2011年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版)下载

2011年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版)下载

  • 最近更新2022年10月14日



2011 年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.(5 分)复数 z=1+i, 为z 的共轭复数,则 z• ﹣z﹣1=(  ) A.﹣2i B.﹣i C.i D.2i 2.(5 分)函数 y= (x≥0)的反函数为(  ) A.y= (x∈R) B.y= (x≥0) C.y=4×2(x∈R) D.y=4×2(x≥0) 3.(5 分)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是(  ) A.a>b+1 B.a>b﹣1 C.a2>b2 D.a3>b3 4.(5 分)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2﹣Sk=24, 则 k=(  ) A.8 B.7 C.6 D.5 5.(5 分)设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单 位长度后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于(  ) A. B.3 C.6 D.9 6.(5 分)已知直二面角 α﹣l﹣β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,B∈β,BD⊥l,D 为垂足,若 AB=2,AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于(  ) A. B. C. D.1 7.(5 分)某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送 给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有(  ) A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种 8.(5 分)曲线 y=e﹣2x+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角 形的面积为(  ) A. 9.(5 分)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x), =(  ) B. C. D.1 则第 1 页(共 23 页) A.﹣ B.﹣ C. D. 10.(5 分)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x﹣4 与 C 交于 A,B 两 点,则 cos∠AFB=(  ) A. B. C. D. 11.(5 分)已知平面 α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 α 成 60°二面角的平面 β 截该球面得圆 N,若该球的半径为 4,圆 M 的面积为 4π,则圆 N 的面积为(   )A.7π B.9π C.11π D.13π 12.(5 分)设向量 , , 满足| |=| |=1, ,则| |的最大值等于(  ) =﹣ ,< ﹣ , ﹣ >=60° A.2 B. C. D.1  二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.( 注意:在试题卷上作答无效) 13.(5 分) 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为   .  . 14.(5 分)已知 α∈( ,π),sinα= ,则 tan2α=  15.(5 分)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: 的左、右焦点,点 A∈C, 点 M 的坐标为(2,0),AM 为∠F1AF2 的平分线,则|AF2|=   . 16.(5 分)已知 E、F 分别在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 BB1、CC1 上,且 B1E=2EB ,CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于   .  三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.(10 分)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 A﹣C= ,a+c= b,求 C. 第 2 页(共 23 页) 18.(12 分)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙 种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 100 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求 X 的 期望. 19.(12 分)如图,四棱锥 S﹣ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等边三 角形,AB=BC=2,CD=SD=1. (Ⅰ)证明:SD⊥平面 SAB; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小. 20.(12 分)设数列{an}满足 a1=0 且 (Ⅰ)求{an}的通项公式; .(Ⅱ)设 ,记 ,证明:Sn<1. 第 3 页(共 23 页) 21.