2012年理科数学海南省高考真题含答案下载

绝密*启用前 注息事项: 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。 第一卷 一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 （1 ）已知集合 A={1,2,3,4,5} ，B={(x,y)|x A,Y  A,X – Y  A}, 则 B 中所含元素的个数为 （A ）3 （B）6 (C)8 （D）10 (2)将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 （A）12 种 （B）10 种 (C) 9 种 （D）8 种 2（3）下面是关于复数 Z  的四个命题： 1 i P1:|z|=2, P2:z2=2i, P3:z 的共轭复数为 1+i, 期中的真命题为 p4:z 的虚部为-1， （A）p2,p3 (B)P1,P2 (C)P2,P4 (D)P3,P4 xy3a （4）设 F F2 是椭圆 E：  1(a  b  0) 的左、右焦点，P 为直线 x  上一点， 1a2 b2 2F2PF1 是底角为30 的等腰三角形，则 E 的离心率为（） 12233445（A） （B） （C） （D） （5）已知 an 为等比数列， a4  a  2 ，a5a6  8 ，则 a1  a10  7（A）7 （B）5 （C）-5 （D）-7 （6 ）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N(N  2) 和实数 a1,a2 ,…,an ，输出 A,B,则 （A）A+B 为 a1,a2 ,…,an 的和 A B （B） 为 a1,a2 ,…,an 的算术平均数 2（C）A 和 B 分别是 a1,a2 ,…,an 中最大的数和最小的数 （D）A 和 B 分别是 a1,a2 ,…,an 中最小的数和最大的数 第 1 页 共 14 页 （7）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A）6 （B）9 （C）12 （D）18 （8）等轴双曲线 C 的中心在原点，检 点在 X 轴上，C 与抛物线 y2  16x 的准线交于 A，B 两点，|AB|=4 的实轴长为 3 ，则 C （A） （C）4 2（B）2 （D）8 24（9）已知 w>0,函数 f(x)=sin( x+ )2在（ ，π）单调递减。则△t 的取值范围是 1 5 1 3 12(A) [ ,](B)[ ,](C)(O, ](D)(0,2] 2 4 2 4 1(10) 已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的图像大致为 ln(x 1) – x 第 2 页 共 14 页 （11）已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上，△ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的 直径，且 SC=2,则此棱锥的体积为 2322（A） （B） （C） （D） 66321（12）设点 P 在曲线 y= ex 上，点 Q 在曲线 y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为 2（A） 1-ln2 （B） 2 (1-ln2)（C）1+ln2 （D） 2 (1+ln2) 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （13）已知向量 a,b 夹角为 450 ，且|a|=1，|2a-b|= 10 ,则|b|= x – y  -1 x  y  3 x  0 (14) 设 x,y 满足约束条件 则 z=x-2y 的取值范围为 y  0 （15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则 部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 N（1000，502 ），且各个 元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 第 3 页 共 14 页 （16）数列{ a an }的前 60 项和为 n }满足 an1  (1)n an =2n-1，则{ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 12 分） 已知 a.b.c 分别为△ABC三个内角 A，B，C的对边 acos c  3asin c  b  c  0 (1)求 A (2) 若 a=2,△ABC的面积为 18.（本小题满分 12 分） 3 求 b,c 某花店每天以每枝 5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10元的价格出售， 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。 （Ｉ）若花店一天购进 16枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n（单位： 枝，nN）的函数解析式。 （ＩＩ）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 （i）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，x 表示当天的利润（单位：元），求 x 的分布列，数学期望及方差； （ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由。 （19）（本小题满分 12 分） 1如图，之三棱柱 ABC- A B1C1 中 AC=BC= AA1 ，D 是棱 AA1 的中点， DC1  BD 12(Ｉ)证明： DC1  BC （ＩＩ）求二面角 A  BD  C1 的大小 1（20）（本小题满分 12 分） 设抛物线 C:X 2  2PY (P>0)的交点为 F，准线为 I，A 为 C 上的一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径 的圆 F 交 I 于 B，D 两点。 第 4 页 共 14 页 （I）若 BFD  900 （II）若 A，B,F三点在同一直线 m上，直线 n与 m平行，且 n与 C只有一个公共点，求 ，ABD 的面积为 4 2求 P 的值及圆 F 的方程； 坐标原点 m，n距离的比值。 （21）（本小题满分 12分） 1已知函数 f(x)满足满足 f(x)=f‘(1)ex1  f (0)x  x2 2（I） 求f(x)的解析式及单调区间； 1（II） 若f(x) 2请考生在第 22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请 x2  ax  b，求（a+1）b 的最大值 写清题号。 （22）（本小题满分 10分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，D，E分别为△ABC边 AB，AC的中点，直线 DE交于△ABC的外接圆于 F，G两点， 若 CF//AB，证明： （I） CD=BC； （II）△BCD∽△GBD (23)(本小题满分 10 分)选修 4—4；坐标系与参数方程 x  2cos y  3sin 已知曲线C1 的参数方程是 (为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立 坐标系，曲线 C2 的坐标系方程是   2 ，正方形 ABCD 的顶点都在C2 上，且 A、B、C、D 依逆时针 3次序排列，点 A 的极坐标为（2， ）（I） （II） 求点 A、B、C、D 的直角坐标； 设 P 为 C1 上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2 的取值范围。 （24）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 f(x) = |x + a| + |x – 2|. (I) 当 a = -3 时，求不等式 f(x) ≥3 的解集； (II) 若 f(x)≤|x – 4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围。 第 5 页 共 14 页 第一卷 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题 一． 目要求的。 （1）已知集合 A {1,2,3,4,5} , B {(x, y) x A, yA, x  y A}；,则 B中所含元素 的个数为（ ）(A) 【解析】选 3(B) 6(C) (D)  Dx  5, y 1,2,3,4 ，x  4, y 1,2,3 ，x  3, y 1,2 ，x  2, y 1共 10 个 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 名学生组成，不同的安排方案共有（ （2）将 2每个小组由 名教师， 4 名学生分成 2 名教师和 12）(A) 12 【解析】选 种(B) 10 种(C) 种(D) 种 A甲地由 1名教师和 2名学生：C21C42 12 种2（3）下面是关于复数 z  p1 : z  2 的四个命题：其中的真命题为（ ）1 i p2 : z2  2i (B) p1, p2 2(1i) p3 : z 的共轭复数为1 i (C) p , p p4 : z 的虚部为 1 (A) p2 , p3 (D) p, p 【解析】选 C2z   1i 1 i (1 i)(1i) p1 : z  2 ，p2 : z2  2i ，p3 : z 的共轭复数为 1 i ， p4 : z 的虚部为 1 x2 y2 （4）设 F F2 是椭圆 E : 1(a  b  0) 的左、右焦点， P 为 1a2 b2 3a 直线 x  上一点， 2F2PF1 是底角为30 的等腰三角形，则 E的离心率为（ ）1223(A) (B) (C) (D) 【解析】选 CF2PF1 是 底角为30 的等腰三角形3c34 PF2  F2F  2( a  c)  2c  e  12a，（5）已知 a为等比数列， a4  a7  2 a5a6  8 ，则 a1  a10  (C)  （）n (A) 【解析】选 7(B) 5(D)  D，a4  a7  2 a5a6  a4a7  8  a4  4,a7  2 或a4  2,a7  4 a4  4,a7  2  a1  8,a10 1 a1  a10  