2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）（含解析版）下载

2011 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）复数 z=1+i， 为z 的共轭复数，则 z• ﹣z﹣1=（　　） A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i 2．（5 分）函数 y= （x≥0）的反函数为（　　） A．y= （x∈R） B．y= （x≥0） C．y=4×2（x∈R） D．y=4×2（x≥0） 3．（5 分）下面四个条件中，使 a＞b 成立的充分而不必要的条件是（　　） A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 4．（5 分）设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1=1，公差 d=2，Sk+2﹣Sk=24， 则 k=（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 5．（5 分）设函数 f（x）=cosωx（ω＞0），将 y=f（x）的图象向右平移 个单 位长度后，所得的图象与原图象重合，则 ω 的最小值等于（　　） A． B．3 C．6 D．9 6．（5 分）已知直二面角 α﹣l﹣β，点 A∈α，AC⊥l，C 为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若 AB=2，AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离等于（　　） A． B． C． D．1 7．（5 分）某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送 给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有（　　） A．4 种 B．10 种 C．18 种 D．20 种 8．（5 分）曲线 y=e﹣2x+1 在点（0，2）处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角 形的面积为（　　） A． 9．（5 分）设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣x）， =（　　） B． C． D．1 则第 1 页（共 23 页） A．﹣ B．﹣ C． D． 10．（5 分）已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线 y=2x﹣4 与 C 交于 A，B 两 点，则 cos∠AFB=（　　） A． B． C． D． 11．（5 分）已知平面 α 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 α 成 60°二面角的平面 β 截该球面得圆 N，若该球的半径为 4，圆 M 的面积为 4π，则圆 N 的面积为（　　 ）A．7π B．9π C．11π D．13π 12．（5 分）设向量 ， ， 满足| |=| |=1， ，则| |的最大值等于（　　） =﹣ ，＜ ﹣ ， ﹣ ＞=60° A．2 B． C． D．1 　二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上.（ 注意：在试题卷上作答无效） 13．（5 分） 的二项展开式中，x 的系数与 x9 的系数之差为　 　． 　． 14．（5 分）已知 α∈（ ，π），sinα= ，则 tan2α=　 15．（5 分）已知 F1、F2 分别为双曲线 C： 的左、右焦点，点 A∈C， 点 M 的坐标为（2，0），AM 为∠F1AF2 的平分线，则|AF2|=　 　． 16．（5 分）已知 E、F 分别在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 BB1、CC1 上，且 B1E=2EB ，CF=2FC1，则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于　 　． 　三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17．（10 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 A﹣C= ，a+c= b，求 C． 第 2 页（共 23 页） 18．（12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙 种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3．设各车主购买保险相互独立． （Ⅰ）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率； （Ⅱ）X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求 X 的 期望． 19．（12 分）如图，四棱锥 S﹣ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面 SAB 为等边三 角形，AB=BC=2，CD=SD=1． （Ⅰ）证明：SD⊥平面 SAB； （Ⅱ）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小． 20．（12 分）设数列{an}满足 a1=0 且 （Ⅰ）求{an}的通项公式； ．（Ⅱ）设 ，记 ，证明：Sn＜1． 第 3 页（共 23 页） 21．（12 分）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C： 在 y 轴正半轴上的焦 点，过 F 且斜率为﹣ 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足 ．（Ⅰ）证明：点 P 在 C 上； （Ⅱ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上． 22．（12 分）（Ⅰ）设函数 ，证明：当 x＞0 时，f（x）＞0． （Ⅱ）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方 式连续抽取 20 次，设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p，证明： ．　第 4 页（共 23 页） 2011 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） 参考答案与试题解析 　一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）复数 z=1+i， 为z 的共轭复数，则 z• ﹣z﹣1=（　　） A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】求出复数 z 的共轭复数，代入表达式，求解即可． 