2017年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案下载

2017 年普通高等学校招生全国统一考试天津数学（理工类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用 条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本 试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： ·如果事件 A，B 互斥，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)． ·如果事件 A，B 相互独立，那么 P(AB)=P(A) P(B)． 4·棱柱的体积公式 V=Sh. ·球的体积公式V  R3 .3其中 S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高． R其中 表示球的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合 A {1,2,6}, B {2,4},C {xR | 1 x  5}，则 (A B) C  （A）{2} （B）{1,2,4}（C）{1,2,4,6}（D）{xR | 1 x  5} 2x  y  0, x  2y  2  0, x  0, （2）设变量 x, y 满足约束条件 则目标函数 z  x  y 的最大值为 y  3, 2332（A） （B）1（C） （D）3 （3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为 24，则输出 的值为 N N 第 1 页 共 14 页 （A）0 （B）1（C）2（D）3 ππ12|  | sin  （4）设 R ，则“ ”是“ ”的 12 12 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条 件x2 y2 （5）已知双曲线 1(a  0,b  0) 的左焦点为 F，离心率为 2.若经过 F和a2 b2 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 （A） 1 （B） 1（C） 1（D） 1 44884884（6）已知奇函数 f (x) 在 R 上是增函数， g(x)  xf (x) .若 a  g(log2 5.1) c  g(3) ，则 a，b，c 的大小关系为 ， ， b  g(20.8 ) （A） a  b  c （B） c  b  a （C）b  a  c xR ，其中  0 （D）b  c  a 5  8（7）设函数 f (x)  2sin(x ) ，，| |  .若 f ( ) 2 ，f ( )  0 ，8且f (x) 的最小正周期大于 2 ，则 2312 23 12 1 24 （A）  ，  （B）  ，   （C）  ，   （ D ） 31 24   ，  32x  x  3, x 1, x（8）已知函数 f (x)  设aR ，若关于 x 的不等式 f (x) |  a | 在 R 上恒 22x  , x 1. x第 2 页 共 14 页 成立，则 a 的取值范围是 47 47 39 ,39 16 （A）[ ,2] （B）[ ]（C）[2 3,2] （D）[2 3, ]16 16 16 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共 12 小题，共 110 分。 二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. a  i 2  i （10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球 （9）已知 aR ，i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为 .的体积为 .6（11）在极坐标系中，直线 4 cos(  ) 1 0 与圆   2sin 的公共点的个数为 ___________. a4  4b4 1 （12）若 a,bR ，ab  0 ，则 的最小值为___________. ab   ，（ 13 ） 在 △ABC 中 ， ∠A  60     ，AB  3 ，AC  2 . 若 BD  2DC AE   AC  AB( R)，且 AD AE  4 ，则 的值为___________. （14）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数 的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分 13 分） 3在△ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c .已知 a  b ，a  5,c  6 ，sin B  .5（Ⅰ）求 （Ⅱ）求 b和sin A 的值； πsin(2A ) 的值. 416.