2010年海南高考理科数学试题 本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分，其中第 II卷第（22）- （24）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题 无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上 的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2、选择题答案使用 2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号， 非选择题答案使用 0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。 5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。 参考公式： 样本数据 x1, x2 ,xn 的标准差 锥体体积公式 11s [(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2 ] V Sh n3其中 x为样本平均数 其中 S 为底面面积， h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式[来源:Z。xx。 k.Com] 4V Sh S 4 R2 V R3 3其中 S为底面面积， h为高 其中 R 为球的半径 第 1 页 共 22 页 第 I卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）已知集合 A {| x | 2, x R}},B {x | x 4, xZ},则 A B (A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} 3 i (1 3i)2 (2)已知复数 z ， z 是 z 的共轭复数，则 z z = 11A. B. C.1 D.2 42x(3)曲线 y 在点（-1，-1）处的切线方程为 x 2 （A）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2 (4)如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0（ 为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为 2 ，- 2 ），角速度 （5）已知命题 p1 ：函数 y 2x 2x 在 R为增函数， p2 ：函数 y 2x 2x 在 R为减函数， 第 2 页 共 22 页 则在命题 q1 ：p1 p2 ，q2 ：，p1 p2 ，q3 ： p p2 和 q4 1 ：p p 中，真命 2 1题是 （A） q1 ，q3 （B） q2 q3 （C） q1 ，q4 （D） q2 ，q4 （6）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需 再补种 2粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为 （A）100 （B）200 （C）300 （D）400 （ 7 ） 如 果 执 行 右 面 的 框 图 ， 输 入N 5， 则 输 出 的 数 等 于 5（A） 44（B） 56（C） 55（D） 6（8）设偶函数 f (x) 满足 f (x) x3 8(x 0) ，则{x | f (x 2) 0} (A) {x | x 2或x 4} (C) {x | x 0或x 6} (B) {x | x 0或x 4} (D) {x | x 2或x 2} 第 3 页 共 22 页 21 tan 1 tan 45（9）若 cos ，是第三象限的角，则 211(A) (B) (C) 2(D) -2 22（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面 积为 711 3(A) a2 (B) a2 (C) a2 (D) 5a2 3| lg x |,0 x 10, （11）已知函数 f (x) 若a,b,c 互不相等，且 f (a) f (b) f (c), 则 1 x 6, x 10. 2 abc 的取值范围是 (A) (1,10) (B) (5,6) 的中心为原点， P(3,0) 的方程式为 (C) (10,12) (D) (20,24) （12）已知双曲线 E是 E 的焦点，过 F 的直线l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N(12,15),则 Ex2 y2 x2 y2 (A) (C) 1 1 (B) (D) 1 3645×2 y2 x2 y2 1 6354第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都 必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （13）设 y f (x) 为区间[0,1] 上的连续函数，且恒有 0 f (x) 1，可以用随机模拟方法 近似计算积分 1 f (x)dx ，先产生两组（每组 N 个）区间[0,1] 上的均匀随机数 x1, x2 ,… xN 0 和y1, y2 ,… yN ， 由 此 得 到N 个 点(x1, y1)(i 1,2,… ,N) ， 再 数 出 其 中 满 足 y1 f (x1)(i 1,2,… ,N) 的点数 N1 ，那么由随机模拟方案可得积分 1 f (x)dx 的近似值 0 为。