2009 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ 参考公式: nn11s2 (x x)2,其中x xin n i样本数据 x1, x2,, x i1 i1 n 的方差 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 z1 4 29i, z2 6 9i (z1 z2 )i 的实部为______ ,其中i 是虚数单位,则复数 1.若复数 a 和 向 量b 的 夹 角 为 30 a 和 向 量b 的 数 量 积 | a | 2,| b | 3 , 则 向 量 ,2. 已 知 向 量 ab __________ .f (x) x3 15×2 33x 6的单调减区间为_____ y Asin(x )(A,, 为 ,3.函数 y14. 函数常数A 0, 0) 在闭区间 [,0]上的图象如图所示,则 2 33O1x _______ .5.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6, 2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度 恰好相差 0.3m 的概率为________ .6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次,投中的次数如 下表: 学生 甲班 乙班 1 号 62 号 73 号 74 号 85 号 767679则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2 ________ 7.右图是一个算法的流程图,最后输出的W ________ .开始 .S 0 8.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面积比为 1: 4,类似地,在空间,若两个正四面体的棱长的比为 1:2,则它们的体 T 1 积比为________ .9.在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线C : y x3 10x 3上, S T 2 S T T 2 且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的 坐标为________. S 10 YN5 1 a f (x) ax m,n 满 足 ,若 实 数 W S T 210. 已 知 ,函 数 f (m) f (n) ,则 m,n 的大小关系为 _______ 输出W .A x | logx 2 , B (,a) 结束 ,若 A B则 211. 已知集合 (c,) 实数 a 的取值范围是 ,其中c ________ . 内的两条直 12.设 和 为不重合的两个平面,给出下列命题:(1)若 内的两条相交直线分别平行于 相交 线,则 平行于 ;(2)若 外一条直线l 与 内的一条直线平行,则l 和 平行;(3)设 和 于直线l ,若 内有一条直线垂直于l ,则 和 垂直;(4)直线l 与 垂直的充分必要条件是l 与 内 的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号________(写出所有真命题的序号). 13.如图,在平面直角坐标系 xoy 中, A , A2,B ,B y112 为椭圆 Tx2 y2 B2 M1(a b 0) a2 b2 的 四 个 顶 点 ,F 为 其 右 焦 点 ,直 线 A B B F 1相交于点 T,线段OT 12 与直线 恰为线 与椭圆的交点 M A1 OA2 x段OT 的中点,则该椭圆的离心率为________. a q 的 等 比 数 列 , | q |1, 令 是 公 比 为 n14 . 设 b53,23,19,37,82 中,则 6q bn an 1(n 1,2,) 若数列 有连续四项在集合 n________ 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分。 设向量a (4cos,sin),b (sin ,4cos),c (cos,4sin ) 15.(本小题满分 14 分) (1)若 a 与b 2c 垂直,求 求证: a ∥ b . tan( ) 的值;(2)求| b c |的最大值;(3)若 tan tan 16, 16.(本小题满分 14 分) ABC A B C A B,AC 1 1 的中 1 中, E,F 分别是 11如图,在直三棱柱 B C A D B C 1111 上, 点,点 D 在 平面A FD 平面BB C1C 平面ABC (2) 11求证:(1) EF ∥ a Snn 项 和 , 满 足 17 .( 本 小 题 满 分14 分 ) 设是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 ,n 为 其 前 a22 a32 a42 a52 ,S7 7 San的通项公式及前 n 项和 n ;(2)试求所有的正整数 m , (1)求数列 amam1 am2 a n使得 为数列 中的项. 18.(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆C1 :(x 3)2 (y 1)2 4 和圆 C2 :(x 4)2 (y 5)2 4 A(4,0),且被 y(1)若直线l 过点 .C1截得的弦长为 2 3 ,求直线l 的方程;(2)设 P 为平面上的 圆点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂的直线l1和l .2 ,它们分别 1与圆C1和圆 2 相交,且直线 1 被圆 1截得的弦长与直线 2 被圆 ClClO1xC2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标. 19.