（本小题满分 13 分） 从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的 第 3 页 共 14 页 1 1 1 , , 概率分别为 .2 3 4 （Ⅰ）设 X X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 的分布列和数学期望； （Ⅱ）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率. （17）（本小题满分 13 分） 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC， BAC  90.点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2. （Ⅰ）求证：MN∥平面 BDE； （Ⅱ）求二面角 C-EM-N 的正弦值； 7（Ⅲ）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ，求线段 AH 的长. 21 18.（本小题满分 13 分） 已知{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn (nN ) ，{bn}是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，b2  b3 12 （Ⅰ）求{an} （Ⅱ）求数列{a2nb2n1 ,b3  a4  2a1 {bn}的通项公式； 的前 n 项和 (nN ) ，S11 11b4 . 和}.（19）（本小题满分 14 分） x2 y2 1设椭圆 1(a  b  0) 的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 .已知 A是抛物线 a2 b2 2第 4 页 共 14 页 12y2  2px( p  0) 的焦点， F到抛物线的准线 l的距离为 .（I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设 l上两点 P，Q关于 xB BA 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 （ 异于点 ），直线 6BQ 与x轴相交于点 D.若△APD 的面积为 ，求直线 AP 的方程. 2（20）（本小题满分 14 分） 设点aZ ，已知定义在 R 上的函数 f (x)  2×4  3×3 3×2  6x  a 在区间 (1,2) 内有一个零 x0 g(x) f (x) 的导函数. ，为（Ⅰ）求 g(x) 的单调区间； （Ⅱ）设 m[1, x0 )  (x0 ,2]，函数 h(x)  g(x)(m  x0 )  f (m) ，求证： h(m)h(x0 )  0 ；p（Ⅲ）求证：存在大于 0 的常数 A，使得对于任意的正整数 p,q ，且 [1, x0 )  (x0 ,2], qpq1Aq4 满足 | x0 | .天津理数答案 1-4BDCA 5-8BCAA 9.−2； 9π 10. ；211.2； 12.4 ； 313. ；11 14.1080 第 5 页 共 14 页 3415.（Ⅰ）解：在△ABC 中，因为 a  b ，故由sin B  ，可得 cos B  .由已知及余弦定 55理，有b2  a2  c2  2accos B 13，所以b  13 .abasin B 3 13 由正弦定理 ,得sin A  .sin A sin B b13 3 13 13 所以， b的值为 13 ，sin A 的值为 .2 13 13 12 13 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）及 a  c ，得 cos A  ，所以sin 2A  2sin Acos A  ，5πππ7 2 cos2A 1 2sin2 A  .故sin(2A )  sin 2Acos  cos2Asin .13 44426 16.（Ⅰ）解：随机变量 X的所有可能取值为 0,1,2,3. 11114P(X  0)  (1 )(1 )(1 )  ，23411111111111 P(X 1)  (1 )(1 )  (1 ) (1 )  (1 )(1 )  ，23423423424 11 1 1 11 1 1 114P(X  2)  (1 )   (1 )   (1 )  ，23 4 2 134 2 3 41 1 1 P(X  3)    .2 3 424 所以，随机变量 X的分布列为 0123X1411 141P24 11 24 11113 随机变量 X的数学期望 E(X )  0 1 2 3 .424 424 12 （Ⅱ）解：设 Y Z 表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求 事件的概率为P(Y  Z 1)  P(Y  0, Z 1)  P(Y 1, Z  0)  P(Y  0)P(Z 1)  P(Y 1)P(Z  0) 1 11 11 111     .4 24 24 448 11 48 所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 .（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空 第 6 页 共 14 页 间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分 13 分.    