2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅱ）（含解析版）下载

2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分）i（2+3i）=（　　） A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i 2．（5 分）已知集合 A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则 A∩B=（　　） A．{3} B．{5} C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7} 3．（5 分）函数 f（x）= 的图象大致为（　　） A． B． C． 4．（5 分）已知向量 ， 满足| |=1， A．4 B．3 D． =﹣1，则 •（2 C．2 ）=（　　） D．0 5．（5 分）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为（　　） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 6．（5 分）双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程为 （　　） 第 1 页（共 26 页） A．y=± xB．y=± xC．y=± xD．y=± x7．（5 分）在△ABC 中，cos =，BC=1，AC=5，则 AB=（　　） A．4 B． C． D．2 ，设计了如图的程序框图，则 8．（5 分）为计算 S=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣在空白框中应填入（　　） A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 9．（5 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为（　　） A． 10．（5 分）若 f（x）=cosx﹣sinx 在[0，a]是减函数，则 a 的最大值是（　　） A． B． C． D．π B． C． D． 11．（5 分）已知 F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF1⊥PF2， 且∠PF2F1=60°，则 C 的离心率为（　　） A．1﹣ B．2﹣ C． D． ﹣1 12．（5 分）已知 f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足 f（1﹣x）=f（ 第 2 页（共 26 页） 1+x），若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（　　） A．﹣50 B．0 C．2 D．50 　二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）曲线 y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为　 　． 14．（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为　 　． 15．（5 分）已知 tan（α﹣ ）= ，则 tanα=　． 16．（5 分）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成 角为 30°．若△SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为　． 　三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答。（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1=﹣7，S3=﹣15． （1）求{an}的通项公式； （2）求 Sn，并求 Sn 的最小值． 第 3 页（共 26 页） 18．（12 分）如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿 元）的折线图． 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个 线性回归模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2， …，17）建立模型①： =﹣30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间 变量 t 的值依次为 1，2，…，7）建立模型②： =99+17.5t． （1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 第 4 页（共 26 页） 19．（12 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4， O 为 AC 的中点． （1）证明：PO⊥平面 ABC； （2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC=2MB，求点 C 到平面 POM 的距离． 20．（12 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k＞0）的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|=8． （1）求 l 的方程； （2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程． 21．（12 分）已知函数 f（x）= x3﹣a（x2+x+1）． （1）若 a=3，求 f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）只有一个零点． 第 5 页（共 26 页） 　（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（θ 为 参数），直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数）． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（1，2），求 l 的斜率． 　[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．设函数 f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|． （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥0 的解集； （2）若 f（x）≤1，求 a 的取值范围． 　第 6 页（共 26 页） 2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分）i（2+3i）=（　　） A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解． 【解答】解：i（2+3i）=2i+3i2=﹣3+2i． 故选：D． 【点评】本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识 ，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　2．（5 分）已知集合 A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则 A∩B=（　　） A．{3} B．{5} C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】利用交集定义直接求解． 【解答】解：∵集合 A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}， ∴A∩B={3，5}． 故选：C． 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是基础题． 　第 7 页（共 26 页） 3．（5 分）函数 f（x）= 的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可． 【解答】解：函数 f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x）， 则函数 f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 A， 当 x=1 时，f（1）=e﹣ ＞0，排除 D． 当 x→+∞时，f（x）→+∞，排除 C， 故选：B． 【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行 排除是解决本题的关键． 　4．（5 分）已知向量 ， 满足| |=1， A．4 B．3 =﹣1，则 •（2 C．2 ）=（　　） D．0 第 8 页（共 26 页） 【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量的数量积公式计算即可． 【解答】解：向量 ， 满足| |=1， =﹣1，则 •（2 ）=2 ﹣=2+1=3 ，故选：B． 