第 4 页 共 22 页 （14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种） （15）过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B（2,1），则圆 C 的方程为____ 1(16)在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD= DC， ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为 23 3 ，则 BAC=_______ 三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤 （17）（本小题满分 12 分） 设数列 a满足 a1 2,an1 an 322n1 n（1） 求数列 a的通项公式； n（2） 令bn nan ，求数列的前 n 项和 Sn (18)（本小题满分 12 分） 如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形， AB CD,AC BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高 ，E 为 AD 中点 （1） 证明：PE BC （2） APB= ADB=60°，求直线 PA 与平面 若PEH 所成角的正弦值 (19)(本小题 12 分) 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老 年人，结果如下： 是否需要志愿 需要 性别 男女40 30 160 270 不需要 （1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （2） 能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的 老年人的比例？说明理由 附： 第 5 页 共 22 页 （20）（本小题满分 12 分） x2 y2 设F , F2 分别是椭圆 E : 1(a b 0) 的左、右焦点，过 F1 斜率为 1 的直线i 1a2 b2 与E相交于 A, B 两点，且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 （1）求 的离心率； （2） 设点p(0,1) 满足 PA PB ，求 EE的方程 （21）（本小题满分 12 分） 设函数 f (x) ex 1 x ax2 。（1） 若a 0 ，求 f (x) 的单调区间； f (x) 0，求 的取值范围 （2） 若当x 0 时a请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，已经圆上的弧 ，过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明： （Ⅰ）∠ACE=∠BCD； （Ⅱ）BC2=BF×CD。 （23）（本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 第 6 页 共 22 页 x 1 t cos y t sin x cos y sin 已知直线 C1 （t 为参数），C2 （ 为参数）， 3（Ⅰ）当 =时，求 C1 与 C2 的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点 O做 C1的垂线，垂足为 ，P为 OA中点，当 参数方程，并指出它是什么曲线。 变化时，求 P 点的轨迹的 （24）（本小题满分 10 分）选修 4-5，不等式选项 设函数 f (x) 2x 4l 1 （Ⅰ）画出函数 y f (x) 的图像 （Ⅱ）若不等式 f (x) ≤ax 的解集非空，求 a 的取值范围。 第 7 页 共 22 页 数学试题参考答案 一、选择题 （1）D （7）D （2）A （3）A （8）B （9）A （4）C （5）C （6）B （10）B （11）C （12）B 二、填空题 N1 （13） （14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分） N（15） (x 3)2 y2 2 （16）60° 三、解答题 （17）解： （Ⅰ）由已知，当 n≥1 时， an1 [(an1 an ) (an an1) (a2 a1)] a1 3(22n1 22n3 2) 2 22(n1)1 。而a1 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an 22n1 。（Ⅱ）由bn nan n22n1 知Sn 12 223 325 n22n1 ①②从而 22 Sn 123 225 327 n22n1 ①-②得 (1 22 )Sn 2 23 25 22n1 n22n1 。1即Sn [(3n 1)22n1 2] 9（18）解： 以H为原点， HA, HB, HP 分别为 x, y, z 轴，线段 HA 的长为单位长， 建立空间直角坐 标系如图， 则A(1,0,0), B(0,1,0) 第 8 页 共 22 页 （Ⅰ）设 C(m,0,0), P(0,0,n)(m 0,n 0) 1 m 则D(0,m,0), E( ,,0). 2 2 1 m 可得 PE ( ,,n), BC (m,1,0). 2 2 m m 因为 PE BC 0 0 22所以 PE BC 33（Ⅱ）由已知条件可得 m ,n 1,故 C( , 0, 0) 33313D(0, ,0), E( , ,0), P(0,0,1) 326设n (x, y, x) 为平面 PEH 的法向量 123x y0 n HE o, n HP o, 6则即z 0 因此可以取 n (1, 3,0) ， 由PA (1,0,1) ， 2可得 cos PA,n 42所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为 （19）解： 4第 9 页 共 22 页 （1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要 70 帮助的老年人的比例的估算值为 14% 500 500(40270 30160)2 20030070430 （2） K2 9.967 。由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地 区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老 年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样 方法更好． （20.）解： （I）由椭圆定义知 AF2 BF2 AB 4a ，又 2 AB AF2 BF2 ，4得AB a 3l的方程为 y x c ，其中 c a2 b2 。设A x, y 1 ，B x, y ，则 A、B 两点坐标满足方程组 2 12y x c 2xy2 1 a2 b2 化简的 a2 b2 x2 2a2cx a2 c2 b2 0 a2 c2 b2 2a2c 则x1 x2 , x1x2 a2 b2 a2 b2 因为直线 AB 斜率为 1，所以 AB 2 x x 2 x x 2 4x1x2 2 211434ab2 a2 b2 得a ,故a2 2b2 ca2 b2 a2所以 E 的离心率 e a2（II）设 AB 的中点为 N x, y ，由（I）知 0 0第 10 页 共 22 页 x1 x2 a2c 2cx0 c ，y0 x0 c 。