2016年山东高考文科数学真题及答案下载

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  • 最近更新2022年10月14日



2016 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 数学(文科) 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考 试结束后,将将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县 区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写 上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B). 第 I卷(共 50分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合U {1,2,3,4,5,6}, A {1,3,5}, B {3,4,5},则ð (A  B) =U(A){2,6} (B){3,6} (C){1,3,4,5} (D){1,2,4,6} 1第 1 页 共 17 页 2(2)若复数 z  (A)1+i ,其中 i 为虚数单位,则 z = 1 i (B)1−i (C)−1+i (D)−1−i (3)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中 自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20), [20,22.5), [22.5,25),[25,27.5),[27.5,30). 根据直方图,这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 (A)56 (B)60 (C)120 (D)140 x  y  2, (4)若变量 x,y 满足 2x 3y  9,则 x2+y2 的最大值是 x  0, (A)4(B)9(C)10(D)12 (5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为 1 2 132(A) + π (B) +π3 3 31322(C) +π(D)1+ π662第 2 页 共 17 页 (6)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α, (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 内,则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 相交”的 b b (7)已知圆 M: x2 + y2 – 2ay = 0(a > 0) 截直线 x + y = 0 所得线段的长度是 2 2,则圆 M 与圆 N: 2(x- 1)+ (y – 1)2 = 1的位置关系是 (A)内切(B)相交(C)外切(D)相离 (8)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知b = c,a2 = 2b2 (1- sin A) ,则 A= 3π πππ(A) (B) (C) (D) 43461(9)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1 时,f(-x)= —f(x);当 x> 时, 211f(x+ )=f(x— ).则 f(6)= 22(A)-2 (B)-1 (D)2 (C)0 (10)若函数 y  f (x) 的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y  f (x) 具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是学科&网 (A) y  sin x (B) y  ln x (C) y  ex (D) y  x3 第 II 卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 (11)执行右边的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出的 S 的值为_______. 3第 3 页 共 17 页 (12)观察下列等式: π2π 4(sin )2  (sin )2  12 ;333π2π 3π 4π 4(sin )2  (sin )2  (sin )2  (sin )2  23 ;55553π2π 3π 6π 4(sin )2  (sin )2  (sin )2  (sin )2  34 ;;7π72π 73π 78π 34(sin )2  (sin )2  (sin )2  (sin )2  45 99993…… 照此规律, (sin π2π 3π 2nπ )2  (sin )2  (sin )2  (sin )2  _________. 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 (13)已知向量 a=(1,–1),b=(6,–4).若 a⊥(ta+b),则实数 t 的值为________. x2 y2 (14)已知双曲线 E: – =1(a>0,b>0).矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点为 E 的 a2 b2 两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是_______. x , x  m, x2  2mx  4m, x  m, (15)已知函数 f(x)= 其中 m>0.