2008年北京高考理科数学试题及答案下载

2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页，共 150 分．考试时间 120 分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40 分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上． 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． 1．已知全集 U  R ，集合 A  x | 2≤ x≤3 ，B  x | x  1或x  4 ，那么集合 A ð B 等于（ ）UA． x | 2≤ x  4 B． x | x≤3或x≥4 C． x | 2≤ x  1 D． x | 1≤ x≤3 2π 2．若 a  20.5 ，b  logπ 3 ，c  log2 sin ，则（ ）5A． a  b  c B．b  a  c C． c  a  b D．b  c  a 3．“函数 f (x)(xR) 存在反函数”是“函数 f (x) 在R上为增函数”的（ ）A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．若点 A．圆 P到直线 x  1的距离比它到点 (2，0) 的距离小 1，则点 P的轨迹为（ ）B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 x  y 1≥0， 5．若实数 x，y 满足 x  y≥0， 则z  3x2 y 的最小值是（ ）x≤0， A．0 B．1 C． 3D．9 第 1 页 共 12 页 6．已知数列 A． 165 a对任意的 p，qN* 满足 apq  ap  aq ，且 a2  6 ，那么 a10 等于（ ）  nB． 33 C． 30 D． 21 7．过直线 y  x 上的一点作圆 (x 5)2  (y 1)2  2的两条切线 l1，l2 ，当直线 l1，l2 关于 y  x 对称时，它们之间的夹角为（ ）A．30 B． 45 C． 60 D．90 8．如图，动点 P 在正方体 ABCD  A B C1D1 的对角线 BD1 上．过点 P 作垂直于平面 11BB D D 的直线，与正方体表面相交于 M，N ．设 BP  x ，MN  y ，则函数 y  f (x) 11的图象大致是（ ）yyyyA1 OOOOxxxxA． B． C． D． A2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷） 第Ⅱ卷（共 110 分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在题中横线上． 9．已知 (a i)2  2i ，其中 i是虚数单位，那么实数 a  ．10 ． 已 知 向 量 a与b的 夹 角 为 120 ， 且a  b  4 ， 那 么b(2a  b) 的 值 为．n1x3 11．若 x2  展开式的各项系数之和为 32，则 n  ，其展开式中的常数项 为．（用数字作答） 12 ． 如 图 ， 函 数f (x) 的 图 象 是 折 线 段ABC ， 其 中A，B，C 的 坐 标 分 别 为 yAC4321第 2 页 共 12 页 B1xO2 3 4 56 (0，4)，(2，0)，(6，4) ，则 f ( f (0))  f (1 x)  f (1) ；lim ．（用数字作答） x0 x π π 13．已知函数 f (x)  x2  cos x ，对于  ， 上的任意 x1，x2 ，有如下条件： 2 2 ①x1  x2 ； ②x12  x22 ； ③ x1  x2 ．其中能使 f (x1)  f (x2 )恒成立的条件序号是 ．14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 k棵树种植在 点P (xk，yk ) 处，其中 x1 1 ，y1 1，当 k ≥2 时， kk 1 5k  2  xk  xk1 15 T T ，5k 1 5k  2 yk  yk1 T T ．5T(a) 表示非负实数 a的整数部分，例如T(2.6)  2 ，T(0.2)  0 ．按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为 ；第 2008 棵树种植点的坐标应 为．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共 13 分） π已知函数 f (x)  sin2 x  3sinxsin x  （  0 ）的最小正周期为 π ． 2（Ⅰ）求 的值； 2π （Ⅱ）求函数 f (x) 在区间 0， 上的取值范围． 316．（本小题共 14 分） 如 图 ， 在 三 棱 锥P  ABC 中 ，AC  BC  2 PC  AC （Ⅰ）求证： PC  AB （Ⅱ）求二面角 B  AP C 的大小； （Ⅲ）求点 到平面APB 的距离． ，ACB  90 ，AP  BP  AB ，P．；ABCC第 3 页 共 12 页 17．（本小题共 13 分） 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少 有一名志愿者． （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （Ⅲ）设随机变量 为这五名志愿者中参加 A岗位服务的人数，求 的分布列． 18．（本小题共 13 分） 2x b ，求导函数 f (x)，并确定 f (x) 的单调区间． 已知函数 f (x)  (x 1)2 19．