【解答】解： =1﹣i，所以 故选：B． =（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i 【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题 型． 　2．（5 分）函数 y= （x≥0）的反函数为（　　） A．y= （x∈R） B．y= （x≥0） C．y=4×2（x∈R） D．y=4×2（x≥0） 【考点】4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由原函数的解析式解出自变量 x 的解析式，再把 x 和 y 交换位置，注明 反函数的定义域（即原函数的值域）． 【解答】解：∵y= ∴x= ，y≥0， （x≥0）， 故反函数为 y= （x≥0）． 第 5 页（共 23 页） 故选：B． 【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的 定义域是原函数的值域． 　3．（5 分）下面四个条件中，使 a＞b 成立的充分而不必要的条件是（　　） A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有 【专题】5L：简易逻辑． 【分析】利用不等式的性质得到 a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出 a＞b 推不出 a＞b+1；利用条件的定义判断出选项． 【解答】解：a＞b+1⇒a＞b； 反之，例如 a=2，b=1 满足 a＞b，但 a=b+1 即 a＞b 推不出 a＞b+1， 故 a＞b+1 是 a＞b 成立的充分而不必要的条件． 故选：A． 【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法 ．　4．（5 分）设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1=1，公差 d=2，Sk+2﹣Sk=24， 则 k=（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【考点】85：等差数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先由等差数列前 n 项和公式求得 Sk+2，Sk，将 Sk+2﹣Sk=24 转化为关于 k 的方程求解． 【解答】解：根据题意： Sk+2=（k+2）2，Sk=k2 第 6 页（共 23 页） ∴Sk+2﹣Sk=24 转化为： （k+2）2﹣k2=24 ∴k=5 故选：D． 【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及其应用，同时还考查了方程思 想，属中档题． 　5．（5 分）设函数 f（x）=cosωx（ω＞0），将 y=f（x）的图象向右平移 个单 位长度后，所得的图象与原图象重合，则 ω 的最小值等于（　　） A． B．3 C．6 D．9 【考点】HK：由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】函数图象平移 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数 平移整数个周期，容易得到结果． 【解答】解：f（x）的周期 T= ，函数图象平移 个单位长度后，所得的图 象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以 ，k∈Z．令 k=1， 可得 ω=6． 故选：C． 【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理 解，考查技术能力，常考题型． 　6．（5 分）已知直二面角 α﹣l﹣β，点 A∈α，AC⊥l，C 为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若 AB=2，AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离等于（　　） A． B． C． D．1 第 7 页（共 23 页） 【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；13：作图题；35：转化思想． 【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出 D 到 平面 ABC 的距离． 【解答】解：由题意画出图形如图： 直二面角 α﹣l﹣β，点 A∈α，AC⊥l，C 为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂足， 若 AB=2，AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离转化为三棱锥 D﹣ABC 的高为 h， 所以 AD= ，CD= ，BC= 由 VB﹣ACD=VD﹣ABC 可知 所以，h= 故选 C． 【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法 是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力． 　7．（5 分）某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送 给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有（　　） A．4 种 B．10 种 C．18 种 D．20 种 【考点】D3：计数原理的应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】本题是一个分类计数问题，一是 3 本集邮册一本画册，让一个人拿一本 2画册有 4 种，另一种情况是 2 本画册 2 本集邮册，只要选两个人拿画册 C4 种 ，根据分类计数原理得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题， 第 8 页（共 23 页） 一是 3 本集邮册一本画册，从 4 位朋友选一个有 4 种， 2另一种情况是 2 本画册 2 本集邮册，只要选两个人拿画册 C4 =6 种， 根据分类计数原理知共 10 种， 故选：B． 【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填 空中，也可以出现在解答题目的一部分中． 　8．（5 分）曲线 y=e﹣2x+1 在点（0，2）处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角 形的面积为（　　） A． B． C． D．1 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据导数的几何意义求出函数 f（x）在 x=0 处的导数，从而求出切线的 斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与 y 轴和直线 y=x 的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可． 【解答】解：∵y=e﹣2x+1∴y’=（﹣2）e﹣2x ∴y’|x=0=（﹣2）e﹣2x |x=0=﹣2 ∴曲线 y=e﹣2x+1 在点（0，2）处的切线方程为 y﹣2=﹣2（x﹣0）即 2x+y﹣2=0 令 y=0 解得 x=1，令 y=x 解得 x=y= ∴切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 ×1× = 故选：A． 