2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ)(含解析版)下载

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  • 最近更新2022年10月14日



2018 年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(5 分)已知集合 A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则 A∩B=(  ) A.{0} 2.(5 分)(1+i)(2﹣i)=(  ) A.﹣3﹣i B.﹣3+i B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} C.3﹣i D.3+i 3.(5 分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头, 凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件 与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可 以是(  ) A. C. B. D. 4.(5 分)若 sinα= ,则 cos2α=(  ) A. B. C.﹣ D.﹣ 5.(5 分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45,既用现金支付也用 非现金支付的概率为 0.15,则不用现金支付的概率为(  ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 6.(5 分)函数 f(x)= 的最小正周期为(  ) 第 1 页(共 29 页) A. B. C.π D.2π 7.(5 分)下列函数中,其图象与函数 y=lnx 的图象关于直线 x=1 对称的是(   )A.y=ln(1﹣x) B.y=ln(2﹣x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x) 8.(5 分)直线 x+y+2=0 分别与 x 轴,y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆 (x﹣2)2+y2=2 上,则△ABP 面积的取值范围是(  ) A.[2,6] B.[4,8] C.[ ,3 ]D.[2 ,3 ]9.(5 分)函数 y=﹣x4+x2+2 的图象大致为(  ) A. B. C. D. 10.(5 分)已知双曲线 C: ﹣=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则点( 4,0)到 C 的渐近线的距离为(  ) A. B.2 C. D.2 11.(5 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若△ABC 的面积为 ,则 C=(  ) A. B. C. D. 12.(5 分)设 A,B,C,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点,△ABC 为等 第 2 页(共 29 页) 边三角形且面积为 9 ,则三棱锥 D﹣ABC 体积的最大值为(  ) A.12 B.18 C.24 D.54  二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.(5 分)已知向量 =(1,2), =(2,﹣2), =(1,λ).若 ∥(2 + ),则 λ= . 14.(5 分)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异 .为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简 单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是   . 15.(5 分)若变量 x,y 满足约束条件 ,则 z=x+ y的最大值是   .16.(5 分)已知函数 f(x)=ln( ﹣x)+1,f(a)=4,则 f(﹣a)=   .  三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要 求作答。(一)必考题:共 60 分。 17.(12 分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通项公式; (2)记 Sn 为{an}的前 n 项和.若 Sm=63,求 m. 第 3 页(共 29 页) 18.(12 分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生 产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取 40 名工人, 将他们随机分成两组,每组 20 人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工 人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制 了如下茎叶图: (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; (2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m,并将完成生产任务所需时 间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表: 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据(2)中的列联表,能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 ?附:K2= P(K2≥k) ,0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 k10.828 第 4 页(共 29 页) 19.(12 分)如图,矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直,M 是 上异于 C,D 的点. (1)证明:平面 AMD⊥平面 BMC; (2)在线段 AM 上是否存在点 P,使得 MC∥平面 PBD?说明理由. 20.(12 分)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C: +=1 交于 A,B 两点,线 段 AB 的中点为 M(1,m)(m>0). (1)证明:k<﹣ ; ( 2 ) 设F 为 C 的 右 焦 点 , P 为 C 上 一 点 , 且 2| |=| |+| |. ++= , 证 明 : 第 5 页(共 29 页) 21.