2012 年浙江省高考数学试卷（文科） 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1．（2012•浙江）设全集 U={1，2，3，4，5，6}，设集合 P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则 P∩（CUQ） =（ ） A．{1，2，3，4，6} B．{1，2，3，4，5} C．{1，2，5} D．{1，2} 2．（2012•浙江）已知 i 是虚数单位，则 1﹣2i 2﹣i =（ ） C．2+i A． B． D．1+2i 3．（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ） 3333 A． B． C． D． 6cm 1cm 2cm 3cm 4．（2012•浙江）设 a∈R，则“a=1”是“直线 l1：ax+2y﹣1=0 与直线 l2：x+2y+4=0 平行的（ ） A．充分不必要条件 C． 充分必要条件 B． 必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2012•浙江）设 l 是直线，α，β 是两个不同的平面（ ） A．若 l∥α，l∥β，则 α∥β B．若 l∥α，l⊥β，则 α⊥β C．若 α⊥β，l⊥α，则 l⊥β D．若 α⊥β，l∥α，则 l⊥β 6．（2012•浙江）把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），然后向左 平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是（ ） A B． CD．．．7．（2012•浙江）设 ， 是两个非零向量（ ） A． B． D． 若| + |=| |﹣| |，则 ⊥ 若 ⊥ ，则| + |=| |﹣| | C． 若| + |=| |﹣| |，则存在实数 λ，使得 =λ 若存在实数 λ，使得 =λ ，则| + |=| |﹣| | 8．（2012•浙江）如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点．若 M，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ） A．3 B．2 C． D． 9．（2012•浙江）若正数 x，y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是（ ） A． B． C．5 D．6 10．（2012•浙江）设 a＞0，b＞0，e 是自然对数的底数（ ） abab A． C． B． D． 若 e +2a=e +3b，则 a＞b 若 ea﹣2a=eb﹣3b，则 a＞b 若 e +2a=e +3b，则 a＜b 若 ea﹣2a=eb﹣3b，则 a＜b 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分． 11．（2012•浙江）某个年级有男生 560 人，女生 420 人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个 容量为 280 的样本，则此样本中男生人数为 _________ ． 12．（2012•浙江）从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距 离为 的概率是 _________ ． 13．（2012•浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 _________ ． 14．（2012•浙江）设 z=x+2y，其中实数 x，y 满足 则 z 的取值范围是 _________ ． 15．（2012•浙江）在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM=3，BC=10，则 •= _________ ． 第 2 页 共 18 页 16．（2012•浙江）设函数 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当 x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则 = _________ ． 17．（2012•浙江）定义：曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离，已知曲线 C1 ：y=x2+a 到直线 l：y=x 的距离等于曲线 C2：x2+（y+4）2=2 到直线 l：y=x 的距离，则实数 a= _________ ．三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（2012•浙江）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsinA= acosB． （1）求角 B 的大小； （2）若 b=3，sinC=2sinA，求 a，c 的值． 19．（2012•浙江）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足 an=4log2bn+3，n∈N* ．（1）求 an，bn； （2）求数列{an•bn}的前 n 项和 Tn． 20．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AD∥BC，AD⊥AB，AB= ．AD=2 ，BC=4，AA1=2，E 是 DD1 的中点，F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点． （1）证明： （i）EF∥A1D1； （ii）BA1⊥平面 B1C1EF； （2）求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值． 21．