2016年天津高考文科数学试题及答案(Word版)下载

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  • 最近更新2022年10月14日



2016 年天津市高考数学试卷(文科)  一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 1.(5 分)(2016•天津)已知集合 A={1,2,3},B={y|y=2x﹣1,x∈A},则 A∩B=(  ) A.{1,3} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3} 2.(5 分)(2016•天津)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 ,甲获胜的概率是 ,则甲不输的概率为(  ) A. B. C. D. 3.(5 分)(2016•天津)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何 体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为(  ) A. B. C. D. 4.(5 分)(2016•天津)已知双曲线 ﹣=1(a>0,b>0)的焦距为 2 ,且双曲 线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为(  ) A. C. ﹣y2=1 B.x2﹣ =1 ﹣=1 D. ﹣=1 5.(5 分)(2016•天津)设 x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的 (  ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 第 1 页 共 20 页 6.(5 分)(2016•天津)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单 调递增,若实数 a 满足 f(2|a﹣1|)>f(﹣ ),则 a 的取值范围是(  ) A.(﹣∞, )B.(﹣∞, )∪( ,+∞) C.( ,)D.( ,+∞) 7.(5 分)(2016•天津)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则 A.﹣ B. C. D. 8.(5 分)(2016•天津)已知函数 f(x)=sin2 •的值为(  ) +sinωx﹣ (ω>0),x∈R,若 f(x )在区间(π,2π)内没有零点,则 ω 的取值范围是(  ) A.(0, ] B.(0, ]∪[ ,1) C.(0, ] D.(0, ]∪[ , ]  二、填空题本大题 6 小题,每题 5 分,共 30 分 9.(5 分)(2016•天津)i 是虚数单位,复数 z 满足(1+i)z=2,则 z 的实部为______. 10.(5 分)(2016•天津)已知函数 f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′ (0)的值为______. 11.(5 分)(2016•天津)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 ______. 12.(5 分)(2016•天津)已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上,点(0, )圆C 上,且圆 心到直线 2x﹣y=0 的距离为 ,则圆 C 的方程为______. 13.(5 分)(2016•天津)如图,AB 是圆的直径,弦 CD 与 AB 相交于点 E,BE=2AE=2, BD=ED,则线段 CE 的长为______. 第 2 页 共 20 页 14.(5 分)(2016•天津)已知函数 f(x)= (a>0,且 a≠1) 在 R 上单调递减,且关于 x 的方程|f(x)|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解,则 a 的取值范 围是______.  三、解答题:本大题共 6 小题,80 分 15.(13 分)(2016•天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 asin2B= bsinA. (1)求 B; (2)已知 cosA= ,求 sinC 的值. 16.(13 分)(2016•天津)某化工厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要 原料,生产 1 扯皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示: ABC甲乙4585310 现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,在此基础上生产甲、乙两种肥 料.已知生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车品乙种肥料,产生的利润为 3 万元、分别用 x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数. (1)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问分别生产甲、乙两种肥料,求出此最大利润. 