7 a4  2,a7  4  a10  8,a1 1 a1  a10  7 第 6 页 共 14 页 （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N(N  2) 实数 a1,a2 ,…,an ，输出 A, B ，则（ 和）(A) A B 为a1,a2 ,…,an 的和 A B (B) 为a1,a2 ,…,an 的算术平均数 2和(C) ABB分别是 a1,a2 ,…,an 中最大的数和最小的数 (D) A 和分别是 a1,a2 ,…,an 中最小的数和最大的数 【解析】选 C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ 1，粗线画出的 ）(A) 【解析】选 6(B) 9(C)  (D)  B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为 31 1 此几何体的体积为V   633  9 3 2 （8）等轴双曲线 C的中心在原点，焦点在 y2  16x 的准线交于 A, B x轴上， ）C 与抛物线 两点， AB  4 3；则 C的实轴长为（ (A) 2(B) 2 2 (C)  (D) 【解析】选 C设C : x2  y2  a2 (a  0) A(4,2 3)B(4,2 3) 得： a2  (4)2  (2 3)2  4  a  2  2a  4 交y2  16x 的准线l : x  4 于42（9）已知  0 ，函数 f (x)  sin(x  ) 在( , ) 上单调递减。则 的取值范围是（ ）1 5 1 3 1(C) (0, ] 2(A) [ , ] (B) [ , ] (D) (0,2] 2 4 2 4 【解析】选 A45 9   2  (x  )[ ,]不合题意 排除(D) 44第 7 页 共 14 页 43 5  1 (x  )[ ,] 合题意 排除(B)(C) 44242454 3 2 2 另：(  )      2 ， (x  )[   ,  ]  [ , ]3 12得：   ,     2424241（10） 已知函数 f (x)  ；则 y  f (x) 的图像大致为（ ）ln(x 1)  x 【解析】选 Bxg(x)  ln(1 x)  x  g (x)   1 x  g (x)  0  1 x  0, g (x)  0  x  0  g(x)  g(0)  0 得： x  0 1 x  0 均有 f (x)  0 排除 A,C, D 的求面上， ABC 是边长为 的直径，且 SC  2 ；则此棱锥的体积为（ 或（11）已知三棱锥 S  ABC 的所有顶点都在球 O1的正三角形， SC 为球 O）2322(A) (B) (C) (D) 6632【解析】选 A363ABC 的外接圆的半径 r  ，点 O到面 ABC 的距离 d  R2  r2  32 6 SC 为球 O的直径 点S到面 ABC 的距离为 2d  3第 8 页 共 14 页 113 26 2此棱锥的体积为V  SABC 2d   3343613另：V  SABC 2R  排除 B,C, D 361（12）设点 P在曲线 y  ex 上，点 Q在曲线 y  ln(2x)上，则 PQ 最小值为（ ）2(A) 1 ln 2 (B) 2(1 ln 2) (C) 1 ln 2(D) 2(1 ln 2) 【解析】选 A1函数 y  ex 与函数 y  ln(2x)互为反函数，图象关于 y  x 对称 21ex  x 112函数 y  ex 上的点 P(x, ex ) 到直线 y  x 的距离为 d  222111 ln 2 xx设函数 g(x)  e  x  g (x)  e 1 g(x)min 1 ln 2  dmin 222由图象关于 y  x 对称得： PQ 最小值为 2dmin  2(1 ln 2) 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。     （13）已知向量 a,b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b  10 ；则 b  _____ 【解析】 b  _____ 3 2      2 2a b  10  (2a b)2 10  4  b  4 b cos45 10  b  3 2 x, y  0 (14) 设 x, y 满足约束条件： x  y  1；则 z  x  2y 的取值范围为 x  y  3 【解析】 z  x  2y 的取值范围为 约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域：O(0,0), A(0,1), B(1,2),C(3,0) z  x  2y[3,3] [3,3] 则（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从 正态分布 N(1000,502 ) ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命 超过 1000 小时的概率为 第 9 页 共 14 页 38【解析】使用寿命超过 1000 小时的概率为 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N(1000,502 ) 