（2012•浙江）已知 a∈R，函数 f（x）=4×3﹣2ax+a． （1）求 f（x）的单调区间； （2）证明：当 0≤x≤1 时，f（x）+|2﹣a|＞0． 22．（2012•浙江）如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P（1， ）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离 为 ．点M（t，1）是 C 上的定点，A，B 是 C 上的两动点，且线段 AB 被直线 OM 平分． （1）求 p，t 的值． （2）求△ABP 面积的最大值． 第 3 页 共 18 页 第 4 页 共 18 页 2012 年浙江省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1．（2012•浙江）设全集 U={1，2，3，4，5，6}，设集合 P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则 P∩（CUQ） =（ ） A．{1，2，3，4，6} B．{1，2，3，4，5} C．{1，2，5} D．{1，2} 考点： 交、并、补集的混合运算。 专题： 计算题。 分析： 由题意，可先由已知条件求出 CUQ，然后由交集的定义求出 P∩（CUQ）即可得到正确选项 解答： 解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}， ∴CUQ={1，2，6}，又 P={1，2，3，4}， ∴P∩（CUQ）={1，2} 故选 D 点评： 本题考查交、并、补的运算，解题的关键是熟练掌握交、并、补的运算规则，准确计算 2．（2012•浙江）已知 i 是虚数单位，则 1﹣2i 2﹣i =（ ） C．2+i A． B． D．1+2i 考点： 复数代数形式的乘除运算。 专题： 计算题。 分析： 由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以 1+i，再由进行计算即可得到答案 解答： 解： 故选 D 点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是 复数考查的重要内容，要熟练掌握 3．（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ） 3333 A． B． C． D． 6cm 1cm 2cm 3cm 考点： 由三视图求面积、体积。 专题： 计算题。 分析： 由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为 1 和 2 的直角三角形，三棱锥的一条侧棱与 底面垂直，且长度是 3，这是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式得到结果． 第 5 页 共 18 页 解答： 解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为 1cm 和 2cm 的直角三角形，面积是 cm2， 三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是 3cm，这是三棱锥的高， ∴三棱锥的体积是 cm3， 故选 A． 点评： 本题考查由三视图还原几何体，本题解题的关键是根据三视图看出几何体的形状和长度，注意三个 视图之间的数据关系，本题是一个基础题． 4．（2012•浙江）设 a∈R，则“a=1”是“直线 l1：ax+2y﹣1=0 与直线 l2：x+2y+4=0 平行的（ ） A．充分不必要条件 C． 充分必要条件 B． 必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断。 专题： 计算题。 分析： 利用充分、必要条件进行推导，结合两直线直线 l1：A1x+B1y+C1=0 与直线 l2：A2x+B2y+C2=0 平行 的充要条件是 A1B2=A2B1≠A2C1 可得答案． 解答： 解：（1）充分性： 当 a=1 时，直线 l1：x+2y﹣1=0 与直线 l2：x+2y+4=0 平行； （2）必要性： 当直线 l1：ax+2y﹣1=0 与直线 l2：x+2y+4=0 平行时有： a•2=2•1，即：a=1． ∴“a=1”是“直线 l1：ax+2y﹣1=0 与直线 l2：x+2y+4=0 平行”充分必要条件． 故选 C． 点评： 本题考查充分条件、必要条件、充分必要条件以及两直线平行的充要条件，属于基础题型，要做到 熟练掌握． 5．（2012•浙江）设 l 是直线，α，β 是两个不同的平面（ ） A．若 l∥α，l∥β，则 α∥β B．若 l∥α，l⊥β，则 α⊥β C．若 α⊥β，l⊥α，则 l⊥β D．若 α⊥β，l∥α，则 l⊥β 考点： 平面与平面之间的位置关系。 专题： 证明题。 分析： 利用面面垂直的判定定理可证明 B 是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题 解答： 解：A，若 l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除 A； B，若 l∥α，l⊥β，则在平面 α 内存在一条直线垂直于平面 β，从而两平面垂直，故 B 正确； C，若 α⊥β，l⊥α，则 l 可能在平面 β 内，排除 C； D，若 α⊥β，l∥α，则 l 可能与 β 平行，相交，排除 D 故选 B 点评： 本题主要考查了空间线面、面面位置关系，空间线面、面面垂直于平行的判定和性质，简单的逻辑 推理能力，空间想象能力，属基础题 6．（2012•浙江）把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），然后向左 平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是（ ） 第 6 页 共 18 页 A． B． C． D． 