第 1 页 共 11 页 绝密★启用前 2004年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题(本大题满分 48分,每小题 4分) 11．若 tg = ,则 tg( + )= .242．设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为 x=－1,则它的焦点坐标为 .3．设集合 A={5,log2(a+3)},集合 B={a,b}.若 A∩B={2},则 A∪B= .184．设等比数列{an}(n∈N)的公比 q=－ ,且 lim (a1+a3+a5+…+a2n-1)= ,则 a1= .n 25．设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5].若当 x∈[0,5]时, 3f(x)的图象如右图,则不等式 f(x)<0的 解是 .6．已知点 A(1, －2),若向量 AB 与a={2,3}同向, AB =2 13 ,则点 B的坐标为 .7．在极坐标系中,点 M(4, )到直线 l: (2cos +sin )=4的距离 d= .38．圆心在直线 2x－y－7=0上的圆 C与 y轴交于两点 A(0, －4),B(0, －2),则圆 C的方程 为.9．若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结 果用分数表示) 10．若函数 f(x)=a x b 2 在[0,+∞]上为增函数,则实数 a、b的取值范围是 .11．教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 .12．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为 q的无穷等 比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 出所有符合要求的组号) 组.(写 ①S1与 S2; ②a2与 S3; ③a1与 an; ④q与 an. 其中 n为大于 1的整数, Sn为{an}的前 n项和. 第 1 页 共 11 页 第 2 页 共 11 页 二、选择题(本大题满分 16分,每小题 4分) 13．在下列关于直线 l、m与平面 α、β 的命题中,真命题是 （）A．若 l C．若 l⊥β 且 β 且 ⊥β,则 l⊥α. B．若 l⊥β 且 D．若 α∩β=m且 l∥m,则 l∥ ∥β,则 l⊥α. ⊥β,则 l∥α. .x114．已知 y f (x) 是周期为 2 的函数，当 x [0,2 )时, f (x) sin ,则f (x) 的解集 22为（）35 3A．{x│x=2kπ+ ,k∈Z}. B．{x|x=2kπ+ ,k∈Z}. 33C．{x│x=2kπ± ,k∈Z}. D．{x|x=2kπ +(－1)K,k∈Z}. 215．若函数 y=f(x)的图象可由函数 y=lg(x+1)的图象绕坐标原点 O逆时针旋转 得到,则 f(x)= （）A．10－x－1. B．10x－1. C．1－10－x. D．1－10x. 16．某地 2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5个行业的情况列表如下 行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称 计算机[来 营销 机械 建筑 化工 招聘人数[来 124620 102935 8911576516 70436 若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中 数据,就业形势一定是 A．计算机行业好于化工行业. C．机械行业最紧张. （）B．建筑行业好于物流行业. D．营销行业比贸易行业紧张. 三、解答题(本大题满分 86分) 17．(本题满分 12分) 已知复数 z1满足(1+i)z1=－1+5i, z2=a－2－i, 其中 i为虚数单位,a∈R, 若 z1 z2 z1 ,求 a的取值范围. <第 2 页 共 11 页 第 3 页 共 11 页 18．(本题满分 12分) 某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为 x、y(单位：m)的矩形.上 部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 8m2. 问 x、y分别为多少(精确到 0.001m) 时 用料最省? 19．(本题满分 14分) 第 1小题满分 6分, 第 2小题满分 8分. 第 3 页 共 11 页 第 4 页 共 11 页 x 3 x 1 记函数 f(x)= 2 (1) 求 A； 的定义域为 A,g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为 B. (2) 若 B A, 求实数 a的取值范围. 20．(本题满分 14分) 第 1小题满分 6分, 第 2小题满分 8分 已知二次函数 y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数 y=f2(x)的图象与直 线 y=x的两个交点间距离为 8,f(x)= f1(x)+ f2(x). (1) 求函数 f(x)的表达式； 第 4 页 共 11 页 第 5 页 共 11 页 (2) 证明:当 a>3时,关于 x的方程 f(x)= f(a) 有三个实数解. 