2015年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）下载

第 1 页共 18 页绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分 150 分，考试时间 120 分钟）考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 1、设全集U  R ．若集合A 1,2,3,4 ， x 2  x  3 ，则 A ð   ．U2、若复数 z满足3z  z 1 i ，其中 i为虚数单位，则 z  ．2 3 c 1  x  3 y  5 3、若线性方程组的增广矩阵为 4、若正三棱柱的所有棱长均为、解为，则 c1  c2  ．0 1 c2 a，且其体积为16 3，则 a  ．5 、抛物线y2  2px （p  0）上的动点 Q到焦点的距离的最小值为 1，则p  ．6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2 ，则其母线与轴的夹角的大小为．7、方程 log 9x1 5  log 3x1  2  2 的解为．2  2  8、在报名的 3名男教师和 6名女教师中，选取 5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．的纵坐标是的纵坐标的 9、已知点 和Q的横坐标相同， Q2倍， 和Q的轨迹分别为双．曲线 C1 和 C2 ．若 C1 的渐近线方程为 y  3x ，则 C2 的渐近线方程为第 1 页共 18 页第 2 页共 18 页 x10、设 f 1 x  为f x 2x2 ，x 0,2 的反函数，则 y  f x f 1 x 的最大值       2为．10 1×2015 11、在 1 x  的展开式中， x2 项的系数为（结果用数值表示）． 12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1 和 2 分 1， 2 ，3， 4 ，5的卡片中随 别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 1  2  （元）． 13、已知函数 f x sin x ．若存在 x1   ，x2 ， ， xm 满足 0  x1  x2    xm  6 ，且 f x  f x f x  f x f x  f x12 n  （m  2 ，m ），则   2  2    n1  13m的最小值为．1214、在锐角三角形 AC 中， tan A  别为．过 D  A ，D为边 C 上的点， AD 与ACD的面积分   2和4D作于，DF  AC 于F，则 DDF  ．二、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 15、设 z1 ，z2 C，则“ z1 、z2 中至少有一个数是虚数”是“ z1  z2 是虚数”的（ B．必要非充分条件）A．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 316、已知点 A的坐标为 4 3,1，将 A 绕坐标原点 逆时针旋转至，则点 的纵 坐标为（）3 3 5 3 211 A． B． C． 2213 D． 217、记方程①： x2  a1x 1 0 ，方程②： x2  a2 x  2  0，方程③： x2  a3x  4  0 ，第 2 页共 18 页第 3 页共 18 页其中 a1 ，a2 ，a3 是正实数．当 a1 ，a2 ，a3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根 C．方程①无实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 D．方程①无实根，且②无实根 n18、设  x , y 是直线 2x  y  （n ）与圆 x2  y2  2 在第一象限的交点， n  n  nn 1 yn 1 xn 1 则极限 lim （）n 1A． 1 B． C． 12D．三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19、（本题满分 12分）如图，在长方体 ACD  A11C1D1 中， AA1 1 2，A  AD  2 ，、F分别是 A C 的中点．证明 A1 C1 、、、F、 四点共面，并求直线 CD1 与平面 A1C1F 所成的角的大小. 20、（本题满分 14 分）本题共有 2小题，第小题满分 6分，第小题满分 8分如图， A，，C三地有直道相通， A  5 千米， AC  3 千米， C  4 千米.现甲、乙两警员同时从 A地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为 f t （单位：千 t  米）.甲的路线是 A，速度为 5千米/小时，乙的路线是 AC，速度为地. 8千米/小时.乙到达地后原地等待.设t  t1 时乙到达 C （1）求 t1 与 f t的值；  1  （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3千米.当t1  t 1时，求 f t 的表达式，并判   断f t 在 t ,1 上得最大值是否超过3？说明理由.   1 第 3 页共 18 页第 4 页共 18 页 21、（本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题 6分，第 2小题 8分. 已知椭圆 x2  2y2 1，过原点的两条直线到的平行四边形 ACD的面积为 l1 和 l2 分别于椭圆交于 A、和 C 、 D ，记得 S.（1）设 A x , y 1  ，C x , y ，用 A、 C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离，并证明 2  12S  2 x1 y1  x2 y1 ；1（2）设 l1 与 l2 的斜率之积为 ，求面积 S 的值. 222、（本题满分 16分）本题共有 3个小题.第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 6分. 已知数列 a与b满足 an1  a  2 bn1 bn ，n .   