AC 如图，以 A 为原点，分别以 AB ，，AP 方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐 标系.依题意可得 A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2， 2），M（0，0，1），N（1，2，0）.   （Ⅰ）证明： DE =（0，2，0）， DB =（2，0， 2 ）.设 n  (x, y, z) ，为平面 BDE 的法向量 ，  n DE  0  2y  0 则，即 .不妨设 z 1，可得 n  (1,0,1) .又 MN =（1，2， 1），可得 2x  2z  0 n DB  0  MN  n  0 .因为 MN  平面 BDE，所以 MN//平面 BDE. （Ⅱ）解：易知 n  (1,0,0) 为平面 CEM 的一个法向量.设 n2  (x, y, z) 为平面 EMN 的法向量， 1   n  EM  0 2y  z  0 2则，因为 EM  (0,2,1) ，MN  (1,2,1) ，所以 .不妨设 y 1，  x  2y  z  0 n  MN  0 2可得 n2  (4,1,2) .n  n2 4105 21 1因此有 cos  n ,n2    ，于是sin  n ,n2  .11| n|| n2 | 21 1105 所以，二面角 C—EM—N 的正弦值为 .21  （Ⅲ）解：依题意，设 AH=h（ 0  h  4），则 H（0，0，h），进而可得 NH  (1,2,h) 第 7 页 共 14 页 ，     | NH  BE | | 2h  2 | h2  5  2 3 7  BE  (2,2,2) . 由 已 知 ， 得 | cos  NH, BE | ， 整 理 得 21 | NH || BE | 81210h2  21h  8  0 ，解得 h  ，或 h  .58512所以，线段 AH 的长为 或.18.【解析】（I）设等差数列{an}的公差为 dq，等比数列{bn}的公比为 . 由已知b2  b3 12，得b (q  q2 ) 12 ，而b  2，所以 q2  q  6  0 .11又因为 q  0 ，解得 q  2 .所以，bn  2n .由b3  a4  2a1 ，可得3d  a1  8 ①. S11=11b4 ，可得 a1  5d 16 ②， 由联立①②，解得 a1 1 ，d  3，由此可得 an  3n  2 .所以，数列{an}的通项公式为 an  3n  2 ，数列{bn}的通项公式为bn  2n （II）解：设数列{a2nb2n1 的前 项和为Tn .}n，由故a2n  6n  2 ，b2n1  24n1 ，有 a2nb2n1  (3n 1)4n ，Tn  24  542 843  (3n 1)4n ，4Tn  242  543 844  (3n  4)4n  (3n 1)4n1 ，上述两式相减，得 3Tn  24  342  343  34n  (3n 1)4n1 12(1 4n )  4  (3n 1)4n1 1 4  (3n  2)4n1 8. 3n  2 83得Tn  4n1 .33n  2 83所以，数列{a2nb2n1 }的前 n项和为 4n1 .3c12p119.（Ⅰ）解：设 F的坐标为 (c,0).依题意， ， a ，a  c  ，解得 a 1 ，a2213c  ，p  2 ，于是b2  a2  c2  .24第 8 页 共 14 页 4y2 所以，椭圆的方程为 x2  1，抛物线的方程为 y2  4x .3（Ⅱ）解：设直线 AP 的方程为 x  my 1(m  0) ，与直线 4y2 l的方程 x  1联立，可得点 ，整理得 22P(1, ) ，故Q(1, ).将 x  my 1 与x2  1联立，消去 xmm36m (3m2  4)y2  6my  0，解得 y  0，或 y  .由点 B异于点 A，可得点 3m2  4 3m2  4 6m 2B( ,).由Q(1, )，可学*科.网得直线 BQ 的方程为 3m2  4 3m2  4 m6m 23m2  4 3m2  4 22 3m2 3m2  2 ()(x 1)  ( 1)(y  )  0，令 y  0，解得 x  ，故 ，故 3m2  4 m 2 3m2 m2 3m2 6m2 6D( ,0) .所以| AD |1 .又因为△APD 的面积为 3m2  2 3m2  2 3m2  2 216m2 266，整理得3m2  2 6| m | 2  0 ，解得| m | ，所以 2 3m2  2 |m | 236m   .3所以，直线 AP 的方程为3x  6y 3  0 ，或3x  6y 3  0 .20. （Ⅰ）解：由f (x)  2×4  3×3 3×2  6x  a ，可得32g(x)  f (x)  8x  9x  6x  6 ，12进而可得 g (x)  24x 18x  6 .令 g (x)  0，解得 x  1，或 x  .4当 x 变化时， g (x), g(x) 的变化情况如下表： 1(1, ) 41(,1) x( ,) 4g (x) +-+g(x) ↗↘↗11所以， g(x) 的单调递增区间是 (,1) （Ⅱ）证明：由 h(x)  g(x)(m  x0 )  f (m) ，得 h(m)  g(m)(m  x0 )  f (m) h(x0 )  g(x0 )(m  x0 )  f (m) ，( ,) ，单调递减区间是 (1, ) .44，.