考点： 函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换。 专题： 证明题；综合题。 分析： 首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线 y=cos（x+1）的图象和余弦曲线 y=cosx 进行对照，可得正确答案． 解答： 解：将函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）， 得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1， 再将 y=cosx+1 图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度， 得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1）， ∵曲线 y=cos（x+1）由余弦曲线 y=cosx 左移一个单位而得， ∴曲线 y=cos（x+1）经过点（ ，0）和（ ，0），且在区间（ ，）上函 数值小于 0 由此可得，A 选项符合题意． 故选 A 点评： 本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换公式等知识点，属于基础题． 7．（2012•浙江）设 ， 是两个非零向量（ ） A． B． D． 若| + |=| |﹣| |，则 ⊥ 若 ⊥ ，则| + |=| |﹣| | C． 若| + |=| |﹣| |，则存在实数 λ，使得 =λ 若存在实数 λ，使得 =λ ，则| + |=| |﹣| | 考点： 平面向量的综合题。 专题： 计算题。 分析： 通过向量特例，判断 A 的正误； 利用向量的垂直判断矩形的对角线长度相等，判断 B 的正误； 通过特例直接判断向量共线，判断正误； 通过反例直接判断结果不正确即可． 解答： 解：对于 A， ，，显然| + |=| |﹣| |，但是 与 不垂直，而是共线， 所以 A 不正确； 对于 B，若 ⊥ ，则| + |=| ﹣ |，矩形的对角线长度相等，所以| + |=| |﹣| |不正确； 对于 C，若| + |=| |﹣| |，则存在实数 λ，使得 =λ ，例如 ，所以正确． ，，显然 =第 7 页 共 18 页 对于 D，若存在实数 λ，使得 =λ ，则| + |=| |﹣| |，例如 ，显然 = ，但是| + |=| |﹣| |，不正确． 故选 C． 点评： 本题考查向量的关系的综合应用，特例法的具体应用，考查计算能力． 8．（2012•浙江）如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点．若 M，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ） A．3 B．2 C． D． 考点： 圆锥曲线的共同特征。 专题： 计算题。 分析： 根据 M，N 是双曲线的两顶点，M，O，N 将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的 2 倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值． 解答： 解：∵M，N 是双曲线的两顶点，M，O，N 将椭圆长轴四等分 ∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的 2 倍 ∵双曲线与椭圆有公共焦点， ∴双曲线与椭圆的离心率的比值是 2 故选 B． 点评： 本题考查椭圆、双曲线的几何性质，解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴长的 2 倍． 9．（2012•浙江）若正数 x，y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是（ ） A． B． C．5 D．6 考点： 基本不等式在最值问题中的应用。 专题： 计算题。 分析： 将 x+3y=5xy 转化成 =1，然后根据 3x+4y=（ ）（3x+4y），展开后利用基本不等式可 求出 3x+4y 的最小值． 解答： 解：∵正数 x，y 满足 x+3y=5xy， ∴=1 ∴3x+4y=（ ）（3x+4y）= + + +≥+2 =5 当且仅当 =时取等号 ∴3x+4y≥5 即 3x+4y 的最小值是 5 第 8 页 共 18 页 故选 C 点评： 本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行 “1”的代换，属于基础题． 10．（2012•浙江）设 a＞0，b＞0，e 是自然对数的底数（ ） abab A． C． B． D． 若 e +2a=e +3b，则 a＞b 若 ea﹣2a=eb﹣3b，则 a＞b 若 e +2a=e +3b，则 a＜b 若 ea﹣2a=eb﹣3b，则 a＜b 考点： 指数函数综合题。 专题： 计算题。 对于 ea+2a=eb+3b，若 a≤b 成立，经分析可排除 B；对于 ea﹣2a=eb﹣3b，若 a≥b 成立，经分析可排除 分析： C，D，从而可得答案． 解答： 解：对于 ea+2a=eb+3b，若 a≤b 成立，则必有 ea≤eb，故必有 2a≥3b，即有 a≥ b 这与 a≤b 矛盾，故 a≤b 成立不可能成立，故 B 不对； 对于 ea﹣2a=eb﹣3b，若 a≥b 成立，则必有 ea≥eb，故必有 2a≥3b，即有 a≥ b，故排除 C，D． 故选 A． 本题考查指数函数综合题，对于 ea+2a=eb+3b 与 ea﹣2a=eb﹣3b，根据选项中的条件逆向分析而排除 点评： 不适合的选项是关键，也是难点，属于难题． 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分． 11．（2012•浙江）某个年级有男生 560 人，女生 420 人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个 容量为 280 的样本，则此样本中男生人数为 160 ． 