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的 应用等有关问题，属于基础题． 　9．（5 分）设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣x）， 第 9 页（共 23 页） 则=（　　） B．﹣ A．﹣ C． D． 【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由题意得 =f（﹣ ）=﹣f（ ），代入已知条件进行运算． 【解答】解：∵f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣x） ，∴=f（﹣ ）=﹣f（ ）=﹣2× （1﹣ ）=﹣ ， 故选：A． 【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值． 　10．（5 分）已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线 y=2x﹣4 与 C 交于 A，B 两 点，则 cos∠AFB=（　　） A． B． C． D． 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据已知中抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线 y=2x﹣4 与 C 交于 A，B 两点，我们可求出点 A，B，F 的坐标，进而求出向量 ，的坐标，进而利 用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案． 【解答】解：∵抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F， ∴F 点的坐标为（1，0） 又∵直线 y=2x﹣4 与 C 交于 A，B 两点， 则 A，B 两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4）， 则=（0，﹣2）， =（3，4）， 第 10 页（共 23 页） 则 cos∠AFB= 故选：D． ==﹣ ， 【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向 量法处理是解答本题的重要技巧． 　11．（5 分）已知平面 α 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 α 成 60°二面角的平面 β 截该球面得圆 N，若该球的半径为 4，圆 M 的面积为 4π，则圆 N 的面积为（　　 ）A．7π B．9π C．11π D．13π 【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】先求出圆 M 的半径，然后根据勾股定理求出求出 OM 的长，找出二面 角的平面角，从而求出 ON 的长，最后利用垂径定理即可求出圆 N 的半径， 从而求出面积． 【解答】解：∵圆 M 的面积为 4π ∴圆 M 的半径为 2 根据勾股定理可知 OM= ∵过圆心 M 且与 α 成 60°二面角的平面 β 截该球面得圆 N ∴∠OMN=30°，在直角三角形 OMN 中，ON= ∴圆 N 的半径为 则圆的面积为 13π 故选：D． 【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想 象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题． 第 11 页（共 23 页） 　12．（5 分）设向量 ， ， 满足| |=| |=1， =﹣ ，＜ ﹣ ， ﹣ ＞=60° ，则| |的最大值等于（　　） A．2 B． C． D．1 【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】利用向量的数量积求出 的夹角；利用向量的运算法则作出图；结 合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出 最大值． 【解答】解：∵ ，∴的夹角为 120°， 设，则；=如图所示 则∠AOB=120°；∠ACB=60° ∴∠AOB+∠ACB=180° ∴A，O，B，C 四点共圆 ∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径 2R= 当 OC 为直径时，模最大，最大为 2 故选：A． 第 12 页（共 23 页） 【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、 三角形的正弦定理． 　二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上.（ 注意：在试题卷上作答无效） 13．（5 分） 的二项展开式中，x 的系数与 x9 的系数之差为　0　． 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令 x 的指数分别取 1，9 求出 x 的系数与 x9 的系数；求出值． 【解答】解：展开式的通项为 令得 r=2；令 得 r=18 218 ∴x 的系数与 x9 的系数 C20 ，C20 2∴x 的系数与 x9 的系数之差为 C20 ﹣C2018=0 故答案为：0 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 　14．（5 分）已知 α∈（ ，π），sinα= ，则 tan2α=　﹣ 　． 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用题目提供的 α 的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然 后利用二倍角的正切求得 tan2α． 【解答】解：由 α∈（ ，π），sinα= ，得 cosα=﹣ ∴tan2α= =﹣ ，tanα= =第 13 页（共 23 页） 故答案为：﹣ 【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题． 　15．（5 分）已知 F1、F2 分别为双曲线 C： 的左、右焦点，点 A∈C， 点 M 的坐标为（2，0），AM 为∠F1AF2 的平分线，则|AF2|=　6　． 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题． 【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条 焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求 出焦半径． 【解答】解： 不妨设 A 在双曲线的右支上 ∵AM 为∠F1AF2 的平分线 ∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6 解得|AF2|=6 故答案为 6 【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用 双曲线的定义． 　