2a2 b2 33由即PA PB ，得 kPN 1 ，y0 1 1 x0 得c 3，从而 a 3 2,b 3 x2 y2 故椭圆 E 的方程为 （21）解： 1 。18 9（1） a 0 时， f (x) ex 1 x ，f ‘(x) ex 1 .当x(,0) 时， f ‘(x) 0；当 x(0,) 时， f ‘(x) 0 .故 f (x) 在(,0)单调 减少，在 (0,)单调增加 （II） f ‘(x) ex 1 2ax 由（I）知 ex 1 x ，当且仅当 x 0 时等号成立.故 f ‘(x) x 2ax (1 2a)x ，1从而当1 2a 0，即 a 时， f ‘(x) 0 (x 0) ，而 f (0) 0 ，2于是当 x 0 时， f (x) 0 .1由ex 1 x(x 0)可得 ex 1 x(x 0) .从而当 a 时， 2f ‘(x) ex 1 2a(ex 1) ex (ex 1)(ex 2a) ，故当 x(0,ln 2a)时， f ‘(x) 0，而 f (0) 0，于是当 x(0,ln 2a)时， f (x) 0 .1综合得 （22）解： a的取值范围为 (, ] .2（I）因为 AC BC ,所以 BCD ABC .又因为 EC 与圆相切于点 C，故 ACE ABC ，第 11 页 共 22 页 所以 ACE BCD .（II）因为 ECB CDB,EBC BCD ,BC CD 所以 BDC ∽ECB ，故 ，BE BC 即BC2 BE CD .(23)解： 3 （Ⅰ）当 时， C1 的普通方程为 y 3(x 1) ，C2 的普通方程为 x2 y2 1。联立 y 3(x 1) x2 y2 1 13方程组 （Ⅱ） ，解得 C1 与C2 的交点为（1,0） ， 。22C1 的普通方程为 xsin ycos sin 0 。A 点坐标为 sin2 cos sin ，故当 变化时，P 点轨迹的参数方程为： 1x sin2 2为参数 1y sin cos 22141x y2 16 P 点轨迹的普通方程为 。11故 P 点轨迹是圆心为 ，0 ，半径为 的圆。 44（24） 解： 2x 5，x 2 2x 3，x 2 f (x) （Ⅰ）由于 则函数 y f (x) 的图像如图所示。 第 12 页 共 22 页 12a y f (x) y ax y ax 的图像可知，当且仅当 a 2 时，函数 （Ⅱ）由函数 与函数 或y f (x) f (x) ax a的解集非空时， 的取值范围 与函数 的图像有交点。故不等式 为1。， 2 ， 2第 13 页 共 22 页 选择填空解析： 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）（2010•海南）已知集合 A={x∈R||x|≤2}}， ，则 A∩B=（ ） A．（0，2） B．[0，2] 【考点】交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】计算题． C．{0，2] D．{0，1，2} 【分析】先化简集合 A 和 B，注意集合 B 中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义 求解． 【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}， 故 A∩B={0，1，2}． 应选 D． 【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数 等知识，属于基础题． 2．（5 分）（2010•海南）已知复数 ， 是z 的共轭复数，则 =（ ） A． B． C．1 D．2 【考点】复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有 【分析】因为 ，所以先求|z|再求 的值． 【解答】解：由 另解： 可得 ．故选 A． 【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的 一些运算性质可以简化运算． 3．（5 分）（2010•海南）曲线 y= 在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（ ） D．y=﹣2x﹣2 A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】常规题型；计算题． 【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求 出在 x=﹣1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 第 14 页 共 22 页 【解答】解：∵y= ，∴y′= ，所以 k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为 2，所以 k=2； 所以曲线 y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为： y+1=2×（x+1），即 y=2x+1． 故选 A． 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 4．（5 分）（2010•新课标）如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0 （，﹣ ），角速度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为（ ） A． B． C． D． 【考点】函数的图象．菁优网版权所有 【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点 P 的位置到到 x 轴距离来确定答 案． 【解答】解：通过分析可知当 t=0 时，点 P 到 x 轴距离 d 为 ，于是可以排除答案A，D， 再根据当 时，可知点 P 在 x 轴上此时点 P 到 x 轴距离 d 为 0，排除答案 B， 故应选 C． 【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题． 第 15 页 共 22 页 5．（5 分）（2010•海南）已知命题 p1：函数 y=2x﹣2﹣x 在 R 为增函数，p2：函数 y=2x+2﹣x 在 R 为减函数，则在命题 q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2 和 q4：p1∧（￢p2）中， 真命题是（ ） A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4 【考点】复合命题的真假；指数函数与对数函数的关系．