(12 分)已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C: 在 y 轴正半轴上的焦 点,过 F 且斜率为﹣ 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足 .(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上. 22.(12 分)(Ⅰ)设函数 ,证明:当 x>0 时,f(x)>0. (Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方 式连续抽取 20 次,设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p,证明: . 第 4 页(共 23 页) 2011 年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版) 参考答案与试题解析  一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.(5 分)复数 z=1+i, 为z 的共轭复数,则 z• ﹣z﹣1=(  ) A.﹣2i B.﹣i C.i D.2i 【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】求出复数 z 的共轭复数,代入表达式,求解即可. 【解答】解: =1﹣i,所以 故选:B. =(1+i)(1﹣i)﹣1﹣i﹣1=﹣i 【点评】本题是基础题,考查复数代数形式的混合运算,考查计算能力,常考题 型.  2.(5 分)函数 y= (x≥0)的反函数为(  ) A.y= (x∈R) B.y= (x≥0) C.y=4×2(x∈R) D.y=4×2(x≥0) 【考点】4R:反函数.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】由原函数的解析式解出自变量 x 的解析式,再把 x 和 y 交换位置,注明 反函数的定义域(即原函数的值域). 【解答】解:∵y= ∴x= ,y≥0, (x≥0), 故反函数为 y= (x≥0). 第 5 页(共 23 页) 故选:B. 【点评】本题考查函数与反函数的定义,求反函数的方法和步骤,注意反函数的 定义域是原函数的值域.  3.(5 分)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是(  ) A.a>b+1 B.a>b﹣1 C.a2>b2 D.a3>b3 【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.菁优网版权所有 【专题】5L:简易逻辑. 【分析】利用不等式的性质得到 a>b+1⇒a>b;反之,通过举反例判断出 a>b 推不出 a>b+1;利用条件的定义判断出选项. 【解答】解:a>b+1⇒a>b; 反之,例如 a=2,b=1 满足 a>b,但 a=b+1 即 a>b 推不出 a>b+1, 故 a>b+1 是 a>b 成立的充分而不必要的条件. 故选:A. 【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法 . 4.(5 分)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2﹣Sk=24, 则 k=(  ) A.8 B.7 C.6 D.5 【考点】85:等差数列的前 n 项和.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】先由等差数列前 n 项和公式求得 Sk+2,Sk,将 Sk+2﹣Sk=24 转化为关于 k 的方程求解. 【解答】解:根据题意: Sk+2=(k+2)2,Sk=k2 第 6 页(共 23 页) ∴Sk+2﹣Sk=24 转化为: (k+2)2﹣k2=24 ∴k=5 故选:D. 【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及其应用,同时还考查了方程思 想,属中档题.  5.(5 分)设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单 位长度后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于(  ) A. B.3 C.6 D.9 【考点】HK:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.菁优网版权所有 【专题】56:三角函数的求值. 【分析】函数图象平移 个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明函数 平移整数个周期,容易得到结果. 【解答】解:f(x)的周期 T= ,函数图象平移 个单位长度后,所得的图 象与原图象重合,说明函数平移整数个周期,所以 ,k∈Z.令 k=1, 可得 ω=6. 故选:C. 【点评】本题是基础题,考查三角函数的图象的平移,三角函数的周期定义的理 解,考查技术能力,常考题型.  6.(5 分)已知直二面角 α﹣l﹣β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,B∈β,BD⊥l,D 为垂足,若 AB=2,AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于(  ) A. B. C. D.1 第 7 页(共 23 页) 【考点】MK:点、线、面间的距离计算.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;13:作图题;35:转化思想. 【分析】画出图形,由题意通过等体积法,求出三棱锥的体积,然后求出 D 到 平面 ABC 的距离. 