(12 分)已知函数 f(x)= .(1)求曲线 y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线方程; (2)证明:当 a≥1 时,f(x)+e≥0.  (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做, 则按所做的第一题计分。[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 22.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,⊙O 的参数方程为 ,(θ 为 参数),过点(0,﹣ )且倾斜角为 α 的直线 l 与⊙O 交于 A,B 两点. (1)求 α 的取值范围; (2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程.  [选修 4-5:不等式选讲](10 分) 23.设函数 f(x)=|2x+1|+|x﹣1|. (1)画出 y=f(x)的图象; (2)当 x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求 a+b 的最小值. 第 6 页(共 29 页)  第 7 页(共 29 页) 2018 年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ) 参考答案与试题解析  一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(5 分)已知集合 A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则 A∩B=(  ) A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} 【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有 【专题】37:集合思想;4A:数学模型法;5J:集合. 【分析】求解不等式化简集合 A,再由交集的运算性质得答案. 【解答】解:∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1},B={0,1,2}, ∴A∩B={x|x≥1}∩{0,1,2}={1,2}. 故选:C. 【点评】本题考查了交集及其运算,是基础题.  2.(5 分)(1+i)(2﹣i)=(  ) A.﹣3﹣i B.﹣3+i C.3﹣i D.3+i 【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有 【专题】38:对应思想;4A:数学模型法;5N:数系的扩充和复数. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:(1+i)(2﹣i)=3+i. 故选:D. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题.  3.(5 分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头, 第 8 页(共 29 页) 凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件 与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可 以是(  ) A. B. D. C. 【考点】L7:简单空间图形的三视图.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离. 【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法,判断选项的正误即可. 【解答】解:由题意可知,如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方 体,小的长方体,是榫头,从图形看出,轮廓是长方形,内含一个长方形, 并且一条边重合,另外 3 边是虚线,所以木构件的俯视图是 A. 故选:A. 【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法,是基本知识的考查.  4.(5 分)若 sinα= ,则 cos2α=(  ) A. B. C.﹣ D.﹣ 第 9 页(共 29 页) 【考点】GS:二倍角的三角函数.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;56:三角函数的求值. 【分析】cos2α=1﹣2sin2α,由此能求出结果. 【解答】解:∵sinα= , ∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2× = . 故选:B. 【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法,考查二倍角公式等基础知识,考查运 算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.  5.(5 分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45,既用现金支付也用 非现金支付的概率为 0.15,则不用现金支付的概率为(  ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 【考点】C5:互斥事件的概率加法公式;CB:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5I:概率与统计. 【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可. 【解答】解:某群体中的成员只用现金支付,既用现金支付也用非现金支付,不 用现金支付,是互斥事件, 所以不用现金支付的概率为:1﹣0.45﹣0.15=0.4. 故选:B. 【点评】本题考查互斥事件的概率的求法,判断事件是互斥事件是解题的关键, 是基本知识的考查.  6.(5 分)函数 f(x)= A. B. 的最小正周期为(  ) C.π D.2π 【考点】H1:三角函数的周期性.菁优网版权所有 第 10 页(共 29 页) 【专题】35:转化思想;49:综合法;57:三角函数的图像与性质. 【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式, 再利用正弦函数的周期性,得出结论. 【解答】解:函数 f(x)= == sin2x的最小正周期为 =π, 故选:C. 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式,正弦函数 的周期性,属于基础题.  