菁优网版权所有 【专题】简易逻辑． 【分析】先判断命题 p1 是真命题，P2 是假命题，故 p1∨p2 为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（ ﹣p2）为真命题． 【解答】解：易知 p1 是真命题，而对 p2：y′=2xln2﹣ ln2=ln2（ ）， 当 x∈[0，+∞）时， ，又ln2＞0，所以 y′≥0，函数单调递增； 同理得当 x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故 p2 是假命题． 由此可知，q1 真，q2 假，q3 假，q4 真． 故选 C． 【点评】只有 p1 与 P2 都是真命题时，p1∧p2 才是真命题．只要 p1 与 p2 中至少有一个真命题， p1∨p2 就是真命题． 6．（5 分）（2010•海南）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有 发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为（ ） A．100 B．200 C．300 D．400 【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与 n 次独立重复试验的模型．菁优网版权所有 【专题】计算题；应用题． 【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，即不发芽 率为 0.1，故没有发芽的种子数 ξ 服从二项分布，即 ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种 2 个，故补种的种子数记为 X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果． 【解答】解：由题意可知播种了 1000 粒，没有发芽的种子数 ξ 服从二项分布，即 ξ～B（1000 ，0.1）． 而每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X 故 X=2ξ，则 EX=2Eξ=2×1000×0.1=200． 故选 B． 【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．属 于基础性题目． 7．（5 分）（2010•新课标）如果执行右面的框图，输入 N=5，则输出的数等于（ ） 第 16 页 共 22 页 A． B． C． D． 【考点】设计程序框图解决实际问题．菁优网版权所有 【专题】操作型． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作 用是累加并输出 S= 的值． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加并输出 S= 的值． ∵S= =1﹣ = 故选 D． 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处 理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类 型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分 析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 8．（5 分）（2010•海南）设偶函数 f（x）满足 f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（ ）A．{x|x＜﹣2 或 x＞4} B．{x|x＜0 或 x＞4} C．{x|x＜0 或 x＞6} D．{x|x＜﹣2 或 x＞2} 【考点】偶函数；其他不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】由偶函数 f（x）满足 f（x）=2x﹣4（x≥0），可得 f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶 函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案． 【解答】解：由偶函数 f（x）满足 f（x）=2x﹣4（x≥0），可得 f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4， 第 17 页 共 22 页 则 f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使 f（|x﹣2|）＞0，只需 2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2 解得 x＞4，或 x＜0． 应选：B． 【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是 利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算． 9．（5 分）（2010•海南）若 ，α 是第三象限的角，则 =（ ） A． B． C．2 D．﹣2 【考点】半角的三角函数；弦切互化．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】将欲求式 中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角 α 与待求式中角 的差别，注意消除它们之间的不同． 【解答】解：由 ，α 是第三象限的角， ∴可得 ，则，应选 A． 【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识 以及相应的运算能力． 10．（5 分）（2010•海南）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球 面上，则该球的表面积为（ ） A．πa2 B． C． D．5πa2 【考点】球内接多面体．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面 积． 【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点 就是球心，则其外接球的半径为 ，第 18 页 共 22 页 球的表面积为 ，故选 B． 