2009年江苏高考数学试卷及答案下载

2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： nn11s2  (x  x)2,其中x  xin  n  i样本数据 x1, x2,, x i1 i1 n 的方差 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。 z1  4  29i, z2  6  9i (z1  z2 )i 的实部为______ ，其中i 是虚数单位，则复数 1.若复数 a 和 向 量b 的 夹 角 为 30 a 和 向 量b 的 数 量 积 | a | 2,| b | 3 ， 则 向 量 ，2. 已 知 向 量 ab __________ .f (x)  x3 15×2  33x  6的单调减区间为_____ y  Asin(x )(A,, 为 ，3.函数 y14. 函数常数A  0,  0) 在闭区间 [,0]上的图象如图所示，则 2 33O1x   _______ .5.现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6， 2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度 恰好相差 0.3m 的概率为________ .6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如 下表： 学生 甲班 乙班 1 号 62 号 73 号 74 号 85 号 767679则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2 ________ 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W  ________ .开始 .S  0 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比为 1： 4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为 1：2，则它们的体 T 1 积比为________ .9.在平面直角坐标系 xoy 中，点 P 在曲线C : y  x3 10x  3上， S  T 2  S T T  2 且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的 坐标为________. S 10 YN5 1 a  f (x)  ax m,n 满 足 ，若 实 数 W  S T 210. 已 知 ，函 数 f (m)  f (n) ，则 m,n 的大小关系为 _______ 输出W .A  x | logx  2 ， B  (,a) 结束 ，若 A  B则 211. 已知集合 (c,) 实数 a 的取值范围是 ，其中c  ________ . 内的两条直 12.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若 内的两条相交直线分别平行于  相交 线，则 平行于 ；（2）若 外一条直线l 与 内的一条直线平行，则l 和 平行；（3）设 和 于直线l ，若 内有一条直线垂直于l ，则 和 垂直；（4）直线l 与 垂直的充分必要条件是l 与 内 的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号________（写出所有真命题的序号）. 13．如图，在平面直角坐标系 xoy 中， A , A2,B ,B y112 为椭圆 Tx2 y2 B2 M1(a  b  0) a2 b2 的 四 个 顶 点 ，F 为 其 右 焦 点 ，直 线 A B B F 1相交于点 T，线段OT 12 与直线 恰为线 与椭圆的交点 M A1 OA2 x段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________. a  q 的 等 比 数 列 ， | q |1， 令 是 公 比 为 n14 ． 设 b53,23,19,37,82 中，则 6q  bn  an 1(n 1,2,) 若数列 有连续四项在集合 n________ 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。 设向量a  (4cos,sin),b  (sin ,4cos),c  (cos,4sin ) 15．（本小题满分 14 分） （1）若 a 与b  2c 垂直，求 求证： a ∥ b . tan(  ) 的值；（2）求| b  c |的最大值;（3）若 tan tan  16， 16．（本小题满分 14 分） ABC  A B C A B,AC 1 1 的中 1 中， E,F 分别是 11如图，在直三棱柱 B C A D  B C 1111 上， 点，点 D 在 平面A FD  平面BB C1C 平面ABC （2） 11求证：(1) EF ∥ a  Snn 项 和 ， 满 足 17 ．（ 本 小 题 满 分14 分 ） 设是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 ，n 为 其 前 a22  a32  a42  a52 ,S7  7   San的通项公式及前 n 项和 n ；（2）试求所有的正整数 m ， （1）求数列 amam1 am2 a  n使得 为数列 中的项. 18．（本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆C1 :(x  3)2  (y 1)2  4 和圆 C2 :(x  4)2  (y  5)2  4 A(4,0)，且被 y（1）若直线l 过点 .C1截得的弦长为 2 3 ，求直线l 的方程；（2）设 P 为平面上的 圆点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂的直线l1和l .2 ，它们分别 1与圆C1和圆 2 相交，且直线 1 被圆 1截得的弦长与直线 2 被圆 ClClO1xC2 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标. 19.