7.(5 分)下列函数中,其图象与函数 y=lnx 的图象关于直线 x=1 对称的是(   )A.y=ln(1﹣x) B.y=ln(2﹣x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x) 【考点】3A:函数的图象与图象的变换.菁优网版权所有 【专题】35:转化思想;51:函数的性质及应用. 【分析】直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果. 【解答】解:首先根据函数 y=lnx 的图象, 则:函数 y=lnx 的图象与 y=ln(﹣x)的图象关于 y 轴对称. 由于函数 y=lnx 的图象关于直线 x=1 对称. 则:把函数 y=ln(﹣x)的图象向右平移 2 个单位即可得到:y=ln(2﹣x). 即所求得解析式为:y=ln(2﹣x). 故选:B. 【点评】本题考查的知识要点:函数的图象的对称和平移变换.  8.(5 分)直线 x+y+2=0 分别与 x 轴,y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆 (x﹣2)2+y2=2 上,则△ABP 面积的取值范围是(  ) A.[2,6] B.[4,8] C.[ ,3 ]D.[2 ,3 ]第 11 页(共 29 页) 【考点】J9:直线与圆的位置关系.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5B:直线与圆. 【分析】求出 A(﹣2,0),B(0,﹣2),|AB|=2 ,设 P(2+ ),点 P 到直线 x+y+2=0 的距离: ,d= =∈[ ], 由此能求出△ABP 面积的取值范围. 【解答】解:∵直线 x+y+2=0 分别与 x 轴,y 轴交于 A,B 两点, ∴令 x=0,得 y=﹣2,令 y=0,得 x=﹣2, ∴A(﹣2,0),B(0,﹣2),|AB|= =2 ,∵点 P 在圆(x﹣2)2+y2=2 上,∴设 P(2+ ∴点 P 到直线 x+y+2=0 的距离: ,), d= =,∵sin( )∈[﹣1,1],∴d= ∈[ ], ∴△ABP 面积的取值范围是: [,]=[2,6]. 故选:A. 【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法,考查直线方程、点到直线的距 离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识,考查运算求解能力,考 查函数与方程思想,是中档题.  9.(5 分)函数 y=﹣x4+x2+2 的图象大致为(  ) 第 12 页(共 29 页) A. B. C. D. 【考点】3A:函数的图象与图象的变换.菁优网版权所有 【专题】38:对应思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用. 【分析】根据函数图象的特点,求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可. 【解答】解:函数过定点(0,2),排除 A,B. 函数的导数 f′(x)=﹣4×3+2x=﹣2x(2×2﹣1), 由 f′(x)>0 得 2x(2×2﹣1)<0, 得 x<﹣ 或 0<x< ,此时函数单调递增, 由 f′(x)<0 得 2x(2×2﹣1)>0, 得 x> 或﹣ <x<0,此时函数单调递减,排除 C, 也可以利用 f(1)=﹣1+1+2=2>0,排除 A,B, 故选:D. 【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断,利用函数过定点以及判断函数 的单调性是解决本题的关键.  10.(5 分)已知双曲线 C: ﹣=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则点( 第 13 页(共 29 页) 4,0)到 C 的渐近线的距离为(  ) A. B.2 C. D.2 【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性 质与方程. 【分析】利用双曲线的离心率求出 a,b 的关系,求出双曲线的渐近线方程,利 用点到直线的距离求解即可. 【解答】解:双曲线 C: 可得 = ,即: ﹣=1(a>0,b>0)的离心率为 ,,解得 a=b, 双曲线 C: ﹣=1(a>b>0)的渐近线方程玩:y=±x, 点(4,0)到 C 的渐近线的距离为: 故选:D. =2 .【点评】本题看出双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.  11.(5 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若△ABC 的面积为 ,则 C=(  ) A. B. C. D. 【考点】HR:余弦定理.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;58:解三角形. 【分析】推导出 S△ABC ==,从而 sinC= =cosC,由 此能求出结果. 【解答】解:∵△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 第 14 页(共 29 页) △ABC 的面积为 ,∴S△ABC ∴sinC= ==,=cosC, ∵0<C<π,∴C= 故选:C. .【点评】本题考查三角形内角的求法,考查余弦定理、三角形面积公式等基础知 识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.  12.(5 分)设 A,B,C,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点,△ABC 为等 边三角形且面积为 9 ,则三棱锥 D﹣ABC 体积的最大值为(  ) A.12 B.18 C.24 D.54 【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LG:球的体积和表面积.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;31:数形结合;34:方程思想;35:转化思想;49:综合 法;5F:空间位置关系与距离. 【分析】求出,△ABC 为等边三角形的边长,画出图形,判断 D 的位置,然后 求解即可. 【解答】解:△ABC 为等边三角形且面积为 9 ,可得 AB=6, ,解得 球心为 O,三角形 ABC 的外心为 O′,显然 D 在 O′O 的延长线与球的交点如图: O′C= ,OO′= =2, =则三棱锥 D﹣ABC 高的最大值为:6, 则三棱锥 D﹣ABC 体积的最大值为: 故选:B. =18 .第 15 页(共 29 页) 【点评】本题考查球的内接多面体,棱锥的体积的求法,考查空间想象能力以及 计算能力.  