【解答】解:由题意画出图形如图: 直二面角 α﹣l﹣β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,B∈β,BD⊥l,D 为垂足, 若 AB=2,AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离转化为三棱锥 D﹣ABC 的高为 h, 所以 AD= ,CD= ,BC= 由 VB﹣ACD=VD﹣ABC 可知 所以,h= 故选 C. 【点评】本题是基础题,考查点到平面的距离,考查转化思想的应用,等体积法 是求解点到平面距离的基本方法之一,考查计算能力.  7.(5 分)某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送 给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有(  ) A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种 【考点】D3:计数原理的应用.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】本题是一个分类计数问题,一是 3 本集邮册一本画册,让一个人拿一本 2画册有 4 种,另一种情况是 2 本画册 2 本集邮册,只要选两个人拿画册 C4 种 ,根据分类计数原理得到结果. 【解答】解:由题意知本题是一个分类计数问题, 第 8 页(共 23 页) 一是 3 本集邮册一本画册,从 4 位朋友选一个有 4 种, 2另一种情况是 2 本画册 2 本集邮册,只要选两个人拿画册 C4 =6 种, 根据分类计数原理知共 10 种, 故选:B. 【点评】本题考查分类计数问题,是一个基础题,这种题目可以出现在选择或填 空中,也可以出现在解答题目的一部分中.  8.(5 分)曲线 y=e﹣2x+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角 形的面积为(  ) A. B. C. D.1 【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x=0 处的导数,从而求出切线的 斜率,再用点斜式写出切线方程,化成一般式,然后求出与 y 轴和直线 y=x 的交点,根据三角形的面积公式求出所求即可. 【解答】解:∵y=e﹣2x+1∴y’=(﹣2)e﹣2x ∴y’|x=0=(﹣2)e﹣2x |x=0=﹣2 ∴曲线 y=e﹣2x+1 在点(0,2)处的切线方程为 y﹣2=﹣2(x﹣0)即 2x+y﹣2=0 令 y=0 解得 x=1,令 y=x 解得 x=y= ∴切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 ×1× = 故选:A. 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及两直线垂直的 应用等有关问题,属于基础题.  9.(5 分)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x), 第 9 页(共 23 页) 则=(  ) B.﹣ A.﹣ C. D. 【考点】3I:奇函数、偶函数;3Q:函数的周期性.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】由题意得 =f(﹣ )=﹣f( ),代入已知条件进行运算. 【解答】解:∵f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) ,∴=f(﹣ )=﹣f( )=﹣2× (1﹣ )=﹣ , 故选:A. 【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,以及求函数的值.  10.(5 分)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x﹣4 与 C 交于 A,B 两 点,则 cos∠AFB=(  ) A. B. C. D. 【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】根据已知中抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x﹣4 与 C 交于 A,B 两点,我们可求出点 A,B,F 的坐标,进而求出向量 ,的坐标,进而利 用求向量夹角余弦值的方法,即可得到答案. 【解答】解:∵抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F, ∴F 点的坐标为(1,0) 又∵直线 y=2x﹣4 与 C 交于 A,B 两点, 则 A,B 两点坐标分别为(1,﹣2)(4,4), 则=(0,﹣2), =(3,4), 第 10 页(共 23 页) 则 cos∠AFB= 故选:D. ==﹣ , 【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系,其中构造向量然后利用向 量法处理是解答本题的重要技巧.  11.(5 分)已知平面 α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 α 成 60°二面角的平面 β 截该球面得圆 N,若该球的半径为 4,圆 M 的面积为 4π,则圆 N 的面积为(   )A.7π B.9π C.11π D.13π 【考点】MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】先求出圆 M 的半径,然后根据勾股定理求出求出 OM 的长,找出二面 角的平面角,从而求出 ON 的长,最后利用垂径定理即可求出圆 N 的半径, 从而求出面积. 【解答】解:∵圆 M 的面积为 4π ∴圆 M 的半径为 2 根据勾股定理可知 OM= ∵过圆心 M 且与 α 成 60°二面角的平面 β 截该球面得圆 N ∴∠OMN=30°,在直角三角形 OMN 中,ON= ∴圆 N 的半径为 则圆的面积为 13π 故选:D. 【点评】本题主要考查了二面角的平面角,以及解三角形知识,同时考查空间想 象能力,分析问题解决问题的能力,属于基础题. 