(本小题满分 16 分) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a 元，如果他卖出该产品的单价为 m 元，则他的满 mn意度为 m  a ；如果他买进该产品的单价为 n 元，则他的满意度为 n  a .如果一个人对两种交易(卖出或 h h2 买进)的满意度分别为 h1 和 2 ，则他对这两种交易的综合满意度为 h1.现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 3 h元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为 mA 元和 B 元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 甲 ，乙卖出 A m与买进 B 的综合满意度为 h乙 3mA  mB 求 h h时，求证： h甲 h乙 = ； 甲 和 乙 关于 mA 、 m 5B 的表达式；当 3mA  mB ，当 mA 、 m 5设B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ B 的值，使得 h甲  h h乙  h 记(2)中最大的综合满意度为 0 ，试问能否适当选取 mA 、 m h0 和 0 同时成立， 但等号不同时成立？试说明理由。 3mA  mB 求 h h时，求证： h甲 h乙 = ； 甲 和 乙 关于 mA 、 m 5B 的表达式；当 3mA  mB ，当 mA 、 m 5设B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ B 的值，使得 h甲  h h乙  h 记(2)中最大的综合满意度为 h0 ，试问能否适当选取 mA 、 m 0 和 0 同时成立， 但等号不同时成立？试说明理由。 f (x)  2×2  (x  a) | x  a |.若 f (0) 1 20．(本小题满分 16 分)设 a 为实数，函数 ，求 a 的取值范 f (x) 的最小值；设函数 h(x)  f (x), x(a,)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式 围；求 h(x) 1的解集. 数学Ⅱ（附加题） n(n 1)(2n 1) 参考公式：12  22  32  n2  .621.[选做题]在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分。请在答题卡指定区域内作 答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A.选修 4 – 1：几何证明选讲 如图，在四边形 ABCD 中，△ABC≌△BAD. 求证：AB∥CD. [解析] 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查 满分 10 分。 推理论证能力。 证明：由△ABC≌△BAD 得∠ACB=∠BDA，故 A、B、C、D 四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC ≌△BAD 得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以 AB∥CD。 B. 选修 4 – 2：矩阵与变换 3 2 2 1 求矩阵 A  的逆矩阵. [解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分 10 分。 xy3 2 xy1 0 0 1     解：设矩阵 A 的逆矩阵为 ,则,z w 2 1z w   3x  2z 3y  2w 2x  z 2y  w 1 0 0 1 3x  2z 1, 3y  2w  0, 即,故2x  z  0, 2y  w 1, 解得： x  1, z  2, y  2, w  3 ，1 2从而 A 的逆矩阵为 A1  .23 C. 选修 4 – 4：坐标系与参数方程 1x  t  t已知曲线 C 的参数方程为 求曲线 C 的普通方程。 ,（t 为参数，t  0）. 1y  3(t  ) t[解析] 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分 10 分。 11y解：因为 x2  t  2,所以 x2  2  t   ,tt3故曲线 C 的普通方程为：3×2  y  6  0 .D. 选修 4 – 5：不等式选讲 设a≥b＞0,求证：3a3  2b3 ≥3a2b  2ab2 .[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分 10 分。 证明：3a3  2b3  (3a2b  2ab2 )  3a2 (a b)  2b2 (b  a)  (3a2  2b2 )(a b). 因为 a≥b＞0,所以 a b≥0，3a2  2b2 ＞0，从而 (3a2  2b2 )(a b)≥0， 3a3  2b3 3a2b  2ab2 即≥.[必做题]第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 22.（本题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 C 的顶点在原点，经过点 A（2，2），其焦点 轴上。 F 在 x（1）求抛物线 C 的标准方程； （2）求过点 F，且与直线 OA 垂直的直线的方程； （3）设过点 M (m,0)(m  0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点，ME=2DM，记 D 和 E 两点间的距离为 f (m)，求 f (m)关于 m 的表达式。 [解析] [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识， 运算求解能力。满分 10 分。 考 查 23. （本题满分 10 分） 对于正整数 ≥2，用 n 表示关于 nTx的一元二次方程 x2  2ax  b  0 有实数根的有序数组 (a,b)的组数， 其中 a,b 1,2,,n （a和b可以相等）；对于随机选取的 a,b 1,2,,n （ a 和b 可以相等），记 P n为关于 x的一元二次方程 x2  2ax  b  0 有实数根的概率。 （1）求 Tn2 和 P ； n2 1（2）求证：对任意正整数 n≥2，有 P 1 .nn[解析] [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分 10 分。 参考答案 1.【答案】 20 【解析】略 2.【答案】3 3ab  2 3   3 2【解析】 3.【答案】(1,11) 2f (x)  3x  30x  33  3(x 11)(x 1) ， 由 (x 11)(x 1)  0得 单 调 减 区 间 为 【 解 析 】 (1,11) 。 4.【答案】3 23T   T   3，所以  3， 【解析】 2 ，5.【答案】0.2 【解析】略 26.【答案】 5 【解析】略 7.【答案】22 【解析】略 8.【答案】1：8 【解析】略 9.【答案】(2,15) 【解析】略 10.【答案】 m  n 【解析】略 11.【答案】4 log2 x  2 A  (0,4] ；由 A  B 得0  x  4， 知 a  4 ，所以c  4。 【解析】由 12.【答案】（1）（2） y【解析】略 TB2 13.【答案】e  2 7 5 Ma,b,c 【解析】用 表示交点 T，得出 M 坐标，代入椭圆方程即可转 A1 OA2 x化解得离心率. 14.【答案】 9 【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减 1，观察即可得解. a (b  2c)  a b  2a c  0， 15.【解析】由 a 与b  2c 垂直， 即 4sin(  ) 8cos(  )  0， tan(  )  2 ； b  c  (sin   cos,4cos  4sin ) | b  c |2  sin2   2sin  cos  cos2   16cos2   32cos sin  16sin2  17  30sin  cos 17 15sin2 ，最大值为 32，所以| b  c | 的最大值为 4 2。 由 tan tan  16得sin sin  16cos cos ，即 4cos 4cos  sin sin   0， 所以 a ∥ b . A B,AC 16.【解析】证明：（1）因为 E,F 分别是 EF  面ABC， A D  B C 的中点，所以 EF // BC ，又 11平面ABC ； BC  面ABC ，所以 EF ∥ BB  面A B C1 ABC  A B C BB  A D ，又 111111111（2）因为直三棱柱 1 ，所以 ，，所以 A D  面BB C1C A D  面A FD 平面A FD  平面BB C1C 111111，又 ，所以 。C1 DB1 FEACa22  a52  a42  a32 17.（1）设公差为 d ，则 ，由性质得 B3d(a4  a3 )  d(a4  a3 ) ，因为 d  0，所【解析】以 76 27a1  d  7 a4  a3  0 ，即 2a1  5d  0，又由 S7  7得 ，解得 a1  5，   an  2n  7 Sn  n2  6n ，前 n 项和 。and  2所以 的通项公式为 amam1 ( 2m  7 )( 2m  5) amam1 (t  4 )(t  2 ) 8 t  6 am2 ( 2m  3) am2 t，令 2m  3  t ， t（2 ） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，8t  6  3 因为 t 是奇数，所以 可取的值为 tt 1， m  2 时， 1，当 t， 25  7  3，是数列 8t  6  15 aa    nn中的项；t  1， m 1时， t中的最小项是 5，不符合。 ，数列 所以满足条件的正整数 m  2 。 7y  (x  4) y  0或 24 18.【解析】(1) ，3 13 ( , ) 2 2 (2)P 在以 C1C2 的中垂线上，且与 C1、C2 等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点 P 坐标为 5 1 ( , ) 22。或mA mB mA mB h甲= ,h乙 = ,mA 12 mB  5 mA  3 mB  20 (mA [3,12],mB [5,20]) 19.【解析】(1) 3mA  mB 5当时， 33mB mB 22mB mB mB mB 55h甲= ,h乙 = ,3535mB  5 (mB  20)(mB  5) mB  20 (mB  5)(mB  20) mB 12 mB  3 h甲=h乙 显然 2mB 11h甲= ,20 5113(mB  20)(mB  5) (1 )(1 )100( )2  25 1 mA  mB mB mB mB mB 5(2)当 时， 1111 1 [ ,] 20 5 mB [5,20]得 mB 20 即 ，故当 mB  20,mA 12时，甲乙两人同时取到最大的综 mB 由10 5合满意度为 a  0 a2 1 a | a |1  a  1 f (a),a  0 f (0) 1，则 20.【解析】（1）若 22a ,a  0 2f (x)min a2a f ( ),a  0 ,a  0 f (x)  3×2  2ax  a2 , 时， 33x  a （2）当 2f (a),a  0 f (a),a  0 2a ,a  0 2a2 ,a  0 f (x)min f (x)  x2  2ax  a2 , 时， x  a 当22a ,a  0 2f (x)min 2a ,a  0 3综上   4a2 12(a2 1) 12 8a2 ，3×2  2ax  a2 1 0 x(a,)时， h(x) 1得 (3) 66a   或a    0, x(a,) 22时， 当；a  3 2a2 a  3 2a2 (x  )(x  )  0 3366 a  x  a   0, 22时， 当得2,6a( )x(a,) 221） 2） 3） 时， a  3 2a2 22x[ ,) a[ ,]223时， a  3 2a2 a  3 2a2 62x(a, ][ ,) a( , ]2233时，