nnn（1）若bn  3n  5，且 a1 1，求数列 a的通项公式；   n（2）设 a的第 n0 项是最大项，即 an  an （n ），求证：数列 b 的第 n0 项是最大 n    n0项；（3）设 a1    0 ，bn  n （n ），求 的取值范围，使得 a有最大值 与最小   nm值m，且  2,2 .23、（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 8分. 对于定义域为 R的函数 g x ，若存在正常数 ，使得 cos g x 是以   为周期的函数，则   称g x 为余弦周期函数，且称   为其余弦周期.已知 f x是以 为余弦周期的余弦周期函   数，其值域为 R.设 f x单调递增， f 0  0    ，f  4   .x（1）验证 h x  x  sin 是以 6 为周期的余弦周期函数；   3（2）设 a  b ．证明对任意 c f a, f b ，存在 x  a,b ，使得 f x c ；     00第 4 页共 18 页第 5 页共 18 页（3）证明：“ u0 为方程 cos f x1   在0, 上得解”的充要条件是“u0   为方程 cos f x1   在,2 上有解”，并证明对任意 x 0, 都有 f x  f x f  .    第 5 页共 18 页第 6 页共 18 页 2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 1、设全集U  R ．若集合A 1,2,3,4 ， x 2  x  3 ，则 A ð   ．U【答案】 1,4 【解析】因为CU B {x | x  3或x  2} ，所以 A  CU B {4,1} 【考点定位】集合运算 2、若复数 z满足3z  z 1 i ，其中 i为虚数单位，则 z  ．1 1 【答案】  i 4 2 1412【解析】设 z  a  bi(a,b R) ，则3(a  bi)  a  bi 1 i  4a 1且2b 1 z  i【考点定位】复数相等，共轭复数 2 3 c 1  x  3 y  5 3、若线性方程组的增广矩阵为【答案】16 、解为，则 c1  c2  ．0 1 c2 【解析】由题意得： c1  2x  3y  23  35  21,c2  0 x  y  5,c1  c2  21 5 16. 【考点定位】线性方程组的增广矩阵 4、若正三棱柱的所有棱长均为【答案】【解析】 a  a，且其体积为16 3，则 a  ．43a2 16 3 a3  64  a  4 4【考点定位】正三棱柱的体积 5、抛物线 y2  2px p  0）上的动点【答案】（Q到焦点的距离的最小值为 1，则 p  ．2第 6 页共 18 页第 7 页共 18 页【考点定位】抛物线定义 6 、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2 ，则其母线与轴的夹角的大小为．3【答案】 31rl 🙁 h  2r)  2  l  2h  【解析】由题意得：母线与轴的夹角为 2【考点定位】圆锥轴截面 7、方程 log 9x1 5  log 3x1  2  2 的解为．2  2  【答案】 2[【考点定位】解指对数不等式 8、在报名的名男教师和名女教师中，选取（结果用数值表示）． 365人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为【答案】120 【解析】由题意得，去掉选 5 名女教师情况即可：C95  C65 126  6 120. 【考点定位】排列组合 9、已知点 和Q的横坐标相同， 的纵坐标是 Q的纵坐标的 2倍， 和Q的轨迹分别为双．曲线 C1 和 C2 ．若 C1 的渐近线方程为 y  3x ，则 C2 的渐近线方程为 3【答案】 y   x2第 7 页共 18 页第 8 页共 18 页【考点定位】双曲线渐近线 x10、设 f 1 x  为f x 2x2 ，x 0,2 的反函数，则 y  f x f 1 x  的最大值     2为．【答案】 41xf (x)  2x2 [0,2] f 1 x，所以在 [ ,2] 【解析】由题意得：在上单调递增，值域为   2411y  f x f 1 x  [ ,2] [ ,2] 上单调递增，因此   在上单调递增，其最大值为 44f (2)  f 1(2)  2  2  4. 【考点定位】反函数性质 10 1×2015 11、在 1 x  的展开式中， x2 项的系数为（结果用数值表示）． 【答案】 45 【考点定位】二项展开式 12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量 1 和 2 分 1， 2 ，3， 4 ，5的卡片中随 别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 1  2  【答案】 0.2 （元）．第 8 页共 18 页第 9 页共 18 页 13、已知函数 f x sin x ．若存在 x1   ，x2 ， ， xm 满足 0  x1  x2    xm  6 ，且 f x  f x f x  f x f x  f x12 n  （m  2 ，m ），则   2  2    n1  13m的最小值为．【答案】 8【考点定位】三角函数性质 14、在锐角三角形 AC 中， tan A  12，D为边 C 上的点， AD 与ACD的面积分   别为 2和4．过 D作D  A 于，DF  AC 于F，则 DDF  ．16 15 【答案】第 9 页共 18 页第 10 页共 18 页【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 15、设 z1 ，z2 C，则“ z1 、z2 中至少有一个数是虚数”是“ z1  z2 是虚数”的（）A．充分非必要条件 C．充要条件 B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B []【考点定位】复数概念，充要关系 316、已知点 A的坐标为 4 3,1，将 A 绕坐标原点 逆时针旋转至，则点 的纵 坐标为（）3 3 5 3 211 A． B． C． 2213 D． 2【答案】D   13 233133 313 【解析】OB  OA(cos  isin ) (4 3 i)(  i)  i，即点 的纵坐标为 2222【考点定位】复数几何意义 17、记方程①： x2  a1x 1 0 ，方程②： x2  a2 x  2  0，方程③： x2  a3x  4  0 其中 a1 a2 3是正实数．