D）1 （5）有四个关于三角函数的命题： xx 1 p1 ：xR, sin2 +cos2 =p2 :x、y R, sin(x-y)=sinx-siny 22 2 第 – 1 -页 共 13 页 第 – 2 -页 共 13 页 1 cos2x 2p3 :x0, ,=sinx p4 : sinx=cosy x+y= 2其中假命题的是 （A） p1 p4 （B） p2 ，，p4 （C） p1 ，p3 （D） p2 ， p4 2x  y  4 （6）设 x,y 满足 x  y  1,则z  x  y x  2y  2 （A）有最小值 2，最大值 3 （C）有最大值 3，无最小值 （B）有最小值 2，无最大值 （D）既无最小值，也无最大值 （7）等比数列 a的前 n 项和为 sn ，且 4 （C）15 （D）16 （8 ） 如图，正方体ABCD  A B C1D1 的棱线长为 1 ，线段 a1 ，2 a2 ， a3 成等差数列。若 a1 =1，则 s4 =   n（A）7 （B）8 112B D1 上有两个动点 E，F，且 EF  ，则下列结论中错 12误的是 （A） AC  BE （B） EF / /平面ABCD （C）三棱锥 A BEF 的体积为定值 （D）异面直线 AE, BF 所成的角为定值 （9）已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA  OB  OC , NA NB  NC  0 ，且 PA PB  PB  PC  PC  PA ，则点 O，N，P 依次是 ABC 的（A）重心 外心 垂心 （C）外心 重心 垂心 （B）重心 外心 内心 （D）外心 重心 内心 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） （10）如果执行右边的程序框图，输入 x  2,h  0.5 ，那么输出的各个数的合等于 第 – 2 -页 共 13 页 第 – 3 -页 共 13 页 （A）3 （B） 3.5 （C） 4（D）4.5 （11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c m2 ）为 （A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+24 2 222（12）用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值 设 f（x）=min{ 2x , x+2,10-x}(x （A）4 （B）5 （C）6 0),则 f（x）的最大值为 （D）7 第 II 卷 二、填空题；本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （13）设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点。若 AB 的中点为（2，2），则直线 （14 ）已知函数 y=sin 的方程为_____________. （x+ ）（ >0, – <）的图 =________________ 像 如 图 所 示 ， 则 第 – 3 -页 共 13 页 第 – 4 -页 共 13 页 （15）7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人，则不同 的安排方案共有________________种（用数字作答）。 a2m =0， （16）等差数列{ an }前 n 项和为 Sn 。已知 am1 + am1 – S2m1 =38,则 m=_______ 三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 12 分） 为了测量两山顶 M，N 间的距离，飞机沿水平方向在 A，B 两点进行测量，A，B，M，N 在 同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和 A，B 间的距离，请设计一个 方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出 计算 M，N间的距离的步骤。 （18）（本小题满分 12分） 某工厂有工人 1000名，其中 250名工人参加过短期培训（称为 A类工人），另外 750名工人 参加过长期培训(称为 B类工人），现用分层抽样方法（按 A类、B类分二层）从该工厂的工 人中共抽查 100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。 （I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为 A类工人，乙为 B类工人；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）从 A类工人中的抽查结果和从 B类工人中的抽插结果分别如下表 1和表 2. 表 1： 生产能力分 100,110 110,120 120,130 130,140 140,150 组x人数 4853表 2： 生产能力分组 110,120 120,130 130,140 140,150 人数 6y36 18 （i）先确定 x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人中 个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方 第 – 4 -页 共 13 页 第 – 5 -页 共 13 页 图直接回答结论）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ii）分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平 均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （19）（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍，P 为侧棱 SD 上的点。 （Ⅰ）求证：AC⊥SD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）若 SD⊥平面 PAC，求二面角 P-AC-D 的大小 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 使得 BE∥平面 PAC。若存在，求 SE：EC 的值； 若不存在，试说明理由。 （20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的 距离分别是 7 和 1. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； OP （Ⅱ）若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点， =λ，求点 M OM 第 – 5 -页 共 13 页 第 – 6 -页 共 13 页 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x)  (x3  3×2  ax  b)ex （I） 如若a  b  3，求 f (x) 的单调区间； f (x) (,),(2, ) 单调增加，在 (,2),(,) 单调减少，证明 （II） 在  ＜6.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 （22）本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 如图，已知 ABC 的两条角平分线 AD 和CE 相交于 H， B  600 ，F 在 AC 上， 且AE  AF （I） 。证明：B,D,H,E 四点共圆： 证明：CE 平分 DEF （II） 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程。 第 – 6 -页 共 13 页 第 – 7 -页 共 13 页 x  4  cost, y  3 sint, x  8cos, y  3sin, 已知曲线 C ： （t 为参数）， C ： （ 为参数）。 12（1）化 C1 ，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； 2（2）若 C1 上的点 P 对应的参数为t  ，Q 为 C 2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 x  3 2t, y  2  t C : （t 为参数）距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 如图，O 为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点，C 为线段 OM 上的动点，设 x 表示 C 与原点 的距离，y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和. （1）将 y 表示成 x 的函数； （2）要使 y 的值不超过 70，x 应该在什么范围内取值？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2009 年普通高校招生全国统一考试 理数数学试题参考答案 一．选择题 (1) A (7) C (2) D (8) D (3) C (9) C (4) A (5) A (6) B (10) B (11) A (12) C 二．填空题 9(13) y  x (14) (15) 140 (16) 10 10 三．解答题 (17) 解： 第 – 7 -页 共 13 页 第 – 8 -页 共 13 页 方案一：①需要测量的数据有：A 点到 M，N点的俯角1, 1 ；B 点到 M， N 的俯角2 , 2 ；A，B 的距离 d （如图） 所示） . ……….3 分 d sin2 sin(1 2 ) ②第一步：计算 AM .由正弦定理 AM  第二步：计算 AN .由正弦定理 AN  　； d sin 2 sin(2  1) 　； 第三步：计算 MN. 由余弦定理 MN  AM 2  AN2  2AM  AN cos(1  1) .方案二：①需要测量的数据有： A点到 M，N点的俯角1 图所示）. ，1 ；B 点到 M，N 点的府角2 ， 2 ；A，B 的距离 d （如 d sin1 ②第一步：计算 BM .由正弦定理 BM  　； sin(1 2 ) d sin 1 　　　第二步：计算 BN .由正弦定理 BN  　；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m sin(2  1) 第三步：计算 MN .由余弦定理 MN  BM 2  BN2  2BM  BN cos(2 2 ) (18) 解： 1（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为 ，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到” 10 相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 111　　　 p  .10 10100 （Ⅱ）（i）由题意知 A 类工人中应抽查 25 名，B 类工人中应抽查 75 名. 故4 8 x  5  25，得 x  5 ，　　　 6  y  36 18  75，得 y 15 .频率分布直方图如下 第 – 8 -页 共 13 页 第 – 9 -页 共 13 页 从直方图可以判断：B 类工人中个体间的关异程度更小 .  48553（ii） xA  105 115 125 135 145 123 ，25 625 15 25 36 25 18 25  xB  115 125 135 145 133.8 ，75 25 75 75 75 75 x  123 133.8 131.1 100 100 A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的 平均数的会计值分别为 123，133.8 和 131.1 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （19）解法一： （ Ⅰ ） 连BD ， 设AC 交 BD 于 O ， 由 题 意SO  AC 。 在 正 方 形ABCD 中 ， AC  BD ，所以 AC  平面SBD ,得 AC  SD .(Ⅱ)设正方形边长 a，则 SD  2a 。2又连OD  a，所以 SOD  600 ,2OP ，由（Ⅰ）知 AC  平面SBD ,所以 AC  OP ,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 且AC  OD ,所以 POD 是二面角 P  AC  D 的平面角。 由SD  平面PAC ,知 SD  OP ,所以 POD  300 ,即二面角 P  AC  D 的大小为300 。（Ⅲ）在棱 SC 上存在一点 E，使 BE //平面PAC 2由（Ⅱ）可得 PD  a，故可在 SP 上取一点 N,使 PN  PD,过 N 作 PC 的平行线 4与SC 的 交 点 即 为 E。 连BN 。 在 BDN 中 知BN // PO ， 又 由 于NE // PC , 故 平 面 第 – 9 -页 共 13 页 第 – 10 -页 共 13 页 BEN //平面PAC ，得 BE //平面PAC ,由于 SN：NP  2：1,故 SE：EC  2：1 .