2008年天津高考文科数学试题及答案(Word版)下载

绝密 ★ 启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分 钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位 置粘贴考试用条形码。 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3.本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。 参考公式： 如果时间 A，B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B） 球的表面积公式 S  4 R2 .如果事件 A，B 相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B） 其中 R 表示球的半径. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. （1）设集合U {x N | 0  x  8} （A）{1,2,4} ，S {1,2,4,5} ，T {3,5,7}，则 S  (ð T)  U（B）{1,2,3,4,5,7}　 （C）{1,2} （D）{1,2,4,5,6,8} 解析：因为ðT {1,2,4,6,8}，所以 S  (ð T) {1,2,4}，选 A． UUx  y  0 （2）设变量 x, y 满足约束条件 x  y  1 ，则目标函数 z  5x  y 的最大值为 x  2y  1 （A）2 　　　　（B）3 　　　　 （C）4 　　　　（D）5 第 1 页 共 11 页 　解 析 ： 如 图 ， 由 图 象 可 知 目 标 函 数 z  5x  y 过点 A(1,0) 选 D． 时z取得最大值， zmax  5 ，（3）函数 y 1 x （0  x  4）的反函数是 1 x  3 ）　　 （B） y  (x 1)2 （A） y  (x 1)2 （（0  x  4 ）（C） y  x2 1 （1 x  3 ）　　（D） y  x2 1 （0  x  4 ）解析：当 0  x  4时，1 x [1,3]，解 y 1 x 得f 1(x)  (x 1)2 ，选 A． （4）若等差数列{an}的前 5 项和 S5  25 ，且 a2  3，则 a7  （A）12　　（B）13　　　　　 （C）14　　　　 （D）15 5(a1  a5 ) 5(a2  a4 ) a4  a2 解析： S5  选 B．  a4  7 ，所以 a7  a2  5d  a2  5 13 ，222（5）设 a,b 是两条直线，,  是两个平面，则 a  b 的一个充分条件是 （A） a  ,b // ,   　　（B） a  ,b  , //  （C） a  ,b  , //  　 （D） a  ,b // ,   解析：选 C，A、B、D 的反例如图． 3（6）把函数 y  sin x （x R ）的图象上所有点向左平行移动 个单位长度，再把所得图 1象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 23x  （B） y  sin(  ) （A） y  sin(2x  ) ，，x R x R ，x R 262 （C） y  sin(2x  ) （D） y  sin(2x  )，x R 33解析：选 C, 31向左平移 个单位 横坐标缩短到原来的 倍332y  sin x  y  sin(x  )  y  sin(2x  ) ．x2 y2 （7）设椭圆 1 （m  0 ，n  0 ）的右焦点与抛物线 y2  8x 的焦点相同，离心 m2 n2 第 2 页 共 11 页 1率为 ，则此椭圆的方程为 2×2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 （A） 1 （B） 1　 （C） 1 （D） 1 12 16 16 12 48 64 64 48 1解析：抛物线的焦点为 (2,0) ，椭圆焦点在 x轴上，排除 A、C，由 e  排除 D，选 B． 2x  2, x  0 x  0 （8）已知函数 f (x)  ，则不等式 f (x)  x2 的解集是 x  2, （A）[1,1] 　 （B）[2,2] 　（C）[2,1] 　　（D）[1,2] x  0 x  2  x2 x  0 x  2  x2 解析：依题意得 或 1 x  0或0  x 1 1 x 1，选 A． 5 72 72 7（9）设 a  sin ，b  cos ，c  tan ，则 （A） a  b  c （B） a  c  b （C）b  c  a （D）b  a  c 2 742 722 72 72 7解析： a  sin ，因为 ，所以 0  cos  sin 1 tan ，选 D． （10）设 a 1，若对于任意的 x[a,2a] ，都有 y[a,a2 ]满足方程 loga x  loga y  3 这时 的取值集合为 ，a（A）{a |1 a  2} （B）{a | a  2}　 （C）{a | 2  a  3} （D）{2,3} 2aa3 a2  a 解析：易得 y  B． ，在[a,2a]上单调递减，所以 y[ ,a2 ]，故  a  2 ，选 2a 1 x2第Ⅱ卷 注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 3．