2012年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案下载

2012 年普通高等学校招生统一考试数学天津 （理科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 7  i （1）i 是虚数单位，复数 =3 i （A） 2 + i （C）-2 + i （B）2 – i （D）-2 – i （2）设  R, 则“  0 ”是“ f (x)  cos(x )(x  R)为偶函数”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件 （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入 x 的值 为-25 时，输出 x 的值为 （A）-1 （C）3 （B）1 （D）9 （4）函数 f (x)  2x  x3  2在区间(0,1)内的零点个数是 （A）0 （C）2 （B）1 （D）3 1（5）在 (2×2  )5 的二项展开式中， x 的系数为 x（A）10 （C）40 （B）-10 （D）-40 （6）在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a,b,c ，已知 8b=5c，C=2B，则 cosC= 77（A） （C） （B） 25 25 24 7（D） 25 25 （7）已知 ABC 为等边三角形，AB=2，设点 P，Q 满足 AP   AB ，AQ  (1 )AC ，第 1 页 共 21 页   3  R ，若 BQCP  ，则 =211 2 （A） （B） 221 10 （C）  3  2 2 （D） 22（8）设 m,n  R ，若直线 (m 1)x  (n 1)y  2  0与圆 (x 1)2  (y 1)2  1相切，则 m + n 的取值范围是 （A）[1 3,1 3] （C）[2  2 2,2 2 2] 第Ⅱ卷 （B） (,1 3][1 3,) （D） (,2  2 2][2  2 2,) 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. （9）某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校 对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所 学校，中学中抽取________所学校. （10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）， 则该几何体的体积为_________m3. （11）已知集合 A  x  R x 2  3 集合 ，B  {x  R | (x  m)(x  2)  0}, 且A  B  (1,n), 则 m =__________，n = __________. 2x  2pt , y  2pt （12）已知抛物线的参数方程为 （t 为参数）,其中 p>0，焦点为 F，准线为l . 过 抛物线上一点 M 作l 的垂线，垂足为 E. 若|EF|=|MF|，点 M 的横坐标是 3，则 p = _________. （13）如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D. 过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F，AF=3， 3FB=1，EF= ，则线段 CD 的长为____________. 2第 2 页 共 21 页 x2 1 x 1 （14）已知函数 y  值范围是_________. 的图象与函数 y  kx  2 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取 三．解答题：本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分 13 分） 33已知函数 f (x)  sin(2x  )  sin(2x  )  2cos2 x 1, x  R. （Ⅰ）求函数 f (x) 的最小正周期；   （Ⅱ）求函数 f (x) 在区间[ , ]上的最大值和最小值. 4 4 （16）（本小题满分 13 分） 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性， 约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人 去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率； （Ⅱ）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记  X Y ，求随机变 量的分布列与数学期望 E .（17）（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD， AC⊥AD， AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）证明 PC⊥AD； （Ⅱ）求二面角 A-PC-D 的正弦值； （Ⅲ）设 E 为棱 PA 上的点，满足异面 直线 BE 与 CD 所成的角为 30°，求 AE 的长. （18）（本小题满分 13 分） 已知{an }是等差数列，其前 n 项和为 Sn，{bn }是等比数列，且 a1  b1  2,a4  b4  27 ，S4  b4  10 .第 3 页 共 21 页 （Ⅰ）求数列{an } 与{bn }的通项公式； （Ⅱ）记Tn  anb1  an1b2  a1bn n  N* ）. ，n  N* ，证明Tn 12  2an 10bn （（19）（本小题满分 14 分） x2 y2 设椭圆 1(a  b  0) 的左、右顶点分别为 A，B ，点 P 在椭圆上且异于 A，B 两 a2 b2 点， O 为坐标原点. 12（Ⅰ）若直线 AP 与BP 的斜率之积为 ，求椭圆的离心率； 满足 k  3 （Ⅱ）若 AP  OA ，证明直线OP 的斜率 （20）（本小题满分 14 分） k已知函数 f (x)  x  ln(x  a)的最小值为 0，其中 a  0. （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若对任意的 x [0,), a有f (x) ≤kx2 成立，求实数 k的最小值； n2（Ⅲ）证明  ln(2n 1)  2 （n  N* ）. 2i 1 i1 第 4 页 共 21 页 试卷解析 【试卷总评】今年天津市高考理科数学试卷所涉及的考点较去年变化不大，试题难度较去年 有一定的下滑，着重考查学生的基础知识的掌握以及推导、运算和数形结合的能力。有如下 特点：1.2012 年的数学试题考点与去年几乎相同，而仅有的几处不同的考点在 2007-2010 年 也相继考过，明细如下： 零点存在定理（小题）——2009 年、2010 年 线线垂直——2007 年错位相减法——2007 年 ，解析几何之斜率问题（大题）。 2.2012 年削弱了对数列的考察，小题不再涉及数列。而解答题 18 题是数列中极为传 统的考 法——求等差等比数列的通项公式与错位相减法;而在第 20 题的第三问继续考查数列不等 式的内容。 3.三角函数解答题在 2011 年考查了正切函数的性质和运算，而今年则回归了以往的考查方 式，考查了正余弦函数的性质。 4.加大了解析几何的难度，在考查题数不变的情况下，将直线和圆放在了选择压轴题的位置， 椭圆大题放在第数第二题(第 19 题)的位置。 5.函数大题难度与去年基本持平。