2016年山东省高考数学试卷(理科)word版试卷及解析下载

第 1 页 共 21 页 2016 年山东省高考数学试卷（理科） 　一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个选项，只有一个 选项符合题目要求. 1．（5 分）（2016•山东）若复数 z 满足 2z+ =3﹣2i，其中 i 为虚数单位，则 z=（　　） A．1+2i B．1﹣2iC．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．（5 分）（2016•山东）设集合 A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则 A∪B=（　　） A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞） 3．（5 分）（2016•山东）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成 了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20 ），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这 200 名学生中每 周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（　　） A．56 B．60 C．120 D．140 4．（5 分）（2016•山东）若变量 x，y 满足 ，则 x2+y2 的最大值是（　　） A．4 B．9 C．10 D．12 5．（5 分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几 何体的体积为（　　） 第 1 页（共 21 页） 第 2 页 共 21 页 A． + π B． + πC． + πD．1+ π6．（5 分）（2016•山东）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内．则“直线 a 和直 线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（5 分）（2016•山东）函数 f（x）=（ sinx+cosx）（ cosx﹣sinx）的最小正周期是 （　　） A． B．π C． D．2π 8．（5 分）（2016•山东）已知非零向量 ， 满足4| |=3| |，cos＜ ， ＞= ．若 ⊥（ t + ），则实数 t 的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D．﹣ 9．（5 分）（2016•山东）已知函数 f（x）的定义域为 R．当 x＜0 时，f（x）=x3﹣1；当 ﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x）；当 x＞ 时，f（x+ ）=f（x﹣ ）．则 f（6）=（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 10．（5 分）（2016•山东）若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点 处的切线互相垂直，则称 y=f（x）具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质的是（　　） A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3 　二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11．（5 分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入的 a，b 的值分别为 0 和 9，则输 出的 i 的值为　　　　　　． 12．（5 分）（2016•山东）若（ax2+ ）5 的展开式中 x5 的系数是﹣80，则实数 a=　　　　　　 ．第 2 页（共 21 页） 第 3 页 共 21 页 13．（5 分）（2016•山东）已知双曲线 E： ﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形 ABCD 的 四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是　　　　　　 ．14．（5 分）（2016•山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆（x﹣5 ）2+y2=9 相交”发生的概率为　　　　　　． 15．（5 分）（2016•山东）已知函数 f（x）= ，其中 m＞0，若存在 实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是　　　　　　． 　三、解答题,：本大题共 6 小题，共 75 分. 16．（12 分）（2016•山东）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2（tanA+tanB ）= +．（Ⅰ）证明：a+b=2c； （Ⅱ）求 cosC 的最小值． 17．（12 分）（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面 圆 O′的直径，FB 是圆台的一条母线． （I）已知 G，H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH∥平面 ABC； （Ⅱ）已知 EF=FB= AC=2，AB=BC，求二面角 F﹣BC﹣A 的余弦值． 18．（12 分）（2016•山东）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且 an=bn+bn+1 ．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）令 cn= ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn． 19．（12 分）（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各 猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则 “星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮 猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队” 参加两轮活动，求： （I）“星队”至少猜对 3 个成语的概率； （II）“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX． 第 3 页（共 21 页） 第 4 页 共 21 页 20．（13 分）（2016•山东）已知 f（x）=a（x﹣lnx）+ （I）讨论 f（x）的单调性； ，a∈R． （II）当 a=1 时，证明 f（x）＞f′（x）+ 对于任意的 x∈[1，2]成立． 21．（14 分）（2016•山东）平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： +=1（a＞b＞0）的离 心率是 ，抛物线E：x2=2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点． （I）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点 A， B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M． （i）求证：点 M 在定直线上； （ii）直线 l 与 y 轴交于点 G，记△PFG 的面积为 S1，△PDM 的面积为 S2，求 的最大值及 取得最大值时点 P 的坐标． 　第 4 页（共 21 页） 第 5 页 共 21 页 2016 年山东省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个选项，只有一个 选项符合题目要求. 1．（5 分）（2016•山东）若复数 z 满足 2z+ =3﹣2i，其中 i 为虚数单位，则 z=（　　） A．