2008年天津高考文科数学试题及答案(Word版)下载

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  • 最近更新2022年10月14日



绝密 ★ 启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(文史类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分 钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 10 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上,并在规定位 置粘贴考试用条形码。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3.本卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 参考公式: 如果时间 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 球的表面积公式 S  4 R2 .如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 其中 R 表示球的半径. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. (1)设集合U {x N | 0  x  8} (A){1,2,4} ,S {1,2,4,5} ,T {3,5,7},则 S  (ð T)  U(B){1,2,3,4,5,7}  (C){1,2} (D){1,2,4,5,6,8} 解析:因为ðT {1,2,4,6,8},所以 S  (ð T) {1,2,4},选 A. UUx  y  0 (2)设变量 x, y 满足约束条件 x  y  1 ,则目标函数 z  5x  y 的最大值为 x  2y  1 (A)2     (B)3      (C)4     (D)5 第 1 页 共 11 页  解 析 : 如 图 , 由 图 象 可 知 目 标 函 数 z  5x  y 过点 A(1,0) 选 D. 时z取得最大值, zmax  5 ,(3)函数 y 1 x (0  x  4)的反函数是 1 x  3 )   (B) y  (x 1)2 (A) y  (x 1)2 ((0  x  4 )(C) y  x2 1 (1 x  3 )  (D) y  x2 1 (0  x  4 )解析:当 0  x  4时,1 x [1,3],解 y 1 x 得f 1(x)  (x 1)2 ,选 A. (4)若等差数列{an}的前 5 项和 S5  25 ,且 a2  3,则 a7  (A)12  (B)13      (C)14     (D)15 5(a1  a5 ) 5(a2  a4 ) a4  a2 解析: S5  选 B.  a4  7 ,所以 a7  a2  5d  a2  5 13 ,222(5)设 a,b 是两条直线,,  是两个平面,则 a  b 的一个充分条件是 (A) a  ,b // ,     (B) a  ,b  , //  (C) a  ,b  , //    (D) a  ,b // ,   解析:选 C,A、B、D 的反例如图. 3(6)把函数 y  sin x (x R )的图象上所有点向左平行移动 个单位长度,再把所得图 1象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 23x  (B) y  sin(  ) (A) y  sin(2x  ) ,,x R x R ,x R 262 (C) y  sin(2x  ) (D) y  sin(2x  ),x R 33解析:选 C, 31向左平移 个单位 横坐标缩短到原来的 倍332y  sin x  y  sin(x  )  y  sin(2x  ) .x2 y2 (7)设椭圆 1 (m  0 ,n  0 )的右焦点与抛物线 y2  8x 的焦点相同,离心 m2 n2 第 2 页 共 11 页 1率为 ,则此椭圆的方程为 2×2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 (A) 1 (B) 1  (C) 1 (D) 1 12 16 16 12 48 64 64 48 1解析:抛物线的焦点为 (2,0) ,椭圆焦点在 x轴上,排除 A、C,由 e  排除 D,选 B. 2x  2, x  0 x  0 (8)已知函数 f (x)  ,则不等式 f (x)  x2 的解集是 x  2, (A)[1,1]   (B)[2,2]  (C)[2,1]   (D)[1,2] x  0 x  2  x2 x  0 x  2  x2 解析:依题意得 或 1 x  0或0  x 1 1 x 1,选 A. 5 72 72 7(9)设 a  sin ,b  cos ,c  tan ,则 (A) a  b  c (B) a  c  b (C)b  c  a (D)b  a  c 2 742 722 72 72 7解析: a  sin ,因为 ,所以 0  cos  sin 1 tan ,选 D. (10)设 a 1,若对于任意的 x[a,2a] ,都有 y[a,a2 ]满足方程 loga x  loga y  3 这时 的取值集合为 ,a(A){a |1 a  2} (B){a | a  2}  (C){a | 2  a  3} (D){2,3} 2aa3 a2  a 解析:易得 y  B. ,在[a,2a]上单调递减,所以 y[ ,a2 ],故  a  2 ,选 2a 1 x2第Ⅱ卷 注意事项: 1.