若存在实数 b,使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不 4第 4 页 共 17 页 同的根,则 m 的取值范围是_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 (16)(本小题满分 12 分) 某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后, 待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为 x,y.奖励规则如下: ①若 xy  3,则奖励玩具一个;学科&网 ②若 xy  8,则奖励水杯一个; ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. (I)求小亮获得玩具的概率; (II)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由. (17)(本小题满分 12 分) 设f (x)  2 3sin(π  x)sin x  (sin x  cos x)2 .(I)求 f (x) 得单调递增区间; π(II)把 y  f (x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移 3π个单位,得到函数 y  g(x) 的图象,求 g( )的值. 65第 5 页 共 17 页 (18)(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EF∥DB. (I)已知 AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB; (II)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点.求证:GH∥平面 ABC. (19)(本小题满分 12 分) 已知数列 a的前 n 项和 Sn  3n2 8n 的通项公式;学科&网 , 是等差数列,且an  bn  bn1 . bn    n(I)求数列 b  n(an 1)n1 (bn  2)n (II)令 cn  .求数列 的前n 项和Tn . cn  6第 6 页 共 17 页 (20)(本小题满分 13 分) 设 f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x,a∈R. (Ⅰ)令 g(x)=f'(x),求 g(x)的单调区间; (Ⅱ)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值范围. (21)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: (a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2 .(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴与点 N,交 C 于点 A,P(P 在第一象限),且 M 是线段 PN 的中点.过 点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延长线 QM 交 C 于点 B. (i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k’,证明 为定值. (ii)求直线 AB 的斜率的最小值. 7第 7 页 共 17 页 2016 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 数学(文科) 第 I卷(共 50分) 一、选择题 (1)【答案】A (2)【答案】B (3)【答案】D (4)【答案】C (5)【答案】C (6)【答案】A (7)【答案】B (8)【答案】C (9) 【答案】D (10)【答案】A 第 II 卷(共 100 分) 二、填空题 (11)【答案】 14(12)【答案】 n n 1 3(13)【答案】 5 (14)【答案】 2(15)【答案】 3, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 (16) 5【答案】( ) .( 16 )小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 8第 8 页 共 17 页 【解析】 试题分析:用数对 x, y 表示儿童参加活动先后记录的数,写出基本事件空间 与点集 S  x, y | x N, y N,1 x  4,1 y  4 一一对应.得到基本事件总数为 n 16. ()事件 )记“ xy  8”为事件 包含的基本事件共有 包含的基本事件共有 比较即知. 试题解析:用数对 x, y 表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间 A包含的基本事件共有 5个,即 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 3,1 ,计算即得.      (B,“3  xy  8”为事件C . 63知事件 B6个,得到 P B  .   16 85事件 C5个,得到 P C   .16 与点集 S  x, y | x N, y N,1 x  4,1 y  4 一一对应.因为 S 中元素个数是 44 16, 所以基本事件总 数为 n 16. )记“ xy  3”为事件 则事件 包含的基本事件共有5个,即 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 3,1 , (A . A     55所以, P A    ,即小亮获得玩具的概率为 . 16 16 ()记“ xy  8”为事件 B ,“3  xy  8”为事件C . 则事件 B 包含的基本事件共有 6个,即 2,4 , 3,3 , 3,44,2 , 4,3 , 4,4 ,      63所以, P B  .   