1+2i B．1﹣2iC．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数． 【分析】设出复数 z，通过复数方程求解即可． 【解答】解：复数 z 满足 2z+ =3﹣2i， 设 z=a+bi， 可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i． 解得 a=1，b=﹣2． z=1﹣2i． 故选：B． 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力． 　2．（5 分）（2016•山东）设集合 A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则 A∪B=（　　） A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞） 【考点】并集及其运算．菁优网版权所有 【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合． 【分析】求解指数函数的值域化简 A，求解一元二次不等式化简 B，再由并集运算得答案． 【解答】解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞）， B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1）， ∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）． 故选：C． 【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是 基础题． 　3．（5 分）（2016•山东）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成 了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20 ），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这 200 名学生中每 周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（　　） 第 5 页（共 21 页） 第 6 页 共 21 页 A．56 B．60 C．120 D．140 【考点】频率分布直方图．菁优网版权所有 【专题】计算题；图表型；概率与统计． 【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于 22.5 小时的频率，进而 可得自习时间不少于 22.5 小时的频数． 【解答】解：自习时间不少于 22.5 小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7， 故自习时间不少于 22.5 小时的频率为：0.7×200=140， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目． 　4．（5 分）（2016•山东）若变量 x，y 满足 ，则 x2+y2 的最大值是（　　） A．4 B．9 C．10 D．12 【考点】简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式． 【分析】由约束条件作出可行域，然后结合 x2+y2 的几何意义，即可行域内的动点与原点距 离的平方求得 x2+y2 的最大值． 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， ∵A（0，﹣3），C（0，2）， ∴|OA|＞|OC|， 第 6 页（共 21 页） 第 7 页 共 21 页 联立 ，解得 B（3，﹣1）． ∵，∴x2+y2 的最大值是 10． 故选：C． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法， 是中档题． 　5．（5 分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几 何体的体积为（　　） A． + π B． + πC． + πD．1+ π【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得 答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线， 由棱锥的底底面棱长为 1，可得 2R= ．故 R= ，故半球的体积为： =π， 棱锥的底面面积为：1，高为 1， 故棱锥的体积 V= ， 故组合体的体积为： + π， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体 的形状是解答的关键． 第 7 页（共 21 页） 第 8 页 共 21 页 　6．（5 分）（2016•山东）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内．则“直线 a 和直 线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 【专题】探究型；空间位置关系与距离；简易逻辑． 【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可 得答案． 【解答】解：当“直线 a 和直线 b 相交”时，“平面 α 和平面 β 相交”成立， 当“平面 α 和平面 β 相交”时，“直线 a 和直线 b 相交”不一定成立， 故“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础 题． 　7．（5 分）（2016•山东）函数 f（x）=（ sinx+cosx）（ cosx﹣sinx）的最小正周期是 （　　） A． B．π C． D．2π 【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有 【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的图像与性质． 【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期． 【解答】解：数 f（x）=（ sinx+cosx）（ cosx﹣sinx）=2sin（x+ ）•2cos（x+ =2sin（2x+ ）， ）∴T=π， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档． 　8．（5 分）（2016•山东）已知非零向量 ， 满足4| |=3| |，cos＜ ， ＞= ．若 ⊥（ t + ），则实数 t 的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D．﹣ 【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用． 【分析】若 ⊥（t + ），则 •（t + ）=0，进而可得实数 t 的值． 【解答】解：∵4| |=3| |，cos＜ ， ＞= ， ⊥（t + ）， 第 8 页（共 21 页） 第 9 页 共 21 页 ∴ •（t + ）=t • + 2=t| |•| |• +| |2=（ ）| |2=0， 解得：t=﹣4， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属 于基础题． 　9．（5 分）（2016•山东）已知函数 f（x）的定义域为 R．当 x＜0 时，f（x）=x3﹣1；当 ﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x）；当 x＞ 时，f（x+ ）=f（x﹣ ）．则 f（6）=（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 【考点】抽象函数及其应用．菁优网版权所有 【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】求得函数的周期为 1，再利用当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x），得到 f（1）=﹣f （﹣1），当 x＜0 时，f（x）=x3﹣1，得到 f（﹣1）=﹣2，即可得出结论． 