2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ）（含解析版）下载

2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分）已知集合 A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则 A∩B=（　　） A．{0} 2．（5 分）（1+i）（2﹣i）=（　　） A．﹣3﹣i B．﹣3+i B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} C．3﹣i D．3+i 3．（5 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头， 凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件 与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可 以是（　　） A． C． B． D． 4．（5 分）若 sinα= ，则 cos2α=（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 5．（5 分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用 非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 6．（5 分）函数 f（x）= 的最小正周期为（　　） 第 1 页（共 29 页） A． B． C．π D．2π 7．（5 分）下列函数中，其图象与函数 y=lnx 的图象关于直线 x=1 对称的是（　　 ）A．y=ln（1﹣x） B．y=ln（2﹣x） C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x） 8．（5 分）直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆 （x﹣2）2+y2=2 上，则△ABP 面积的取值范围是（　　） A．[2，6] B．[4，8] C．[ ，3 ]D．[2 ，3 ]9．（5 分）函数 y=﹣x4+x2+2 的图象大致为（　　） A． B． C． D． 10．（5 分）已知双曲线 C： ﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则点（ 4，0）到 C 的渐近线的距离为（　　） A． B．2 C． D．2 11．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若△ABC 的面积为 ，则 C=（　　） A． B． C． D． 12．（5 分）设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ABC 为等 第 2 页（共 29 页） 边三角形且面积为 9 ，则三棱锥 D﹣ABC 体积的最大值为（　　） A．12 B．18 C．24 D．54 　二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）已知向量 =（1，2）， =（2，﹣2）， =（1，λ）．若 ∥（2 + ），则 λ=　． 14．（5 分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异 ．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简 单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是　 　． 15．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+ y的最大值是　 　．16．（5 分）已知函数 f（x）=ln（ ﹣x）+1，f（a）=4，则 f（﹣a）=　 　． 　三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答。（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． （1）求{an}的通项公式； （2）记 Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sm=63，求 m． 第 3 页（共 29 页） 18．（12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生 产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人， 将他们随机分成两组，每组 20 人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工 人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制 了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时 间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表： 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 ？附：K2= P（K2≥k） ，0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 k10.828 第 4 页（共 29 页） 19．（12 分）如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直，M 是 上异于 C，D 的点． （1）证明：平面 AMD⊥平面 BMC； （2）在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC∥平面 PBD？说明理由． 20．（12 分）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： +=1 交于 A，B 两点，线 段 AB 的中点为 M（1，m）（m＞0）． （1）证明：k＜﹣ ； （ 2 ） 设F 为 C 的 右 焦 点 ， P 为 C 上 一 点 ， 且 2| |=| |+| |． ++= ， 证 明 ： 第 5 页（共 29 页） 21．（12 分）已知函数 f（x）= ．（1）求曲线 y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程； （2）证明：当 a≥1 时，f（x）+e≥0． 　（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的参数方程为 ，（θ 为 参数），过点（0，﹣ ）且倾斜角为 α 的直线 l 与⊙O 交于 A，B 两点． （1）求 α 的取值范围； （2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程． 　[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．设函数 f（x）=|2x+1|+|x﹣1|． （1）画出 y=f（x）的图象； （2）当 x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求 a+b 的最小值． 