第 1 页 共 22 页 2009 年北京市普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷（选择题 共40 分） 注意事项： 1．答第 I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用 2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字 母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。 一、本大题每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．在复平面内，复数 z i(1 2i)对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量 a,b 不共线， c ka b(k R),d a b 如果 c // d ，那么 A． k 1 C． k 1 且c且与d与同向 同向 B． k 1 D． k 1 且c且与d与 d 反向 反向 cdcx 3 10 3．为了得到函数 y lg 的图像，只需把函数 y lg x 的图像上所有的点 A．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 4．若正四棱柱 ABCD A B C1D1 的底面边长为 1， AB1 与底面 ABCD 成 60°角，则 AC1 111到底面 ABCD 的距离为 3A． B．1 C． 2D． 3 3615．“ 2k (k Z) ”是“ cos2 ”的 2A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若 (1 2)5 a b 2(a,b 为有理数），则 a b A．45 B．55 C．70 D．80 第 1 页 共 22 页 1第 2 页 共 22 页 7．用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A．324 B．328 C．360 D．648 8．点 P在直线 l : y x 1上，若存在过 P的直线交抛物线 y x2 于 A, B 两点，且 | PA | AB |，则称点 P为“ 点”，那么下列结论中正确的是 A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 llll上的所有点都是“ 点” 上仅有有限个点是“ 上的所有点都不是“ 点” 点” 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 第Ⅱ卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 x x x x 1 9． lim ___________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m x1 x y 2 0 10．若实数 x, y 满足 x 4 则s y x 的最小值为__________。 y 5 11．设 f (x) 是偶函数，若曲线 y f (x) 在点 (1, f (1))处的切线的斜率为 1，则该曲线在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为______________。 x2 y2 12 ． 椭 圆 1的 焦 点 为F , F2 ， 点P 在 椭 圆 上 ， 若 | PF | 4 ， 则 1192| PF2 |_________； F PF2 的小大为____________。 11,x 0 1×13．若函数 f (x) 则不等式| f (x) | 的解集为____________。 13x( ), x 0 314 ． 已 知 数 列 {an}满 足 ：a4n3 1,a4n1 0,a2n an ,n N, 则a2009 ________ ； a2014 =____________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 三 、解答题：本大题共6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 第 2 页 共 22 页 2第 3 页 共 22 页 15．（本小题共 13 分） ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, B 34在，cos A ,b 3 。5（I）求sinC 的值； （Ⅱ）求 ABC 的面积。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 16．（本小题共 14 分） 如图，在三棱锥 P ABC 中， PA 底面 ABC, PA AB,ABC 60 ,BCA 90 ，点D ， E 分别在棱 PB, PC 上，且 DE // BC （I）求证： BC 平面 PAC ；（Ⅱ）当 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小； D为（Ⅲ）是否存在点 E 使得二面角 A DE P 为直二面角？并说 明理由。 17．（本小题共 13 分） 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红 1灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2min。 3（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望。 第 3 页 共 22 页 3第 4 页 共 22 页 18．（本小题共 13 分） 设函数 f (x) xekx (k 0) （I）求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f (x) 的单调区间； （Ⅲ）若函数 f (x) 在区间 (1,1) 内单调递增，求 k的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19．