第 11 页(共 23 页)  12.(5 分)设向量 , , 满足| |=| |=1, =﹣ ,< ﹣ , ﹣ >=60° ,则| |的最大值等于(  ) A.2 B. C. D.1 【考点】9P:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】利用向量的数量积求出 的夹角;利用向量的运算法则作出图;结 合图,判断出四点共圆;利用正弦定理求出外接圆的直径,求出 最大值. 【解答】解:∵ ,∴的夹角为 120°, 设,则;=如图所示 则∠AOB=120°;∠ACB=60° ∴∠AOB+∠ACB=180° ∴A,O,B,C 四点共圆 ∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径 2R= 当 OC 为直径时,模最大,最大为 2 故选:A. 第 12 页(共 23 页) 【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、 三角形的正弦定理.  二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.( 注意:在试题卷上作答无效) 13.(5 分) 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为 0 . 【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项,令 x 的指数分别取 1,9 求出 x 的系数与 x9 的系数;求出值. 【解答】解:展开式的通项为 令得 r=2;令 得 r=18 218 ∴x 的系数与 x9 的系数 C20 ,C20 2∴x 的系数与 x9 的系数之差为 C20 ﹣C2018=0 故答案为:0 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.  14.(5 分)已知 α∈( ,π),sinα= ,则 tan2α= ﹣  . 【考点】GG:同角三角函数间的基本关系;GS:二倍角的三角函数.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】利用题目提供的 α 的范围和正弦值,可求得余弦值从而求得正切值,然 后利用二倍角的正切求得 tan2α. 【解答】解:由 α∈( ,π),sinα= ,得 cosα=﹣ ∴tan2α= =﹣ ,tanα= =第 13 页(共 23 页) 故答案为:﹣ 【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系,是个基础题.  15.(5 分)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: 的左、右焦点,点 A∈C, 点 M 的坐标为(2,0),AM 为∠F1AF2 的平分线,则|AF2|= 6 . 【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有 【专题】16:压轴题. 【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值;利用内角平分线定理得到两条 焦半径的关系,再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系,联立求 出焦半径. 【解答】解: 不妨设 A 在双曲线的右支上 ∵AM 为∠F1AF2 的平分线 ∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6 解得|AF2|=6 故答案为 6 【点评】本题考查内角平分线定理;考查双曲线的定义:解有关焦半径问题常用 双曲线的定义.  16.(5 分)已知 E、F 分别在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 BB1、CC1 上,且 B1E=2EB ,CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 . 【考点】MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题;31:数形结合. 第 14 页(共 23 页) 【分析】由题意画出正方体的图形,延长 CB、FE 交点为 S 连接 AS,过 B 作 BP⊥ AS 连接 PE,所以面 AEF 与面 ABC 所成的二面角就是:∠BPE,求出 BP 与正 方体的棱长的关系,然后求出面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值. 【解答】解:由题意画出图形如图: 因为 E、F 分别在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 BB1、CC1 上,且 B1E=2EB,CF=2FC1 ,延长 CB、FE 交点为 S 连接 AS,过 B 作 BP⊥AS 连接 PE,所以面 AEF 与面 ABC 所 成的二面角就是∠BPE,因为 B1E=2EB,CF=2FC1, 所以 BE:CF=1:2 所以 SB:SC=1:2, 设正方体的棱长为:a,所以 AS= a,BP= ,BE= ,在 RT△PBE 中,tan∠EPB= ==,故答案为: 【点评】本题是基础题,考查二面角的平面角的正切值的求法,解题的关键是能 够作出二面角的棱,作出二面角的平面角,考查计算能力,逻辑推理能力.  三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.(10 分)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 A﹣C= ,a+c= b,求 C. 第 15 页(共 23 页) 【考点】HU:解三角形.