21．(本题满分 16分) 第 1小题满分 4分, 第2小题满分 6分, 第 3小题满分 6分 如图，P—ABC是底面边长为 1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长 PA、PB、PC上的点, 截 面 DEF∥底面 ABC, 且棱台 DEF—ABC与棱锥 P—ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所 有棱的长度之和) (1)证明：P—ABC为正四面体； 1(2)若 PD= PA,求二面角 D—BC—A的大小；(结果用反三角函数值表示) 2(3)设棱台 DEF—ABC的体积为 V, 是否存在体积为 V且各棱长均相等的直平行六面体, 第 5 页 共 11 页 第 6 页 共 11 页 使得它与棱台 DEF—ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体, 并给出证明；若不存在,请说明理由. 22．(本题满分 18分) 第 1小题满分 6分, 第 2小题满分 8分, 第 3小题满分 4分. 设 P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且 a1=OP 2, a2= 12, …, a = 2 构成了一个公差为 d(d≠0)的等差数列, 其中 O 是坐标 原点. 记 nOP OP n2Sn=a1+a2+…+an. x2 y2 (1)若 C的方程为 =1,n=3. 点 P1(10,0)及 S3=255, 求点 P3的坐标； (只需写 100 25 出一个) 第 6 页 共 11 页 第 7 页 共 11 页 x2 y2 (2)若 C的方程为 1(a>b>0). 点 P1(a,0), 对于给定的自然数 n, 当公差 d变 a2 b2 化时, 求 Sn的最小值； (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线 C及 C上的一点 P1,对于给定的自然数 n,写出符合 条件的点 P1, P2,…，Pn存在的充要条件,并说明理由. 符号意义 向量坐标 正切 本试卷所用符号 等同于《实验教材》符号 a={x,y} tg a=(x,y) tan 第 7 页 共 11 页 第 8 页 共 11 页 2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学参考答案（理工类）（上海卷） 一、填空题(本大题满分 48分,每小题 4分) 1．3 2．(5,0) 3．{1,2,5} 4．2 5．(－2,0)∪(2,5] 6．(5,4) 2 15 547． 8．(x－2)2+(y+3)2=5 9． 10．a>0且 b≤0 11 11．用代数的方法研究图形的几何性质 12．①、④ 二、选择题(本大题满分 16分,每小题 4分) 13．B 14．C 15．A 16．B 三、解答题(本大题满分 86分) 1 5i 17．【解】由题意得 z1= =2+3i, 1 i 于是 z1 z2 =4 a 2i =(4 a)2 4 ,z1 =13 .由(4 a)2 4 <13 ,得 a2－8a+7<0,1<a<7. x2 8 18×418．【解】由题意得 xy+ x2=8,∴y= =(0<x<4 2 ). 4xx42316 3于 是 , 框 架 用 料 长 度 为 l=2x+2y+2( x)=( + 22)x+ ≥2 16( 2) =4 2×26 4 2 .316 当( + 22)x= ,即 x=8－4 x2时等号成立. 此时, x≈2.343,y=2 2 ≈2.828. 故当 x为 2.343m,y为 2.828m时, 用料最省. x 3 x 1 x 1 x 1 19．【解】(1)2－ ≥0, 得 ≥0, x<－1或 x≥1 即 A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞] (2) 由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0. ∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1). 1∵B A, ∴2a≥1 或 a+1≤－1, 即 a≥ 或a≤－2, 而 a<1, 211∴≤a<1或 a≤－2, 故当 B A时, 实数 a的取值范围是(－∞,－2]∪[ ,1) 2220．【解】(1)由已知,设 f1(x)=ax2,由 f1(1)=1,得 a=1, ∴f1(x)= x2. 第 8 页 共 11 页 第 9 页 共 11 页 k设 f2(x)= (k>0),它的图象与直线 y=x的交点分别为 xA( k,k)B(－ k ,－ k ) 88由AB =8,得 k=8,. ∴f2(x)= .