二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.(5 分)已知向量 =(1,2), =(2,﹣2), =(1,λ).若 ∥(2 + ),则 λ= . 【考点】96:平行向量(共线);9J:平面向量的坐标运算.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5A:平面向量及应用. 【分析】利用向量坐标运算法则求出 =(4,2),再由向量平行的性质能求 出 λ 的值. 【解答】解:∵向量 =(1,2), =(2,﹣2), =(4,2), ∵ =(1,λ), ∥(2 + ), ∴∴,解得 λ= . 故答案为: . 【点评】本题考查实数值的求法,考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基 础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.  14.(5 分)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异 .为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简 第 16 页(共 29 页) 单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 分层抽样 . 【考点】B3:分层抽样方法;B4:系统抽样方法.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;38:对应思想;4O:定义法;5I:概率与统计. 【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解. 【解答】解:某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异 ,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查, 可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样, 则最合适的抽样方法是分层抽样. 故答案为:分层抽样. 【点评】本题考查抽样方法的判断,考查简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的 性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.  15.(5 分)若变量 x,y 满足约束条件 ,则 z=x+ y的最大值是 3  .【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;31:数形结合;34:方程思想;35:转化思想;49:综合 法;5T:不等式. 【分析】作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;结合图象知 当直线过(2,3)时,z 最大. 【解答】解:画出变量 x,y 满足约束条件 解得 A(2,3). 表示的平面区域如图:由 z=x+ y变形为 y=﹣3x+3z,作出目标函数对应的直线, 当直线过 A(2,3)时,直线的纵截距最小,z 最大, 第 17 页(共 29 页) 最大值为 2+3× =3, 故答案为:3. 【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值.  16.(5 分)已知函数 f(x)=ln( ﹣x)+1,f(a)=4,则 f(﹣a)= ﹣2  .【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;33:函数思想;49:综合法;51:函数的性质及应用. 【分析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值,转化求解即可. 【解答】解:函数 g(x)=ln( ﹣x) 满足 g(﹣x)=ln( +x)= =﹣ln( ﹣x)=﹣g(x), 所以 g(x)是奇函数. 函数 f(x)=ln( ﹣x)+1,f(a)=4, ﹣a)+1,可得 ln( ﹣a)+1=﹣3+1=﹣2. 可得 f(a)=4=ln( 则 f(﹣a)=﹣ln( 故答案为:﹣2. ﹣a)=3, 第 18 页(共 29 页) 【点评】本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法,考查计算能力.  三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要 求作答。(一)必考题:共 60 分。 17.(12 分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通项公式; (2)记 Sn 为{an}的前 n 项和.若 Sm=63,求 m. 【考点】89:等比数列的前 n 项和.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;54:等差数列与等比数列. 【分析】(1)利用等比数列通项公式列出方程,求出公比 q=±2,由此能求出{an} 的通项公式. (2)当 a1=1,q=﹣2 时,Sn= ,由 Sm=63,得 Sm= =63,m∈N, 无解;当 a1=1,q=2 时,Sn=2n﹣1,由此能求出 m. 【解答】解:(1)∵等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. ∴1×q4=4×(1×q2), 解得 q=±2, 当 q=2 时,an=2n﹣1 ,当 q=﹣2 时,an=(﹣2)n﹣1 ,∴{an}的通项公式为,an=2n﹣1,或 an=(﹣2)n﹣1 (2)记 Sn 为{an}的前 n 项和. .当 a1=1,q=﹣2 时,Sn= 由 Sm=63,得 Sm= ==,=63,m∈N,无解; =2n﹣1, 当 a1=1,q=2 时,Sn= =第 19 页(共 29 页) 由 Sm=63,得 Sm=2m﹣1=63,m∈N, 解得 m=6. 【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法,考查等比数列的性质等基础知识 ,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.  18.