（本小题共 14 分） x2 y2 3已知双曲线C : 1(a 0,b 0) 的离心率为 3 ，右准线方程为 x a2 b2 3（I）求双曲线 （Ⅱ）设直线 C的方程； l是圆 O : x2 y2 2上动点 P(x0 , y0 )(x0 y0 0) 处的切线， l 与双曲线 C 交 于不同的两点 A, B ，证明 AOB 的大小为定值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20．（本小题共 13 分） 已 知 数 集A {a1,a2 ,an}(1 a1 a2 an ,n 2)具 有 性 质 P ； 对 任 意 的 aj i, j(1 i j n) ，aiaj 与 两数中至少有一个属于 A。ai （I）分别判断数集{1,3,4} 与{1,2,3,6}是否具有性质 P ，并说明理由； 第 4 页 共 22 页 4第 5 页 共 22 页 a1 a2 an （Ⅱ）证明： a1 1，且 an ; a11 a21 an1 （Ⅲ）证明：当 n 5时， a1,a2 ,a3,a4 ,a5 成等比数列。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．A 19． 10． 6 11． 1 12． 2, 120 13． 3,1 14．1，0 2三 、解答题：本大题共6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 34515.（Ⅰ）∵A、B、C 为△ABC 的内角，且 B ,cos A ，2 335∴∴C A,sin A ，2 313 4 3 sinC sin A cos A sin A .32210 33 4 3 （Ⅱ）由（Ⅰ）知sin A ,sinC ，510 3又∵ B ,b 3 ，∴在△ABC 中，由正弦定理，得 bsin A sin B 65∴a .11 6 3 4 336 9 3 ∴△ABC 的面积 S absinC 3 .22 5 10 50 16．（Ⅰ）∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥BC. 又BCA 90 ，∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面 PAC. 第 5 页 共 22 页 5第 6 页 共 22 页 （Ⅱ）∵D 为 PB 的中点，DE//BC， 1∴DE BC ，2又由（Ⅰ）知，BC⊥平面 PAC， ∴DE⊥平面 PAC，垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角， ∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥AB，又 PA=AB， 1∴△ABP 为等腰直角三角形，∴ AD AB ， 21∴在 Rt△ABC 中， ABC 60 ，∴ BC AB .2DE BC 2∴在 Rt△ADE 中，sin DAE ，AD 2AD 42∴AD 与平面 PAC 所成的角的大小为 arcsin .4（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面 PAC，∴DE⊥平面 PAC， 又∵AE 平面 PAC，PE 平面 PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP 为二面角 A DE P 的平面角， ∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥AC，∴ PAC 90 .∴在棱 PC 上存在一点 E，使得 AE⊥PC，这时 AEP 90 故存在点 E 使得二面角 A DE P 是直二面角. ，17（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等价 于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件 A 11 1 3 3 4 的概率为 P A 1 1 . 327 （Ⅱ）由题意可得， 事件“ 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 可能取的值为 0，2，4，6，8（单位：min）. 次红灯”（ k 0，1，2，3，4）， kk4k 12 ∴P 2k Ck k 0,1,2,3,4 ，4 33 ∴即 的分布列是 02468第 6 页 共 22 页 6第 7 页 共 22 页 16 81 32 81 881P27 81 81 16 的期望是 E 0 2 4 6 8 81 81 27 81 32 8818∴.81 3 18．（Ⅰ） f ‘ x 1 kx ekx , f ‘ 0 1, f 0 0 , 曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y x 1（Ⅱ）由 f ‘ x 1 kx ekx 0 ，得 x k 0 ， k1若k 0 ，则当 x , 时， f ‘ x 0，函数 f x单调递减， k1当若当x ,, 时， f ‘ x 0，函数 f x单调递增， k1k 0 ，则当 x , 时， f ‘ x 0，函数 f x单调递增， k1x ,, 时， f ‘ x 0，函数 f x单调递减， k1（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若 k 0 ，则当且仅当 1，即 k 1时，函数 f x 在1,1 k内单调递增； 1若k 0 ，则当且仅当 1，即 k 1时，函数 f x 在1,1 内单调递增， k综 上 可 知 ， 函 数f x在 区 间1,1 内 单 调 递 增 时 ， k 的 取 值 范 围 是 1,0 0,1 .2a319．（Ⅰ）由题意，得 ，解得 a 1,c 3 ，∴b2 c2 a2 2 ，c3c 3 ay2 ∴所求双曲线 C的方程为 x2 1 .2（Ⅱ）点 P x, y xy 0 在圆 x2 y2 2 上， 0 000×0 y0 圆在点 P x, y 处的切线方程为 y y0 0 x x ，化简得 x0 x y0 y 2 0 0第 7 页 共 22 页 7第 8 页 共 22 页 y2 x2 1 由及x02 y02 2 得3×2 4 x2 4x x8 2×2 0 ，2000x0 x y0 y 2 ∵切线 l与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且 0 x02 2 ，∴3×02 4 0 ，且 16×2 4 3×2 4 8 2×2 0 0 ，00设 A、B 两点的坐标分别为 x , y , x , y 1 ，2 12 4×0 8 2×02 3×02 4 OAOB 则x1 x2 , x1x2 ，∵ cosAOB ， 3×02 4 OA OB 1y02 且OAOB x1x2 y1 y2 x1x2 2 x x2 x x ，1 2 00120 1 2 x1x2 4 2x x x x xx 0 2 12 x02 x2 8 2×2 0 0 8 2×02 18×02 3×02 4 4 3×02 4 2 x02 3×02 4 8 2×02 2×02 8 0 .3×02 4 3×02 4 ∴AOB 的大小为90 ..w.k.s.5.u.c.o.m 4320．