16．（5 分）已知 E、F 分别在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 BB1、CC1 上，且 B1E=2EB ，CF=2FC1，则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于　． 【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合． 第 14 页（共 23 页） 【分析】由题意画出正方体的图形，延长 CB、FE 交点为 S 连接 AS，过 B 作 BP⊥ AS 连接 PE，所以面 AEF 与面 ABC 所成的二面角就是：∠BPE，求出 BP 与正 方体的棱长的关系，然后求出面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值． 【解答】解：由题意画出图形如图： 因为 E、F 分别在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 BB1、CC1 上，且 B1E=2EB，CF=2FC1 ，延长 CB、FE 交点为 S 连接 AS，过 B 作 BP⊥AS 连接 PE，所以面 AEF 与面 ABC 所 成的二面角就是∠BPE，因为 B1E=2EB，CF=2FC1， 所以 BE：CF=1：2 所以 SB：SC=1：2， 设正方体的棱长为：a，所以 AS= a，BP= ，BE= ，在 RT△PBE 中，tan∠EPB= ==，故答案为： 【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能 够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力． 　三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17．（10 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 A﹣C= ，a+c= b，求 C． 第 15 页（共 23 页） 【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由 A﹣C 等于 得到A 为钝角，根据诱导公式可知 sinA 与 cosC 相等， 然后利用正弦定理把 a+c= b化简后，把 sinA 换为 cosC，利用特殊角的三角 函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的两 边都除以 后，根据C 和 B 的范围，得到 C+ =B 或 C+ +B=π，根据 A 为 钝角，所以 C+ +B=π 不成立舍去，然后根据三角形的内角和为 π，列出关于 C 的方程，求出方程的解即可得到 C 的度数． 【解答】解：由 A﹣C= ，得到 A 为钝角且 sinA=cosC， 利用正弦定理，a+c= b可变为：sinA+sinC= sinB， 即有 sinA+sinC=cosC+sinC= sin（C+ ）= sinB， 又 A，B，C 是△ABC 的内角， 故 C+ =B 或 C+ +B=π（舍去）， 所以 A+B+C=（C+ ）+（C+ ）+C=π， 解得 C= ．【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正 弦函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意三角形的内角和定 理及角度范围的运用． 　18．（12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙 种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3．设各车主购买保险相互独立． （Ⅰ）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率； （Ⅱ）X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求 X 的 期望． 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机 变量的期望与方差．菁优网版权所有 第 16 页（共 23 页） 【专题】11：计算题． 【分析】（Ⅰ）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率 求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙 两种保险中的 1 种的概率即可． （Ⅱ）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X 服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可． 【解答】解：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为 P，则 P（1﹣0.5）=0.3， 故 P=0.6， 该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2， 由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率 1﹣0.2=0.8 （Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为 0.2，X～B（100，0.2） 所以 EX=100×0.2=20 【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望等 知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力． 　19．（12 分）如图，四棱锥 S﹣ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面 SAB 为等边三 角形，AB=BC=2，CD=SD=1． （Ⅰ）证明：SD⊥平面 SAB； （Ⅱ）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小． 【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明 SD 垂直于面 SAB 中两条相交 的直线 SA，SB；在证明 SD 与 SA，SB 的过程中运用勾股定理即可 第 17 页（共 23 页） （ Ⅱ ） 求AB 与 平 面SBC 所 成 的 角 的 大 小 即 利 用 平 面SBC 的 法 向 量 ，当 为锐角时，所求的角即为它的 余角；当 为钝角时，所求的角为 【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形 ABCD 中， ∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1 ∴AD= =∵侧面 SAB 为等边三角形，AB=2 ∴SA=2 ∵SD=1 ∴AD2=SA2+SD2 ∴SD⊥SA 同理：SD⊥SB ∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面 SAB ∴SD⊥平面 SAB （Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系 则 A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0）， 作出 S 在底面上的投影 M，则由四棱锥 S﹣ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面 SAB 为等边三角形知，M 点一定在 x 轴上，又 AB=BC=2，CD=SD=1．