第 9 页 共 14 页 令函数 H1(x)  g(x)(x  x0 )  f (x) ，则 H1 (x)  g (x)(x  x0 ).由（Ⅰ）知，当 x[1,2] 时， g (x)  0，故当 x[1, x0 )时， H1 (x)  0 ，H1(x) 单调递减；当 x(x0 ,2]时， H1 (x)  0 ，H1(x) 单 调 递 增 . 因 此 ， 当x[1, x0 )  (x0 ,2] 时 ， H1(x)  H1(x0 )   f (x0 )  0，可得 H1(m)  0,即h(m)  0 .令函数 H2 (x)  g(x0 )(x  x0 )  f (x) ，则 H2 (x)  g(x0 )  g(x) .由（Ⅰ）知， g(x) 在[1,2]上单调递增，故当 x[1, x0 )时， H2 (x)  0 ，H2 (x) 单调递增；当 x(x0 ,2] 时 ，H2 (x)  0 ，H2 (x) 单 调 递 减 . 因 此 ， 当x[1, x0 )  (x0 ,2] 时 ， H2 (x)  H2 (x0 )  0，可得 H2 (m)  0,即h(x0 )  0 所以， h(m)h(x0 )  0 ..p（III）证明：对于任意的正整数 p，q，且 [1, x0 )  (x0 ,2] ，qp令m  ，函数 h(x)  g(x)(m  x0 )  f (m) .q由（II）知，当 m[1, x0 ) 时， h(x) 在区间 (m, x0 ) 内有零点； m(x0 ,2]时， h(x) 在区间 (x0 ,m) 内有零点. 当所 以h(x) 在(1,2) 内 至 少 有 一 个 零 点 ， 不 妨 设 为 x1 ， 则 pph(x1)  g(x1)(  x0 )  f ( ) 0 .qq由（I）知 g(x) 在[1,2]上单调递增，故 0  g(1)  g(x1)  g(2) ，ppf ( )| f ( )| p| 2p4  3p3q 3p2q2  6pq3  aq4 | g(2)q4 qq于是 | x0 |  | |  .qg(x1) g(2) 因为当 x[1,2]时， g(x)  0 ，故 f (x) 所以 f (x) 在区间[1,2]上除 在[1,2]上单调递增， ppx0 外没有其他的零点，而  x0 ，故 f ( ) 0 .qq又因为 p，q，a均为整数，所以| 2p4  3p3q 3p2q2  6pq3  aq4 |是正整数， 第 10 页 共 14 页 从而| 2p4  3p3q 3p2q2  6pq3  aq4 | 1 .pq1pq1Aq4 所以 | x0 |  .所以，只要取 A  g(2) ，就有 | x0 |  .g(2)q4 选择填空解析 第Ⅰ卷（共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． （1）【2017 年天津，理 1，5 分】设集合 A {1,2,6}, B {2,4},C {xR | 1 x  5}，则 (A  B)  C  （ A ） （）2（ B ） 1,2,4 （ C ） 1,2,4,6   （D） xR | 1 x  5 【答案】B 【解析】 (A  B)  C  1,2,4,6  1,5  1,2,4 ，故选 B． 2x  y  0, x  2y  2  0, x  0, （2）【2017 年天津，理 2，5 分】设变量 满足约束条件 则目标函数 x, y y  3, z  x  y 的最大值为（ ）232（A） （B）1 （C） （D） 33【答案】D 32 4 【解析】目标函数为四边形 ABCD 及其内部，其中 A(0,1), B(0,3),C( ,3), D( , )，所以 23 3 直线 z  x  y 过点 B 时取最大值 3，故选 D． （3）【2017 年天津，理 3，5 分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为 24，则输出 （A）0 【答案】C 【解析】依次为 N  8 NN的值为（ （B）1 ）（C）2 （D）3 ，N  7, N  6, N  2 ，输出 N  2 ，故选 C． ππ1|  | 12 12 sin  （4）【2017 年天津，理 4，5 分】设 R ，则“ ”是“ ”的（ ）2（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 第 11 页 共 14 页 （C）充要条件 【答案】A （D）既不充分也不必要条件 6121【解析】    0   sin  ，  0 ，sin  ，不满足   ，所 12 12 212 12 以是充分不必要条件，故选 A． x2 y2 a2 b2 （5）【2017 年天津，理 5，5 分】已知双曲线 1(a  0,b  0) 的左焦点为 F，离心率 为2．若经过 ）F和 P(0,4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程 为（ x2 y2 x2 y2 x2 y2 （A） 1 （B） 1 （C） 1 （D） 448848×2 y2 1 84【答案】B 4×2 y2 【解析】由题意得 a  b,  1 c  4,a  b  2 2 1，故选 B． c 88（6）【2017 年天津，理 6，5 分】已知奇函数 f (x) 在 R 上是增函数， g(x)  xf (x) ．