当 a1 a2 a3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（，，，a，，）第 10 页共 18 页第 11 页共 18 页 A．方程①有实根，且②有实根 C．方程①无实根，且②有实根【答案】B B．方程①有实根，且②无实根 D．方程①无实根，且②无实根 a24 a12 82 4a2  16, 即方程③： a2  4,a2  8 【解析】当方程①有实根，且②无实根时，，从而 312×2  a x 4  0 无实根，选 B.而 A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根 3【考点定位】不等式性质 n18、设  x , y 是直线 2x  y  （n ）与圆 x2  y2  2 在第一象限的交点， n  n  nn 1 yn 1 xn 1 则极限 lim （）n 1A． 1 B． C． 12D． 2【答案】A 【考点定位】极限三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19、（本题满分 12分）如图，在长方体 ACD  A11C1D1 中， AA1 1 分别是 A C 的中点．证明 A1 C1 A1C1F 所成的角的大小. ，A  AD  2 ，、F、、、F、 四点共面，并求直线 CD1 与平面第 11 页共 18 页第 12 页共 18 页 15 【答案】 arcsin 15 【考点定位】空间向量求线面角 20 、（本题满分 14 分）本题共有 2小题，第小题满分 6分，第小题满分 8分如图， A，，C三地有直道相通， A  5 千米， AC  3 千米， C  4 千米.现甲、乙两警员同时从 A地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为 f t （单位：千 t  米）.甲的路线是 A，速度为 5千米 /小时，乙的路线是 AC，速度为地. 8千米/小时.乙到达地后原地等待.设t  t1 时乙到达 C 第 12 页共 18 页第 13 页共 18 页（1）求 t1 与 f t的值；  1  （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3千米.当t1  t 1时，求 f t 的表达式，并判   断f t 在 t ,1 上得最大值是否超过3？说明理由.   1 [来 37825t2  42t 18,  t  38388【答案】（1） t1  ，f t  1  41（2） f (t)  不超过 755t,  t 1 8，3.3 7 ,33 41 878  因为f t   在上的最大值是 f，f t   在,1 上的最大值是   8 8 8  第 13 页共 18 页第 14 页共 18 页 758383 41   f，所以 f t   在,1 上的最大值是，不超过3.   8  8【考点定位】余弦定理 21、（本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题 6分，第 2小题 8分. 已知椭圆 x2  2y2 1，过原点的两条直线到的平行四边形 ACD的面积为 l1 和 l2 分别于椭圆交于 A、和 C 、 D ，记得 S.（1）设 A x , y 1  ，C x , y ，用 A、 C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离，并证明 2  12S  2 x1 y1  x2 y1 ；1（2）设 l1 与 l2 的斜率之积为 ，求面积 S 的值. 2【答案】（1）详见解析（2） S  2 22、（本题满分 16分）本题共有 3个小题.第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 6分. 第 14 页共 18 页第 15 页共 18 页已知数列 a与b满足 an1  a  2 bn1 bn ，n .   nnn（1）若bn  3n  5，且 a1 1，求数列 a的通项公式；   n（2）设 a的第 n0 项是最大项，即 an  an （n ），求证：数列 b 的第 n0 项是最大 n    n0项；（3）设 a1    0 ，bn  n （n ），求 的取值范围，使得 a有最大值 与最小   nm值m，且  2,2 .1【答案】（1） an  6n 5 （2）详见解析（3）  ,0 2[来当n 1时， a1   ，符合上式. 所以 an  2n   因为   0 ，所以 a2n  2  2n     .，a2n1  2  2n1     .第 15 页共 18 页第 16 页共 18 页 ①当   1时，由指数函数的单调性知， a不存在最大、最小值；   n3②当   1时， a的最大值为 3，最小值为 1，而  2,2 ；  n1 ③当 1   0 时，由指数函数的单调性知， a的最大值   a2  22   ，最小值   n22   1m  a1   ，由 2   2 及1   0 ，得    0 .21综上， 的取值范围是  ,0 .2【考点定位】等差数列，数列单调性 23、（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 8分. 对于定义域为 R的函数 g x ，若存在正常数 ，使得 cos g x 是以   为周期的函数，则   称g x 为余弦周期函数，且称   为其余弦周期.已知 f x是以 为余弦周期的余弦周期函   数，其值域为 R.设 f x单调递增， f 0  0    ，f  4   .x（1）验证 h x  x  sin 是以 6 为周期的余弦周期函数；   3（2）设 a  b ．证明对任意 c f a, f b ，存在 x  a,b ，使得 f x c ；     00（3）证明：“ u0 为方程 cos f x1 在0, 上得解”的充要条件是“u0   为方程   cos f x1   在,2 上有解”，并证明对任意 x 0, 都有 f x  f x f     .【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析第 16 页共 18 页第 17 页共 18 页（3）若 u0 为 cos f x1   在0, 上的解，则 cos f u1，且u  ,2 ，  00cos f u  cos f u1，即u0   为方程 cos f x1 在,2 上的解     00【考点定位】新定义问题第 17 页共 18 页第 18 页共 18 页第 18 页共 18 页