17.(13 分)(2016•天津)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,平面 AED⊥平面 ABCD, EF∥AB,AB=2,DE=3,BC=EF=1,AE= ,∠BAD=60°,G 为 BC 的中点. (1)求证:FG∥平面 BED; (2)求证:平面 BED⊥平面 AED; (3)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值. 第 3 页 共 20 页 18.(13 分)(2016•天津)已知{an}是等比数列,前 n 项和为 Sn(n∈N*),且 ﹣=,S6=63. (1)求{an}的通项公式; (2)若对任意的 n∈N*,bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项,求数列{(﹣1)nb }的前 2n 项和. 19.(14 分)(2016•天津)设椭圆 +=1(a> )的右焦点为F,右顶点为 A,已 知+=,其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于 B(B 不在 x 轴上),垂直于 l 的直线与 l 交于点 M, 与 y 轴交于点 H,若 BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线 l 的斜率. 20.(14 分)(2016•天津)设函数 f(x)=x3﹣ax﹣b,x∈R,其中 a,b∈R. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f(x1)=f(x0),其中 x1≠x0,求证:x1+2×0=0; (3)设 a>0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值不小于 . 第 4 页 共 20 页 2016 年天津市高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析  一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 1.(5 分)(2016•天津)已知集合 A={1,2,3},B={y|y=2x﹣1,x∈A},则 A∩B=(  ) A.{1,3} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3} 【分析】根据题意,将集合 B 用列举法表示出来,可得 B={1,3,5},由交集的定义计算 可得答案. 【解答】解:根据题意,集合 A={1,2,3},而 B={y|y=2x﹣1,x∈A}, 则 B={1,3,5}, 则 A∩B={1,3}, 故选:A. 【点评】本题考查集合的运算,注意集合 B 的表示方法.  2.(5 分)(2016•天津)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 ,甲获胜的概率是 ,则甲不输的概率为(  ) A. B. C. D. 【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出. 【解答】解:∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件. ∴根据互斥事件的概率计算公式可知:甲不输的概率 P= + = . 故选:A. 【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式,关键是判断出事件的关系,然后选择合 适的概率公式,属于基础题.  3.(5 分)(2016•天津)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何 体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为(  ) 第 5 页 共 20 页 A. B. C. D. 【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图,找出所切棱锥的位置,得出答案. 【解答】解:由主视图和俯视图可知切去的棱锥为 D﹣AD1C, 棱 CD1 在左侧面的投影为 BA1, 故选 B. 【点评】本题考查了棱锥,棱柱的结构特征,三视图,考查空间想象能力,属于基础题.  4.(5 分)(2016•天津)已知双曲线 ﹣=1(a>0,b>0)的焦距为 2 ,且双曲 线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为(  ) A. C. ﹣y2=1 B.x2﹣ =1 ﹣=1 D. ﹣=1 【分析】利用双曲线 ﹣=1(a>0,b>0)的焦距为 2 ,且双曲线的一条渐近线与 直线 2x+y=0 垂直,求出几何量 a,b,c,即可求出双曲线的方程. 【解答】解:∵双曲线 =1(a>0,b>0)的焦距为 2 ﹣,∴c= ,∵双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直, ∴= , ∴a=2b, ∵c2=a2+b2, 第 6 页 共 20 页 ∴a=2,b=1, ∴双曲线的方程为 故选:A. =1. 