本卷共 12 小题，共 100 分。 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.） （11）一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120 人，超过 45 岁的有 80 人．为 了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本，应抽 取超过 45 岁的职工________________人． 第 3 页 共 11 页 25 　　解析：依题意知抽取超过 45 岁的职工为 80 10 ．200 2（12） (x  )5 的二项展开式中， x3 的系数是________________（用数字作答）． x2解析：Tr1  C5r x5r ( )r  2r C5r x52r ，r 1，所以系数为 10． x（13）若一个球的体积为 4 3 ，则它的表面积为________________． 4 　　解析：由 R3  4 3 得R  3 ，所以 S  4 R2 12 ．3  （ 14 ） 已 知 平 面 向 量a  (2,4) ，b  (1,2) ． 若c  a  (a b)b ， 则 | c | _____________． 　　解析：因为 c  (2,4)  6(1,2)  (8,8)，所以| c | 8 2 ．（15）已知圆 C 的圆心与点 P(2,1) 关于直线 y  x 1对称．直线3x  4y 11 0与圆 C 相交于 A, B 两点，且 AB  6 ，则圆 C 的方程为_______________________． (4 11)2 解 析 ： 圆 心 的 坐 标 为(0,1) ， 所 以r2  32  x2  (y 1)2 18 18 ， 圆 的 方 程 为 52 ．（16）有 4 张分别标有数字 1，2，3，4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1，2，3，4 的蓝色 卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行．如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10， 则不同的排法共有________________种（用数字作答）． 解析：数字之和为 10 的情况有 4，4，1，1、　4，3，2，1、　3，3，2，2． 所以共有 2A44  24 A44 18A44  432 种不同排法． 三、解答题（本题共 6 道大题，满分 76 分） （17）（本小题满分 12 分） 2已知函数 f (x)  2cos2 x  2sinxcosx 1 （x R,  0 ）的最小值正周期是 ．（Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求函数 f (x) 的最大值，并且求使 f (x) 取得最大值的 x的集合． （17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数 y  Asin(x ) 的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分 12 分． （Ⅰ）解： 第 4 页 共 11 页 1 cos2x fx 2  sin 2x 1 2 sin 2x  cos2x  2 44 2 sin2xcos  cos2xsin  2 2  2 sin2x   2 422由题设，函数 fx的最小正周期是 ，可得 ，所以  2 ．2 4（Ⅱ）由（Ⅰ）知， fx 2 sin4x   2 ．4216 k 24当4x   2k ，即 x  k  Z 时，sin 4x  取得最大值 1，所以函数 16 k 2fx的最大值是 2  2 ，此时 x的集合为 x | x  ,k  Z ．与（18）（本小题满分 12 分） 12甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 p ，且乙投球 2 次 1均未命中的概率为 ．16 （Ⅰ）求乙投球的命中率 p ； （Ⅱ）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率； （Ⅲ）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率． （18）本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概 率知识解决实际问题的能力．满分 12 分． （Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件 A，“乙投球一次命中”为事件 B． 122由题意得 1 P B 1 p 16 34534解得 p  或（舍去），所以乙投球的命中率为 ．4解法二：设设“甲投球一次命中”为事件 A，“乙投球一次命中”为事件 B． 