(本小题满分 16 分) 按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为 a 元,如果他卖出该产品的单价为 m 元,则他的满 mn意度为 m a ;如果他买进该产品的单价为 n 元,则他的满意度为 n a .如果一个人对两种交易(卖出或 h h2 买进)的满意度分别为 h1 和 2 ,则他对这两种交易的综合满意度为 h1.现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元,乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 3 h元和 20 元,设产品 A、B 的单价分别为 mA 元和 B 元,甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 甲 ,乙卖出 A m与买进 B 的综合满意度为 h乙 3mA mB 求 h h时,求证: h甲 h乙 = ; 甲 和 乙 关于 mA 、 m 5B 的表达式;当 3mA mB ,当 mA 、 m 5设B 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少? B 的值,使得 h甲 h h乙 h 记(2)中最大的综合满意度为 0 ,试问能否适当选取 mA 、 m h0 和 0 同时成立, 但等号不同时成立?试说明理由。 3mA mB 求 h h时,求证: h甲 h乙 = ; 甲 和 乙 关于 mA 、 m 5B 的表达式;当 3mA mB ,当 mA 、 m 5设B 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少? B 的值,使得 h甲 h h乙 h 记(2)中最大的综合满意度为 h0 ,试问能否适当选取 mA 、 m 0 和 0 同时成立, 但等号不同时成立?试说明理由。 f (x) 2×2 (x a) | x a |.若 f (0) 1 20.(本小题满分 16 分)设 a 为实数,函数 ,求 a 的取值范 f (x) 的最小值;设函数 h(x) f (x), x(a,),直接写出(不需给出演算步骤)不等式 围;求 h(x) 1的解集. 数学Ⅱ(附加题) n(n 1)(2n 1) 参考公式:12 22 32 n2 .621.[选做题]在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共计 20 分。请在答题卡指定区域内作 答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A.选修 4 – 1:几何证明选讲 如图,在四边形 ABCD 中,△ABC≌△BAD. 求证:AB∥CD. [解析] 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识,考查 满分 10 分。 推理论证能力。 证明:由△ABC≌△BAD 得∠ACB=∠BDA,故 A、B、C、D 四点共圆,从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC ≌△BAD 得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB,所以 AB∥CD。 B. 选修 4 – 2:矩阵与变换 3 2 2 1 求矩阵 A 的逆矩阵. [解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法,考查运算求解能力。满分 10 分。 xy3 2 xy1 0 0 1 解:设矩阵 A 的逆矩阵为 ,则,z w 2 1z w 3x 2z 3y 2w 2x z 2y w 1 0 0 1 3x 2z 1, 3y 2w 0, 即,故2x z 0, 2y w 1, 解得: x 1, z 2, y 2, w 3 ,1 2从而 A 的逆矩阵为 A1 .23 C. 选修 4 – 4:坐标系与参数方程 1x t t已知曲线 C 的参数方程为 求曲线 C 的普通方程。 ,(t 为参数,t 0). 1y 3(t ) t[解析] 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识,考查转化问题的能力。满分 10 分。 11y解:因为 x2 t 2,所以 x2 2 t ,tt3故曲线 C 的普通方程为:3×2 y 6 0 .D. 选修 4 – 5:不等式选讲 设a≥b>0,求证:3a3 2b3 ≥3a2b 2ab2 .[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法,考查代数式的变形能力。满分 10 分。 证明:3a3 2b3 (3a2b 2ab2 ) 3a2 (a b) 2b2 (b a) (3a2 2b2 )(a b). 因为 a≥b>0,所以 a b≥0,3a2 2b2 >0,从而 (3a2 2b2 )(a b)≥0, 3a3 2b3 3a2b 2ab2 即≥.[必做题]第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 22.(本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2),其焦点 轴上。 F 在 x(1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M (m,0)(m 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点,ME=2DM,记 D 和 E 两点间的距离为 f (m),求 f (m)关于 m 的表达式。 [解析] [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识, 运算求解能力。满分 10 分。 