（Ⅰ）由于34 与均不属于数集 1,3,4 ，∴该数集不具有性质 P. 6 6 1 2 3 6 由于12,13,16,23, , ,, , , 都属于数集 1,2,3,6 ，2 3 1 2 3 6 ∴该数集具有性质 P. an an （Ⅱ）∵ A a ,a ,a 具有性质 P，∴ anan 与 n 中至少有一个属于 A， 12由于1 a1 a2 an ，∴ anan an ，故 anan A .an 从而1 A ，∴ a1 1 an ∵1 a1 a2 an ， ∴ak an an ，故 a a A k 2,3,,n .kn第 8 页 共 22 页 8第 9 页 共 22 页 an 由 A 具有性质 P 可知 A k1,2,3,,n .ak an an an an an an an an a2 , an1, an an1 a2 a1 an 又∵ 从而 ，∴ a1, ，an an1 a2 a1 an an an an a1 a2 an a1 a2 an1 an ，∴ an .an an1 a2 a1 a11 a21 an1 a5 a5 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 n 5时，有 a2 , a3 ，即 a5 a2a4 a32 ，a4 a3 a∵由1 a1 a2 a5 ，∴ a3a4 a2a4 a5 ，∴ a3a4 A ，由 A 具有性质 P 可知 4 A .a3 a3 aa3 1 a3 a2 a4 a3 a2a4 a32 ，得4 A a2 a3 ，且，∴ a2 ，∴a3 a2 a5 a4 a3 a2 a2 ，a4 a3 a2 a1 即a1,a2 ,a3,a4 ,a5 是首项为 1，公比为 a2 成等比数列. 第 9 页 共 22 页 9第 10 页 共 22 页 解析 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1．在复平面内，复数 z i(1 2i)对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 （）C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查. ∵z i(1 2i) i 2i 2 i ，∴复数 z 所对应的点为 2,1 ，故选 B. 2．已知向量 a、b 不共线，c k ab(k R),d ab,如果 c // d，那么 （）A． k 1且 c 与 d 同向 C． k 1且 c 与 d 同向 【答案】D B． k 1且 c 与 d 反向 D． k 1且 c 与 d 反向 【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考 查. 取 a 1,0 ，b 0,1 ，若 k 1，则 c ab 1,1 ，d ab 1,1 ，显然，a 与 b 不平行，排除 A、B. 若k 1，则 c ab 1,1 ，d ab 1,1 ，即 c // d 且 c 与 d 反向，排除 C，故选 D. x 3 3．为了得到函数 y lg 的图像，只需把函数 y lg x 的图像上所有的点 （）10 A．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 【答案】C 【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A． y lg x 3 1 lg10 x 3 ，，B． y lg x 3 1 lg10 x 3 第 10 页 共 22 页 10 第 11 页 共 22 页 x 3 10 C． y lg x 3 1 lg ，x 3 10 D． y lg x 3 1 lg .故应选 C. 4．若正四棱柱 ABCD A B C1D1 的底面边长为 1， AB1 与底面 ABCD 成 60°角，则 AC1 111到底面 ABCD 的距离为 （）3A． B．1 D． 3C． 23【答案】D 【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第 4题解答图） 属于基础知识、基本运算的考查. 依题意， B AB 60 ，如图， 1BB 1 tan 60 3 ，故选 D. 1615．“ 2k (k Z) ”是“ cos2 ”的 （）2A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 C．充分必要条件 【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、 基本运算的考查. 63312当 2k (k Z) 时， cos2 cos 4k cos ，，13反之，当 cos2 时，有 2 2k k k Z 2636或2 2k k k Z ，故应选 A. 6．若 (1 2)5 a b 2(a,b 为有理数），则 a b A．45 B．55 C．70 【答案】C 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. （）D．80 5012345∵1 2 C50 2 C1 2 C2 2 C3 2 C4 2 C5 25 5 5 55第 11 页 共 22 页 11 第 12 页 共 22 页 1 5 2 20 20 2 20 4 2 41 29 2 ，由已知，得 41 29 2 a b 2 ，∴ a b 41 29 70.故选 C. 7．用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （）A．324 【答案】B B．328 C．360 D．