【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题 　5．（5 分）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为（　　） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】（适合理科生）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务， 22共有 C5 =10 种，其中全是女生的有 C3 =3 种，根据概率公式计算即可， （适合文科生），设 2 名男生为 a，b，3 名女生为 A，B，C，则任选 2 人的种 数为 ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC 共 10 种，其中全是女 生为 AB，AC，BC 共 3 种，根据概率公式计算即可 【解答】解：（适合理科生）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服 22务，共有 C5 =10 种，其中全是女生的有 C3 =3 种， 故选中的 2 人都是女同学的概率 P= =0.3， （适合文科生），设 2 名男生为 a，b，3 名女生为 A，B，C， 则任选 2 人的种数为 ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC 共 10 种， 其中全是女生为 AB，AC，BC 共 3 种， 故选中的 2 人都是女同学的概率 P= =0.3， 故选：D． 【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题 第 9 页（共 26 页） ．　6．（5 分）双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程为 （　　） A．y=± xB．y=± xC．y=± xD．y=± x【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据双曲线离心率的定义求出 a，c 的关系，结合双曲线 a，b，c 的关 系进行求解即可． 【解答】解：∵双曲线的离心率为 e= = ，则 = ====，即双曲线的渐近线方程为 y=± x=±x， 故选：A． 【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近 线的方程是解决本题的关键． 　7．（5 分）在△ABC 中，cos =，BC=1，AC=5，则 AB=（　　） A．4 B． C． D．2 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】利用二倍角公式求出 C 的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可． 【解答】解：在△ABC 中，cos =，cosC=2× BC=1，AC=5，则 AB= =﹣ ， ===4 ．第 10 页（共 26 页） 故选：A． 【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力． 　8．（5 分）为计算 S=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣，设计了如图的程序框图，则 在空白框中应填入（　　） A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 【考点】E7：循环结构；EH：绘制程序框图解决问题．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图． 【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的 S=N﹣T， 由此知空白处应填入的条件． 【解答】解：模拟程序框图的运行过程知， 该程序运行后输出的是 S=N﹣T=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣）； 累加步长是 2，则在空白处应填入 i=i+2． 故选：B． 【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题． 第 11 页（共 26 页） 　9．（5 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为（　　） A． B． C． D． 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角． 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐 标系，利用向量法能求出异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值． 【解答】解以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角 坐标系， 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 棱长为 2， 则 A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0）， C（0，2，0）， =（﹣2，2，1）， =（0，﹣2，0）， 设异面直线 AE 与 CD 所成角为 θ， 则 cosθ= == ， sinθ= =，∴tanθ= ．∴异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 故选：C． ．第 12 页（共 26 页） 【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间角等基础知识，考 查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　10．（5 分）若 f（x）=cosx﹣sinx 在[0，a]是减函数，则 a 的最大值是（　　） A． B． C． D．π 【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】利用两角和差的正弦公式化简 f（x），由﹣ +2kπ≤x﹣ ≤+2kπ， k∈Z，得﹣ +2kπ≤x≤ ]，结合已知条件即可求出 a 的最大值． 【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣ sin（x﹣ ）， +2kπ，k∈Z，取 k=0，得 f（x）的一个减区间为[﹣ ，由﹣ +2kπ≤x﹣ 得﹣ +2kπ≤x≤ ≤+2kπ，k∈Z， +2kπ，k∈Z， 取 k=0，得 f（x）的一个减区间为[﹣ 由 f（x）在[0，a]是减函数， ，]， 得 a≤ ．则 a 的最大值是 故选：C． ．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于 第 13 页（共 26 页） 基本知识的考查，是基础题． 　11．（5 分）已知 F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF1⊥PF2， 且∠PF2F1=60°，则 C 的离心率为（　　） A．1﹣ B．2﹣ C． D． ﹣1 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】利用已知条件求出 P 的坐标，代入椭圆方程，然后求解椭圆的离心率即 可． 【解答】解：F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF1⊥PF2，且 ∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点坐标 F2（c，0）， 所以 P（ c， c）．可得： ，可得 ，可得 e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1）， 解得 e= 故选：D． ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 　12．（5 分）已知 f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足 f（1﹣x）=f（ 第 14 页（共 26 页） 1+x），若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（　　） A．﹣50 B．0 C．2 D．50 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】36：整体思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是 4，结合函数的周期 性和奇偶性进行转化求解即可． 