【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查待定系数法的运用,确定双曲线的几何量是关 键.  5.(5 分)(2016•天津)设 x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的 (  ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】直接根据必要性和充分判断即可. 【解答】解:设 x>0,y∈R,当 x=0,y=﹣1 时,满足 x>y 但不满足 x>|y|,故由 x>0, y∈R,则“x>y”推不出“x>|y|”, 而“x>|y|”⇒“x>y”, 故“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件, 故选:C. 【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题.  6.(5 分)(2016•天津)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单 调递增,若实数 a 满足 f(2|a﹣1|)>f(﹣ ),则 a 的取值范围是(  ) A.(﹣∞, )B.(﹣∞, )∪( ,+∞) C.( ,)D.( ,+∞) 即可. 【分析】根据函数的对称性可知 f(x)在(0,+∞)递减,故只需令 2|a﹣1| <【解答】解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递增, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减. ∵2|a﹣1|>0,f(﹣ )=f( ), ∴2|a﹣1| <=2 .∴|a﹣1| ,解得 .故选:C. 【点评】本题考查了函数的单调性,奇偶性的性质,属于中档题.  7.(5 分)(2016•天津)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则 A.﹣ B. C. D. •的值为(  ) 第 7 页 共 20 页 【分析】由题意画出图形,把 【解答】解:如图, 、都用 表示,然后代入数量积公式得答案. ∵D、E 分别是边 AB、BC 的中点,且 DE=2EF, ∴•========.故选:B. 【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量加减法的三角形法则,是中档题.  8.(5 分)(2016•天津)已知函数 f(x)=sin2 + sinωx﹣ (ω>0),x∈R,若 f(x )在区间(π,2π)内没有零点,则 ω 的取值范围是(  ) A.(0, ] B.(0, ]∪[ ,1) 【分析】函数 f(x)= C.(0, ] D.(0, ]∪[ ,由 f(x)=0,可得 , ] =0,解得 x= ∉(π,2π),因此 ω∉ ,即可得出. ∪∪∪…= ∪【解答】解:函数 f(x)= ,+sinωx﹣ =+sinωx =由 f(x)=0,可得 =0, 第 8 页 共 20 页 解得 x= ∴ω∉ ∉(π,2π), ∪∪∪…= ∪,∵f(x)在区间(π,2π)内没有零点, ∴ω∈ ∪.故选:D. 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.  二、填空题本大题 6 小题,每题 5 分,共 30 分 9.(5 分)(2016•天津)i 是虚数单位,复数 z 满足(1+i)z=2,则 z 的实部为 1 . 【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:由(1+i)z=2, 得,∴z 的实部为 1. 故答案为:1. 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.  10.(5 分)(2016•天津)已知函数 f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′ (0)的值为 3 . 【分析】先求导,再带值计算. 【解答】解:∵f(x)=(2x+1)ex, ∴f′(x)=2ex+(2x+1)ex, ∴f′(0)=2e0+(2×0+1)e0=2+1=3. 故答案为:3. 【点评】本题考查了导数的运算法则,属于基础题.  11.(5 分)(2016•天津)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 4  .第 9 页 共 20 页 【分析】根据循环结构,结合循环的条件,求出最后输出 S 的值. 【解答】解:第一次循环:S=8,n=2; 第二次循环:S=2,n=3; 第三次循环:S=4,n=4, 结束循环,输出 S=4, 故答案为:4. 【点评】本题主要考查程序框图,循环结构,注意循环的条件,属于基础题.  12.(5 分)(2016•天津)已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上,点(0, )圆C 上,且圆 心到直线 2x﹣y=0 的距离为 ,则圆 C 的方程为 (x﹣2)2+y2=9 . 【分析】由题意设出圆的方程,把点 M 的坐标代入圆的方程,结合圆心到直线的距离列式 求解. 【解答】解:由题意设圆的方程为(x﹣a)2+y2=r2(a>0), 由点 M(0, )在圆上,且圆心到直线2x﹣y=0 的距离为 ,得,解得 a=2,r=3. ∴圆 C 的方程为:(x﹣2)2+y2=9. 