16 8则事件 C包含的基本事件共有 5个,即 1,4 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , 4,1 ,      5所以, P C   .16 35因为 ,8 16 所以,小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 考点:古典概型 9第 9 页 共 17 页 (17) 12 5 12 12 5 【答案】( )f x的单调递增区间是 k  ,k    k Z , (或 (k  ,k  ) k Z )12 () 3. 【解析】 试题分析:( )化简 f x 2 3sin  x sin x  sin x  cos x 2 得   3f (x)  2sin 2x   3 1, 23212 5 12 由2k  2x  2k  k Z , 即得 k  x  k  k Z , 写出 f x的单调递增区间   36    ()由 f x  2sin 2x   3 1, 平移后得 g x  2sin x  3 1.进一步可得 g.      2试题解析:( )由 f x 2 3sin  x sin x  sin x  cos x    2 3sin2 x  1 2sin xcos x  3 1 cos2x  sin 2x 1  sin 2x  3 cos2x  3 1 3 2sin 2x   3 1, 2325 12 由2k  2x  2k  k Z , 得k  x  k  12 k Z , 12 5 12 所以, f x的单调递增区间是 k  ,k    k Z , 12 5 12 (或 (k  ,k  ) k Z )3()由( )知 f x  2sin 2x     3 1, 10 第 10 页 共 17 页 把y  f x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),   3得到 y   2sin x   3 1的图象, 3再把得到的图象向左平移 个单位,得到 y  2sin x  3 1的图象, 即g x  2sin x  3 1.   6  6  所以 g 2sin  3 1 3.   考点:1.和差倍半的三角函数;2.三角函数的图象和性质;3.三角函数的图象和性质. (18)【答案】(Ⅰ))证明:见解析;(Ⅱ)见解析. 【解析】 试题分析:(Ⅰ))根据 EF // BD ,知 EF 从而 AC  平面 BDEF ,证得 AC  FB 与BD 确定一个平面,连接 DE ,得到 DE  AC ,BD  AC ,.(Ⅱ)设 FC 的中点为 GHI // 平面 ABC ,进一步得到GH // 平面 ABC 试题解析:(Ⅰ))证明:因 EF // BD ,所以 EF BD确定一个平面,连接 DE ,因为 AE  EC, E 的中点,所以 DE  AC ;同理可得 BD  AC ,又因为 BD  DE  D ,所以 AC  平面 BDEF ,因为 I,连GI, HI ,在 CEF ,CFB 中,由三角形中位线定理可得线线平行,证得平 面.与为 AC FB  平面 BDEF ,AC  FB 。(Ⅱ)设 FC 的中点为 I,连GI, HI ,在 CEF 中,G 是CE 的中点,所以GI // EF ,又 EF // DB ,所 是 FB的中点,所以 以GI // DB ;在 CFB 中, HHI // BC ,又GI  HI  I ,所以平面GHI // 平面 ABC ,因为GH  平面GHI ,所以GH // 平面 ABC 。11 第 11 页 共 17 页 FEHGIBADC考点:1.平行关系;2.垂直关系. (19) n2 【答案】(Ⅰ)bn  3n 1;(Ⅱ) Tn  3n  2 【解析】 a  b  b 112试题分析:(Ⅰ)由题意得 ,解得b1  4,d  3 ,得到bn  3n 1 。a2  b2  b3 (6n  6)n1 (3n  3)n (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cn   3(n 1)  2n1 ,从而 Tn  3[2 22  3 23  4 24    (n 1)2n1 ]n2 利用“错位相减法”即得 Tn  3n  2 试题解析:(Ⅰ)由题意当 n  2时, an  Sn  Sn1  6n  5,当 n  1时, a1  S1  11;所以 an  6n  5 ;a  b  b 11  2b  d 1121设数列的公差为 d,由 ,即 ,解之得b1  4,d  3 ,所以bn  3n 1 。a2  b2  b3 17  2b1  3d (6n  6)n1 (3n  3)n (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cn   3(n 1)  2n1 ,又Tn  c1  c2  c3    cn ,即 Tn  3[2 22  3 23  4 24    (n 1)2n1 ],所以 2Tn  3[2 23  3 24  4 25    (n 1)2n2 ],以上两式两边相减得 4(2n 1) Tn  3[2 22  23  24    2n1  (n 1)2n2 ]  3[4   (n 1)2n2 ]  3n  2n2 。2 1 12 第 12 页 共 17 页 n2 所以 Tn  3n  2 考点:1.等差数列的通项公式;2.等比数列的求和;3.“错位相减法”. (20) 【答案】(Ⅰ)当 a  0 时,函数 g x 单调递增区间为 0,   ;11当a  0 时,函数 g x 单调递增区间为 0, ,单调递减区间为 , .  2a 2a 1(Ⅱ) a  .2【解析】 试题分析:(Ⅰ)求导数 f ‘ x  ln x  2ax  2a,   可得 g x  ln x  2ax  2a, x 0, ,  11 2ax 从而 g ‘ x  2a  ,  xx讨论当 a  0 时,当 a  0 时的两种情况即得. 