解法二： （Ⅰ）；连 BD ,设 AC 交于 BD 于O，由题意知 SO  平面ABCD .以 O 为坐标 原点，OB，OC，OS 分别为 x轴、 y轴、 z轴正方向，建立坐标系O  xyz 如图。 6设底面边长为 a，则高 SO  a 。 262于是 S(0,0, C(0, a), D( a,0,0) 222a,0) 22OC  (0, SD  ( a,0) 226a,0, a) 22OC SD  0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故OC  SD AC  SD 从而 26(Ⅱ)由题设知，平面 PAC 的一个法向量 DS  ( a,0, a) ，平面 DAC 的一 226OS  DS 3个法向量OS )0,0, 小为300 a) ，设所求二面角为 ，则 cos  ,所求二面角的大 22OS DS （Ⅲ）在棱 SC 上存在一点 E使BE //平面PAC .由（Ⅱ）知 DS 是平面 PAC 的一个法向量， 2626且DS （ a,0, a),CS  (0, a, a) 2222设CE  tCS, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 第 – 10 -页 共 13 页 第 – 11 -页 共 13 页 226则而BE  BC  CE  BC  tCS  ( a, a(1t), at) 22213BE  DC  0  t  即当 SE : EC  2:1时， BE  DS 而BE 不在平面 PAC 内，故 BE //平面PAC （20）解: (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a，c ，由已知得 a  c 1 a  c  7 ,解得a  4,c  3 ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m x2 y2 所以椭圆 C的标准方程为 1 16 7OP 2 （Ⅱ）设 M (x, y) ，其中 x 4,4 。由已知  2 及点 P在椭圆C 上可得 2OM 9×2 112  2 。16(x2  y2 ) 整理得 (162 9)x2 162 y2 112 ，其中 x 4,4 。3（i）   时。化简得9y2 112 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 44 7 所以点 M的轨迹方程为 y   (4  x  4)，轨迹是两条平行于 x 轴的线段。 33×2 112 162 9 162 y2 112 （ii）   时，方程变形为 1，其中 x 4,4 43当0    时，点 MM的轨迹为中心在原点、实轴在 的轨迹为中心在原点、长轴在 yx轴上的双曲线满足 4  x  4 的4部分。 3当  1时，点 轴上的椭圆满足 4  x  4 的部 4分； 当 1时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆； （21）解： 第 – 11 -页 共 13 页 第 – 12 -页 共 13 页 （Ⅰ）当 a  b  3时， f (x)  (x3  3×2 3x 3)ex ，故 f ‘(x)  (x3  3×2 3x 3)ex  (3×2  6x 3)ex  ex (x3 9x)  x(x 3)(x  3)ex w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当当x  3或 0  x  3时，f ‘(x)  0; 3  x  0或x  3时，f ‘(x)  0. 从而 f (x)在(,3),(0,3)单调增加，在（3，0），（3， ）单调减少. (Ⅱ) f ‘(x)  (x3  3×2  ax  b)ex  (3×2  6x  a)ex  ex[x3  (a  6)x  b  a]. 由条件得： f ‘(2)  0,即23  2(a  6)  b  a  0,故b  4  a,从而 f ‘(x)  ex[x3  (a  6)x  4  2a]. 因为 f ‘()  f ‘()  0, 所以 x3  (a  6)x  4  2a  (x  2)(x )(x  )  (x  2)(x2  (  )x ). 将右边展开，与左边比较系数得，    2,  a  2.    ( )2  4  12  4a. 故又(  2)(  2)  0,即  2(  )  4  0.由 此 可 得 a  6. 于是    6. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （22）解： （Ⅰ）在△ABC 中，因为∠B=60°， 所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为 AD，CE 是角平分线， 所以∠HAC+∠HCA=60°， 故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°， 所以 B,D,H,E 四点共圆. 第 – 12 -页 共 13 页 第 – 13 -页 共 13 页 （Ⅱ）连结 BH,则 BH 为∠ABC 的平分线，得∠HBD=30° 由（Ⅰ）知 B,D,H,E 四点共圆， 所以∠CED=∠HBD=30°. 又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得 EF⊥AD， 可得∠CEF=30°. 所以 CE 平分∠DEF.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （23）解： x2 y2 （Ⅰ）C1 :(x  4)2  (y 3)2 1,C2 : 1. 64 9C1 为圆心是（ 4,3) ，半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆. 23（Ⅱ）当t  时， P(4,4).Q(8cos,3sin),故M (2  4cos,2  sin). 25C3 为直线 x  2y  7  0, M到C3的距离d  | 4cos 3sin 13|. 5438 5 5从而当 cos  ,sin  时， d取得最小值 .55（24）解： （Ⅰ） y  4 | x 10 | 6 | x  20 |,0  x  30. （Ⅱ）依题意，x 满足 4 | x 10 | 6 | x  20 | 70, {0  x  30. 解不等式组，其解集为【9，23】 所以 x[9,23]. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 第 – 13 -页 共 13 页