第 6 页（共 29 页） 　第 7 页（共 29 页） 2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分）已知集合 A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则 A∩B=（　　） A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合． 【分析】求解不等式化简集合 A，再由交集的运算性质得答案． 【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}， ∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}． 故选：C． 【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题． 　2．（5 分）（1+i）（2﹣i）=（　　） A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i． 故选：D． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． 　3．（5 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头， 第 8 页（共 29 页） 凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件 与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可 以是（　　） A． B． D． C． 【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可． 【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方 体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形， 并且一条边重合，另外 3 边是虚线，所以木构件的俯视图是 A． 故选：A． 【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查． 　4．（5 分）若 sinα= ，则 cos2α=（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 第 9 页（共 29 页） 【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；56：三角函数的求值． 【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果． 【解答】解：∵sinα= ， ∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2× = ． 故选：B． 【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运 算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　5．（5 分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用 非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可． 【解答】解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不 用现金支付，是互斥事件， 所以不用现金支付的概率为：1﹣0.45﹣0.15=0.4． 故选：B． 【点评】本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关键， 是基本知识的考查． 　6．（5 分）函数 f（x）= A． B． 的最小正周期为（　　） C．π D．2π 【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有 第 10 页（共 29 页） 【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式， 再利用正弦函数的周期性，得出结论． 【解答】解：函数 f（x）= == sin2x的最小正周期为 =π， 故选：C． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，正弦函数 的周期性，属于基础题． 　7．（5 分）下列函数中，其图象与函数 y=lnx 的图象关于直线 x=1 对称的是（　　 ）A．y=ln（1﹣x） B．y=ln（2﹣x） C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x） 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用． 【分析】直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果． 【解答】解：首先根据函数 y=lnx 的图象， 则：函数 y=lnx 的图象与 y=ln（﹣x）的图象关于 y 轴对称． 由于函数 y=lnx 的图象关于直线 x=1 对称． 则：把函数 y=ln（﹣x）的图象向右平移 2 个单位即可得到：y=ln（2﹣x）． 即所求得解析式为：y=ln（2﹣x）． 故选：B． 【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的对称和平移变换． 　8．（5 分）直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆 （x﹣2）2+y2=2 上，则△ABP 面积的取值范围是（　　） A．[2，6] B．[4，8] C．[ ，3 ]D．[2 ，3 ]第 11 页（共 29 页） 【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】求出 A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2 ，设 P（2+ ），点 P 到直线 x+y+2=0 的距离： ，d= =∈[ ]， 由此能求出△ABP 面积的取值范围． 【解答】解：∵直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点， ∴令 x=0，得 y=﹣2，令 y=0，得 x=﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|= =2 ，∵点 P 在圆（x﹣2）2+y2=2 上，∴设 P（2+ ∴点 P 到直线 x+y+2=0 的距离： ，）， d= =，∵sin（ ）∈[﹣1，1]，∴d= ∈[ ]， ∴△ABP 面积的取值范围是： [，]=[2，6]． 故选：A． 【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距 离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考 查函数与方程思想，是中档题． 　9．（5 分）函数 y=﹣x4+x2+2 的图象大致为（　　） 第 12 页（共 29 页） A． B． C． D． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可． 【解答】解：函数过定点（0，2），排除 A，B． 函数的导数 f′（x）=﹣4×3+2x=﹣2x（2×2﹣1）， 由 f′（x）＞0 得 2x（2×2﹣1）＜0， 得 x＜﹣ 或 0＜x＜ ，此时函数单调递增， 由 f′（x）＜0 得 2x（2×2﹣1）＞0， 得 x＞ 或﹣ ＜x＜0，此时函数单调递减，排除 C， 也可以利用 f（1）=﹣1+1+2=2＞0，排除 A，B， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数 的单调性是解决本题的关键． 　