【解答】解：∵当 x＞ 时，f（x+ ）=f（x﹣ ）， ∴当 x＞ 时，f（x+1）=f（x），即周期为 1． ∴f（6）=f（1）， ∵当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（1）=﹣f（﹣1）， ∵当 x＜0 时，f（x）=x3﹣1， ∴f（﹣1）=﹣2， ∴f（1）=﹣f（﹣1）=2， ∴f（6）=2． 故选：D． 【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题． 　10．（5 分）（2016•山东）若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点 处的切线互相垂直，则称 y=f（x）具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质的是（　　） A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；导数的概念及应用． 【分析】若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数 y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案． 【解答】解：函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂 直， 则函数 y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当 y=sinx 时，y′=cosx，满足条件； 当 y=lnx 时，y′= ＞0 恒成立，不满足条件； 当 y=ex 时，y′=ex＞0 恒成立，不满足条件； 当 y=x3 时，y′=3×2＞0 恒成立，不满足条件； 第 9 页（共 21 页） 第 10 页 共 21 页 故选：A 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档． 　二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11．（5 分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入的 a，b 的值分别为 0 和 9，则输 出的 i 的值为　3　． 【考点】程序框图．菁优网版权所有 【专题】计算题；操作型；算法和程序框图． 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值， 模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：∵输入的 a，b 的值分别为 0 和 9，i=1． 第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件 a＜b，故 i=2； 第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件 a＜b，故 i=3； 第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件 a＜b， 故输出的 i 值为：3， 故答案为：3 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程 序法进行解答． 　512．（5 分）（2016•山东）若（ax2+ ） 的展开式中 x5 的系数是﹣80，则实数 a=　﹣2　． 【考点】二项式系数的性质．菁优网版权所有 【专题】二项式定理． 【分析】利用二项展开式的通项公式 Tr+1 =（ax2）5﹣r ，化简可得求的 x5 的系 数． 【解答】解：（ax2+ ）5 的展开式的通项公式 Tr+1 =（ax2）5﹣r =a5﹣r ，第 10 页（共 21 页） 第 11 页 共 21 页 令 10﹣ =5，解得 r=2． ∵（ax2+ ）5 的展开式中 x5 的系数是﹣80 a3=﹣80， ∴得 a=﹣2． 【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型． 　13．（5 分）（2016•山东）已知双曲线 E： ﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形 ABCD 的 四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是　2　． 【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有 【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】可令 x=c，代入双曲线的方程，求得 y=± ，再由题意设出 A，B，C，D 的坐标， 由 2|AB|=3|BC|，可得 a，b，c 的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值． 【解答】解：令 x=c，代入双曲线的方程可得 y=±b =± ，由题意可设 A（﹣c， ），B（﹣c，﹣ ），C（c，﹣ ），D（c， ）， 由 2|AB|=3|BC|，可得 2• =3•2c，即为 2b2=3ac， 由 b2=c2﹣a2，e= ，可得 2e2﹣3e﹣2=0， 解得 e=2（负的舍去）． 故答案为：2． 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出 A，B，C，D 的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题． 　14．（5 分）（2016•山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆（x﹣5 ）2+y2=9 相交”发生的概率为　． 第 11 页（共 21 页） 第 12 页 共 21 页 【考点】几何概型．菁优网版权所有 【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计． 【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的 k，最后 根据几何概型的概率公式可求出所求． 【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9 的圆心为（5，0），半径为 3． 圆心到直线 y=kx 的距离为 ，要使直线 y=kx 与圆（x﹣5）2+y2=9 相交，则 ＜3，解得﹣ ＜k＜ ． ∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数 k，使直线 y=kx 与圆（x﹣5）2+y2=9 相交相交的概率为 = ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率 类型，同时考查了计算能力，属于基础题． 　15．（5 分）（2016•山东）已知函数 f（x）= ，其中 m＞0，若存在 实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是　（3，+∞）　． 【考点】根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有 【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用． 【分析】作出函数 f（x）= 的图象，依题意，可得 4m﹣m2＜m（m＞ 0），解之即可． 【解答】解：当 m＞0 时，函数 f（x）= 的图象如下： ∵x＞m 时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2， ∴y 要使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根， 必须 4m﹣m2＜m（m＞0）， 即 m2＞3m（m＞0）， 解得 m＞3， ∴m 的取值范围是（3，+∞）， 故答案为：（3，+∞）． 第 12 页（共 21 页） 第 13 页 共 21 页 【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到 4m﹣m2＜m 是难点，属于中档题． 　三、解答题,：本大题共 6 小题，共 75 分. 16．