【解答】解：∵f（x）是奇函数，且 f（1﹣x）=f（1+x）， ∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0， 则 f（x+2）=﹣f（x），则 f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数， ∵f（1）=2， ∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2， f（4）=f（0）=0， 则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0， 则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49） +f（50） =f（1）+f（2）=2+0=2， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数 的周期性是解决本题的关键． 　二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）曲线 y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为　y=2x﹣2　． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 第 15 页（共 26 页） 【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=1 的导 函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：∵y=2lnx， ∴y′= ， 当 x=1 时，y′=2 ∴曲线 y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为 y=2x﹣2． 故答案为：y=2x﹣2． 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某 点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 　14．（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为　9　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等 式． 【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代 入目标函数得答案． 【解答】解：由 x，y 满足约束条件 化目标函数 z=x+y 为 y=﹣x+z， 作出可行域如图， 由图可知，当直线 y=﹣x+z 过 A 时，z 取得最大值， ，解得 A（5，4）， 由目标函数有最大值，为 z=9． 故答案为：9． 第 16 页（共 26 页） 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档 题． 　15．（5 分）已知 tan（α﹣ ）= ，则 tanα=　． 【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】根据三角函数的诱导公式以及两角和差的正切公式进行计算即可． 【解答】解：∵tan（α﹣ ∴tan（α ）= ， ）= ， 则 tanα=tan（α +）= === = ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式进行转化是 解决本题的关键． 　16．（5 分）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成 角为 30°．若△SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为　8π　． 第 17 页（共 26 页） 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离； 5G：空间角． 【分析】利用已知条件求出母线长度，然后求解底面半径，以及圆锥的高．然后 求解体积即可． 【解答】解：圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，△SAB 的面积为 8，可 得： ，解得 SA=4， SA 与圆锥底面所成角为 30°．可得圆锥的底面半径为：2 ，圆锥的高为：2， 则该圆锥的体积为：V= 故答案为：8π． =8π． 【点评】本题考查圆锥的体积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化思 想以及计算能力． 　三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答。（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1=﹣7，S3=﹣15． （1）求{an}的通项公式； （2）求 Sn，并求 Sn 的最小值． 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）根据 a1=﹣7，S3=﹣15，可得 a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差数 列{an}的公差，然后求出 an 即可； （2）由 a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，得 Sn= ==n2﹣8n=（n﹣4 ）2﹣16，由此可求出 Sn 以及 Sn 的最小值． 【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15， 第 18 页（共 26 页） ∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得 a1=﹣7，d=2， ∴an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9； （2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9， ∴Sn= ==n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16， ∴当 n=4 时，前 n 项的和 Sn 取得最小值为﹣16． 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项的和公 式，属于中档题． 　18．（12 分）如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿 元）的折线图． 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个 线性回归模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2， …，17）建立模型①： =﹣30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间 变量 t 的值依次为 1，2，…，7）建立模型②： =99+17.5t． （1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 第 19 页（共 26 页） 【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】（1）根据模型①计算 t=19 时 的值，根据模型②计算 t=9 时 的值即 可； （2）从总体数据和 2000 年到 2009 年间递增幅度以及 2010 年到 2016 年间递增 的幅度比较， 即可得出模型②的预测值更可靠些． 【解答】解：（1）根据模型①： =﹣30.4+13.5t， 计算 t=19 时， =﹣30.4+13.5×19=226.1； 利用这个模型，求出该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值是 226.1 亿 元； 根据模型②： =99+17.5t， 计算 t=9 时， =99+17.5×9=256.5；． 利用这个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值是 256.5 亿元； （2）模型②得到的预测值更可靠； 因为从总体数据看，该地区从 2000 年到 2016 年的环境基础设施投资额是逐年上 升的， 而从 2000 年到 2009 年间递增的幅度较小些， 从 2010 年到 2016 年间递增的幅度较大些， 所以，利用模型②的预测值更可靠些． 【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题． 　19．（12 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4， O 为 AC 的中点． （1）证明：PO⊥平面 ABC； （2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC=2MB，求点 C 到平面 POM 的距离． 第 20 页（共 26 页） 【考点】LW：直线与平面垂直；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）证明：可得 AB2+BC2=AC2，即△ABC 是直角三角形， 又 POA≌△POB≌△POC，可得∠POA=∠POB=∠POC=90°，即可证明 PO⊥平面 ABC ；（2）设点 C 到平面 POM 的距离为 d．