故答案为:(x﹣2)2+y2=9. 【点评】本题考查圆的标准方程,训练了点到直线的距离公式的应用,是中档题.  13.(5 分)(2016•天津)如图,AB 是圆的直径,弦 CD 与 AB 相交于点 E,BE=2AE=2, BD=ED,则线段 CE 的长为   . 第 10 页 共 20 页 【分析】由 BD=ED,可得△BDE 为等腰三角形,过 D 作 DH⊥AB 于 H,由相交弦定理求 得 DH,在 Rt△DHE 中求出 DE,再由相交弦定理求得 CE. 【解答】解:如图, 过 D 作 DH⊥AB 于 H, ∵BE=2AE=2,BD=ED, ∴BH=HE=1,则 AH=2,BH=1, ∴DH2=AH•BH=2,则 DH= ,在 Rt△DHE 中,则 ,由相交弦定理可得:CE•DE=AE•EB, ∴.故答案为: .【点评】本题考查与圆有关的比例线段,考查相交弦定理的应用,是中档题.  14.(5 分)(2016•天津)已知函数 f(x)= (a>0,且 a≠1) 在 R 上单调递减,且关于 x 的方程|f(x)|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解,则 a 的取值范 围是 [ , ) . 【分析】由减函数可知 f(x)在两段上均为减函数,且在第一段的最小值大于或等于第二 段上的最大值,作出|f(x)|和 y=2﹣ 的图象,根据交点个数判断 3a 与 2 的大小关系,列 出不等式组解出. 【解答】解:∵f(x)是 R 上的单调递减函数, ∴y=x2+(4a﹣3)x+3a 在(﹣∞.,0)上单调递减,y=loga(x+1)+1 在(0,+∞)上单调 递减, 且 f(x)在(﹣∞,0)上的最小值大于或等于 f(0). 第 11 页 共 20 页 ∴,解得 ≤a≤ . 作出 y=|f(x)|和 y=2﹣ 的函数草图如图所示: ∵|f(x)|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解, ∴3a<2,即 a .综上, .故答案为[ , ). 【点评】本题考查了分段函数的单调性,函数零点的个数判断,结合函数函数图象判断端点 值的大小是关键,属于中档题.  三、解答题:本大题共 6 小题,80 分 15.(13 分)(2016•天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 asin2B= bsinA. (1)求 B; (2)已知 cosA= ,求 sinC 的值. 【分析】(1)利用正弦定理将边化角即可得出 cosB; (2)求出 sinA,利用两角和的正弦函数公式计算. 【解答】解:(1)∵asin2B= bsinA, ∴2sinAsinBcosB= sinBsinA, ∴cosB= ,∴B= .(2)∵cosA= ,∴sinA= ,第 12 页 共 20 页 ∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= =.【点评】本题考查了正弦定理解三角形,两角和的正弦函数,属于基础题.  16.(13 分)(2016•天津)某化工厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要 原料,生产 1 扯皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示: ABC甲乙4585310 现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,在此基础上生产甲、乙两种肥 料.已知生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车品乙种肥料,产生的利润为 3 万元、分别用 x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数. (1)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问分别生产甲、乙两种肥料,求出此最大利润. 【分析】(1)根据原料的吨数列出不等式组,作出平面区域; (2)令利润 z=2x+3y,则 y=﹣ ,结合可行域找出最优解的位置,列方程组解出最优 解. 【解答】解:(1)x,y 满足的条件关系式为: .作出平面区域如图所示: (2)设利润为 z 万元,则 z=2x+3y. ∴y=﹣ x+ ∴当直线 y=﹣ x+ 经过点 B 时,截距 最大,即z 最大. 解方程组 得B(20,24). .第 13 页 共 20 页 ∴z 的最大值为 2×20+3×24=112. 答:当生产甲种肥料 20 吨,乙种肥料 24 吨时,利润最大,最大利润为 112 万元. 【点评】本题考查了简单的线性规划的应用,抽象概括能力和计算求解能力,属于中档题.  17.(13 分)(2016•天津)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,平面 AED⊥平面 ABCD, EF∥AB,AB=2,DE=3,BC=EF=1,AE= ,∠BAD=60°,G 为 BC 的中点. (1)求证:FG∥平面 BED; (2)求证:平面 BED⊥平面 AED; (3)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值. 