1112(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ‘ 1  0 .分以下情况讨论:①当 a  0 时,②当 0  a  时,③当 a  时,④当 a    22时,综合即得. 试题解析:(Ⅰ)由 f ‘ x  ln x  2ax  2a,   可得 g x  ln x  2ax  2a, x 0,   ,11 2ax 则当g ‘ x  2a  ,  xxa  0 时, x 0, 时, g ‘ x  0 ,函数 g x 单调递增; a  0 时,     当1x 0, 时, g ‘ x  0 ,函数 g x 单调递增,    2a 1g ‘ x  0 ,函数 g x 单调递减. x , 时,     2a 13 第 13 页 共 17 页 所以当 a  0 时,函数 g x 单调递增区间为 0, ;  11当a  0 时,函数 g x 单调递增区间为 0, ,单调递减区间为 , .  2a 2a (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ‘ 1  0 .  ①当 a  0 时, f ‘ x  0 ,f x单调递减.     所以当 x 0,1 时, f ‘ x  0   ,f x单调递减.   当x 1, 时, f ‘ x  0   ,f x单调递增.   所以 f x在 x=1处取得极小值,不合题意.   111②当 0  a  时, 1,由(Ⅰ)知 f ‘ x   在0, 内单调递增, 22a 2a 1可得当当 x 0,1 时, f ‘ x  0   ,x 1, 时, f ‘ x  0   ,2a 1所以 f x在(0,1)内单调递减,在 1, 内单调递增,   2a 所以 f x在 x=1处取得极小值,不合题意.   11③当 a  时,即 1时, f ‘ x 在(0,1)内单调递增,在 1, 内单调递减,   22a 所以当 x 0, 时, f ‘ x  0   ,f x单调递减,不合题意.   111④当 a  时,即 0  1 ,当 x ,1 时, f ‘ x  0 ,f x单调递增,     22a 2a 当x 1, 时, f ‘ x  0   ,f x单调递减,   所以 f(x)在 x=1处取得极大值,合题意. 1综上可知,实数 a的取值范围为 a  .2考点:1.应用导数研究函数的单调性、极值;2.分类讨论思想. (21) 14 第 14 页 共 17 页 x2 y2 6【答案】(Ⅰ) 1.(Ⅱ)(i)见解析;(ii)直线 AB 的斜率的最小值为 .422【解析】 试题分析:(Ⅰ)分别计算 a,b即得. (Ⅱ)(i)设 P x, y x 0, y  0 ,0  000由 M(0,m),可得 P x,2m ,Q x,2m . 002m  m mx0 2m  m 3m 得到直线 PM的斜率 ,直线 QM的斜率 .证得. k  k ‘    x0 x0 x0 (ii)设 A x, y , B x, y 1  2  ,12直线 PA的方程为 y=kx+m, 直线 QB的方程为 y=-3kx+m. y  kx  m 2y2 联立 ,x1  4 2222整理得 .2k 1 x  4mkx  2m  4  0 2 m2  2 2 m2  2 32k2 m2  2 应用一元二次方程根与系数的关系得到 x2  x1  ,18k2 1 x 2k2 1 x 18k2 1 2k2 1 x  0006k m2  2 2 m2  2 8k 6k2 1 m2  2  y2  y1   m   m  ,18k2 1 x 2k2 1 x 18k2 1 2k2 1 x  000y2  y1 6k2 1 141得到 kAB 6k  .x2  x1 4k k应用基本不等式即得. 试题解析:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c, 由题意知 2a  4,2c  2 2 ,所以 a  2,b  a2  c2  2 ,x2 y2 所以椭圆 C的方程为 1 .4215 第 15 页 共 17 页 (Ⅱ)(i)设 P x, y x 0, y  0 0  ,000由 M(0,m),可得 P x,2m ,Q x,2m . 002m  m mx0 所以 直线PM的斜率 ,k  x0 2m  m 3m 直线 QM的斜率 .k ‘    x0 x0 k ‘ 此时  3 ,kk ‘ 所以 为定值-3. k(ii)设 A x, y , B x, y 1  2  ,12直线 PA的方程为 y=kx+m, 直线 QB的方程为 y=-3kx+m. y  kx  m 2y2 联立 ,x1  4 2222整理得 .2k 1 x  4mkx  2m  4  0 2 m2  2 2m2  4 2k2 1 由x0 x1  可得 x1  ,2k2 1 x 02k m2  2 所以 y1  kx1  m   m ,2k2 1 x 02 m2  2 6k m2  2  m 同理 x2  , y2  .18k2 1 x 18k2 1 x 002 m2  2 2 m2  2 32k2 m2  2 18k2 1 2k2 1 x 所以 x2  x1  ,18k2 1 x 2k2 1 x  0006k m2  2 18k2 1 x 2 m2  2 2k2 1 x 8k 6k2 1 m2  2  y2  y1   m   m  ,18k2 1 2k2 1 x  000y2  y1 6k2 1 141所以 kAB 6k  .x2  x1 4k k16 第 16 页 共 17 页 由m  0, x0  0 ,可知 k>0, 16所以 6k  2 6 ,等号当且仅当 k  时取得. k6m4 8m2 614 7此时 ,即 m  ,符号题意. 662所以直线 AB 的斜率的最小值为 .考点:1.椭圆的标准方程及其几何性质;2.直线与椭圆的位置关系;3.基本不等式. 17 第 17 页 共 17 页

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