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 7  i （1）i 是虚数单位，复数 =3 i （A） 2 + i （C）-2 + i （B）2 – i （D）-2 – i （2）设  R, 则“  0 ”是“ f (x)  cos(x )(x  R)为偶函数”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件 第 5 页 共 21 页 （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入 x 的值 为-25 时，输出 x 的值为 （A）-1 （C）3 （B）1 （D）9 （4）函数 f (x)  2x  x3  2在区间(0,1)内的零点个数是 （A）0 （C）2 （B）1 （D）3 1（5）在 (2×2  )5 的二项展开式中， x 的系数为 x（A）10 （C）40 （B）-10 （D）-40 第 6 页 共 21 页 （6）在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a,b,c ，已知 8b=5c，C=2B，则 cosC= 77（A） （B） 25 25 24 7（C） （D） 25 25 （7）已知 ABC 为等边三角形，AB=2，设点 P，Q 满足 AP   AB ，AQ  (1 )AC ，  3  R ，若 BQCP  ，则 =211 2 （A） （B） 221 10 （C）  3  2 2 （D） 22第 7 页 共 21 页 （8）设 m,n  R ，若直线 (m 1)x  (n 1)y  2  0与圆 (x 1)2  (y 1)2  1相切，则 m + n 的取值范围是 （A）[1 3,1 3] （B） (,1 3][1 3,) （C）[2  2 2,2 2 2] （D） (,2  2 2][2  2 2,) 应用. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. （9）某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校 对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所 第 8 页 共 21 页 学校，中学中抽取________所学校. （10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________m3. （11）已知集合 A  x  R x 2  3 集合 B  {x  R | (x  m)(x  2)  0}, 且，A  B  (1,n), 则 m =__________，n = __________. 2x  2pt , y  2pt （12）已知抛物线的参数方程为 （t 为参数）,其中 p>0，焦点为 F，准线为l . 过 抛物线上一点 M 作 _________. l 的垂线，垂足为 E. 若|EF|=|MF|，点 M 的横坐标是 3，则 p = 【答案】2 【解析】由抛物线的参数方程可知其普通方程为 y2  2px( p  0). EF  MF , ME  MF ,MEF 为等边三角形，E 的横坐标为 p3 pp2 ,M 的横坐标为 3， , p  2. 222【考点定位】本题考查抛物线的方程、定义和其几何性质，考查学生的转化能力和计算能力. 第 9 页 共 21 页 （13）如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作 圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D. 过点 C 作 BD 的 平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F，AF=3， DCBAF3EFB=1，EF= ，则线段 CD 的长为____________. 2×2 1 （14）已知函数 y  值范围是_________. 的图象与函数 y  kx  2 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取 x 1 三．解答题：本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分 13 分） 第 10 页 共 21 页 33已知函数 f (x)  sin(2x  )  sin(2x  )  2cos2 x 1, x  R. （Ⅰ）求函数 f (x) 的最小正周期；   （Ⅱ）求函数 f (x) 在区间[ , ]上的最大值和最小值. 4 4 （16）（本小题满分 13 分） 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性， 约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人 去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率； （Ⅱ）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记  X Y ，求随机变 量的分布列与数学期望 E .1【解析】依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 ，去参加乙游戏的概率为 32.3设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 A (i  0,1,2,3,4) i第 11 页 共 21 页 12则P(A )  C4i ( )i ( )4i .i33（17）（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AC⊥AD， AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）证明 PC⊥AD； （Ⅱ）求二面角 A-PC-D 的正弦值； 第 12 页 共 21 页 （Ⅲ）设 E 为棱 PA 上的点，满足异面 直线 BE 与 CD 所成的角为 30°，求 AE 的长. 第 13 页 共 21 页 第 14 页 共 21 页 【考点定位】本小题主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成德角、直线 与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运 算能力和推理论证能力.试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似， 但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中 第 15 页 共 21 页 点 E 的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好 使用空间直角坐标系解决该问题为好. （18）（本小题满分 13 分） 已知{an }是等差数列，其前 n 项和为 Sn，{bn }是等比数列，且 a1  b1  2,a4  b4  27 S4  b4  10 ，.（Ⅰ）求数列{an } 与{bn }的通项公式； （Ⅱ）记Tn  anb1  an1b2  a1bn ，n  N* ，证明Tn 12  2an 10bn （n  N* ）. ak1b  qTk 1（19）（本 小题满分 14 分） 设椭圆 第 16 页 共 21 页 x2 y2 1(a  b  0) 的左、右顶点分别为 A，B ，点 P 在椭圆上且异于 A，B 两点， a2 b2 O为坐标原点. 1（Ⅰ）若直线 AP 与BP 的斜率之积为 ，求椭圆的离心率； 2（Ⅱ）若 AP  OA ，证明直线OP 的斜率 k 满足 k  3 第 17 页 共 21 页 （20）（本小题满分 14 分） 已知函数 f (x)  x  ln(x  a)的最小值为 0，其中 a  0. （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）若对任意的 x [0,), 有f (x) ≤ k 的最小值； kx2 成立，求实数 第 18 页 共 21 页 n2（Ⅲ）证明  ln(2n 1)  2 （n  N* ）. 2i 1 i1 第 19 页 共 21 页 第 20 页 共 21 页 第 21 页 共 21 页