2008年北京高考文科数学试题及答案下载

绝密★启用前 2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（文史类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 9 页，共 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题　共 40 分） 注意事项： 1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡颇擦 干净后，再选涂其他答案。不能答在试卷上。 一、本大题共 8 小题，第小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）若集合 A={x|-2≤x≤3}≤3, B={x|x<-1 或 x>4}, 则集合 A∩B 等于 （A）{x|x≤3 或 x>4} （C）{x|3≤x<4} （B）{x|－1<x≤3} (D) {x|－2≤x<-1} （2）若 a=log3π, b=log76，c=log20.8, 则 （A）a>b>c （B）b>a>c （D）b>c>a （C）c>a>b x2 y2 9（3）“双曲线的方程为  1”是“双曲线的准线方程为 x= ”的 916 5（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）已知△ABC 中，a= 2,b= 3,B=60°,那么角 A 等于 　(C)45° （A）135° 　　(B)90° (D)30° （5）函数 f(x)=(x-1)2+1(x<1)的反函数为 （A）f –1(x)=1+ x 1 (x>1) （B）f–1(x)=1- x 1 (x>1) （D）f–1(x)=1- x 1 (x≥1) （C）f –1(x)=1+ x 1 (x≥1) x-y+1≥0, （6）若实数 x，y 满足 x+y≥0,　　则 z=x+2y 的最小值是 x≤0, 1(A)0 (D)2 (B) 　(C) 12（7）已知等差数列｛an｝中，a2=6,a5=15.若 bn=a2n,则数列｛bn｝ 的前 5 项和等于 (A)30 (C)90 （B）45 　(D)186 第 1 页 共 9 页 （8）如图，动点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上，过点 P 作垂直平面 BB1D1D 的 直线，与正方体表面相交于 M、N.设 BP=x,MN=y,则函数 y=f(x)的图象大致是 绝密★使用完毕前 2008年普通高等学校校招生全国统一考试 数学（文史类）（北京卷） 第Ⅱ卷（共 110 分） 注意事项： 1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 　　　　　　　　　　　　三 题号 二总分 15 16 17 18 19 20 分数 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 (9)若角 a 的终边经过点 P(1,-2),则 tan 2a 的值为　　　　　. x 1 (10)不等式  1的解集是　　　　. x  2 (11)已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且｜a｜= |b| = 4,那么 a·b 的值为　　　　. 1×3 5(12)若 (x2  )展开式中常数项为 ；各项系数之和为　　　　　　.（用数字 作答） (13)如图，函数 f(x)的图象是折线段 ABC, 其中 A,B,C 的 坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则 f(f(0))= ;函数 f(x)在 x=1 处的导数 f′（1）= (14)已知函数 f(x)=x2- cos x, 对于［－ x1,x2,有如下条件： .π π ，］上的任意 2 2 ① x1>x2; ②x2 >x2 ; ③|x1|>x2. 12其中能使 f(x1)> f(x2)恒成立的条件序号是　　　　　　. 第 2 页 共 9 页 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分。解答应写出文字说明。演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共 13 分） 已知函数 f (x)  sin2 x  3sinxsin(x  )(  0) 的最小正周期为π. 2（Ⅰ）求ω的值； 2 3（Ⅱ）求函数 f(x)在区间[0， ]上的取值范围. （16）（本小题共 14 分） 如图，在三棱锥 P-ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC. （Ⅰ）求证：PC⊥AB； （Ⅱ）求二面角 B-AP-C 的大小. （17）（本小题共 13 分） 已知函数 f (x)  x3  ax2  3bx  c(b  0),且g(x)  f (x)  2 是奇函数. （Ⅰ）求 a,c 的值； （Ⅱ）求函数 f(x)的单调区间. （18）（本小题共 13 分） 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗位服务，每个岗位 至少有一名志愿者. （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。 第 3 页 共 9 页 （19）（本小题共 14 分） 已知△ABC 的顶点 A，B 在椭圆 x2  3y2  4上，C 在直线 l: y=x+2 上，且 AB∥l. （Ⅰ）当 AB 边通过坐标原点 O 时，求 AB 的长及△ABC 的面积； （Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边 AC 的长最大时，求 AB 所在直线的方程. （20）（本小题共 13 分） 数列{an}满足 a1  1,an1  (n2  n  )an (n  1,2,……),是常数. （Ⅰ）当 a2=-1 时，求λ及 a3 的值； （Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； （Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数 m, 当 n＞m 时总有 an＜0. 第 4 页 共 9 页 绝密★考试结束前 2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）（北京卷）参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）D （5）B （2）A （6）A （3）A （7）C （4）C （8）B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 4（9） （10）|x|x＜-2| 3（11）-8 （12）10 （14）② 32 （13）2 -2 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分） 1 cos2x 3解：（Ⅰ） f (x)  sin 2x 223112==sinx  cos2x  221sin(2x  )  . 62因为函数 f(x)的最小正周期为π,且ω＞0， 2 2 所以   解得ω=1. 