2012年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案下载

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  • 最近更新2022年10月14日



2012 年普通高等学校招生统一考试数学天津 (理科) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 7  i (1)i 是虚数单位,复数 =3 i (A) 2 + i (C)-2 + i (B)2 – i (D)-2 – i (2)设  R, 则“  0 ”是“ f (x)  cos(x )(x  R)为偶函数”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分与不必要条件 (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入 x 的值 为-25 时,输出 x 的值为 (A)-1 (C)3 (B)1 (D)9 (4)函数 f (x)  2x  x3  2在区间(0,1)内的零点个数是 (A)0 (C)2 (B)1 (D)3 1(5)在 (2×2  )5 的二项展开式中, x 的系数为 x(A)10 (C)40 (B)-10 (D)-40 (6)在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c ,已知 8b=5c,C=2B,则 cosC= 77(A) (C) (B) 25 25 24 7(D) 25 25 (7)已知 ABC 为等边三角形,AB=2,设点 P,Q 满足 AP   AB ,AQ  (1 )AC ,第 1 页 共 21 页   3  R ,若 BQCP  ,则 =211 2 (A) (B) 221 10 (C)  3  2 2 (D) 22(8)设 m,n  R ,若直线 (m 1)x  (n 1)y  2  0与圆 (x 1)2  (y 1)2  1相切,则 m + n 的取值范围是 (A)[1 3,1 3] (C)[2  2 2,2 2 2] 第Ⅱ卷 (B) (,1 3][1 3,) (D) (,2  2 2][2  2 2,) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校 对学生进行视力调查,应从小学中抽取_________所 学校,中学中抽取________所学校. (10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m), 则该几何体的体积为_________m3. (11)已知集合 A  x  R x 2  3 集合 ,B  {x  R | (x  m)(x  2)  0}, 且A  B  (1,n), 则 m =__________,n = __________. 2x  2pt , y  2pt (12)已知抛物线的参数方程为 (t 为参数),其中 p>0,焦点为 F,准线为l . 过 抛物线上一点 M 作l 的垂线,垂足为 E. 若|EF|=|MF|,点 M 的横坐标是 3,则 p = _________. (13)如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D. 过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3, 3FB=1,EF= ,则线段 CD 的长为____________. 2第 2 页 共 21 页 x2 1 x 1 (14)已知函数 y  值范围是_________. 的图象与函数 y  kx  2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分 13 分) 33已知函数 f (x)  sin(2x  )  sin(2x  )  2cos2 x 1, x  R. (Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期;   (Ⅱ)求函数 f (x) 在区间[ , ]上的最大值和最小值. 4 4 (16)(本小题满分 13 分) 现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性, 约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人 去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (Ⅲ)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记  X Y ,求随机变 量的分布列与数学期望 E .(17)(本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD, AC⊥AD, AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1. (Ⅰ)证明 PC⊥AD; (Ⅱ)求二面角 A-PC-D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面 直线 BE 与 CD 所成的角为 30°,求 AE 的长. (18)(本小题满分 13 分) 已知{an }是等差数列,其前 n 项和为 Sn,{bn }是等比数列,且 a1  b1  2,a4  b4  27 ,S4  b4  10 .第 3 页 共 21 页 (Ⅰ)求数列{an } 与{bn }的通项公式; (Ⅱ)记Tn  anb1  an1b2  a1bn n  N* ). ,n  N* ,证明Tn 12  2an 10bn ((19)(本小题满分 14 分) x2 y2 设椭圆 1(a  b  0) 的左、右顶点分别为 A,B ,点 P 在椭圆上且异于 A,B 两 a2 b2 点, O 为坐标原点. 12(Ⅰ)若直线 AP 与BP 的斜率之积为 ,求椭圆的离心率; 满足 k  3 (Ⅱ)若 AP  OA ,证明直线OP 的斜率 (20)(本小题满分 14 分) k已知函数 f (x)  x  ln(x  a)的最小值为 0,其中 a  0. (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若对任意的 x [0,), a有f (x) ≤kx2 成立,求实数 k的最小值; n2(Ⅲ)证明  ln(2n 1)  2 (n  N* ). 2i 1 i1 第 4 页 共 21 页 试卷解析 【试卷总评】今年天津市高考理科数学试卷所涉及的考点较去年变化不大,试题难度较去年 有一定的下滑,着重考查学生的基础知识的掌握以及推导、运算和数形结合的能力。有如下 特点:1.2012 年的数学试题考点与去年几乎相同,而仅有的几处不同的考点在 2007-2010 年 也相继考过,明细如下: 零点存在定理(小题)——2009 年、2010 年 线线垂直——2007 年错位相减法——2007 年 ,解析几何之斜率问题(大题)。 2.2012 年削弱了对数列的考察,小题不再涉及数列。而解答题 18 题是数列中极为传 统的考 法——求等差等比数列的通项公式与错位相减法;而在第 20 题的第三问继续考查数列不等 式的内容。 3.三角函数解答题在 2011 年考查了正切函数的性质和运算,而今年则回归了以往的考查方 式,考查了正余弦函数的性质。 4.加大了解析几何的难度,在考查题数不变的情况下,将直线和圆放在了选择压轴题的位置, 椭圆大题放在第数第二题(第 19 题)的位置。 5.函数大题难度与去年基本持平。 