(12 分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生 产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取 40 名工人, 将他们随机分成两组,每组 20 人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工 人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制 了如下茎叶图: (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; (2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m,并将完成生产任务所需时 间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表: 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据(2)中的列联表,能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 ?附:K2= P(K2≥k) ,0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 k10.828 【考点】BL:独立性检验.菁优网版权所有 【专题】38:对应思想;4A:数学模型法;5I:概率与统计. 第 20 页(共 29 页) 【分析】(1)根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些,效 率更高; (2)根据茎叶图中的数据计算它们的中位数,再填写列联表; (3)列联表中的数据计算观测值,对照临界值得出结论. 【解答】解:(1)根据茎叶图中的数据知, 第一种生产方式的工作时间主要集中在 72~92 之间, 第二种生产方式的工作时间主要集中在 65~85 之间, 所以第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高; (2)这 40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后, 排在中间的两个数据是 79 和 81,计算它们的中位数为 m= =80; 由此填写列联表如下; 超过 m 不超过 m 总计 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 15 5520 20 40 15 20 20 (3)根据(2)中的列联表,计算 K2= ==10>6.635, ∴能有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题,是基础题.  19.(12 分)如图,矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直,M 是 上异于 C,D 的点. (1)证明:平面 AMD⊥平面 BMC; (2)在线段 AM 上是否存在点 P,使得 MC∥平面 PBD?说明理由. 第 21 页(共 29 页) 【考点】LS:直线与平面平行;LY:平面与平面垂直.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;31:数形结合;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位 置关系与距离. 【分析】(1)通过证明 CD⊥AD,CD⊥DM,证明 CM⊥平面 AMD,然后证明平 面 AMD⊥平面 BMC; (2)存在 P 是 AM 的中点,利用直线与平面培训的判断定理说明即可. 【解答】(1)证明:矩形 ABCD 所在平面与半圆弦 所在平面垂直,所以AD⊥ 半圆弦 所在平面,CM⊂半圆弦 所在平面, ∴CM⊥AD, M 是 上异于C,D 的点.∴CM⊥DM,DM∩AD=D,∴CM⊥平面 AMD,CM⊂ 平面 CMB, ∴平面 AMD⊥平面 BMC; (2)解:存在 P 是 AM 的中点, 理由:连接 BD 交 AC 于 O,取 AM 的中点 P,连接 OP,可得 MC∥OP, MC⊄平面 BDP,OP⊂平面 BDP, 所以 MC∥平面 PBD. 【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用,直线与平面 培训的判断定理的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力.  20.(12 分)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C: +=1 交于 A,B 两点,线 段 AB 的中点为 M(1,m)(m>0). (1)证明:k<﹣ ; ( 2 ) 设F 为 C 的 右 焦 点 , P 为 C 上 一 点 , 且 ++= , 证 明 : 第 22 页(共 29 页) 2| |=| |+| |. 【考点】K4:椭圆的性质;KL:直线与椭圆的综合.菁优网版权所有 【专题】35:转化思想;4P:设而不求法;5E:圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),利用点差法得 6(x1﹣x2)+8m(y1﹣y2)=0,k= =﹣ =﹣ 又点 M(1,m)在椭圆内,即 得 k<﹣ , ,解得 m 的取值范围,即可 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),可得 x1+x2=2 = ,可得 x3﹣1=0,由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣ x1, 由++|FB|=2﹣ x2,|FP|=2﹣ x3= .即可证明|FA|+|FB|=2|FP|. 【解答】解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∵线段 AB 的中点为 M(1,m), ∴x1+x2=2,y1+y2=2m 将 A,B 代入椭圆 C: +=1 中,可得 ,两式相减可得,3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0, 即 6(x1﹣x2)+8m(y1﹣y2)=0, ∴k= =﹣ =﹣ 点 M(1,m)在椭圆内,即 解得 0<m ,∴k=﹣ .第 23 页(共 29 页) (2)证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3), 可得 x1+x2=2 ∵++= ,F(1,0),∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0, ∴x3=1 由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣ x1,|FB|=2﹣ x2,|FP|=2﹣ x3= . 则|FA|+|FB|=4﹣ ,∴|FA|+|FB|=2|FP|, 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查了点差法、焦半径公 式,考查分析问题解决问题的能力,转化思想的应用与计算能力的考查.属 于中档题.  21.