【分析】(1)利用中位线定理,和平行公理得到四边形 OGEF 是平行四边形,再根据线面 平行的判定定理即可证明; (2)根据余弦定理求出 BD= ,继而得到 BD⊥AD,再根据面面垂直的判定定理即可证 明; (3)先判断出直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角,再根 据余弦定理和解直角三角形即可求出答案. 【解答】证明:(1)BD 的中点为 O,连接 OE,OG,在△BCD 中, ∵G 是 BC 的中点, ∴OG∥DC,且 OG= DC=1, 又∵EF∥AB,AB∥DC, ∴EF∥OG,且 EF=0G, 即四边形 OGEF 是平行四边形, ∴FG∥OE, ∵FG⊄平面 BED,OE⊂平面 BED, ∴FG∥平面 BED; (2)证明:在△ABD 中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°, 由余弦定理可得 BD= ,仅而∠ADB=90°, 即 BD⊥AD, 又∵平面 AED⊥平面 ABCD, BD⊂平面 ABCD,平面 AED∩平面 ABCD=AD, ∴BD⊥平面 AED, ∵BD⊂平面 BED, ∴平面 BED⊥平面 AED. (Ⅲ)∵EF∥AB, 第 14 页 共 20 页 ∴直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角, 过点 A 作 AH⊥DE 于点 H,连接 BH, 又平面 BED∩平面 AED=ED, 由(2)知 AH⊥平面 BED, ∴直线 AB 与平面 BED 所成的角为∠ABH, 在△ADE,AD=1,DE=3,AE= ,由余弦定理得 cos∠ADE= ,∴sin∠ADE= ∴AH=AD• ,,在 Rt△AHB 中,sin∠ABH= =,∴直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直,平面与平面的垂直,直线与平面所成的角, 考查了空间想象能力,运算能力和推理论证能力,属于中档题.  18.(13 分)(2016•天津)已知{an}是等比数列,前 n 项和为 Sn(n∈N*),且 ﹣=,S6=63. (1)求{an}的通项公式; (2)若对任意的 n∈N*,bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项,求数列{(﹣1)nb }的前 2n 项和. 【分析】(1)根据等比数列的通项公式列方程解出公比 q,利用求和公式解出 a1,得出通 项公式; (2)利用对数的运算性质求出 bn,使用分项求和法和平方差公式计算. 【解答】解:(1)设{an}的公比为 q,则 ﹣=,即 1﹣ =,解得 q=2 或 q=﹣1. 若 q=﹣1,则 S6=0,与 S6=63 矛盾,不符合题意.∴q=2, 第 15 页 共 20 页 ∴S6= =63,∴a1=1. ∴an=2n﹣1 .(2)∵bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项, ∴bn= (log2an+log2an+1)= (log22n﹣1+log22n)=n﹣ .∴bn+1﹣bn=1. ∴{bn}是以 为首项,以1 为公差的等差数列. 2设{(﹣1)nbn }的前 n 项和为 Tn,则 22222Tn=(﹣b1 +b2 )+(﹣b3 +b4 )+…+(﹣b2n﹣12+b2n )=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n ===2n2. 【点评】本题考查了等差数列,等比数列的性质,分项求和的应用,属于中档题.  19.(14 分)(2016•天津)设椭圆 +=1(a> )的右焦点为F,右顶点为 A,已 知+=,其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于 B(B 不在 x 轴上),垂直于 l 的直线与 l 交于点 M, 与 y 轴交于点 H,若 BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线 l 的斜率. 【分析】(1)由题意画出图形,把|OF|、|OA|、|FA|代入 +=,转化为 关于 a 的方程,解方程求得 a 值,则椭圆方程可求; (2)由已知设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2),(k≠0),联立直线方程和椭圆方程,化为 关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系求得 B 的坐标,再写出 MH 所在直线方程, 求出 H 的坐标,由 BF⊥HF,得 ,整理得到 M 的坐标与 k 的关系,由∠MOA=∠MAO,得到 x0=1,转化为关于 k 的等式求得 k 的值. 【解答】解:(1)由 +=,得+=,第 16 页 共 20 页 即=,∴a[a2﹣(a2﹣3)]=3a(a2﹣3),解得 a=2. ∴椭圆方程为 ;(2)由已知设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2),(k≠0), 设 B(x1,y1),M(x0,k(x0﹣2)), ∵∠MOA=∠MAO, ∴x0=1, 再设 H(0,yH), 联立 ,得(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣12=0. △=(﹣16k2)2﹣4(3+4k2)(16k2﹣12)=144>0. 