（12 分）（2016•山东）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2（tanA+tanB ）= +．（Ⅰ）证明：a+b=2c； （Ⅱ）求 cosC 的最小值． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有 【专题】计算题；证明题；综合法；解三角形． 【分析】（Ⅰ）由切化弦公式 ，带入 并整理可得 2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根 据两角和的正弦公式即可得到 sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出 a+b=2c； （Ⅱ）根据 a+b=2c，两边平方便可得出 a2+b2+2ab=4c2，从而得出 a2+b2=4c2﹣2ab，并由不 等式 a2+b2≥2ab 得出 c2≥ab，也就得到了 ，这样由余弦定理便可得出 ，从而得出 cosC 的范围，进而便可得出 cosC 的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：由 得： ；∴两边同乘以 cosAcosB 得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB； ∴2sin（A+B）=sinA+sinB； 即 sinA+sinB=2sinC（1）； 根据正弦定理， ；∴，带入（1）得： ；∴a+b=2c； 第 13 页（共 21 页） 第 14 页 共 21 页 （Ⅱ）a+b=2c； ∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2； ∴a2+b2=4c2﹣2ab，且 4c2≥4ab，当且仅当 a=b 时取等号； 又 a，b＞0； ∴；∴由余弦定理， =；∴cosC 的最小值为 ． 【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为 π，以及三角函数的诱导 公式，正余弦定理，不等式 a2+b2≥2ab 的应用，不等式的性质． 　17．（12 分）（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面 圆 O′的直径，FB 是圆台的一条母线． （I）已知 G，H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH∥平面 ABC； （Ⅱ）已知 EF=FB= AC=2，AB=BC，求二面角 F﹣BC﹣A 的余弦值． 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有 【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（Ⅰ）取 FC 中点 Q，连结 GQ、QH，推导出平面 GQH∥平面 ABC，由此能证明 GH∥ 平面 ABC． （Ⅱ）由 AB=BC，知 BO⊥AC，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OO′为 z 轴，建立 空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 F﹣BC﹣A 的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）取 FC 中点 Q，连结 GQ、QH， ∵G、H 为 EC、FB 的中点， ∴GQ ，QH∥ ，又∵EF BO，∴GQ BO， ∴平面 GQH∥平面 ABC， ∵GH⊂面 GQH，∴GH∥平面 ABC． 解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC， 又∵OO′⊥面 ABC， ∴以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OO′为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（ ，0，0），C（﹣2 ，0，0），B（0，2 ，0），O′（0，0，3），F（0， ，3）， 第 14 页（共 21 页） 第 15 页 共 21 页 =（﹣2 ，﹣ ，﹣3）， =（2 ，2 ，0）， 由题意可知面 ABC 的法向量为 =（0，0，3）， 设 =（x0，y0，z0）为面 FCB 的法向量， 则，即 ，取 x0=1，则 =（1，﹣1，﹣ ）， ∴cos＜ ∵二面角 F﹣BC﹣A 的平面角是锐角， ∴二面角 F﹣BC﹣A 的余弦值为 ， ＞= =﹣ ．．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真 审题，注意向量法的合理运用． 　18．（12 分）（2016•山东）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且 an=bn+bn+1 ．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）令 cn= ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn． 【考点】数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有 【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前 n 项和 Tn． 【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n， ∴n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5， n=1 时，a1=S1=11，∴an=6n+5； ∵an=bn+bn+1 ，∴an﹣1=bn﹣1+bn， 第 15 页（共 21 页） 第 16 页 共 21 页 ∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1 ∴2d=6， ．∴d=3， ∵a1=b1+b2， ∴11=2b1+3， ∴b1=4， ∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1； （Ⅱ）cn= ==6（n+1）•2n， ∴Tn=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①， ∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②， ①﹣②可得﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6× ﹣6（n+1） •2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2 ∴Tn=3n•2n+2 ，．【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查 分析与运算能力，属于中档题． 　19．（12 分）（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各 猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则 “星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮 猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队” 参加两轮活动，求： （I）“星队”至少猜对 3 个成语的概率； （II）“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型 随机变量及其分布列．菁优网版权所有 【专题】计算题；分类讨论；分类法；概率与统计． 【分析】（I）“星队”至少猜对 3 个成语包含“甲猜对 1 个，乙猜对 2 个”，“甲猜对 2 个，乙 猜对 1 个”，“甲猜对 2 个，乙猜对 2 个”三个基本事件，进而可得答案； （II）由已知可得：“星队”两轮得分之和为 X 可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到 X 的分 布列和数学期望． 