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 7  i (1)i 是虚数单位,复数 =3 i (A) 2 + i (C)-2 + i (B)2 – i (D)-2 – i (2)设  R, 则“  0 ”是“ f (x)  cos(x )(x  R)为偶函数”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分与不必要条件 第 5 页 共 21 页 (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入 x 的值 为-25 时,输出 x 的值为 (A)-1 (C)3 (B)1 (D)9 (4)函数 f (x)  2x  x3  2在区间(0,1)内的零点个数是 (A)0 (C)2 (B)1 (D)3 1(5)在 (2×2  )5 的二项展开式中, x 的系数为 x(A)10 (C)40 (B)-10 (D)-40 第 6 页 共 21 页 (6)在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c ,已知 8b=5c,C=2B,则 cosC= 77(A) (B) 25 25 24 7(C) (D) 25 25 (7)已知 ABC 为等边三角形,AB=2,设点 P,Q 满足 AP   AB ,AQ  (1 )AC ,  3  R ,若 BQCP  ,则 =211 2 (A) (B) 221 10 (C)  3  2 2 (D) 22第 7 页 共 21 页 (8)设 m,n  R ,若直线 (m 1)x  (n 1)y  2  0与圆 (x 1)2  (y 1)2  1相切,则 m + n 的取值范围是 (A)[1 3,1 3] (B) (,1 3][1 3,) (C)[2  2 2,2 2 2] (D) (,2  2 2][2  2 2,) 应用. 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校 对学生进行视力调查,应从小学中抽取_________所 第 8 页 共 21 页 学校,中学中抽取________所学校. (10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为_________m3. (11)已知集合 A  x  R x 2  3 集合 B  {x  R | (x  m)(x  2)  0}, 且,A  B  (1,n), 则 m =__________,n = __________. 2x  2pt , y  2pt (12)已知抛物线的参数方程为 (t 为参数),其中 p>0,焦点为 F,准线为l . 过 抛物线上一点 M 作 _________. l 的垂线,垂足为 E. 若|EF|=|MF|,点 M 的横坐标是 3,则 p = 【答案】2 【解析】由抛物线的参数方程可知其普通方程为 y2  2px( p  0). EF  MF , ME  MF ,MEF 为等边三角形,E 的横坐标为 p3 pp2 ,M 的横坐标为 3, , p  2. 222【考点定位】本题考查抛物线的方程、定义和其几何性质,考查学生的转化能力和计算能力. 第 9 页 共 21 页 (13)如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作 圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D. 过点 C 作 BD 的 平行线与圆相交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3, DCBAF3EFB=1,EF= ,则线段 CD 的长为____________. 2×2 1 (14)已知函数 y  值范围是_________. 的图象与函数 y  kx  2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取 x 1 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分 13 分) 第 10 页 共 21 页 33已知函数 f (x)  sin(2x  )  sin(2x  )  2cos2 x 1, x  R. (Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期;   (Ⅱ)求函数 f (x) 在区间[ , ]上的最大值和最小值. 4 4 (16)(本小题满分 13 分) 现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性, 约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人 去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (Ⅲ)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记  X Y ,求随机变 量的分布列与数学期望 E .1【解析】依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的概率为 32.3设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 A (i  0,1,2,3,4) i第 11 页 共 21 页 12则P(A )  C4i ( )i ( )4i .i33(17)(本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AC⊥AD, AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1. (Ⅰ)证明 PC⊥AD; (Ⅱ)求二面角 A-PC-D 的正弦值; 第 12 页 共 21 页 (Ⅲ)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面 直线 BE 与 CD 所成的角为 30°,求 AE 的长. 第 13 页 共 21 页 第 14 页 共 21 页 【考点定位】本小题主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成德角、直线 与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运 算能力和推理论证能力.试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题相似, 但底面是非特殊的四边形,一直线垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是第三问中 第 15 页 共 21 页 点 E 的位置是不确定的,需要学生根据已知条件进行确定,如此说来就有难度,因此最好 使用空间直角坐标系解决该问题为好. (18)(本小题满分 13 分) 已知{an }是等差数列,其前 n 项和为 Sn,{bn }是等比数列,且 a1  b1  2,a4  b4  27 S4  b4  10 ,.(Ⅰ)求数列{an } 与{bn }的通项公式; (Ⅱ)记Tn  anb1  an1b2  a1bn ,n  N* ,证明Tn 12  2an 10bn (n  N* ). ak1b  qTk 1(19)(本 小题满分 14 分) 设椭圆 第 16 页 共 21 页 x2 y2 1(a  b  0) 的左、右顶点分别为 A,B ,点 P 在椭圆上且异于 A,B 两点, a2 b2 O为坐标原点. 1(Ⅰ)若直线 AP 与BP 的斜率之积为 ,求椭圆的离心率; 2(Ⅱ)若 AP  OA ,证明直线OP 的斜率 k 满足 k  3 第 17 页 共 21 页 (20)(本小题满分 14 分) 已知函数 f (x)  x  ln(x  a)的最小值为 0,其中 a  0. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若对任意的 x [0,), 有f (x) ≤ k 的最小值; kx2 成立,求实数 第 18 页 共 21 页 n2(Ⅲ)证明  ln(2n 1)  2 (n  N* ). 2i 1 i1 第 19 页 共 21 页 第 20 页 共 21 页 第 21 页 共 21 页

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