10．（5 分）已知双曲线 C： ﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则点（ 第 13 页（共 29 页） 4，0）到 C 的渐近线的距离为（　　） A． B．2 C． D．2 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】利用双曲线的离心率求出 a，b 的关系，求出双曲线的渐近线方程，利 用点到直线的距离求解即可． 【解答】解：双曲线 C： 可得 = ，即： ﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，，解得 a=b， 双曲线 C： ﹣=1（a＞b＞0）的渐近线方程玩：y=±x， 点（4，0）到 C 的渐近线的距离为： 故选：D． =2 ．【点评】本题看出双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 　11．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若△ABC 的面积为 ，则 C=（　　） A． B． C． D． 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】推导出 S△ABC ==，从而 sinC= =cosC，由 此能求出结果． 【解答】解：∵△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c． 第 14 页（共 29 页） △ABC 的面积为 ，∴S△ABC ∴sinC= ==，=cosC， ∵0＜C＜π，∴C= 故选：C． ．【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知 识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　12．（5 分）设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ABC 为等 边三角形且面积为 9 ，则三棱锥 D﹣ABC 体积的最大值为（　　） A．12 B．18 C．24 D．54 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合 法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】求出，△ABC 为等边三角形的边长，画出图形，判断 D 的位置，然后 求解即可． 【解答】解：△ABC 为等边三角形且面积为 9 ，可得 AB=6， ，解得 球心为 O，三角形 ABC 的外心为 O′，显然 D 在 O′O 的延长线与球的交点如图： O′C= ，OO′= =2， =则三棱锥 D﹣ABC 高的最大值为：6， 则三棱锥 D﹣ABC 体积的最大值为： 故选：B． =18 ．第 15 页（共 29 页） 【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及 计算能力． 　二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）已知向量 =（1，2）， =（2，﹣2）， =（1，λ）．若 ∥（2 + ），则 λ=　． 【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】利用向量坐标运算法则求出 =（4，2），再由向量平行的性质能求 出 λ 的值． 【解答】解：∵向量 =（1，2）， =（2，﹣2）， =（4，2）， ∵ =（1，λ）， ∥（2 + ）， ∴∴，解得 λ= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　14．（5 分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异 ．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简 第 16 页（共 29 页） 单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是　分层抽样　． 【考点】B3：分层抽样方法；B4：系统抽样方法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解． 【解答】解：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异 ，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查， 可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样， 则最合适的抽样方法是分层抽样． 故答案为：分层抽样． 【点评】本题考查抽样方法的判断，考查简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的 性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　15．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+ y的最大值是　3　 ．【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合 法；5T：不等式． 【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知 当直线过（2，3）时，z 最大． 【解答】解：画出变量 x，y 满足约束条件 解得 A（2，3）． 表示的平面区域如图：由 z=x+ y变形为 y=﹣3x+3z，作出目标函数对应的直线， 当直线过 A（2，3）时，直线的纵截距最小，z 最大， 第 17 页（共 29 页） 最大值为 2+3× =3， 故答案为：3． 【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值． 　16．（5 分）已知函数 f（x）=ln（ ﹣x）+1，f（a）=4，则 f（﹣a）=　﹣2　 ．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可． 【解答】解：函数 g（x）=ln（ ﹣x） 满足 g（﹣x）=ln（ +x）= =﹣ln（ ﹣x）=﹣g（x）， 所以 g（x）是奇函数． 函数 f（x）=ln（ ﹣x）+1，f（a）=4， ﹣a）+1，可得 ln（ ﹣a）+1=﹣3+1=﹣2． 可得 f（a）=4=ln（ 则 f（﹣a）=﹣ln（ 故答案为：﹣2． ﹣a）=3， 第 18 页（共 29 页） 【点评】本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法，考查计算能力． 　三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答。（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． （1）求{an}的通项公式； （2）记 Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sm=63，求 m． 