考点： 分层抽样方法。 专题： 计算题。 分析： 先根据男生和女生的人数做出年纪大总人数，用要抽取得人数除以总人数得到每个个体被抽到的概 率，用男生人数乘以概率，得到结果． 解答： 解：∵有男生 560 人，女生 420 人， ∴年级共有 560+420=980 ∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 280 的样本， ∴每个个体被抽到的概率是 = ， ∴要从男生中抽取 560× =160， 故答案为：160 点评： 本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的 依据，本题是一个基础题． 12．（2012•浙江）从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距 离为 的概率是 ． 考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率。 专题： 计算题。 分析： 先求出随机（等可能）取两点的总数，然后求出满足该两点间的距离为 的种数，最后根据古典概 第 9 页 共 18 页 型的概率公式求之即可． 解答： 解：从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点共有 =10 种 其中两点间的距离为 的必选中心，共有4 种可能 故该两点间的距离为 的概率是 故答案为： =点评： 本题主要考查了古典概型的概率，同时考查了分析问题的能力，属于基础题． 13．（2012•浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ． 考点： 循环结构。 专题： 计算题。 分析： 通过循环框图，计算循环变量的值，当 i=6 时结束循环，输出结果即可． 解答： 解：循环前，T=1，i=2，不满足判断框的条件，第 1 次循环，T= ，i=3， 不满足判断框的条件，第 2 次循环，T= ，i=4， 不满足判断框的条件，第 3 次循环，T= ，i=5， 不满足判断框的条件，第 4 次循环，T= ，i=6， 满足判断框的条件，退出循环，输出结果 ．故答案为： ．第 10 页 共 18 页 点评： 本题考查循环结构的应用，注意循环的变量的计算，考查计算能力． 14．（2012•浙江）设 z=x+2y，其中实数 x，y 满足 则 z 的取值范围是 [0， ] ． 考点： 简单线性规划。 专题： 计算题。 分析： 根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，结合 z 在目标函数中的几何意义，求出目标函数 的最大值、及最小值，进一步线出目标函数 z 的范围． 解答： 解：约束条件 对应的平面区域如图示： 由图易得目标函数 z=2y+x 在 O（0，0）处取得最小值，此时 z=0 在 B 处取最大值，由 可得 B（ ），此时 z= 故 Z=x+2y 的取值范围为：[0， ] 故答案为：[0， ] 第 11 页 共 18 页 点评： 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件，利用目标函数中 z 的几何意 义是关键． 15．（2012•浙江）在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM=3，BC=10，则 •= ﹣16 ． 考点： 平面向量数量积的运算。 专题： 计算题。 分析： 设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ，再由 定义求出结果． =（ ﹣）•（ ﹣）以及两个向量的数量积的 解答： 解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ．又 =﹣，=﹣，∴=（ ﹣）•（ ﹣）= •﹣•﹣•+，=﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos（π﹣θ）+9=﹣16， 故答案为﹣16． 点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题． 16．（2012•浙江）设函数 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当 x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则 = ． 考点： 函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值。 专题： 计算题。 分析： 利用函数的周期性先把 转化成 f（ ），再利用函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数转化成 第 12 页 共 18 页 f（ ），代入已知求解即可． 解答： 解：∵函数 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的函数， ∴=f（ +2）=f（ ）， 又∵函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数， ∴f（ ）=f（ ）， 又∵当 x∈[0，1]时，f（x）=x+1， ∴有：f（ ）= +1= ， 则= ． 故答案为 ． 点评： 本题主要考查函数的性质中的周期性和奇偶性，属于基础题，应熟练掌握． 17．（2012•浙江）定义：曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离，已知曲线 C1 ：y=x2+a 到直线 l：y=x 的距离等于曲线 C2：x2+（y+4）2=2 到直线 l：y=x 的距离，则实数 a= ． 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式。 