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2.用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 3.本卷共 12 小题,共 100 分。 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上.) (11)一个单位共有职工 200 人,其中不超过 45 岁的有 120 人,超过 45 岁的有 80 人.为 了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本,应抽 取超过 45 岁的职工________________人. 第 3 页 共 11 页 25   解析:依题意知抽取超过 45 岁的职工为 80 10 .200 2(12) (x  )5 的二项展开式中, x3 的系数是________________(用数字作答). x2解析:Tr1  C5r x5r ( )r  2r C5r x52r ,r 1,所以系数为 10. x(13)若一个球的体积为 4 3 ,则它的表面积为________________. 4   解析:由 R3  4 3 得R  3 ,所以 S  4 R2 12 .3  ( 14 ) 已 知 平 面 向 量a  (2,4) ,b  (1,2) . 若c  a  (a b)b , 则 | c | _____________.   解析:因为 c  (2,4)  6(1,2)  (8,8),所以| c | 8 2 .(15)已知圆 C 的圆心与点 P(2,1) 关于直线 y  x 1对称.直线3x  4y 11 0与圆 C 相交于 A, B 两点,且 AB  6 ,则圆 C 的方程为_______________________. (4 11)2 解 析 : 圆 心 的 坐 标 为(0,1) , 所 以r2  32  x2  (y 1)2 18 18 , 圆 的 方 程 为 52 .(16)有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色 卡片,从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行.如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10, 则不同的排法共有________________种(用数字作答). 解析:数字之和为 10 的情况有 4,4,1,1、 4,3,2,1、 3,3,2,2. 所以共有 2A44  24 A44 18A44  432 种不同排法. 三、解答题(本题共 6 道大题,满分 76 分) (17)(本小题满分 12 分) 2已知函数 f (x)  2cos2 x  2sinxcosx 1 (x R,  0 )的最小值正周期是 .(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)求函数 f (x) 的最大值,并且求使 f (x) 取得最大值的 x的集合. (17)本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数 y  Asin(x ) 的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分. (Ⅰ)解: 第 4 页 共 11 页 1 cos2x fx 2  sin 2x 1 2 sin 2x  cos2x  2 44 2 sin2xcos  cos2xsin  2 2  2 sin2x   2 422由题设,函数 fx的最小正周期是 ,可得 ,所以  2 .2 4(Ⅱ)由(Ⅰ)知, fx 2 sin4x   2 .4216 k 24当4x   2k ,即 x  k  Z 时,sin 4x  取得最大值 1,所以函数 16 k 2fx的最大值是 2  2 ,此时 x的集合为 x | x  ,k  Z .与(18)(本小题满分 12 分) 12甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 p ,且乙投球 2 次 1均未命中的概率为 .16 (Ⅰ)求乙投球的命中率 p ; (Ⅱ)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (Ⅲ)若甲、乙两人各投球 2 次,求两人共命中 2 次的概率. (18)本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识,考查运用概 率知识解决实际问题的能力.满分 12 分. (Ⅰ)解法一:设“甲投球一次命中”为事件 A,“乙投球一次命中”为事件 B. 122由题意得 1 P B 1 p 16 34534解得 p  或(舍去),所以乙投球的命中率为 .4解法二:设设“甲投球一次命中”为事件 A,“乙投球一次命中”为事件 B. 1141由 题 意 得P(B)P(B)  , 于 是P(B)  或P(B)  ( 舍 去 ), 故 16 43p 1 P(B)  .434所以乙投球的命中率为 .