648 【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知 识、基本运算的考查. 首先应考虑“0”是特殊元素，当 0排在末位时，有 A2 98 72 （个）， 9当 0不排在末位时，有 A41 A1 A1 488 256（个）， 88于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有 72 256 328 （个）.故选 B. 8．点 P在直线l : y x 1上，若存在过 P的直线交抛物线 y x2 于A, B 两点，且 | PA | AB |，则称点 为“点”，那么下列结论中正确的是 P（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 llll上的所有点都是“ 上仅有有限个点是“ 上的所有点都不是“ 点” 点” 点” 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“ 点” 【答案】A 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以 及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问 题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设则∵A m,n , P x, x 1 ，B 2m x,2n x 2 ，A, B在y x2上 ，n m2 2n x 1 (2m x)2 ∴消去 n,整理得关于 x 的方程 x2 (4m 1)x 2m2 1 0 （1） ∵ (4m 1)2 4(2m2 1) 8m2 8m 5 0恒成立， 第 12 页 共 22 页 12 第 13 页 共 22 页 ∴方程（1）恒有实数解，∴应选 A. 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷） 第Ⅱ卷（共 110 分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 三题号 二总分 15 16 17 18 19 20 分数 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 x x x x 1 9． lim _________. x1 1W【答案】 2【解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、 基本运算的考查. xx 1 x x x x 1 x x x x12lim lim lim lim ，故应填 x2 1 x1 x1 x1 x1 x 1 x 1 x 1 12.x y 2 0 10 ． 若 实 数x, y 满 足x 4 则y 5 s y x 的最小值为__________. 【答案】 6 【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. 如图，当 x 4, y 2 时， s y x 2 4 6为最小值. 第 13 页 共 22 页 13 第 14 页 共 22 页 故应填 6 .11．设 f (x) 是偶函数，若曲线 y f (x) 在点 (1, f (1))处的切线的斜率为 1，则该曲线在 (1, f (1)) 处的切线的斜率为_________. 【答案】 1 【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算 的考查. 取f x x2 ，如图，采用数形结合法， 易得该曲线在 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 1 .故应填 1 .x2 y2 12 ．椭圆 1的焦点为 F , F2 ，点 P在椭圆 192上，若| PF | 4 ，则| PF2 |_________； F PF2 的小大为__________. 11【答案】 2, 120 【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属 于基础知识、基本运算的考查. ∵a2 9,b2 3 c a2 b2 9 2 7 F F2 2 7 ，∴∴，，1又∴PF 4, PF PF2 2a 6 ，11PF2 2 ，222 42 2 7 12又由余弦定理，得 cosF PF2 ，1224 ∴F PF2 120 ，故应填 2, 120 .11,x 0 1×13．若函数 f (x) 则不等式| f (x) | 的解集为____________. 13x( ), x 0 3第 14 页 共 22 页 14 第 15 页 共 22 页 【答案】 3,1 【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考 查. x 0 1（1）由| f (x) | 3 x 0 .1133xx 0 x 0 1xx（2）由| f (x) | 0 x 1 .113 113 3 33 1∴不等式| f (x) | 的解集为 x | 3 x 1 ，∴应填 3,1 .314．已知数列{an}满足： a4n3 1,a4n1 0,a2n an ,n N, 则a2009 ________； a2014 =_________. 【答案】1，0 【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意，得 a2009 a45033 1 ∴应填 1，0. ，a2014 a21007 a1007 a42521 0 .三 、解答题：本大题共6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共 13 分） 34在ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, B ，cos A ,b 3 .5（Ⅰ）求sinC 的值； （Ⅱ）求 ABC 的面积. 【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基 础知识，主要考查基本运算能力． 345（Ⅰ）∵A、B、C 为△ABC 的内角，且 B ,cos A ，2 335∴∴C A,sin A ，2 313 4 3 sinC sin A cos A sin A .32210 33 4 3 （Ⅱ）由（Ⅰ）知sin A ,sinC ，510 3又∵ B ,b 3 ，第 15 页 共 22 页 15 第 16 页 共 22 页 ∴在△ABC 中，由正弦定理，得 bsin A sin B 65∴a .11 6 3 4 336 9 3 ∴△ABC 的面积 S absinC 3 .22 5 10 50 16．