若 a  g(log2 5.1) （A） a  b  c ，b  g(20.8 ) ，c  g(3) ，则 a，b，c 的大小关系为（ （C）b  a  c ）（B） c  b  a （D） b  c  a 【答案】C 【解析】因为 f x是奇函数且在 R上是增函数，所以在 x  0 时， f x 0，从而     g x  xf x 20.8  2 是 ， R上的偶函数，且在 0, 上是增函数， a  g log5.1  g log5.1     ，22，又4  5.1 8 ，2  log52.1  3 ，所以即0  20.8  log52.1  3 g 20.8  g log5.1  g 3 ，所以b  a  c ，故选 C．   2（7 ）【2017 年天津，理 7 ，5 分】设函数 f (x)  2sin(x ) ，xR ，其中   0 ，5 8 8| |  ．若 f ( ) 2 ，f ( )  0 ，且 f (x) 的最小正周期大于 2 ，则（ ）2312 23 12 13 24 （A）  ，  （B）  ，   （C）  ，   （D） 13 24   ，  【答案】A 5 811 82  2k1    k2 42【 解 析 】 由 题 意 ， 其 中k1,k2  Z ， 所 以   (k2  2k1)  ， 又 332 23112 T   2 ，所以 0   1，所以  ，  2k1  ，由    得  ，12 故选 A． 2x  x  3, x 1, f (x)  （8）【2017 年天津，理 8，5 分】已知函数 设 aR ，若关于 x 的不 2x  , x 1. xx等式 f (x) |  a | 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ）2第 12 页 共 14 页 47 47 39 ,（ A ） [ ,2] （ B ） [ ]（ C ） [2 3,2] 16 39 16 16 （D）[2 3, ]16 【答案】A xx【 解 析 】 不 等 式f x a 为 f x a  f x * ， 当x 1时 ， *  式 即 为        22xx2  x  3  a  x2  x  3 ，22×147 16 x314x2  3  x  （时取等号）， x2  3  a  x2  x  3 ，又 x  2224233439 39 3447 39 x2  x  3  x  （时取等号），所以 ，当 x 1， x   a  216 16 16 16 *  式为 322322x232xx2x   x   2 3 x   a  x  ，x   a  ，又 x2x2x22xx2x2 3 3（当 x  时取等 x2x2号 ），  2  2 （ 当x  2 时 取 等 号 ）， 所 以2 3 a  2 ， 综 上 2x2x47  a  2 ，故选 A． 16 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． a  i 2  i （9）【2017 年天津，理 9，5 分】已知 aR ，i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值 为．【答案】 2 a  i (a  i)(2  i) (2a 1)  (a  2)i 2a 1 a  2 【 解 析 】 i为 实 数 ， 则 2  i (2  i)(2  i) 555a  2 5 0,a  2 ．（10）【2017 年天津，理 10，5 分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方 体的表面积为 18，则这个球的体积为 9 ．【答案】 2【 解 析 】 设 正 方 体 边 长 为 a， 则6a2 18  a2  3， 外 接 球 直 径 为 4427 8922R  3a  3,V  πR3  π π．336（11）【2017 年天津，理 11，5 分】在极坐标系中，直线 4 cos(  ) 1 0 与圆   2sin 的公共点的个数为 【答案】2 ．3【解析】直线为 2 3x  2y 1 0 ，圆为 x2  (y 1)2 1 ，因为 d  1 ，所以有两个交 4点． a4  4b4 1 （ 12 ）【 2017 年 天 津 ， 理12 ， 5 分 】 若a,bR ，ab  0 ， 则 的 最 小 值 ab 第 13 页 共 14 页 为．【答案】4 a4  4b4 1 4a2b2 1 【解析】  4 ，当且仅当 a  2,b 1时取等号． ab ab （13）【2017 年天津，理 13，5 分】在 △ABC 中， ∠A  60 ，AB  3 的值为 ，AC  2 ．若 ．  ，     BD  2DC ，且 AD  AE  4，则 AE   AC  AB( R) 3【答案】 11      ，12【解析】AB  AC  3 2 cos60  3 ，AD  AB  AC 则33      12AD  AE  AB  AC  AC  AB 3332 31233   4  9  3  4    ．3311 （14）【2017 年天津，理 14，5 分】用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字， 且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答） 【答案】1080 【解析】 A4  C41C53 A44 1080 ．5第 14 页 共 14 页