由 VP﹣OMC=VC﹣POM ⇒，解得 d 即可 【解答】（1）证明：∵AB=BC=2 ，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC 是直角 三角形， 又 O 为 AC 的中点，∴OA=OB=OC， ∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°， ∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面 ABC； （2）解：由（1）得 PO⊥平面 ABC，PO= 在△COM 中，OM= ，=．S= × = ． ×=，S△COM =设点 C 到平面 POM 的距离为 d． 由 VP﹣OMC=VC﹣POM ⇒，解得 d= ，∴点 C 到平面 POM 的距离为 ．第 21 页（共 26 页） 【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求距离，属于中档题． 　20．（12 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k＞0）的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|=8． （1）求 l 的方程； （2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程． 【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）方法一：设直线 AB 的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦 点弦公式即可求得 k 的值，即可求得直线 l 的方程； 方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|= 求得直线 l 的斜率，求得直线 l 的方程； ，求得直线 AB 的倾斜角，即可 （2）根据过 A，B 分别向准线 l 作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根 据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程． 【解答】解：（1）方法一：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0）， 设直线 AB 的方程为：y=k（x﹣1），设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则 x1+x2= ，x1x2=1， 由|AB|=x1+x2+p= +2=8，解得：k2=1，则 k=1， ∴直线 l 的方程 y=x﹣1； 方法二：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），设直线 AB 的倾斜角为 θ，由抛 物线的弦长公式|AB|= ∴θ= ，则直线的斜率 k=1， ∴直线 l 的方程 y=x﹣1； ==8，解得：sin2θ= ， （2）由（1）可得 AB 的中点坐标为 D（3，2），则直线 AB 的垂直平分线方程 第 22 页（共 26 页） 为 y﹣2=﹣（x﹣3），即 y=﹣x+5， 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 ，解得： 或，因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16 或（x﹣11）2+（y+6）2=144． 【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公 式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题． 　21．（12 分）已知函数 f（x）= x3﹣a（x2+x+1）． （1）若 a=3，求 f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）只有一个零点． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；34：方程思想；49：综合法；53：导数的 综合应用． 【分析】（1）利用导数，求出极值点，判断导函数的符号，即可得到结果． 第 23 页（共 26 页） （2）分离参数后求导，先找点确定零点的存在性，再利用单调性确定唯一性． 【解答】解：（1）当 a=3 时，f（x）= x3﹣a（x2+x+1）， 所以 f′（x）=x2﹣6x﹣3 时，令 f′（x）=0 解得 x=3 当 x∈（﹣∞，3﹣2 ），x∈（3+2 ，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数， 当 x∈（3﹣2 时，f′（x）＜0，函数是单调递减， ，综上，f（x）在（﹣∞，3﹣2 ），（3+2 ，+∞），上是增函数，在（3﹣2 上递减． （2）证明：因为 x2+x+1=（x+ ）2+ 所以 f（x）=0 等价于 ，，令则，，仅当 x=0 时，g′（x）=0，所以 g（x）在 R 上是 增函数； g（x）至多有一个零点，从而 f（x）至多有一个零点． 又因为 f（3a﹣1）=﹣6a2+2a﹣ =﹣6（a﹣ ）2﹣ ＜0， f（3a+1）= ＞0， 故 f（x）有一个零点， 综上，f（x）只有一个零点． 【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用．考查发现问题解决问题的能力 ，转化思想的应用． 　（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（θ 为 第 24 页（共 26 页） 参数），直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数）． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（1，2），求 l 的斜率． 【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进 行转化． （2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果． 【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数）， 转换为直角坐标方程为： ．直线 l 的参数方程为 （t 为参数）． 转换为直角坐标方程为：xsinα﹣ycosα+2cosα﹣sinα=0． （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到： +=1 整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0， 则： ，由于（1，2）为中点坐标， ①当直线的斜率不存时，x=1． 无解故舍去． ②当直线的斜率存在时，（由于 t1 和 t2 为 A、B 对应的参数） 所以利用中点坐标公式 则：8cosα+4sinα=0， 解得：tanα=﹣2， ，即：直线 l 的斜率为﹣2． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化， 第 25 页（共 26 页） 直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用． 　[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．设函数 f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|． （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥0 的解集； （2）若 f（x）≤1，求 a 的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式． 【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可， （2）由题意可得|x+a|+|x﹣2|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出 【解答】解：（1）当 a=1 时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|= ．当 x≤﹣1 时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1， 当﹣1＜x＜2 时，f（x）=2≥0 恒成立，即﹣1＜x＜2， 当 x≥2 时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得 2≤x≤3， 综上所述不等式 f（x）≥0 的解集为[﹣2，3]， （2）∵f（x）≤1， ∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1， ∴|x+a|+|x﹣2|≥4， ∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|， ∴|a+2|≥4， 解得 a≤﹣6 或 a≥2， 故 a 的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）． 【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题 第 26 页（共 26 页）