故 f(x)=x2+ . xx88(2) 【证法一】f(x)=f(a),得 x2+ =a2+ , xa88即 =－x2+a2+ . xa8在同一坐标系内作出 f2(x)= 和x8f3(x)= －x2+a2+ 的大致图象,其中 f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三 a8象限的双曲线, f3(x)的图象是以(0, a2+ )为顶点,开口向下的抛物线. a因此, f2(x)与 f3(x)的图象在第三象限有一个交点, 8即 f(x)=f(a)有一个负数解. 又∵f2(2)=4, f3(2)= －4+a2+ a8当 a>3时,. f3(2)－f2(2)= a2+ －8>0， a∴当 a>3时,在第一象限 f3(x)的图象上存在一点(2,f3(2))在 f2(x)图象的上方. ∴f2(x)与 f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即 f(x)=f(a)有两个正数解. 因此,方程 f(x)=f(a)有三个实数解. 88【证法二】由 f(x)=f(a),得 x2+ =a2+ , xa8即(x－a)(x+a－ )=0,得方程的一个解 x1=a. ax 8方程 x+a－ =0化为 ax2+a2x－8=0, 由 a>3,△=a4+32a>0,得 ax a2 a4 32a 2a a2 a4 32a x2= , x3= ,2a ∵x2<0, x3>0, ∴x1≠ x2,且 x2≠ x3. a2 a4 32a 若 x1= x3,即 a= ,则 3a2= a4 32a , a4=4a, 2a 得 a=0或 a=3 4 ,这与 a>3矛盾, ∴x1≠ x3. 故原方程有三个实数解. 21．【证明】(1) ∵棱台 DEF—ABC与棱锥 P—ABC的棱长和相等, ∴DE+EF+FD=PD+PE+PF. 又∵截面 DEF∥底面 ABC, ∴DE=EF=FD=PD=PE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P—ABC是正四面体. 【解】(2)取 BC的中点 M,连接 PM,DM.AM. 第 9 页 共 11 页 第 10 页 共 11 页 ∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM, 则∠DMA 为二面角 D—BC—A的平面角. 由(1)知,P—ABC的各棱长均为 1, 3∴PM=AM= ,由 D是 PA的中点,得 2AD AM 33sin∠DMA= ,∴∠DMA=arcsin .33(3)存在满足条件的直平行六面体. 棱台 DEF—ABC的棱长和为定值 6,体积为 V. 1设直平行六面体的棱长均为 ,底面相邻两边夹角为 α, 21则该六面体棱长和为 6, 体积为 sinα=V. 822∵正四面体 P—ABC的体积是 ,∴0<V< ,0<8V<1.可知 α=arcsim(8V) 12 12 1故构造棱长均为 ,底面相邻两边夹角为 arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求. 2322．【解】(1) a1=OP 2=100,由 S3= (a1+a3)=255,得 a3=OP 2=70. 132×32 =60 x2 y2 =1 100 25 由,得 x32 +y32 =70 y32 =10 ∴点 P3的坐标可以为(2 15 ,10 ). x2 y2 (2)【解法一】原点 O到二次曲线 C: 1(a>b>0)上各点的最小距离为 b,最大 a2 b2 距离为 a. ∵a1=OP 2=a2, ∴d<0,且 an=OP 2=a2+(n－1)d≥b2, 1nb2 a2 n 1 n(n 1) n(n 1) b2 a2 n 1 ∴≤d<0. ∵n≥3, >0 ∴Sn=na2+ d在[ ,0)上递增, 22n(n 1) b2 a2 n(a2 b2 ) 故 Sn的最小值为 na2+ ·=.2n 1 2【解法二】对每个自然数 k(2≤k≤n), 第 10 页 共 11 页 第 11 页 共 11 页 xk2 +y2k =a2+(k 1)d － b2 (k 1)d ,解得 yk2 = 由a2 b2 xk2 yk2 + =1 a2 b2 b2 a2 k 1 b2 a2 n 1 ∵0< y2k ≤b2,得 ≤d<0 ∴≤d<0 以下与解法一相同. x2 y2 (3)解法一】若双曲线 C: － =1,点 P1(a,0), a2 b2 则对于给定的 n, 点 P1, P2,…Pn存在的充要条件是 d>0. ∵原点 O到双曲线 C上各点的距离 h∈[ a,+∞],且 OP =a2, 12∴点 P1, P2,…，Pn存在当且仅当 OP >OP 2,即 d>0. 1n【解法二】若抛物线 C:y2=2Px,点 P1(0,0), 则对于给定的 n, 点 P1, P2,…Pn存在的充要条件是 d>0.理由同上 【解法三】若圆 C:(x－a)2+y2=a2(a≠0), P1(0,0), 4a2 则对于给定的 n, 点 P1, P2,…，Pn存在的充要条件是 0<d≤ .n 1 ∵原点 O到圆 C上各点的最小距离为 0,最大距离为 2 a,4a2 4a2 22且OP 2=0, ∴d>0 且 OP =(n－1)d≤4a .即 0<d≤. 即0 d .1nn 1 n 1 第 11 页 共 11 页
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