2008年理科数学海南省高考真题含答案下载

第 1 页共 13 页 2008年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）理科数学数学（理）试题头说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第 22－24 题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．参考公式：样本数据 x1，x2， …，xn 的标准参锥体体积公式 11222  s= (x1  x)  (x2  x) …  (xn  x) 　　　　V= Sh n3其中 x柱体体积公式为样本平均数其中 S 为底面面积，h 为高球的表面积、体积公式 4V=Sh S  4R2 ，V  R3 3其中 S 为底面面积，h 为高其中 R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数 y  2sin(x )(  0) )在区间 0，2 的图像如下： y12π x1O那么 ＝（）1213A．1 B．2 C． D． z2  2z z 1 2．已知复数 z 1i ，则 =（）第 1 页共 13 页第 2 页共 13 页 A． 2i B． 2i C． 2D． 2 3．如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为（）534378A． B． C． D． 18 2开始输入 a，b，c x  a S4 a2 4．设等比数列 a的公比 q=2，前 n 项和为 S ，则 =（）  nn15 217 2A． 2B． 4C． D．是b  x 5．右面的程序框图，如果输入三个实数 a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选 x  b x  c 否项中的（）是A． c  x B． x  c C． c  b D．b  c 否输出 x结束 6．已知 a1＞a2＞a3＞0，则使得 (1 ai x)2 1(i 1，2，3)都成立的 x 取值范围是（）1212A． 0， B． 0， C． 0， D． 0， a1 a1 a3 a3 3sin 70 7． （）2  cos2 10 1223A． B． C． 2D． 228．平面向量 a，b 共线的充要条件是（ A．a，b 方向相同）B．a，b 两向量中至少有一个为零向量 C．∃  R D．存在不全为零的实数 1 9．甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（，b  a ，2 ，1a  2b  0 ）A．20 种 B．30 种 C．40 种 D．60 种 1110．由直线 x  ，x=2，曲线 y  及 x 轴所围图形的面积为（）2×15 417 41A． B． C． ln 2 D． 2ln 2 2第 2 页共 13 页第 3 页共 13 页 11．已知点 P 在抛物线 y2  4x 上，那么点 P 到点Q(2，1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（）11A．，1 B．，1 C． (1，2) D． (1， 2) 4412．某几何体的一条棱长为 7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6的线段，在该几何体）的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大值为（ A． 2 2 B． 2 3 C． 4D． 2 5 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．已知向量 a  (0，1，1) ，b  (4，1，0) ，a  b  29 且  0，则  　　　　． x2 y2 14．设双曲线 1的右顶点为 A，右焦点为 F．过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交 916 于点 B，则△AFB 的面积为　　　　　　． 15．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱 9柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　　　． 816．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：甲品种：271　273　280　285　285 287　292　294　295　301　303　303　307 308　310　314　319　323　325　325 328　331　334　337　352 乙品种：284　292　295　304　306　307　312　313　315　315　316　318　318 320　322　322　324　327　329　331　333　336　337　343　356 由以上数据设计了如下茎叶图乙甲3543102127 28 29 30 77553942456874031 2355688857543132 33 34 35 0136232647 9 72根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ①　　　　　　　　　　　　　　　；第 3 页共 13 页第 4 页共 13 页 ②　　　　　　　　　　　　　　　．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）已知 a是一个等差数列，且 a2 1 ，a5  5 ．  n（Ⅰ）求（Ⅱ）求 a  n的通项 an ；a  n前 n 项和 S 的最大值． n18．（本小题满分 12 分）如图，已知点 P 在正方体 ABCD  A B C D的对角线 BD 上， PDA  60     ．