【解答】解：（I）“星队”至少猜对 3 个成语包含“甲猜对 1 个，乙猜对 2 个”，“甲猜对 2 个， 乙猜对 1 个”，“甲猜对 2 个，乙猜对 2 个”三个基本事件， 故概率 P= ++= + + = ， 第 16 页（共 21 页） 第 17 页 共 21 页 （II）“星队”两轮得分之和为 X 可能为：0，1，2，3，4，6， 则 P（X=0）= P（X=1）=2×[ P（X=2）= =，+]= ，+++=，P（X=3）=2× P（X=4）=2×[ =，+]= P（X=6）= =故 X 的分布列如下图所示： XP012346∴数学期望 EX=0× +1× +2× +3× +4× +6× ==【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题． 　20．（13 分）（2016•山东）已知 f（x）=a（x﹣lnx）+ ，a∈R． （I）讨论 f（x）的单调性； （II）当 a=1 时，证明 f（x）＞f′（x）+ 对于任意的 x∈[1，2]成立． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用． 【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对 a 分类分析导函数的符号，由导函数的符号确 定原函数的单调性； （Ⅱ）构造函数 F（x）=f（x）﹣f′（x），令 g（x）=x﹣lnx，h（x）= ．则 F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），利用导数分别求 g（x）与 h（x）的最小值得 到 F（x）＞ 恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+ 对于任意的 x∈[1，2]成立． 【解答】（Ⅰ）解：由 f（x）=a（x﹣lnx）+ ，第 17 页（共 21 页） 第 18 页 共 21 页 得 f′（x）=a（1﹣ ）+ ==（x＞0）． 若 a≤0，则 ax2﹣2＜0 恒成立， ∴当 x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当 x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 当 a＞0，若 0＜a＜2，当 x∈（0，1）和（ ，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当 x∈（1， ）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 若 a=2，f′（x）≥0 恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数； 若 a＞2，当 x∈（0， ）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当 x∈（ ，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； （Ⅱ）解：∵a=1， 令 F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx ﹣1 =x﹣lnx+ ．令 g（x）=x﹣lnx，h（x）= ．则 F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）， 由，可得 g（x）≥g（1）=1，当且仅当 x=1 时取等号； 又，设 φ（x）=﹣3×2﹣2x+6，则 φ（x）在[1，2]上单调递减， 且 φ（1）=1，φ（2）=﹣10， ∴在[1，2]上存在 x0，使得 x∈（1，x0） 时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0， ∴函数 φ（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减， 由于 h（1）=1，h（2）= ，因此 h（x）≥h（2）= ，当且仅当 x=2 取等号， ∴f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）= ， ∴F（x）＞ 恒成立． 即 f（x）＞f′（x）+ 对于任意的 x∈[1，2]成立． 【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类 讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题． 　第 18 页（共 21 页） 第 19 页 共 21 页 21．（14 分）（2016•山东）平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： +=1（a＞b＞0）的离 心率是 ，抛物线E：x2=2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点． （I）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点 A， B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M． （i）求证：点 M 在定直线上； （ii）直线 l 与 y 轴交于点 G，记△PFG 的面积为 S1，△PDM 的面积为 S2，求 的最大值及 取得最大值时点 P 的坐标． 【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有 【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的 a，b，c 的关系， 解得 a，b，进而得到椭圆的方程； （Ⅱ）（i）设 P（x0，y0），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定 理，可得中点 D 的坐标，求得 OD 的方程，再令 x=x0，可得 y=﹣ ．进而得到定直线； （ii）由直线 l 的方程为 y=x0x﹣y0，令 x=0，可得 G（0，﹣y0），运用三角形的面积公式， 2可得 S1= |FG|•|x0|= x0•（ +y0），S2= |PM|•|x0﹣ |，化简整理，再 1+2×0 =t（t≥1 ），整理可得 t 的二次方程，进而得到最大值及此时 P 的坐标． 【解答】解：（I）由题意可得 e= =，抛物线 E：x2=2y 的焦点 F 为（0， ）， 即有 b= ，a2﹣c2= ， 解得 a=1，c= ，可得椭圆的方程为 x2+4y2=1； 2（Ⅱ）（i）证明：设 P（x0，y0），可得 x0 =2y0， 由 y= x2 的导数为 y′=x，即有切线的斜率为 x0， 则切线的方程为 y﹣y0=x0（x﹣x0）， 可化为 y=x0x﹣y0，代入椭圆方程， 22可得（1+4×0 ）x2﹣8x0y0x+4y0 ﹣1=0， 第 19 页（共 21 页） 第 20 页 共 21 页 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得 x1+x2= ，即有中点 D（ ，﹣ ）， 直线 OD 的方程为 y=﹣ x，可令 x=x0，可得 y=﹣ ． 即有点 M 在定直线 y=﹣ 上； （ii）直线 l 的方程为 y=x0x﹣y0，令 x=0，可得 G（0，﹣y0）， 2则 S1= |FG|•|x0|= x0•（ +y0）= x0（1+x0 ）； S2= |PM|•|x0﹣ |= （y0+ ）• = x0• ，则=，2令 1+2×0 =t（t≥1），则 ====2+ ﹣ =﹣（ ﹣ ）2+ ， 则当 t=2，即 x0= 时， 取得最大值， 此时点 P 的坐标为（ ，）． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直 线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运 算能力，属于难题． 　第 20 页（共 21 页） 第 21 页 共 21 页 参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；sxs123；翔宇老师；546278733@qq.com；于东；双 曲线；wfy814；wkl197822；zlzhan（排名不分先后） 菁优网 2016 年 6 月 13 日 第 21 页（共 21 页）