考 查 23. (本题满分 10 分) 对于正整数 ≥2,用 n 表示关于 nTx的一元二次方程 x2 2ax b 0 有实数根的有序数组 (a,b)的组数, 其中 a,b 1,2,,n (a和b可以相等);对于随机选取的 a,b 1,2,,n ( a 和b 可以相等),记 P n为关于 x的一元二次方程 x2 2ax b 0 有实数根的概率。 (1)求 Tn2 和 P ; n2 1(2)求证:对任意正整数 n≥2,有 P 1 .nn[解析] [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理,考查探究能力。满分 10 分。 参考答案 1.【答案】 20 【解析】略 2.【答案】3 3ab 2 3 3 2【解析】 3.【答案】(1,11) 2f (x) 3x 30x 33 3(x 11)(x 1) , 由 (x 11)(x 1) 0得 单 调 减 区 间 为 【 解 析 】 (1,11) 。 4.【答案】3 23T T 3,所以 3, 【解析】 2 ,5.【答案】0.2 【解析】略 26.【答案】 5 【解析】略 7.【答案】22 【解析】略 8.【答案】1:8 【解析】略 9.【答案】(2,15) 【解析】略 10.【答案】 m n 【解析】略 11.【答案】4 log2 x 2 A (0,4] ;由 A B 得0 x 4, 知 a 4 ,所以c 4。 【解析】由 12.【答案】(1)(2) y【解析】略 TB2 13.【答案】e 2 7 5 Ma,b,c 【解析】用 表示交点 T,得出 M 坐标,代入椭圆方程即可转 A1 OA2 x化解得离心率. 14.【答案】 9 【解析】将各数按照绝对值从小到大排列,各数减 1,观察即可得解. a (b 2c) a b 2a c 0, 15.【解析】由 a 与b 2c 垂直, 即 4sin( ) 8cos( ) 0, tan( ) 2 ; b c (sin cos,4cos 4sin ) | b c |2 sin2 2sin cos cos2 16cos2 32cos sin 16sin2 17 30sin cos 17 15sin2 ,最大值为 32,所以| b c | 的最大值为 4 2。 由 tan tan 16得sin sin 16cos cos ,即 4cos 4cos sin sin 0, 所以 a ∥ b . A B,AC 16.【解析】证明:(1)因为 E,F 分别是 EF 面ABC, A D B C 的中点,所以 EF // BC ,又 11平面ABC ; BC 面ABC ,所以 EF ∥ BB 面A B C1 ABC A B C BB A D ,又 111111111(2)因为直三棱柱 1 ,所以 ,,所以 A D 面BB C1C A D 面A FD 平面A FD 平面BB C1C 111111,又 ,所以 。C1 DB1 FEACa22 a52 a42 a32 17.(1)设公差为 d ,则 ,由性质得 B3d(a4 a3 ) d(a4 a3 ) ,因为 d 0,所【解析】以 76 27a1 d 7 a4 a3 0 ,即 2a1 5d 0,又由 S7 7得 ,解得 a1 5, an 2n 7 Sn n2 6n ,前 n 项和 。and 2所以 的通项公式为 amam1 ( 2m 7 )( 2m 5) amam1 (t 4 )(t 2 ) 8 t 6 am2 ( 2m 3) am2 t,令 2m 3 t , t(2 ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ,8t 6 3 因为 t 是奇数,所以 可取的值为 tt 1, m 2 时, 1,当 t, 25 7 3,是数列 8t 6 15 aa nn中的项;t 1, m 1时, t中的最小项是 5,不符合。 ,数列 所以满足条件的正整数 m 2 。 7y (x 4) y 0或 24 18.【解析】(1) ,3 13 ( , ) 2 2 (2)P 在以 C1C2 的中垂线上,且与 C1、C2 等腰直角三角形,利用几何关系计算可得点 P 坐标为 5 1 ( , ) 22。或mA mB mA mB h甲= ,h乙 = ,mA 12 mB 5 mA 3 mB 20 (mA [3,12],mB [5,20]) 19.【解析】(1) 3mA mB 5当时, 33mB mB 22mB mB mB mB 55h甲= ,h乙 = ,3535mB 5 (mB 20)(mB 5) mB 20 (mB 5)(mB 20) mB 12 mB 3 h甲=h乙 显然 2mB 11h甲= ,20 5113(mB 20)(mB 5) (1 )(1 )100( )2 25 1 mA mB mB mB mB mB 5(2)当 时, 1111 1 [ ,] 20 5 mB [5,20]得 mB 20 即 ,故当 mB 20,mA 12时,甲乙两人同时取到最大的综 mB 由10 5合满意度为 a 0 a2 1 a | a |1 a 1 f (a),a 0 f (0) 1,则 20.【解析】(1)若 22a ,a 0 2f (x)min a2a f ( ),a 0 ,a 0 f (x) 3×2 2ax a2 , 时, 33x a (2)当 2f (a),a 0 f (a),a 0 2a ,a 0 2a2 ,a 0 f (x)min f (x) x2 2ax a2 , 时, x a 当22a ,a 0 2f (x)min 2a ,a 0 3综上 4a2 12(a2 1) 12 8a2 ,3×2 2ax a2 1 0 x(a,)时, h(x) 1得 (3) 66a 或a 0, x(a,) 22时, 当;a 3 2a2 a 3 2a2 (x )(x ) 0 3366 a x a 0, 22时, 当得2,6a( )x(a,) 221) 2) 3) 时, a 3 2a2 22x[ ,) a[ ,]223时, a 3 2a2 a 3 2a2 62x(a, ][ ,) a( , ]2233时,
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