（Ⅰ）求 DP 与CC 所成角的大小； D  （Ⅱ）求 DP 与平面 AA D D 所成角的大小． CABPDCAB19．（本小题满分 12 分） A，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1 和 X2．根据市场分析，X1 和 X2 的分布列分别为 X1 5％ 10％ X2 2％ 8％ 12％ 0.8 0.2 0.2 0.5 0.3 PP（Ⅰ）在 A，B 两个项目上各投资 100 万元，Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 DY1，DY2；（Ⅱ）将 x(0≤ x≤100) 万元投资 A 项目，100  x 万元投资 B 项目， f (x) 表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和．求 f (x) 的最小值，并指出 x 为何值时， f (x) 取到最小值．（注： D(aX  b)  a2DX ）第 4 页共 13 页第 5 页共 13 页 20．（本小题满分 12 分） x2 y2 在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C1： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2．F2 也是抛物线 C2： a2 b2 5y2  4x 的焦点，点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点，且｜MF2｜= （Ⅰ）求 C1 的方程；．3  （Ⅱ）平面上的点 N 满足 MN  MF  MF2 ，直线 l∥MN，且与 C1 交于 A，B 两点，若OAOB  0 ，求 1直线 l 的方程． 21．（本小题满分 12 分） 1设函数 f (x)  ax  (a，bZ) ，曲线 y  f (x) 在点 (2，f (2))处的切线方程为 y=3． x  b （Ⅰ）求 f (x) 的解析式：（Ⅱ）证明：函数 y  f (x) 的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线 y  f (x) 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲如图，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点为 A ，过 A 点作直线 AP 垂直直线OM ，垂足为 P ．（Ⅰ）证明：OM OP  OA2 ；（Ⅱ） N为线段 AP 上一点，直线 NB 垂直直线 ON ，且交圆 O于B点．过 B点的切线交直线 ON 于 K．证明：∠OKM  90 ．BKANMOP23．（本小题满分 10 分）选修 4－4；坐标系与参数方程第 5 页共 13 页第 6 页共 13 页 2x  y  t  2， x  cos， 2已知曲线 C1：（为参数），曲线 C2：（t 为参数）． y  sin 22（Ⅰ）指出 C1，C2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数； （Ⅱ）若把 C1，C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1 ，C2 ．写出C1 ，C2 的参数方 与C2 公共点的个数和 C1 与C2 公共点的个数是否相同？说明你的理由．程．C1 24．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f (x)  x 8  x  4 （Ⅰ）作出函数 y  f (x) 的图像；（Ⅱ）解不等式 x 8  x  4  2 ．y．1Ox1第 6 页共 13 页第 7 页共 13 页答案 BBDCA BCDAD AC （13）3 （14） 32 15 4 3（15）（16）. 1.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）。 2 ．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）. 3 ．甲品种棉花的纤维长度的中位效为 307mm，乙品种棉花的纤谁长度的中位数为 318mm 4 ．乙品种棉花的纤堆长度基本上是对称的．而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352 ）外．也大致对称．其分布较均匀．三、解答题（17）解： a  d 1 1（1）设 a的公差为 d，由已知条件，，解出 a1  3,d  2 ，  na1  4d  5 所以 a  a  n 1 d  2n  5 。n1n n1 2（2） Sn  na1  d  n2  4n  4  n  2 2所以 n  2 时， Sn 取到最大值 4。（18）解：如图，以 D为原点， DA 为单位长度建立空间直角坐标系 D  xyz 。  则DA  1,0,0 ,CC  0,0,1 .连结 BD, BD .z在平面 BBDD 中，延长 DP 交BD 于 H . DCH第 7 页共 13 页 ABPDCyAB第 8 页共 13 页  设DH  M , M ,1 M  0 ,   由已知 DH, DA  60 ,     由DADH  DA DH cos DH, DA 可得 2m  2m2 1 。 222解得 m  ，所以 DH  ,,1 222220  0 11   222（Ⅰ）因为 cos  DH，CC  ，21 2   所以  DH，CC  45 ．CC 所成的角为 45 ．即DP 与 （Ⅱ）平面 AA D D 的一个法向量是 DC  (0，1，0)   ．220  110   122因为 cos  DH，DC  ，21 2   所以  DH，DC  60 ．