【考点】89：等比数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比 q=±2，由此能求出{an} 的通项公式． （2）当 a1=1，q=﹣2 时，Sn= ，由 Sm=63，得 Sm= =63，m∈N， 无解；当 a1=1，q=2 时，Sn=2n﹣1，由此能求出 m． 【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． ∴1×q4=4×（1×q2）， 解得 q=±2， 当 q=2 时，an=2n﹣1 ，当 q=﹣2 时，an=（﹣2）n﹣1 ，∴{an}的通项公式为，an=2n﹣1，或 an=（﹣2）n﹣1 （2）记 Sn 为{an}的前 n 项和． ．当 a1=1，q=﹣2 时，Sn= 由 Sm=63，得 Sm= ==，=63，m∈N，无解； =2n﹣1， 当 a1=1，q=2 时，Sn= =第 19 页（共 29 页） 由 Sm=63，得 Sm=2m﹣1=63，m∈N， 解得 m=6． 【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识 ，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　18．（12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生 产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人， 将他们随机分成两组，每组 20 人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工 人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制 了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时 间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表： 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 ？附：K2= P（K2≥k） ，0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 k10.828 【考点】BL：独立性检验．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计． 第 20 页（共 29 页） 【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效 率更高； （2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表； （3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论． 【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知， 第一种生产方式的工作时间主要集中在 72～92 之间， 第二种生产方式的工作时间主要集中在 65～85 之间， 所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高； （2）这 40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后， 排在中间的两个数据是 79 和 81，计算它们的中位数为 m= =80； 由此填写列联表如下； 超过 m 不超过 m 总计 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 15 5520 20 40 15 20 20 （3）根据（2）中的列联表，计算 K2= ==10＞6.635， ∴能有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题． 　19．（12 分）如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直，M 是 上异于 C，D 的点． （1）证明：平面 AMD⊥平面 BMC； （2）在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC∥平面 PBD？说明理由． 第 21 页（共 29 页） 【考点】LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位 置关系与距离． 【分析】（1）通过证明 CD⊥AD，CD⊥DM，证明 CM⊥平面 AMD，然后证明平 面 AMD⊥平面 BMC； （2）存在 P 是 AM 的中点，利用直线与平面培训的判断定理说明即可． 【解答】（1）证明：矩形 ABCD 所在平面与半圆弦 所在平面垂直，所以AD⊥ 半圆弦 所在平面，CM⊂半圆弦 所在平面， ∴CM⊥AD， M 是 上异于C，D 的点．∴CM⊥DM，DM∩AD=D，∴CM⊥平面 AMD，CM⊂ 平面 CMB， ∴平面 AMD⊥平面 BMC； （2）解：存在 P 是 AM 的中点， 理由：连接 BD 交 AC 于 O，取 AM 的中点 P，连接 OP，可得 MC∥OP， MC⊄平面 BDP，OP⊂平面 BDP， 所以 MC∥平面 PBD． 【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面 培训的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力． 　20．（12 分）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： +=1 交于 A，B 两点，线 段 AB 的中点为 M（1，m）（m＞0）． （1）证明：k＜﹣ ； （ 2 ） 设F 为 C 的 右 焦 点 ， P 为 C 上 一 点 ， 且 ++= ， 证 明 ： 第 22 页（共 29 页） 2| |=| |+| |． 【考点】K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4P：设而不求法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得 6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，k= =﹣ =﹣ 又点 M（1，m）在椭圆内，即 得 k＜﹣ ， ，解得 m 的取值范围，即可 （2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得 x1+x2=2 = ，可得 x3﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣ x1， 由++|FB|=2﹣ x2，|FP|=2﹣ x3= ．即可证明|FA|+|FB|=2|FP|． 【解答】解：（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵线段 AB 的中点为 M（1，m）， ∴x1+x2=2，y1+y2=2m 将 A，B 代入椭圆 C： +=1 中，可得 ，两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0， 即 6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0， ∴k= =﹣ =﹣ 点 M（1，m）在椭圆内，即 解得 0＜m ，∴k=﹣ ．