（本小题共 14 分） 已知菱形 ABCD 的顶点 A，C 在椭圆 x2  3y2  4上，对角线 BD 所在直线的斜率为 1． （Ⅰ）当直线 BD 过点 (0，1) 时，求直线 AC 的方程； （Ⅱ）当 ABC  60 时，求菱形 ABCD 面积的最大值． 20．（本小题共 13 分） 对于每项均是正整数的数列 A：a1，a2，，an ，定义变换 T ，T1 将数列 A 变换成数列 1T (A)：n，a1 1，a2 1，，an 1 ．1对于每项均是非负整数的数列 B：b，b2，，bm ，定义变换T2 ，T2 将数列 B 各项从大到小 1排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2 (B) ；又定义 S(B)  2(b  2b2  mbm )  b2  b22  bm2 ．11设A0 是每项均为正整数的有穷数列，令 Ak1  T2 (T (A ))(k  0，1，2，) ．1k（Ⅰ）如果数列 A0 为 5，3，2，写出数列 A，A2 ； 1（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列 A，证明 S(T (A))  S(A) ；1第 4 页 共 12 页 （Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0 ，存在正整数 K ，当 k ≥K 时， S(A )  S(A ) ．k1 k2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 8．B 9． 1 13．② 10． 011．5 10 12． 22 14． (1，2) (3，402) 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15．（共 13 分） 1 cos2x 33112解：（Ⅰ） f (x)  sin 2x  sin 2x  cos2x  2222π1 sin 2x  ．62因为函数 f (x) 的最小正周期为 2π π，且  0 ，所以  π ，解得 1 ．2 π12（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f (x)  sin 2x  ．62π 因为 0≤ x≤ ，3ππ7π 所以  ≤2x  ≤ ，6166π所以  ≤sin 2x  ≤1 ，26π1332因此 0≤sin 2x  ≤ ，即 f (x) 的取值范围为 0， ．62216．（共 14 分） 第 5 页 共 12 页 解法一： PC（Ⅰ）取 AB 中点 D ，连结 PD，CD ．  AP  BP PD  AB  AC  BC CD  AB ，．，．DBAPD CD  D ，P AB  平面 PCD PC  平面 PCD ．E，PC  AB ．BA（Ⅱ） AC  BC ，AP  BP ，△APC ≌△BPC ．C又PC  AC ，PC  BC ．又ACB  90 ，即 AC  BC ，且 AC  PC  C ，BC 平面 PAC AP 中点 ．连结BE，CE  AB  BP BE  AP EC BE 在平面 PAC 内的射影， CE  AP BEC 是二面角 B  AP C 的平面角． ．取E．，．是．3在△BCE 中， BCE  90 ，BC  2 ，BE  AB  6 ，2BC BE 6sin BEC  ．36二面角 B  AP C 的大小为 arcsin ．PC3（Ⅲ）由（Ⅰ）知 AB 平面 PCD ，H过平面 APB  平面 PCD CH  PD ，垂足为 平面 APB  平面 PCD  PD ．DBAC作H ． ，CH  平面 APB ．CH 的长即为点 C 到平面 APB 的距离． 由（Ⅰ）知 PC  AB，又 PC  AC ，且 AB  AC  A ，PC 平面 ABC CD  平面 ABC ．，PC  CD ．13在Rt△PCD 中，CD  AB  2 ，PD  PB  6 ，22第 6 页 共 12 页 PC  PD2 CD2  2 PCCD 2 3 ．．CH  PD 32 3 3点C到平面 APB 的距离为 ．解法二： （Ⅰ） AC  BC ，AP  BP ，△APC ≌△BPC ．又PC  AC ，PC  BC ． AC  BC  C ，PC 平面 ABC  AB 平面 ABC ．，PC  AB ．（Ⅱ）如图，以 C为原点建立空间直角坐标系C  xyz ．则设C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0) P(0，0，t) ．z．PEH PB  AB  2 2 t  2 P(0，0，2) AP 中点 ，连结BE，CE  AC  PC AB  BP CE  AP BE  AP ，yxAB，．C取E．，，，．BEC 是二面角 B  AP C 的平面角．   E(0，1，1) ，EC  (0，1，1) ，EB  (2，1，1) ，  ECEB 23cosBEC  ．  32 6 EC  EB 3二面角 B  AP C 的大小为 arccos ．3（Ⅲ） AC  BC  PC ，C 在平面 APB 内的射影为正 △APB 的中心 离． H ，且 CH 的长为点 C 到平面 APB 的距 第 7 页 共 12 页 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C  xyz ．  ，BH  2HE 2 2 2 点H的坐标为 ，， ．3 3 3   CH  2 3 3．2 3 3点C到平面 APB 的距离为 17．（共 13 分） 解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加 ．