【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空 间形象能力． 11．（5 分）（2010•海南）已知函数 ，若 a，b，c 互不相等， 且 f（a）=f（b）=f（c），则 abc 的取值范围是（ ） A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24） 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数 的图像与性质．菁优网版权所有 【专题】作图题；压轴题；数形结合． 【分析】画出函数的图象，根据 f（a）=f（b）=f（c），不妨 a＜b＜c，求出 abc 的范围即 可． 【解答】解：作出函数 f（x）的图象如图， 不妨设 a＜b＜c，则 ab=1， 则 abc=c∈（10，12）． 故选 C． 【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力． 12．（5 分）（2010•海南）已知双曲线 E 的中心为原点，P（3，0）是 E 的焦点，过 P 的 直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N（﹣12，﹣15），则 E 的方程式为（ ） A． B． C． D． 【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】已知条件易得直线 l 的斜率为 1，设双曲线方程，及 A，B 点坐标代入方程联立相 减得 x1+x2=﹣24，根据 =，可求得 a 和 b 的关系，再根据 c=3，求得 a 和 b， 进而可得答案． 【解答】解：由已知条件易得直线 l 的斜率为 k=kPN=1， 第 19 页 共 22 页 设双曲线方程为 ，A（x1，y1），B（x2，y2）， 则有 ，两式相减并结合 x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30 得 =，从而= =1 即 4b2=5a2， 又 a2+b2=9， 解得 a2=4，b2=5， 故选 B． 【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力． 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．（5 分）（2010•海南）设 y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有 0≤f（x）≤1， 可以用随机模拟方法近似计算积分 ，先产生两组（每组 N 个）区间[0，1]上 的均匀随机数 x1，x2，…xN 和 y1，y2，…yN，由此得到 N 个点（xi，yi）（i=1，2，…，N）， 再数出其中满足 yi≤f（xi）（i=1，2，…，N）的点数 N1，那么由随机模拟方案可得积分 的近似值为 ． 【考点】模拟方法估计概率；定积分在求面积中的应用；几何概型．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】要求∫ f（x）dx 的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得． 【解答】解：由题意可知 得，故积分 的近似值为 ．故答案为： ．【点评】本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础 题． 第 20 页 共 22 页 14．（5 分）（2010•海南）正视图为一个三角形的几何体可以是 三棱锥、三棱柱、圆锥（ 其他正确答案同样给分） （写出三种） 【考点】简单空间图形的三视图．菁优网版权所有 【专题】阅读型． 【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图 为线段的情形，即可回答本题． 【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、 四棱锥等等． 故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱． 【点评】本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力． 15．（5 分）（2010•海南）过点 A（4，1）的圆 C 与直线 x﹣y=1 相切于点 B（2，1），则 圆 C 的方程为 （x﹣3）2+y2=2 ． 【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【专题】压轴题． 【分析】设圆的标准方程，再用过点 A（4，1），过 B，两点坐标适合方程，圆和直线相切， 圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程． 【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2， 则，解得 ，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2． 故答案为：（x﹣3）2+y2=2． 【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解． 16．（5 分）（2010•海南）在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD= DC，∠ADB=120°，AD=2 ，若△ADC 的面积为 ，则∠BAC= 60° ． 【考点】余弦定理的应用．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题． 【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC 的面积求得 DC，进而根据三角形 ABC 的面 积求得 BD 和 BC，进而根据余弦定理求得 AB．最后在三角形 ABC 中利用余弦定理求得 cos∠BAC，求得∠BAC 的值． 【解答】解：由△ADC 的面积为 可得 解得 ，则 ．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°= ，，第 21 页 共 22 页 则=．故∠BAC=60°． 【点评】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问 题的能力以及相应的运算能力． 第 22 页 共 22 页
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