第 23 页（共 29 页） （2）证明：设 A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3）， 可得 x1+x2=2 ∵++= ，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0， ∴x3=1 由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣ x1，|FB|=2﹣ x2，|FP|=2﹣ x3= ． 则|FA|+|FB|=4﹣ ，∴|FA|+|FB|=2|FP|， 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公 式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属 于中档题． 　21．（12 分）已知函数 f（x）= ．（1）求曲线 y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程； （2）证明：当 a≥1 时，f（x）+e≥0． 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方 程．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】（1） 由 f′（0）=2，可得切线斜率 k=2，即可得到切线方程． （2）可得 =﹣ ．可得 f（x）在（ ﹣），（2，+∞）递减，在（﹣ ，2）递增，注意到 a≥1 时，函数 g（ x）=ax2+x﹣1 在（2，+∞）单调递增，且 g（2）=4a+1＞0 只需（x） ≥﹣e，即可． 第 24 页（共 29 页） 【解答】解：（1） =﹣ ．∴f′（0）=2，即曲线 y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率 k=2， ∴曲线 y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为 y﹣（﹣1）=2x． 即 2x﹣y﹣1=0 为所求． （2）证明：函数 f（x）的定义域为：R， 可得 =﹣ ．令 f′（x）=0，可得 ，当 x 时，f′（x）＜0，x 时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞） 时，f′（x）＜0． ∴f（x）在（﹣ ），（2，+∞）递减，在（﹣ ，2）递增， 注意到 a≥1 时，函数 g（x）=ax2+x﹣1 在（2，+∞）单调递增，且 g（2）=4a+1＞ 0函数 f（x）的图象如下： ∵a≥1，∴ ∴f（x） ，则 ≥﹣e， ≥﹣e， ∴当 a≥1 时，f（x）+e≥0． 【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形 结合思想，属于中档题． 第 25 页（共 29 页） 　（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的参数方程为 ，（θ 为 参数），过点（0，﹣ ）且倾斜角为 α 的直线 l 与⊙O 交于 A，B 两点． （1）求 α 的取值范围； （2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程． 【考点】QK：圆的参数方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）⊙O 的普通方程为 x2+y2=1，圆心为 O（0，0），半径 r=1，当 α= 时，直线 l 的方程为 x=0，成立；当 α≠ 时，过点（0，﹣ ）且倾斜角 为 α 的直线 l 的方程为 y=tanα•x+ ，从而圆心 O（0，0）到直线 l 的距离 d= ＜1，进而求出 或，由此能求出 α 的取 值范围． （2）设直线 l 的方程为 x=m（y+ ），联立 y2+2 ，得（m2+1） +2m2﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出 AB 中点 P 的轨迹的参数方程． 【解答】解：（1）∵⊙O 的参数方程为 （θ 为参数）， ∴⊙O 的普通方程为 x2+y2=1，圆心为 O（0，0），半径 r=1， 当 α= 时，过点（0，﹣ ）且倾斜角为 α 的直线 l 的方程为 x=0，成立； 当 α≠ 时，过点（0，﹣ ）且倾斜角为 α 的直线 l 的方程为 y=tanα•x﹣ ∵倾斜角为 α 的直线 l 与⊙O 交于 A，B 两点， ，∴圆心 O（0，0）到直线 l 的距离 d= ＜1， 第 26 页（共 29 页） ∴tan2α＞1，∴tanα＞1 或 tanα＜﹣1， ∴或，综上 α 的取值范围是（ ，）． （2）由（1）知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 x=m（y+ ）， 设 A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3）， 联立 ，得（m2+1）y2+2 +2m2﹣1=0， ，=﹣ +2 ，=，=﹣ ，∴AB 中点 P 的轨迹的参数方程为 ，（m 为参数），（﹣1＜m＜1）． 【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数 方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基 础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方 程思想，是中档题． 　[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．设函数 f（x）=|2x+1|+|x﹣1|． （1）画出 y=f（x）的图象； （2）当 x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求 a+b 的最小值． 第 27 页（共 29 页） 【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；5B：分段函数的应用．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的 解法及应用． 【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可． （2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可． 【解答】解：（1）当 x≤﹣ 时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x， 当﹣ ＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2， 当 x≥1 时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x， 则 f（x）= 对应的图象为： 画出 y=f（x）的图象； （2）当 x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b， 当 x=0 时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2， 当 x＞0 时，要使 f（x）≤ax+b 恒成立， 则函数 f（x）的图象都在直线 y=ax+b 的下方或在直线上， ∵f（x）的图象与 y 轴的交点的纵坐标为 2， 且各部分直线的斜率的最大值为 3， 第 28 页（共 29 页） 故当且仅当 a≥3 且 b≥2 时，不等式 f（x）≤ax+b 在[0，+∞）上成立， 即 a+b 的最小值为 5． 【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形 结合是解决本题的关键． 第 29 页（共 29 页）