(12 分)已知函数 f(x)= .(1)求曲线 y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线方程; (2)证明:当 a≥1 时,f(x)+e≥0. 【考点】6D:利用导数研究函数的极值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方 程.菁优网版权所有 【专题】35:转化思想;49:综合法;53:导数的综合应用. 【分析】(1) 由 f′(0)=2,可得切线斜率 k=2,即可得到切线方程. (2)可得 =﹣ .可得 f(x)在( ﹣),(2,+∞)递减,在(﹣ ,2)递增,注意到 a≥1 时,函数 g( x)=ax2+x﹣1 在(2,+∞)单调递增,且 g(2)=4a+1>0 只需(x) ≥﹣e,即可. 第 24 页(共 29 页) 【解答】解:(1) =﹣ .∴f′(0)=2,即曲线 y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线斜率 k=2, ∴曲线 y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线方程方程为 y﹣(﹣1)=2x. 即 2x﹣y﹣1=0 为所求. (2)证明:函数 f(x)的定义域为:R, 可得 =﹣ .令 f′(x)=0,可得 ,当 x 时,f′(x)<0,x 时,f′(x)>0,x∈(2,+∞) 时,f′(x)<0. ∴f(x)在(﹣ ),(2,+∞)递减,在(﹣ ,2)递增, 注意到 a≥1 时,函数 g(x)=ax2+x﹣1 在(2,+∞)单调递增,且 g(2)=4a+1> 0函数 f(x)的图象如下: ∵a≥1,∴ ∴f(x) ,则 ≥﹣e, ≥﹣e, ∴当 a≥1 时,f(x)+e≥0. 【点评】本题考查了导数的几何意义,及利用导数求单调性、最值,考查了数形 结合思想,属于中档题. 第 25 页(共 29 页)  (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做, 则按所做的第一题计分。[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 22.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,⊙O 的参数方程为 ,(θ 为 参数),过点(0,﹣ )且倾斜角为 α 的直线 l 与⊙O 交于 A,B 两点. (1)求 α 的取值范围; (2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程. 【考点】QK:圆的参数方程.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5S:坐标系和参数方程. 【分析】(1)⊙O 的普通方程为 x2+y2=1,圆心为 O(0,0),半径 r=1,当 α= 时,直线 l 的方程为 x=0,成立;当 α≠ 时,过点(0,﹣ )且倾斜角 为 α 的直线 l 的方程为 y=tanα•x+ ,从而圆心 O(0,0)到直线 l 的距离 d= <1,进而求出 或,由此能求出 α 的取 值范围. (2)设直线 l 的方程为 x=m(y+ ),联立 y2+2 ,得(m2+1) +2m2﹣1=0,由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出 AB 中点 P 的轨迹的参数方程. 【解答】解:(1)∵⊙O 的参数方程为 (θ 为参数), ∴⊙O 的普通方程为 x2+y2=1,圆心为 O(0,0),半径 r=1, 当 α= 时,过点(0,﹣ )且倾斜角为 α 的直线 l 的方程为 x=0,成立; 当 α≠ 时,过点(0,﹣ )且倾斜角为 α 的直线 l 的方程为 y=tanα•x﹣ ∵倾斜角为 α 的直线 l 与⊙O 交于 A,B 两点, ,∴圆心 O(0,0)到直线 l 的距离 d= <1, 第 26 页(共 29 页) ∴tan2α>1,∴tanα>1 或 tanα<﹣1, ∴或,综上 α 的取值范围是( ,). (2)由(1)知直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x=m(y+ ), 设 A(x1,y1),(B(x2,y2),P(x3,y3), 联立 ,得(m2+1)y2+2 +2m2﹣1=0, ,=﹣ +2 ,=,=﹣ ,∴AB 中点 P 的轨迹的参数方程为 ,(m 为参数),(﹣1<m<1). 【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法,考查线段的中点的参数 方程的求法,考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基 础知识,考查数形结合思想的灵活运用,考查运算求解能力,考查函数与方 程思想,是中档题.  [选修 4-5:不等式选讲](10 分) 23.设函数 f(x)=|2x+1|+|x﹣1|. (1)画出 y=f(x)的图象; (2)当 x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求 a+b 的最小值. 第 27 页(共 29 页) 【考点】3B:分段函数的解析式求法及其图象的作法;5B:分段函数的应用.菁优网版权所有 【专题】31:数形结合;4R:转化法;51:函数的性质及应用;59:不等式的 解法及应用. 【分析】(1)利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可. (2)将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可. 【解答】解:(1)当 x≤﹣ 时,f(x)=﹣(2x+1)﹣(x﹣1)=﹣3x, 当﹣ <x<1,f(x)=(2x+1)﹣(x﹣1)=x+2, 当 x≥1 时,f(x)=(2x+1)+(x﹣1)=3x, 则 f(x)= 对应的图象为: 画出 y=f(x)的图象; (2)当 x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b, 当 x=0 时,f(0)=2≤0•a+b,∴b≥2, 当 x>0 时,要使 f(x)≤ax+b 恒成立, 则函数 f(x)的图象都在直线 y=ax+b 的下方或在直线上, ∵f(x)的图象与 y 轴的交点的纵坐标为 2, 且各部分直线的斜率的最大值为 3, 第 28 页(共 29 页) 故当且仅当 a≥3 且 b≥2 时,不等式 f(x)≤ax+b 在[0,+∞)上成立, 即 a+b 的最小值为 5. 【点评】本题主要考查分段函数的应用,利用不等式和函数之间的关系利用数形 结合是解决本题的关键. 第 29 页(共 29 页)

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