A3 13A岗位服务为事件 EA ，那么 P(EA )  ，C52 A44 40 1即甲、乙两人同时参加 A岗位服务的概率是 ．40 A44 1（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E，那么 P(E)  ，C52 A44 10 9所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P(E) 1 P(E)  ．10 （Ⅲ）随机变量  可能取的值为 1，2．事件“  2”是指有两人同时参加 A 岗位服务， C52 A3 143则P(  2)  ．C53 A44 34所以 P( 1) 1 P(  2)  ，的分布列是 133414P18．（共 13 分） 2(x 1)2  (2x b)2(x 1) (x 1)4 解： f (x)  2x  2b  2 (x 1)3 第 8 页 共 12 页 2[x  (b 1)] (x 1)3   ．令当f (x)  0，得 x  b 1 ．b 11，即b  2时， f (x)的变化情况如下表： (，b 1) b 1 x(b 1，1) (1， ) f (x) 0b 11，即b  2 时， f (x)的变化情况如下表： 当(，1) (b 1， ) b 1 x(1，b 1) f (x) 0所以，当b  2时，函数 f (x) 在(，b 1) 上单调递减，在 (b 1，1) 上单调递增， 在当(1， ) 上单调递减． b  2 时，函数 f (x) 在(，1) 上单调递减，在 (1，b 1) 上单调递增，在 (b 1， ) 上单调递减． 2当b 11，即b  2 时， f (x)  ，所以函数 f (x) 在(，1) 上单调递减，在 (1， ) x 1 上单调递减． 19．（共 14 分） 解：（Ⅰ）由题意得直线 BD 的方程为 y  x 1 ．因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC  BD ．于是可设直线 AC 的方程为 y  x  n ．22x  3y  4， 由得4×2  6nx  3n2  4  0 ．y  x  n 因为 A，C 在椭圆上， 第 9 页 共 12 页 4 3 34 3 3所以   12n2  64  0 ，解得  n  ．设则A，C 两点坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2 ) ， 3n 3n2  4 x1  x2  ，x1x2  ，y1  x1  n ，y2  x2  n ．24n所以 y1  y2  ．23n n 所以 AC 的中点坐标为 ，．4 4 3n n 由四边形 ABCD 为菱形可知，点 ，在直线 y  x 1上， 4 4 n3n 所以 1，解得 n  2 ．44所以直线 AC 的方程为 y  x  2，即 x  y  2  0 （Ⅱ）因为四边形 ABCD 为菱形，且 ABC  60 所以 AB  BC  CA ．，．3所以菱形 ABCD 的面积 S  AC 2 ．23n2 16 由（Ⅰ）可得 AC 2  (x1  x2 )2  (y1  y2 )2  ，234 3 34 3 3所以 S  (3n2 16)   n  ．4所以当 n  0 时，菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 20．（共 13 分） ．（Ⅰ）解： A：5，3，2 ，0T (A )：3，4，2，1 ，10A  T2 (T (A ))：4，3，2，1 ；110T (A )：4，3，2，1，0 ，11第 10 页 共 12 页 A2  T2 (T (A ))：4，3，2，1 ．11（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列 A为a1，a2，，an ，则T (A) 为n，a1 1 ，a2 1 ，，an 1 ，1从而 S(T (A))  2[n  2(a1 1)  3(a2 1)  (n 1)(an 1)] 1n2  (a1 1)2  (a2 1)2  (an 1)2 ．又S(A)  2(a1  2a2  nan )  a12  a22  an2 ，所以 S(T (A))  S(A) 1 2[n  2 3 (n 1)] 2(a1  a2  an ) n2  2(a1  a2  an )  n  n(n 1)  n2  n  0 ，故S(T (A))  S(A) ．1（Ⅲ）证明：设 A是每项均为非负整数的数列 a1，a2，，an ．当存在1≤i  j ≤n ，使得 ai ≤aj 时，交换数列 的第项与第 j 项得到数列 B ， Ai则S(B)  S(A)  2(iaj  jai iai  jaj )  2(i  j)(aj  ai )≤0 ．当存在1≤m  n ，使得 am1  am2   an  0时，若记数列 a1，a2，，am 为 S(C)  S(A) C ， 则．所以 S(T2 (A))≤S(A) ．从而对于任意给定的数列 A0 ，由 Ak1  T2 (T (A ))(k  0，1，2，) 1k可知 S(A )≤S(T (A )) ．k1 1k又由（Ⅱ）可知 S(T (A ))  S(A ) ，所以 S(A )≤S(A ) ．1kkk1 k即对于 k N ，要么有 S(A )  S(A ) ，要么有 S(A )≤S(A ) 1 ．k1 kk1 k因为 S(A ) 是大于 2 的整数，所以经过有限步后，必有 S(A )  S(A )  S(A )  ．kkk1 k2 第 11 页 共 12 页 即存在正整数 K，当 k ≥K 时， S(A )  S(A ) ．k1 k第 12 页 共 12 页