第 5 页 共 11 页 112(Ⅱ)解法一:由题设和(Ⅰ)知 PA , P A.234故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为1 P A A 解法二: 112由题设和(Ⅰ)知 PA , P A234故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为C21 P APA P APA  11314(Ⅲ)由题设和(Ⅰ)知, PA , P A , P B , P B224甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中两次,乙两次 均不中;甲两次均不中,乙中 2 次。概率分别为 3C21 P APAC21 P BPB,16 1PPA A PB  B ,64 9A A PB  B 64 31911 所以甲、乙两人各投两次,共命中 2 次的概率为 .16 64 64 32 (19)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P  ABCD 中,底面 ABCD 是矩形.已知 AB  3, AD  2, PA  2, PD  2 2,PAB  60 (Ⅰ)证明 AD  平面 PAB .;(Ⅱ)求异面直线 PC AD 所成的角的大小; 与(Ⅲ)求二面角 P  BD  A的大小. (19)本小题主要考查直线和平面垂直,异面直线所成的角、二面角等基础知识,考查空间 想象能力,运算能力和推理论证能力.满分 12 分. (Ⅰ)证明:在 PAD 中,由题设 PA  2, PD  2 2可得 PA2  AD2  PD2 于是 AD  PA.在矩形 ABCD 中, AD  AB .又 PA  AB  A ,所以 AD  平面 PAB (Ⅱ)解:由题设, BC // AD,所以 PCB (或其补角)是异面直线 PC PAB 中,由余弦定理得 .与AD 所成的角. 在PB  PA2  AB2  2PA ABcos PAB  7 PB  平面 PAB 由(Ⅰ)知 AD  平面 PAB ,,所以 AD  PB ,因而 BC  PB ,于是 PBC 是直角三 第 6 页 共 11 页 PB BC 7角形,故 tan PCB  .27所以异面直线 PC 与AD 所成的角的大小为 arctan .2(Ⅲ)解:过点 P 做 PH  AB 于 H,过点 H 做 HE  BD 于 E,连结 PE 因为 AD  平面 PAB 因而 PH 平面 ABCD ,故 HE 为 PE 再平面 ABCD 内的射影.由三垂线定理可知, BD  PE ,从而 PEH 是二面角 P  BD  A的平面角。 由题设可得, ,PH  平面 PAB ,所以 AD  PH .又 AD  AB  A ,PH  PA  sin 60  3, AH  PA  cos60 1, BH  AB  AH  2, BD  AB2  AD2  13, AD BD 4HE   BH  13 39 4于是再 RTPHE 中, tan PEH  39 4所以二面角 P  BD  A的大小为 arctan .(20)(本小题满分 12 分) 在数列{an}中, a1 1 (Ⅰ)设bn  an1  an ,(a2  2 ,且 an1  (1 q)an  qan1 n N* ),证明{bn}是等比数列; (n  2,q  0). (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)若 3 是 6 与 9 的等差中项,求 的等差中项. aaaq的值,并证明:对任意的 n N* , an 是 an3 与 an6 (20)本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分. n 项和公式, (Ⅰ)证明:由题设 an1  (1 q)an  qan1 an1  an  q(an  an1) ,即bn  qbn1 n  2 b  a2  a1 1 q  0 ,所以{bn}是首项为 1,公比为 q 的等比数列. (n  2 ),得 ,.又,1(Ⅱ)解法:由(Ⅰ)          a2  a1 1 ,第 7 页 共 11 页          a3  a2  q         …… ,         an  an1  q2 ,( n  2 ). 将以上各式相加,得 an  a1 1 q  qn2 (n  2 ). 1 qn1 1 q 1 ,q 1, q 1. 所以当 n  2 时, a  nn, 上式对 n 1显然成立. (Ⅲ)解:由(Ⅱ),当 q 1时,显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项,故 q 1 q3 11 q6 , ① q3 1(舍去).于是 q  3 2 .