1141由 题 意 得P(B)P(B)  ， 于 是P(B)  或P(B)  （ 舍 去 ）， 故 16 43p 1 P(B)  ．434所以乙投球的命中率为 ．第 5 页 共 11 页 112（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知 PA , P A．234故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为1 P A A 解法二： 112由题设和（Ⅰ）知 PA , P A234故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为C21 P APA P APA  11314（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知， PA , P A , P B , P B224甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次 均不中；甲两次均不中，乙中 2 次。概率分别为 3C21 P APAC21 P BPB，16 1PPA A PB  B ，64 9A A PB  B 64 31911 所以甲、乙两人各投两次，共命中 2 次的概率为 ．16 64 64 32 （19）（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 是矩形．已知 AB  3, AD  2, PA  2, PD  2 2,PAB  60 （Ⅰ）证明 AD  平面 PAB ．；（Ⅱ）求异面直线 PC AD 所成的角的大小； 与（Ⅲ）求二面角 P  BD  A的大小． （19）本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间 想象能力，运算能力和推理论证能力．满分 12 分． （Ⅰ）证明：在 PAD 中，由题设 PA  2, PD  2 2可得 PA2  AD2  PD2 于是 AD  PA.在矩形 ABCD 中， AD  AB .又 PA  AB  A ，所以 AD  平面 PAB （Ⅱ）解：由题设， BC // AD，所以 PCB （或其补角）是异面直线 PC PAB 中，由余弦定理得 ．与AD 所成的角. 在PB  PA2  AB2  2PA ABcos PAB  7 PB  平面 PAB 由（Ⅰ）知 AD  平面 PAB ，，所以 AD  PB ，因而 BC  PB ，于是 PBC 是直角三 第 6 页 共 11 页 PB BC 7角形，故 tan PCB  ．27所以异面直线 PC 与AD 所成的角的大小为 arctan ．2（Ⅲ）解：过点 P 做 PH  AB 于 H，过点 H 做 HE  BD 于 E，连结 PE 因为 AD  平面 PAB 因而 PH 平面 ABCD ，故 HE 为 PE 再平面 ABCD 内的射影.由三垂线定理可知， BD  PE ，从而 PEH 是二面角 P  BD  A的平面角。 由题设可得， ，PH  平面 PAB ，所以 AD  PH .又 AD  AB  A ，PH  PA  sin 60  3, AH  PA  cos60 1, BH  AB  AH  2, BD  AB2  AD2  13, AD BD 4HE   BH  13 39 4于是再 RTPHE 中， tan PEH  39 4所以二面角 P  BD  A的大小为 arctan ．（20）（本小题满分 12 分） 在数列{an}中， a1 1 （Ⅰ）设bn  an1  an ，（a2  2 ，且 an1  (1 q)an  qan1 n N* ），证明{bn}是等比数列； （n  2,q  0）． （Ⅱ）求数列{an}的通项公式； （Ⅲ）若 3 是 6 与 9 的等差中项，求 的等差中项． aaaq的值，并证明：对任意的 n N* ， an 是 an3 与 an6 （20）本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分 12 分． n 项和公式， （Ⅰ）证明：由题设 an1  (1 q)an  qan1 an1  an  q(an  an1) ，即bn  qbn1 n  2 b  a2  a1 1 q  0 ，所以{bn}是首项为 1，公比为 q 的等比数列． （n  2 ），得 ，．又，1（Ⅱ）解法：由（Ⅰ） 　　　　　　　　 a2  a1 1 ，第 7 页 共 11 页 　　　　　　　　 a3  a2  q 　　　　　　　　…… ，　　　　　　　　 an  an1  q2 ，（ n  2 ）． 将以上各式相加，得 an  a1 1 q  qn2 （n  2 ）． 1 qn1 1 q 1 ,q 1, q 1. 所以当 n  2 时， a  nn, 上式对 n 1显然成立． （Ⅲ）解：由（Ⅱ），当 q 1时，显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项，故 q 1 q3 11 q6 ，　① q3 1（舍去）．于是 q  3 2 ．由a3  a6  a9  a3 可得 q5  q2  q2  q8 ，由 q  0 得整理得 (q3 )2  q3  2  0，解得 q3  2 或．qn2  qn1 qn1 另一方面， an  an3 (q3 1) (1 q6 ) ，．