可得 DP 与平面 AA D D 所成的角为30 19．解：．  （Ⅰ）由题设可知Y1 和Y2 的分布列分别为 Y1 510 0.8 0.2 Y2 2812 P0.2 0.5 0.3 EY  50.8100.2  6 ，1PDY  (5 6)2 0.8 (10  6)2 0.2  4 ，1EY2  20.2 80.5120.3  8 ，第 8 页共 13 页第 9 页共 13 页 DY2  (2 8)2 0.2  (88)2 0.5 (12 8)2 0.3 12 ．x100  x 100 （Ⅱ） f (x)  D Y  D Y1  2  100 22 x100  x 100 DY  DY2 1100 422  x  3(100  x) 1002 4(4×2  600x  31002 ) ，1002 600 当x   75 时， f (x)  3为最小值． 24 20．解：（Ⅰ）由C2 ：y2  4x 知F2 (1，0) ．553设M (x1，y1) ，M在C2 上，因为 MF2  ，所以 x1 1 ，3232 6 3得x1  ，y1  ．M在C1 上，且椭圆C1 的半焦距 c 1，于是 481，消去b2 并整理得 9a2 3b2 22b  a 1. 9a4 37a2  4  0 ，1解得 a  2 （a  不合题意，舍去）． 3×2 y2 故椭圆 C1 的方程为 1 ．43   （Ⅱ）由 MF  MF2  MN 知四边形 MF NF2 是平行四边形，其中心为坐标原点 O ， 11因为l∥MN ，所以 l与OM 的斜率相同， 2 6 32故l的斜率 k   6 ．3第 9 页共 13 页第 10 页共 13 页设由l的方程为 y  6(x  m) ．223x  4y 12，消去 y并化简得 y  6(x  m)， 9×2 16mx 8m2  4  0 A(x1，y1) B(x2，y2 ) 16m ．，设，8m2  4 x1  x2  ，x1x2  ．99  因为OA  OB ，所以 x1x2  y1 y2  0 ．x1x2  y1 y2  x1x2  6(x1  m)(x2  m)  7x1x2  6m(x1  x2 )  6m2 8m2  4 16m  7  6m  6m2 991 (14m2  28)  0 ．9所以 m  2 ．此时   (16m)2  49(8m2  4)  0 ，故所求直线 l的方程为 y  6x  2 3，或 y  6x  2 3 ．21．解： 1（Ⅰ） f (x)  a  ，(x  b)2 12  b 192a  a  1， a  ， a 1， 4于是解得或b  1， 8 0， b  . (2  b)2 31因a，bZ，故 f (x)  x  ．x 1 1（Ⅱ）证明：已知函数 y1  x ，y2  都是奇函数． x1所以函数 g(x)  x  也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形． x第 10 页共 13 页第 11 页共 13 页 1而f (x)  x 1 1 ．x 1 可知，函数 g(x) 的图像按向量 a  (1，1) 平移，即得到函数 f (x) 的图像，故函数 f (x) 的图像是以点 (1，1) 为中心的中心对称图形． 1（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点 x ，x  ．00×0 1 1由f (x0 ) 1 知，过此点的切线方程为 (x0 1)2 x02  x0 1 1y   1 (x  x0 ) ．x0 1 (x0 1)2 x0 1 x0 1 x 1 x0 1 令令x 1得 y  ，切线与直线 x 1交点为 1，0 ．y  x 得y  2×0 1，切线与直线 y  x 交点为 (2×0 1，2×0 1) ．直线 x 1与直线 y  x 的交点为 (1，1) 1 x0 1 ．12从而所围三角形的面积为 1 2×0 11  2×0  2  2 ．2 x0 1 2 x0 1 所以，所围三角形的面积为定值 2．22．解：（Ⅰ）证明：因为 MA是圆 O的切线，所以OA  AM ．又因为 AP  OM ．在 Rt△OAM 中，由射影定理知， OA2  OM OP ．（Ⅱ）证明：因为 BK 是圆 O的切线， BN  OK ．同（Ⅰ），有OB2  ONOK ，又OB  OA ，ON OM 所以OPOM  ONOK ，即 ．OP OK 又∠NOP ∠MOK ，所以△ONP ∽△OMK ，故∠OKM ∠OPN  90 23．解：．（Ⅰ） C1 是圆，C2 是直线． C1 的普通方程为 x2  y2 1，圆心C1(0，0) ，半径 r 1 ．第 11 页共 13 页第 12 页共 13 页 C2 的普通方程为 x  y  2  0 因为圆心 1 到直线 x  y  2  0 的距离为所以 2 与 1 只有一个公共点．．C1， CC（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为 2x  cos， x  t  2， 2C1 ：：（为参数）； C2 （t 为参数）． 1y  sin 22y  t412×2  4y2 1 ，C2 ：y  x  ，化为普通方程为：C1 ：22联立消元得 2×2  2 2x 1 0 其判别式   (2 2)2  421 0 ，，所以压缩后的直线C2 与椭圆C1 仍然只有一个公共点，和 C1 与 C2 公共点个数相同． 24．解： 4， x≤ 4， （Ⅰ） f (x)  2x 12， 4  x≤8， 4 x  8. 图像如下： y421Ox321-2 -1 48-2 -4 （Ⅱ）不等式 x 8  x  4  2 ，即 f (x)  2 2x 12  2 x  5 ，由得．第 12 页共 13 页第 13 页共 13 页由函数 f (x) 图像可知，原不等式的解集为 (∞，5) ．第 13 页共 13 页