61（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f (x)  sin(2x  )  . 22 3因为 0≤x≤ ，6167 6所以 所以 ≤2x  ≤.6≤sin (2x  )≤1. 26123232因此 0≤sin(2x  )  ≤，即 f(x)的取值范围为[0， ]（16）（共 14 分） 解法一： （Ⅰ）取 AB 中点 D，连结 PD，CD. ∵AP=BP， ∴PD⊥AB. 第 5 页 共 9 页 ∵AC=BC. ∴CD⊥AB. ∵PD∩CD＝D. ∴AB⊥平面 PCD. ∵PC 平面 PCD， ∴PC⊥AB. （Ⅱ）∵AC=BC, AP=BP, ∴△APC≌△BPC. 又 PC⊥AC， ∴PC⊥BC. 又∠ACB＝90°，即 AC⊥BC， 且 AC∩PC=C， ∴BC⊥平面 PAC 取 AP 中点 E,连接 BE,CE ∵AB=BP ∴BE⊥AP. ∵EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影， ∴CE⊥AP. ∴∠BEC 是二面角 B-AP-C 的平面角. 3在△BCE 中，∠BCE=90°, BC=2, BE= AB  6 ，2BC BE 6∴sin∠BEC= .36∴二面角 B-AP-C 的大小为 aresin .3解法二： （Ⅰ）∵AC=BC, AP=BP, ∴△APC≌△BPC. 又 PC⊥AC. ∴PC⊥BC. ∵AC∩BC=C, ∴PC⊥平面 ABC. ∵AB 平面 ABC， ∴PC⊥AB. (Ⅱ)如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz. 则 C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）. 设 P（0，0，t）, ∵｜PB｜=｜AB｜＝2 2 ， 第 6 页 共 9 页 ∴t=2, P(0,0,2). 取 AP 中点 E，连结 BE，CE. ∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜, ∴CE⊥AP, BE⊥AP. ∴∠BEC 是二面角 B-AP-C 的平面角. ∵E(0,1,1), EC  (0,1,1), EB  (2,1,1), EC  EB EC  EB 23.∴cos∠BEC= 32  6 3∴二面角 B-AP-C 的大小为 arccos （17）（共 13 分） .3解：（Ⅰ）因为函数 g(x)=f(x)-2 为奇函数， 所以，对任意的 x∈R, g (-x)= -g (x), 即 f (-x)- 2= -f (x)+2. 又 f(x)=x3+ax2+3bx+c, 所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2. a  a, 所以 {c  2  c  2. 解得 a=0，c＝2. （Ⅱ）由（Ⅰ）得 f(x)=x3+3bx+2. 所以 f′(x)=3×2+3b(b≠0). 当 b＜0 时，由 f′(x)=0 得 x=±  b. x 变化时，f′(x)的变化情况如下表： x(-∞,-  b )- b (-  b , b ) b ( b ,+∞) f′(x) +0-0+所以，当 b＜0 时，函数 f (x)在（-∞，-  b ）上单调递增，在（-  b ， b ）上单调 递减，在（  b ，+∞）上单调递增. 当 b＞0 时，f′(x)＞0.所以函数 f (x)在（-∞，+∞）上单调递增. （18）（共 13 分） 解： （Ⅰ）记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA，那么 A33 C32 A44 1　　　　　　　　　　P（EA）= .40 第 7 页 共 9 页 1即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 .40 （Ⅱ）记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件 E，那么 A44 C32 A44 1P（E）＝ .10 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 9P（ E）=1-P(E)= .10 （19）（共 14 分） 解：（Ⅰ）因为 AB∥l，且 AB 边通过点（0，0），所以 AB 所在直线的方程为 y=x. 设 A，B 两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2). 22x  3y  4, y  x 由得x  1, 所以 AB  2 x1  x2  2 2. 又因为 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离， 1所以 h  2.SABC AB h  2. 2（Ⅱ）设 AB 所在直线的方程为 y=x+m. 22x  3y  4, y  x  m 由得4×2  6mx  3m2  4  0. 因为 A，B 在椭圆上， 所以   12m2  64＞0. 　　　 设A，B 两点坐标分别为（x1, y1），（x2, y2）. 3m 3m2  4 则x1  x2   , x1x2  ,2432  6m2 　　　 所以 AB  2 x1  x2  .22  m 　　　 又因为BC 的长等于点（0, m）到直线 l 的距离，即 BC  .2所以 AC 2  AB 2  BC 2  m2  2m 10  (m 1)2 11. 　　　 所以当m=-1 时，AC 边最长.（这时 12  64＞0 此时 AB 所在直线的方程为 y=x-1. (20)（共 13 分） ）解：（Ⅰ）由于 an1  (n2  n  )an (n 1,2,), 且 a1=1， 第 8 页 共 9 页 所以当 a2= -1 时，得 1 2     3. ,故　从而 a3  (22  2 3)(1)  3. 　（Ⅱ）数列{an}不可能为等差数列.证明如下： 　由 a1=1， an1  (n2  n  )an 得 　　 　a2  2  ,a3  (6  )(2  ),a4  (12  )(6  )(2  ). 　若存在 ，使｛an｝为等差数列，则 a3-a2=a2-a1,即 　(5 )(2  ) 1 ， 　解得 =3. 于是 a2  a1 1   2,a4  a3  (11 )(6  )(2  )  24. 　　　　　这与｛an｝为等差数列矛盾，所以，对任意 ，{an}都不可能是等差数列. （ Ⅲ ） 记 bn  n2  n  (n 1,2,), 根 据 题 意 可 知 ， b1 ＜ 0 且 bn  0 ， 即 ＞ 2 且   n2  n(nN*)，这时总存在 n0 N*，满足：当 n≥n0 时，bn＞0；当 n≤n0-1 时，bn＜0. 　　　　所以由 an+1=bnan 及 a1=1＞0 可知，若 n0 为偶数，则 an ＜0 ，从而当 n＞n0 0时 an＜0；若 n0 为奇数，则 an ＞0 ，从而当 n＞n0 时 an＞0. 0因此“存在 m N*，当 n＞m 时总有 an＜0”的充分必要条件是：no 为偶数， 记 no=2k(k=1,2, …)，则 满足 b2k  (2k)2  2k  ＞0， b2k1  (2k 1)2  2k 1 ＜0. 故的取值范围是 4k2  2k＜＜4k2+2k (k N*). 第 9 页 共 9 页