1 q 1 q qn1  qn5 qn1 　　　　　 an6  an  1 q 由①可得 an  an3  an6  an 所以对任意的 n N* n 是 1 q ，n N* ．，aan3 与 an6 的等差中项． （21）（本小题满分 14 分） 已知函数 f (x)  x4  ax3  2×2  b （x R ），其中 a,b R ．10 （Ⅰ）当 a  时，讨论函数 f (x) 的单调性； 3（Ⅱ）若函数 f (x) 仅在 x  0 处有极值，求 a 的取值范围； （Ⅲ）若对于任意的 a[2,2]，不等式 f x1   在[1,1]上恒成立，求b 的取值范围． （21）本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识， 考查综合分析和解决问题的能力．满分 14 分． 322（Ⅰ）解： f (x)  4x  3ax  4x  x(4x  3ax  4) ．10 2当a  时， f (x)  x(4x 10x  4)  2x(2x 1)(x  2) ．3第 8 页 共 11 页 12令当f (x)  0，解得 x1  0 ，x2  ，x3  2 ．x变化时， f (x) ，f (x) 的变化情况如下表： 1121x(,0) (2,) ＋(0, ) 2( ,2) 00202f (x) f (x) －＋0－↘极小值 ↗极大值 ↘极小值 ↗11所以 f (x) 在(0, ) 2，(2,) 内是增函数，在 (,0) ，( ,2)内是减函数． 2（Ⅱ）解： f (x)  x(4x  3ax  4) ，显然 x  0 不是方程 4×2  3ax  4  0的根． 2为使 f (x) 仅在 x  0 处有极值，必须 4×2  3ax  4  0成立，即有   9a2  64  0 ．88解些不等式，得  a  ．这时， f (0)  b 是唯一极值． 338 8 的取值范围是[ , ] 3 3 因此满足条件的 a．（Ⅲ）解：由条件 a[2,2]，可知   9a2  64  0 ，从而 4×2  3ax  4  0恒成立． 当x  0 时， f (x)  0 ；当 x  0 时， f (x)  0 ．因此函数 f (x) [1,1]上的最大值是 f (1) f (1) 两者中的较大者． 在与f (1) 1 为使对任意的 a[2,2]，不等式 f (x) 1 在[1,1]上恒成立，当且仅当 ，即 f (1) 1 b  2  a b  2  a ，在 a[2,2]上恒成立． 所以b  4 ，因此满足条件的 b的取值范围是 (,4] ．（22）（本小题满分 14 分） 已 知 中 心 在 原 点 的 双 曲 线C 的 一 个 焦 点 是F1  3,0 ， 一 条 渐 近 线 的 方 程 是 5x  2y  0 ．（Ⅰ）求双曲线 C 的方程； （Ⅱ）若以 为斜率的直线 kk  0 l与双曲线 C 相交于两个不同的点 M，N，且线段 MN 的 第 9 页 共 11 页 81 2垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 k 的取值范围． （22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定 比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能 力．满分 14 分． x2 y2 （Ⅰ）解：设双曲线 C的方程为 1 （a  0,b  0 ）．由题设得 a2 b2 22a  b  9 2×2 y2 a  4 b2  5 ，解得 ，所以双曲线方程为 1 ．ba5452（Ⅱ）解：设直线 l的方程为 y  kx  m （k  0 ）．点 M (x1, y1) ， N(x2 , y2 )的坐 标 满 足 方 程 组 y  kx  m 2xy2 1 45×2 (kx  m)2 将①式代入②式，得 1，整理得 (5 4k2 )x2 8kmx  4m2  20  0 ．45此方程有两个一等实根，于是5 4k2  0，且   (8km)2  4(5 4k2 )(4m2  20)  0 ．整 理得 m2  5 4k2  0 ．　③ 由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 (x0 , y0 ) 满足 x1  x2 4km 5m x0  ，y0  kx0  m  ．25 4k2 5 4k2 5m 14km 5 4k2 从而线段 MN 的垂直平分线方程为 y   (x  ) ． 5 4k2 k9km 5 4k2 9m 5 4k2 此 直 线 与 x轴 ， y轴 的 交 点 坐 标 分 别 为 (,0) ，(0, ) ． 由 题 设 可 得 19km 9m 5 4k2 81 (5 4k2 )2 | k | ||| | ．整理得 m2  ，k  0 ．2 5 4k2 2(5 4k2 )2 将 上 式 代 入 ③ 式 得  5 4k2  0 ， 整 理 得(4k2 5)(4k2  | k | 5)  0 ，| k | k  0 ．554解得 0 | k | 或| k | ．2第 10 页 共 11 页 5555所以 k的取值范围是 (, )  ( ,0)  (0, ) ( ,) ．4224第 11 页 共 11 页