可解得 MD= ，从而解得 SM= ，故可得 S（ ，0， ）则设平面 SBC 的一个法向量为 则，即第 18 页（共 23 页） 取 x=0，y= ，z=1 即平面 SBC 的一个法向量为 =（0， ，1） 又=（0，2，0） cos＜ ，＞= ==∴＜ ，＞=arccos 即 AB 与平面 SBC 所成的角的大小为 arcsin 【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量 的基本知识，属于中档题． 　20．（12 分）设数列{an}满足 a1=0 且 （Ⅰ）求{an}的通项公式； ．（Ⅱ）设 ，记 ，证明：Sn＜1． 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】（Ⅰ）由 是公差为 1 的等差数列，知 ，由此能求出{an}的通项公式． （Ⅱ）由 ==，能够证明 Sn＜1． 第 19 页（共 23 页） 【解答】解：（Ⅰ） 是公差为 1 的等差数列， ，∴（n∈N*）． （Ⅱ） ==，∴=1﹣ ＜1． 【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用． 　21．（12 分）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C： 在 y 轴正半轴上的焦 点，过 F 且斜率为﹣ 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足 ．（Ⅰ）证明：点 P 在 C 上； （Ⅱ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上． 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想． 【分析】（1）要证明点 P 在 C 上，即证明 P 点的坐标满足椭圆 C 的方程 ，根据已知中过 F 且斜率为﹣ 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足 ，我们求出点 P 的坐标，代入验证即可． （2）若 A、P、B、Q 四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的 方程，然后将第四点坐标代入验证即可． 第 20 页（共 23 页） 【解答】证明：（Ⅰ）设 A（x1，y1），B（x2，y2） 椭圆 C： ①，则直线AB 的方程为：y=﹣ x+1 ② 联立方程可得 4×2﹣2 x﹣1=0， 则 x1+x2= ，x1×x2=﹣ 则 y1+y2=﹣ （x1+x2）+2=1 设 P（p1，p2）， 则有： =（x1，y1）， =（x2，y2）， =（p1，p2）； ∴+=（x1+x2，y1+y2）=（ ，1）； =（p1，p2）=﹣（ +）=（﹣ ，﹣1） ∴p 的坐标为（﹣ ，﹣1）代入①方程成立，所以点 P 在 C 上． （Ⅱ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上． 设线段 AB 的中点坐标为（ ），即（， ）， ，则过线段 AB 的中点且垂直于 AB 的直线方程为：y﹣ = （x﹣ ），即 y= x+ ；③ ∵P 关于点 O 的对称点为 Q，故 0（0.0）为线段 PQ 的中点， 则过线段 PQ 的中点且垂直于 PQ 的直线方程为：y=﹣ x④； ③④联立方程组，解之得：x=﹣ ，y= ③④的交点就是圆心 O1（﹣ ， ）， r2=|O1P|2=（﹣ ﹣（﹣ ））2+（﹣1﹣ ）2= 故过 P Q 两点圆的方程为：（x+ ）2+（y﹣ ）2= …⑤， 把 y=﹣ x+1 …②代入⑤， 第 21 页（共 23 页） 有 x1+x2= ，y1+y2=1 ∴A，B 也是在圆⑤上的． ∴A、P、B、Q 四点在同一圆上． 【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其 中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键． 　22．（12 分）（Ⅰ）设函数 ，证明：当 x＞0 时，f（x）＞0． （Ⅱ）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方 式连续抽取 20 次，设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p，证明： ．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；16：压轴题． 【分析】（Ⅰ）欲证明当 x＞0 时，f（x）＞0，由于 f（0）=0 利用函数的单调性 ，只须证明 f（x）在[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根 据导函数大于 0 时原函数单调递减即可得到答案． （Ⅱ）先计算概率 P= ×98×…×81＜（90） ，最后证明 ＞2，即证 ln ，再证明 ＜＜，即证明 99 ＜e﹣2，即证 ＞e2，即证 19ln 19 ，而这个结论由（1）所得结论可得 【解答】（Ⅰ）证明：∵f′（x）= ，∴当 x＞﹣1，时 f′（x）≥0， ∴f（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数， ∴当 x＞0 时，f（x）＞f（0）=0． 即当 x＞0 时，f（x）＞0． （Ⅱ）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取 第 22 页（共 23 页） 20 次，则抽得的 20 个号码互不相同的概率为 P= ，要证 P＜ ＜．先证：P= ＜，即证 ＜即证 99×98×…×81＜（90）19 而 99×81=（90+9）×（90﹣9）=902﹣92＜902 98×82=（90+8）×（90﹣8）=902﹣82＜902… 91×89=（90+1）×（90﹣1）=902﹣12＜902 ∴99×98×…×81＜（90）19 即 P＜ 再证： ＜e﹣2，即证 ＞e2，即证 19ln ＞2，即证 ln ，当 x＞0 时，f（x）＞0． ＞由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）﹣ 令 x= ，则 ln（1+ ）﹣ =ln（1+ ）﹣ ＞0，即 ln ＞综上有：P＜ ＜【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查 运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过 运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问 题的能力． 第 23 页（共 23 页）