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】由 A﹣C 等于 得到A 为钝角,根据诱导公式可知 sinA 与 cosC 相等, 然后利用正弦定理把 a+c= b化简后,把 sinA 换为 cosC,利用特殊角的三角 函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数,给方程的两 边都除以 后,根据C 和 B 的范围,得到 C+ =B 或 C+ +B=π,根据 A 为 钝角,所以 C+ +B=π 不成立舍去,然后根据三角形的内角和为 π,列出关于 C 的方程,求出方程的解即可得到 C 的度数. 【解答】解:由 A﹣C= ,得到 A 为钝角且 sinA=cosC, 利用正弦定理,a+c= b可变为:sinA+sinC= sinB, 即有 sinA+sinC=cosC+sinC= sin(C+ )= sinB, 又 A,B,C 是△ABC 的内角, 故 C+ =B 或 C+ +B=π(舍去), 所以 A+B+C=(C+ )+(C+ )+C=π, 解得 C= .【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正 弦函数公式化简求值,是一道中档题.学生做题时应注意三角形的内角和定 理及角度范围的运用.  18.(12 分)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙 种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 100 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求 X 的 期望. 【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式;CH:离散型随机 变量的期望与方差.菁优网版权所有 第 16 页(共 23 页) 【专题】11:计算题. 【分析】(Ⅰ)首先求出购买乙种保险的概率,再由独立事件和对立事件的概率 求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率,然后求该车主至少购买甲、乙 两种保险中的 1 种的概率即可. (Ⅱ)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等,故为独立重复试验,X 服从二项分布,由二项分布的知识求概率即可. 【解答】解:(Ⅰ)设该车主购买乙种保险的概率为 P,则 P(1﹣0.5)=0.3, 故 P=0.6, 该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(1﹣0.5)(1﹣0.6)=0.2, 由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率 1﹣0.2=0.8 (Ⅱ)甲、乙两种保险都不购买的概率为 0.2,X~B(100,0.2) 所以 EX=100×0.2=20 【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望等 知识,考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力.  19.(12 分)如图,四棱锥 S﹣ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等边三 角形,AB=BC=2,CD=SD=1. (Ⅰ)证明:SD⊥平面 SAB; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小. 【考点】LW:直线与平面垂直;MI:直线与平面所成的角.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;14:证明题. 【分析】(1)利用线面垂直的判定定理,即证明 SD 垂直于面 SAB 中两条相交 的直线 SA,SB;在证明 SD 与 SA,SB 的过程中运用勾股定理即可 第 17 页(共 23 页) ( Ⅱ ) 求AB 与 平 面SBC 所 成 的 角 的 大 小 即 利 用 平 面SBC 的 法 向 量 ,当 为锐角时,所求的角即为它的 余角;当 为钝角时,所求的角为 【解答】(Ⅰ)证明:在直角梯形 ABCD 中, ∵AB∥CD,BC⊥CD,AB=BC=2,CD=1 ∴AD= =∵侧面 SAB 为等边三角形,AB=2 ∴SA=2 ∵SD=1 ∴AD2=SA2+SD2 ∴SD⊥SA 同理:SD⊥SB ∵SA∩SB=S,SA,SB⊂面 SAB ∴SD⊥平面 SAB (Ⅱ)建立如图所示的空间坐标系 则 A(2,﹣1,0),B(2,1,0),C(0,1,0), 作出 S 在底面上的投影 M,则由四棱锥 S﹣ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等边三角形知,M 点一定在 x 轴上,又 AB=BC=2,CD=SD=1.可解得 MD= ,从而解得 SM= ,故可得 S( ,0, )则设平面 SBC 的一个法向量为 则,即第 18 页(共 23 页) 取 x=0,y= ,z=1 即平面 SBC 的一个法向量为 =(0, ,1) 又=(0,2,0) cos< ,>= ==∴< ,>=arccos 即 AB 与平面 SBC 所成的角的大小为 arcsin 【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角以及空间向量 的基本知识,属于中档题.  20.(12 分)设数列{an}满足 a1=0 且 (Ⅰ)求{an}的通项公式; .(Ⅱ)设 ,记 ,证明:Sn<1. 【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式;8K:数列与不等式的综合.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】(Ⅰ)由 是公差为 1 的等差数列,知 ,由此能求出{an}的通项公式. (Ⅱ)由 ==,能够证明 Sn<1. 