由a3  a6  a9  a3 可得 q5  q2  q2  q8 ,由 q  0 得整理得 (q3 )2  q3  2  0,解得 q3  2 或.qn2  qn1 qn1 另一方面, an  an3 (q3 1) (1 q6 ) ,.1 q 1 q qn1  qn5 qn1       an6  an  1 q 由①可得 an  an3  an6  an 所以对任意的 n N* n 是 1 q ,n N* .,aan3 与 an6 的等差中项. (21)(本小题满分 14 分) 已知函数 f (x)  x4  ax3  2×2  b (x R ),其中 a,b R .10 (Ⅰ)当 a  时,讨论函数 f (x) 的单调性; 3(Ⅱ)若函数 f (x) 仅在 x  0 处有极值,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对于任意的 a[2,2],不等式 f x1   在[1,1]上恒成立,求b 的取值范围. (21)本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识, 考查综合分析和解决问题的能力.满分 14 分. 322(Ⅰ)解: f (x)  4x  3ax  4x  x(4x  3ax  4) .10 2当a  时, f (x)  x(4x 10x  4)  2x(2x 1)(x  2) .3第 8 页 共 11 页 12令当f (x)  0,解得 x1  0 ,x2  ,x3  2 .x变化时, f (x) ,f (x) 的变化情况如下表: 1121x(,0) (2,) +(0, ) 2( ,2) 00202f (x) f (x) -+0-↘极小值 ↗极大值 ↘极小值 ↗11所以 f (x) 在(0, ) 2,(2,) 内是增函数,在 (,0) ,( ,2)内是减函数. 2(Ⅱ)解: f (x)  x(4x  3ax  4) ,显然 x  0 不是方程 4×2  3ax  4  0的根. 2为使 f (x) 仅在 x  0 处有极值,必须 4×2  3ax  4  0成立,即有   9a2  64  0 .88解些不等式,得  a  .这时, f (0)  b 是唯一极值. 338 8 的取值范围是[ , ] 3 3 因此满足条件的 a.(Ⅲ)解:由条件 a[2,2],可知   9a2  64  0 ,从而 4×2  3ax  4  0恒成立. 当x  0 时, f (x)  0 ;当 x  0 时, f (x)  0 .因此函数 f (x) [1,1]上的最大值是 f (1) f (1) 两者中的较大者. 在与f (1) 1 为使对任意的 a[2,2],不等式 f (x) 1 在[1,1]上恒成立,当且仅当 ,即 f (1) 1 b  2  a b  2  a ,在 a[2,2]上恒成立. 所以b  4 ,因此满足条件的 b的取值范围是 (,4] .(22)(本小题满分 14 分) 已 知 中 心 在 原 点 的 双 曲 线C 的 一 个 焦 点 是F1  3,0 , 一 条 渐 近 线 的 方 程 是 5x  2y  0 .(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)若以 为斜率的直线 kk  0 l与双曲线 C 相交于两个不同的点 M,N,且线段 MN 的 第 9 页 共 11 页 81 2垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ,求 k 的取值范围. (22)本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定 比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理运算能 力.满分 14 分. x2 y2 (Ⅰ)解:设双曲线 C的方程为 1 (a  0,b  0 ).由题设得 a2 b2 22a  b  9 2×2 y2 a  4 b2  5 ,解得 ,所以双曲线方程为 1 .ba5452(Ⅱ)解:设直线 l的方程为 y  kx  m (k  0 ).点 M (x1, y1) , N(x2 , y2 )的坐 标 满 足 方 程 组 y  kx  m 2xy2 1 45×2 (kx  m)2 将①式代入②式,得 1,整理得 (5 4k2 )x2 8kmx  4m2  20  0 .45此方程有两个一等实根,于是5 4k2  0,且   (8km)2  4(5 4k2 )(4m2  20)  0 .整 理得 m2  5 4k2  0 . ③ 由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 (x0 , y0 ) 满足 x1  x2 4km 5m x0  ,y0  kx0  m  .25 4k2 5 4k2 5m 14km 5 4k2 从而线段 MN 的垂直平分线方程为 y   (x  ) . 5 4k2 k9km 5 4k2 9m 5 4k2 此 直 线 与 x轴 , y轴 的 交 点 坐 标 分 别 为 (,0) ,(0, ) . 由 题 设 可 得 19km 9m 5 4k2 81 (5 4k2 )2 | k | ||| | .整理得 m2  ,k  0 .2 5 4k2 2(5 4k2 )2 将 上 式 代 入 ③ 式 得  5 4k2  0 , 整 理 得(4k2 5)(4k2  | k | 5)  0 ,| k | k  0 .554解得 0 | k | 或| k | .2第 10 页 共 11 页 5555所以 k的取值范围是 (, )  ( ,0)  (0, ) ( ,) .4224第 11 页 共 11 页

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