专题： 计算题。 222分析： 先根据定义求出曲线 C2：x +（y+4）=2 到直线 l：y=x 的距离，然后根据曲线 C1：y=x +a 的切线与 直线 y=x 平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可． 解：圆 x2+（y+4）2=2 的圆心为（0，﹣4），半径为 解答： 圆心到直线 y=x 的距离为 =2 ∴曲线 C2：x2+（y+4）2=2 到直线 l：y=x 的距离为 2 则曲线 C1：y=x2+a 到直线 l：y=x 的距离等于 ﹣=令 y′=2x=1 解得 x= ，故切点为（ ， +a） 切线方程为 y﹣（ +a）=x﹣ 即 x﹣y﹣ +a=0 由题意可知 x﹣y﹣ +a=0 与直线 y=x 的距离为 即解得 a= 或﹣ 当 a=﹣ 时直线 y=x 与曲线 C1：y=x2+a 相交，故不符合题意，舍去 故答案为： 点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析 求解的能力，属于中档题． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（2012•浙江）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsinA= acosB． 第 13 页 共 18 页 （1）求角 B 的大小； （2）若 b=3，sinC=2sinA，求 a，c 的值． 考点： 解三角形。 专题： 计算题。 分析： （1）将已知的等式利用正弦定理化简，根据 sinA 不为 0，等式两边同时除以 sinA，再利用同角三角 函数间的基本关系求出 tanB 的值，由 B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度 数； （2）由正弦定理化简 sinC=2sinA，得到关于 a 与 c 的方程，记作①，再由 b 及 cosB 的值，利用余 弦定理列出关于 a 与 c 的另一个方程，记作②，联立①②即可求出 a 与 c 的值． 解答： 解：（1）由 bsinA= acosB及正弦定理 =，得：sinBsinA= sinAcosB， ∵A 为三角形的内角，∴sinA≠0， ∴sinB= cosB，即 tanB= 又 B 为三角形的内角，∴B= ，；（2）由 sinC=2sinA 及正弦定理 ∵b=3，cosB= ，∴由余弦定理 b2=a2+c2﹣2accosB 得：9=a2+c2﹣ac②， 联立①②解得：a= ，c=2 =，得：c=2a①， ．点评： 此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以 及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键． 19．（2012•浙江）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足 an=4log2bn+3，n∈N* ．（1）求 an，bn； （2）求数列{an•bn}的前 n 项和 Tn． 考点： 数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定。 专题： 计算题。 分析： （I）由 Sn=2n2+n 可得，当 n=1 时，可求 a1=，当 n≥2 时，由 an=sn﹣sn﹣1 可求通项，进而可求 bn （II）由（I）知， ，利用错位相减可求数列的和 2解答： 解（I）由 Sn=2n +n 可得，当 n=1 时，a1=s1=3 当 n≥2 时，an=sn﹣sn﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1 而 n=1，a1=4﹣1=3 适合上式， 故 an=4n﹣1， 又∵足 an=4log2bn+3=4n﹣1 ∴（II）由（I）知， 2Tn=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n 第 14 页 共 18 页 ∴=（4n﹣1）•2n =（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5 本题主要考查了数列的递推公式 和的错位相减求和方法的应用． 点评： 在数列的通项公式求解中的应用，数列求 20．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AD∥BC，AD⊥AB，AB= ．AD=2 ，BC=4，AA1=2，E 是 DD1 的中点，F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点． （1）证明： （i）EF∥A1D1； （ii）BA1⊥平面 B1C1EF； （2）求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值． 考点： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定。 专题： 综合题。 分析： （1）（i）先由 C1B1∥A1D1 证明 C1B1∥平面 ADD1A1，再由线面平行的性质定理得出 C1B1∥EF，证出 EF∥A1D1． （ii）易通过证明 B1C1⊥平面 ABB1A1 得出 B1C1⊥BA1，再由 tan∠A1B1F=tan∠AA1B= ，即 ∠A1B1F=∠AA1B，得出 BA1⊥B1F．所以 BA1⊥平面 B1C1EF； （2）设 BA1 与 B1F 交点为 H，连接 C1H，由（1）知 BA1⊥平面 B1C1EF，所以∠BC1H 是 BC1 与平 面 B1C1EF 所成的角．