由根与系数的关系得 ,∴,,MH 所在直线方程为 y﹣k(x0﹣2)=﹣ (x﹣x0), 令 x=0,得 yH=(k+ )x0﹣2k, ∵BF⊥HF, ∴,即 1﹣x1+y1yH=1﹣ [(k+ )x0﹣2k]=0, 整理得: =1,即 8k2=3. ∴k=﹣ 或 k= .【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,体现了“整体运算”思 想方法和“设而不求”的解题思想方法,考查运算能力,是难题.  20.(14 分)(2016•天津)设函数 f(x)=x3﹣ax﹣b,x∈R,其中 a,b∈R. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f(x1)=f(x0),其中 x1≠x0,求证:x1+2×0=0; 第 17 页 共 20 页 (3)设 a>0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值不小于 .【分析】(1)求出 f(x)的导数,讨论 a≤0 时 f′(x)≥0,f(x)在 R 上递增;当 a>0 时,由导数大于 0,可得增区间;导数小于 0,可得减区间; (2)由条件判断出 a>0,且 x0≠0,由 f′(x0)=0 求出 x0,分别代入解析式化简 f(x0), f(﹣2×0),化简整理后可得证; (3)设 g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值 M,根据极值点与区间的关系对 a 分三种情况讨 论,运用 f(x)单调性和前两问的结论,求出 g(x)在区间上的取值范围,利用 a 的范围 化简整理后求出 M,再利用不等式的性质证明结论成立. 【解答】解:(1)若 f(x)=x3﹣ax﹣b,则 f′(x)=3×2﹣a, 分两种情况讨论: ①、当 a≤0 时,有 f′(x)=3×2﹣a≥0 恒成立, 此时 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞), ②、当 a>0 时,令 f′(x)=3×2﹣a=0,解得 x= 或 x= ,当 x> 当﹣ 或 x<﹣ <x< 时,f′(x)=3×2﹣a>0,f(x)为增函数, 时,f′(x)=3×2﹣a<0,f(x)为减函数, 故 f(x)的增区间为(﹣∞,﹣ ),( ,+∞),减区间为(﹣ ,); (2)若 f(x)存在极值点 x0,则必有 a>0,且 x0≠0, 2由题意可得,f′(x)=3×2﹣a,则 x0 = ,3进而 f(x0)=x0 ﹣ax0﹣b=﹣ x0﹣b, 3又 f(﹣2×0)=﹣8×0 +2ax0﹣b=﹣ x0+2ax0﹣b=f(x0), 由题意及(Ⅰ)可得:存在唯一的实数 x1,满足 f(x1)=f(x0),其中 x1≠x0, 则有 x1=﹣2×0,故有 x1+2×0=0; (Ⅲ)设 g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值 M,max{x,y}表示 x、y 两个数的最大值, 下面分三种情况讨论: ①当 a≥3 时,﹣ ≤﹣1<1≤ ,由(I)知 f(x)在区间[﹣1,1]上单调递减, 所以 f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f(1),f(﹣1)], 因此 M=max{|f(1)|,|f(﹣1)|}=max{|1﹣a﹣b|,|﹣1+a﹣b|} =max{|a﹣1+b|,|a﹣1﹣b|}= 所以 M=a﹣1+|b|≥2 ,②当 a<3 时, ,第 18 页 共 20 页 由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,f(﹣1)≥ =f( ),f(1)≤ ),f(﹣ =,所以 f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f( )], |,| 因此 M=max{|f( =max{| )|,|f(﹣ |,| )|}=max{| |} |}= ,③当 0<a< 时, ,由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,f(﹣1)< =f( ),f(1)> =,所以 f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f(﹣1),f(1)], 因此 M=max{|f(﹣1)|,|f(1)|}=max{|﹣1+a﹣b|,|1﹣a﹣b|} =max{|1﹣a+b|,|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|> ,综上所述,当 a>0 时,g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值不小于 .【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和最值,不等式的证明,注意运用分类讨论的思 想方法和转化思想,考查分析法在证明中的应用,以及化简整理、运算能力,属于难题.  第 19 页 共 20 页 第 20 页 共 20 页

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