第 19 页(共 23 页) 【解答】解:(Ⅰ) 是公差为 1 的等差数列, ,∴(n∈N*). (Ⅱ) ==,∴=1﹣ <1. 【点评】本题考查数列的性质和应用,解题时要注意裂项求和法的合理运用.  21.(12 分)已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C: 在 y 轴正半轴上的焦 点,过 F 且斜率为﹣ 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足 .(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上. 【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角;KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有 【专题】15:综合题;16:压轴题;35:转化思想. 【分析】(1)要证明点 P 在 C 上,即证明 P 点的坐标满足椭圆 C 的方程 ,根据已知中过 F 且斜率为﹣ 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足 ,我们求出点 P 的坐标,代入验证即可. (2)若 A、P、B、Q 四点在同一圆上,则我们可以先求出任意三点确定的圆的 方程,然后将第四点坐标代入验证即可. 第 20 页(共 23 页) 【解答】证明:(Ⅰ)设 A(x1,y1),B(x2,y2) 椭圆 C: ①,则直线AB 的方程为:y=﹣ x+1 ② 联立方程可得 4×2﹣2 x﹣1=0, 则 x1+x2= ,x1×x2=﹣ 则 y1+y2=﹣ (x1+x2)+2=1 设 P(p1,p2), 则有: =(x1,y1), =(x2,y2), =(p1,p2); ∴+=(x1+x2,y1+y2)=( ,1); =(p1,p2)=﹣( +)=(﹣ ,﹣1) ∴p 的坐标为(﹣ ,﹣1)代入①方程成立,所以点 P 在 C 上. (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上. 设线段 AB 的中点坐标为( ),即(, ), ,则过线段 AB 的中点且垂直于 AB 的直线方程为:y﹣ = (x﹣ ),即 y= x+ ;③ ∵P 关于点 O 的对称点为 Q,故 0(0.0)为线段 PQ 的中点, 则过线段 PQ 的中点且垂直于 PQ 的直线方程为:y=﹣ x④; ③④联立方程组,解之得:x=﹣ ,y= ③④的交点就是圆心 O1(﹣ , ), r2=|O1P|2=(﹣ ﹣(﹣ ))2+(﹣1﹣ )2= 故过 P Q 两点圆的方程为:(x+ )2+(y﹣ )2= …⑤, 把 y=﹣ x+1 …②代入⑤, 第 21 页(共 23 页) 有 x1+x2= ,y1+y2=1 ∴A,B 也是在圆⑤上的. ∴A、P、B、Q 四点在同一圆上. 【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系,向量在几何中的应用,其 中判断点与曲线关系时,所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键.  22.(12 分)(Ⅰ)设函数 ,证明:当 x>0 时,f(x)>0. (Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方 式连续抽取 20 次,设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p,证明: .【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有 【专题】14:证明题;16:压轴题. 【分析】(Ⅰ)欲证明当 x>0 时,f(x)>0,由于 f(0)=0 利用函数的单调性 ,只须证明 f(x)在[0,+∞)上是单调增函数即可.先对函数进行求导,根 据导函数大于 0 时原函数单调递减即可得到答案. (Ⅱ)先计算概率 P= ×98×…×81<(90) ,最后证明 >2,即证 ln ,再证明 <<,即证明 99 <e﹣2,即证 >e2,即证 19ln 19 ,而这个结论由(1)所得结论可得 【解答】(Ⅰ)证明:∵f′(x)= ,∴当 x>﹣1,时 f′(x)≥0, ∴f(x)在(﹣1,+∞)上是单调增函数, ∴当 x>0 时,f(x)>f(0)=0. 即当 x>0 时,f(x)>0. (Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,连续抽取 第 22 页(共 23 页) 20 次,则抽得的 20 个号码互不相同的概率为 P= ,要证 P< <.先证:P= <,即证 <即证 99×98×…×81<(90)19 而 99×81=(90+9)×(90﹣9)=902﹣92<902 98×82=(90+8)×(90﹣8)=902﹣82<902… 91×89=(90+1)×(90﹣1)=902﹣12<902 ∴99×98×…×81<(90)19 即 P< 再证: <e﹣2,即证 >e2,即证 19ln >2,即证 ln ,当 x>0 时,f(x)>0. >由(Ⅰ)f(x)=ln(1+x)﹣ 令 x= ,则 ln(1+ )﹣ =ln(1+ )﹣ >0,即 ln >综上有:P< <【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等,考查 运算求解能力,函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识.通过 运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问 题的能力. 第 23 页(共 23 页)

分享到 :
相关推荐

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用 * 标注