12得：三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p  34超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 P 1 (1 p)2  13那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p2  p1  p  8（16）数列{an}满足 an1  (1)n an  2n 1，则{an}的前 60 项和为 【解析】{an}的前 60 项和为 1830 可证明：bn1  a4n1  a4n2  a4n3  a4n4  a4n3  a4n2  a4n2  a4n 16  bn 16 1514 b  a1  a2  a3  a4 10  S15 1015 16 1830 12三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 12 分） 已知 a,b,c 分别为 ABC 三个内角 A, B,C 的对边， acosC  3asinC b  c  0 （1）求 A（2）若 a  2 ，ABC 的面积为 3 ；求b,c 。 【解析】（1）由正弦定理得： acosC  3asinC b  c  0  sin AcosC  3sin AsinC  sin B  sinC  sin AcosC  3sin AsinC  sin(a  C)  sinC 1 3sin A cos A 1 sin(A30 )  2 A30  30  A  60 1（2） S  bcsin A  3  bc  4 2a2  b2  c2  2bccos A  b  c  4 解得：b  c  2 （l fx lby） 18.（本小题满分 12 分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售， 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。 （1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润 y (单位：元)关于当天需求量 n （单位：枝， n N ）的函数解析式。 （2）花店记录了 100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 第 10 页 共 14 页 以 100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 （i）若花店一天购进16枝玫瑰花， 数学期望及方差； X 表示当天的利润（单位：元），求 X 的分布列， （ii）若花店计划一天购进 16枝或 17枝玫瑰花，你认为应购进 16枝还是 17枝？ 请说明理由。 【解析】（1）当 n 16时， y 16(10 5)  80 当n 15时， y  5n 5(16  n) 10n 80 10n 80(n 15) 得： y  (n N) 80 (n 16) 70 80 P(X  60)  0.1, P(X  70)  0.2, P(X  80)  0.7 （2）（i） X可取 60 ，，X的分布列为 60 70 80 X0.1 0.2 0.7 PEX  600.1 700.2 800.7  76 DX 162 0.1 62 0.2  42 0.7  44 （ii）购进 17枝时，当天的利润为 y  (14535)0.1 (155 25)0.2  (16515)0.16 1750.54  76.4 76.4  76 得：应购进 17枝 （19）（本小题满分 12 分） 1如图，直三棱柱 ABC  A B C1 中， AC  BC  AA ，1112D是棱 AA1 的中点， DC1  BD （1）证明： DC1  BC （2）求二面角 A  BD  C1 的大小。 1【解析】（1）在 RtDAC 中， AD  AC 得： ADC  45 同理： A DC1  45  CDC1  90 1得： DC1  DC, DC1  BD  DC1  （2） DC1  BC,CC1  BC  BC  ACC1A  BC  AC A B1 的中点 OH  BD 于点 H ，连接C1O,C1H 面BCD  DC1  BC 面1取O，过点 O作1AC1  B C1  C1O  A B1 ，面 A B C1  面A BD C1O  重合 面 A BD 1111111OH  BD  C1H  BD 得：点 H与点 D且C1DO 是二面角 A  BD  C1 的平面角 12a 设AC  a ，则C1O  ，C1D  2a  2C1O  C1DO  30 2既二面角 A  BD  C1 的大小为30 1（20）（本小题满分 12 分） 第 11 页 共 14 页 设抛物线C : x2  2py( p  0) 的焦点为 F，准线为 l，AC ，已知以 F 为圆心， FA 为半径的圆 F交l于B, D两点； （1）若 BFD  900 （2）若 A, B, F 三点在同一直线 m 上，直线 求坐标原点到 m,n 距离的比值。 ，ABD 的面积为 4 2；求 p的值及圆 F与的方程； 只有一个公共点， n与 m 平行，且 nC【解析】（1）由对称性知： BFD 是等腰直角  ，斜边 BD  2p 点A到准线 l的距离 d  FA  FB  2p 1SABD  4 2 BD d  4 2 p  2 2圆F的方程为 x2  (y 1)2  8 x02 p（2）由对称性设 A(x0 , )(x0  0) ，则 F(0, ) 2p 2×02 对称得： B(x0 , p  )  p  2p x02 p点A, B 关于点 F  x02  3p2 2p 23p p3p p3p 22得： A( 3p, )，直线 m : y  x  x  3y   0 2223p x2 x333p p , ) x2  2py  y   y   x  p  切点 P( p  0 2p p33336p33p 直线 n : y  (x  )  x  3y  3p 3p 6336坐标原点到 m,n 距离的比值为 : 3 。（lfx lby） 26（21）（本小题满分 12分） 1已知函数 f (x) 满足满足 f (x)  f (1)ex1  f (0)x  x2 ；2（1）求 f (x) 的解析式及单调区间； 1（2）若 f (x)  x2  ax  b ，求 (a 1)b 的最大值。 21x1 2【解析】（1） f (x)  f (1)e  f (0)x  x  f (x)  f (1)ex1  f (0)  x 2令x 1得： f (0) 1 1x1 21 f (x)  f (1)e  x  x  f (0)  f (1)e 1 f (1)  e 21x2x得： f (x)  e  x  x  g(x)  f (x)  e 1 x 2xg (x)  e 1 0  y  g(x) 在x R 上单调递增 f (x)  0  f (0)  x  0, f (x)  0  f (0)  x  0 第 12 页 共 14 页 1得： f (x) 的解析式为 f (x)  ex  x  x2 2且单调递增区间为 (0,)，单调递减区间为 (,0) 1x（2） f (x)  x2  ax  b  h(x)  ex  (a 1)x b  0 得h (x)  e  (a 1) 2①当 a 1 0时， h (x)  0  y  h(x) 在x R 上单调递增 x   时， h(x)  h(x)  0矛盾 与②当 a 1 0时， h (x)  0  x  ln(a 1),h (x)  0  x  ln(a 1) 得：当 x  ln(a 1) 时， h(x)min  (a 1)  (a 1)ln(a 1) b  0 (a 1)b  (a 1)2  (a 1)2 ln(a 1)(a 1 0) F(x)  x2  x2 ln x(x  0) ；则 F (x)  x(1 2ln x) 令F (x)  0  0  x  e, F (x)  0  x  e e当x  e 时， F(x)max  2e当2请考生在第 22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， a  e 1,b  e 时， (a 1)b 的最大值为 做答时请写清题号。 （22）（本小题满分 10分）选修 4-1：几何证明选讲 如图， D, E 分别为 ABC ABC 的外接圆于 F,G 两点，若CF / /AB ，证明： （1）CD  BC 边AB, AC 的中点，直线 DE 交；（2） BCD  GBD 【解析】（1）CF / /AB ，DF / /BC  CF/ /BD/ /AD  CD  BF CF / /AB  AF  BC  BC  CD （2） BC / /GF  BG  FC  BD BC / /GF  GDE  BGD  DBC  BDC  BCD  GBD （23）本小题满分 10 分)选修 4—4；坐标系与参数方程 x  2cos y  3sin 已知曲线C1 的参数方程是 为极轴建立坐标系，曲线 (为参数) ，以坐标原点为极点， x轴的正半轴 2 上， C2 的坐标系方程是   2 ，正方形 ABCD 的顶点都在C 3且A, B,C, D 依逆时针次序排列，点 （1）求点 A, B,C, D 的直角坐标； （2）设 1 上任意一点，求 PA 2  PB 2  PC 2  PD 2 的取值范围。 A的极坐标为 (2, ) P为C 35 64 311 6【解析】（1）点 A, B,C, D 的极坐标为 (2, ),(2,),(2, ),(2, )点A, B,C, D 的直角坐标为 (1, 3),( 3,1),(1, 3),( 3,1) x  2cos 0（2）设 P(x0 , y0 )；则 (为参数) y0  3sin t  PA 2  PB 2  PC 2  PD 2  4×2  4y2  40 第 13 页 共 14 页  56  20sin2  [56,76]（lfxlby） （24）（本小题满分 10 分）选修 4 5 ：不等式选讲 已知函数 f (x)  x  a  x  2 （1）当 a  3时，求不等式 f (x)  3的解集； （2）若 f (x)  x  4 的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围。 【解析】（1）当 a  3时， f (x)  3  x 3  x  2  3 x  2 2  x  3 x  3 或或  3 x  2  x  3 3 x  x  2  3 x 3 x  2  3  x 1 或x  4 （2）原命题  f (x)  x  4 在[1,2]上恒成立  x  a  2  x  4  x 在[1,2]上恒成立  2  x  a  2  x  3  a  0 在[1,2]上恒成立 第 14 页 共 14 页