在 RT△BHC1 中求解即可． （1）证明（i）∵C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面 ADD1A1，∴C1B1∥平面 ADD1A1， 又 C1B1⊂平面 B1C1EF，平面 B1C1EF∩平面平面 ADD1A1=EF， ∴C1B1∥EF，∴EF∥A1D1； 解答： （ii）∵BB1⊥平面 A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1， 又∵B1C1⊥B1A1， ∴B1C1⊥平面 ABB1A1， ∴B1C1⊥BA1， 在矩形 ABB1A1 中，F 是 AA1 的中点，tan∠A1B1F=tan∠AA1B= ，即∠A1B1F=∠AA1B，故 BA1⊥B1F ．所以 BA1⊥平面 B1C1EF； （2）解：设 BA1 与 B1F 交点为 H， 连接 C1H，由（1）知 BA1⊥平面 B1C1EF，所以∠BC1H 是 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角． 第 15 页 共 18 页 在矩形 AA1B1B 中，AB= ，AA1=2，得 BH= ，在 RT△BHC1 中，BC1=2 ，sin∠BC1H= =，所以 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值是 ．点评： 本题考查空间直线、平面位置故选的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证能力、转化、 计算能力． 21．（2012•浙江）已知 a∈R，函数 f（x）=4×3﹣2ax+a． （1）求 f（x）的单调区间； （2）证明：当 0≤x≤1 时，f（x）+|2﹣a|＞0． 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性。 专题： 综合题。 分析： （1）求导函数，再分类讨论：a≤0 时，f′（x）≥0 恒成立；a＞0 时，f′（x）=12×2﹣2a=12（x﹣ ）（x+ ），由此可确定 f（x）的单调递增区间；单调递增区间； （2）由于 0≤x≤1，故当 a≤2 时，f（x）+|2﹣a|=4×3﹣2ax+2≥4×3﹣4x+2；当 a＞2 时，f（x） +|2﹣a|=4×3+2a（1﹣x）﹣2≥4×3+4（1﹣x）﹣2=4×3﹣4x+2，构造函数 g（x）=2×3﹣2x+1，0≤x≤1， 确定 g（x）min=g（ ）=1﹣ ＞0，即可证得结论． （1）解：求导函数可得 f′（x）=12×2﹣2a 解答： a≤0 时，f′（x）≥0 恒成立，此时 f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞） a＞0 时，f′（x）=12×2﹣2a=12（x﹣ ）（x+ ）∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣ ），（ ，+∞）；单调递增区间为（﹣ ，）； （2）证明：由于 0≤x≤1，故 当 a≤2 时，f（x）+|2﹣a|=4×3﹣2ax+2≥4×3﹣4x+2 当 a＞2 时，f（x）+|2﹣a|=4×3+2a（1﹣x）﹣2≥4×3+4（1﹣x）﹣2=4×3﹣4x+2 设 g（x）=2×3﹣2x+1，0≤x≤1，∴g′（x）=6（x﹣ ）（x+ ）ꢀ x ꢀ 0 ꢀ （0， ）﹣ꢀ g′（x） ꢀ g（x） +ꢀ 极小值 第 16 页 共 18 页 ∴g（x）min=g（ ）=1﹣ ＞0 ∴当 0≤x≤1 时，2×3﹣2x+1＞0 ∴当 0≤x≤1 时，f（x）+|2﹣a|＞0． 点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题． 22．（2012•浙江）如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P（1， ）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离 为 ．点M（t，1）是 C 上的定点，A，B 是 C 上的两动点，且线段 AB 被直线 OM 平分． （1）求 p，t 的值． （2）求△ABP 面积的最大值． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质。 专题： 计算题；综合题；转化思想。 分析： （1）通过点 P（1， ）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为 ．列出方程，求出p，t 的值 即可． （2）设 A（x1，y1）（x2，y2），线段 AB 的中点为 Q（m，m），设直线 AB 的斜率为 k，（k≠0） ，利用 推出 AB 的方程 y﹣m= ．利用弦长公式求出|AB|，设点 P 到直线 AB 的距离为 d，利用点到直线的距离公式求出 d，设△ABP 的面积为 S，求出 S= ）| ．利用函数的导数求出△ABP 面积的最大值． =|1﹣2（m﹣m2 解答： 解：（1）由题意可知 得， ．（2）设 A（x1，y1）（x2，y2），线段 AB 的中点为 Q（m，m）， 由题意可知，设直线 AB 的斜率为 k，（k≠0）， 由得，（y1﹣y2）（y1+y2）=x1﹣x2， 故 k•2m=1， 所以直线 AB 方程为 y﹣m= ．即△=4m﹣4m2＞0，y1+y2=2m，y1y2=2m2﹣m． 从而|AB|= =，第 17 页 共 18 页 设点 P 到直线 AB 的距离为 d，则 d= ，设△ABP 的面积为 S，则 S= =|1﹣2（m﹣m2）| ＞0，得 0＜m＜1， ，则 S=u（1﹣2u2）， ．由△= 令 u= ，，则 S′（u）=1﹣6u2，S′（u）=0，得 u= ，所以 S 最大值=S（ ）= 故△ABP 面积的最大值为 ．．点评： 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的简单性质，函数与导数的应用，函数的最大值的求 法，考查分析问题解决问题的能力． 第 18 页 共 18 页
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