（本小题共 14 分） 如图，在三棱锥 P ABC 中， PA 底面 ABC, PA AB,ABC 60 ,BCA 90 ，点D ， E 分别在棱 PB, PC 上，且 DE // BC （Ⅰ）求证： BC 平面 PAC （Ⅱ）当 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在点 使得二面角 A DE P 为直二面角？并说明理由. ；D为E【解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查 空间想象能力、运算能力和推理论证能力． （Ⅰ）∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥BC. 又BCA 90 ，∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面 PAC. （Ⅱ）∵D 为 PB 的中点，DE//BC， 1∴DE BC ，2又由（Ⅰ）知，BC⊥平面 PAC， ∴DE⊥平面 PAC，垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角， ∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥AB，又 PA=AB， 1∴△ABP 为等腰直角三角形，∴ AD AB ， 21∴在 Rt△ABC 中， ABC 60 ，∴ BC AB .2DE BC 2∴在 Rt△ADE 中，sin DAE ，AD 2AD 42∴AD 与平面 PAC 所成的角的大小为 arcsin .4（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面 PAC，∴DE⊥平面 PAC， 又∵AE 平面 PAC，PE 平面 PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP 为二面角 A DE P 的平面角， ∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥AC，∴ PAC 90 .第 16 页 共 22 页 16 第 17 页 共 22 页 ∴在棱 PC 上存在一点 E，使得 AE⊥PC，这时 AEP 90 故存在点 E 使得二面角 A DE P 是直二面角. ，【解法 2】如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 A xyz PA a ，由已知可得 ，设133A 0,0,0 ,B a, a,0 ,C 0, a,0 ,P 0,0,a .222 1（Ⅰ）∵ AP 0,0,a , BC a,0,0 ，2 ∴BC AP 0 ，∴BC⊥AP. 又∵ BCA 90 ，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面 PAC. （Ⅱ）∵D 为 PB 的中点，DE//BC，∴E 为 PC 的中点， 13131∴D a, a, a , E 0, a, a ，44242∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面 PAC，∴DE⊥平面 PAC，垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角， 13131∵∴AD a, a, a , AE 0, a, a ，44242 AD AE 14 4cosDAE . AD AE 14 ∴AD 与平面 PAC 所成的角的大小为 arccos .4（Ⅲ）同解法 1. 17．（本小题共 13 分） 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红 1灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2min. 3（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望. 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随 机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力. （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等 价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事 第 17 页 共 22 页 17 第 18 页 共 22 页 11 1 3 3 4 件 A 的概率为 P A 1 1 . 327 （Ⅱ）由题意可得， 可能取的值为 0，2，4，6，8（单位：min）. 事件“ 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k次红灯”（ k 0，1，2，3， 4）， k4k 12 ∴P 2k Ck k 0,1,2,3,4 ，4 33 ∴即 的分布列是 0246816 81 32 81 881P27 881 81 16 32 818∴的期望是 E 0 2 4 6 8 .81 81 27 81 81 3 18．（本小题共 13 分） 设函数 f (x) xekx (k 0) （Ⅰ）求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f (x) 的单调区间； （Ⅲ）若函数 f (x) 在区间 (1,1) 内单调递增，求 k 的取值范围. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综 合分析和解决问题的能力． （Ⅰ） f ‘ x 1 kx ekx , f ‘ 0 1, f 0 0 ,曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y x 1（Ⅱ）由 f ‘ x 1 kx ekx 0 ，得 x k 0 ， k1若k 0 ，则当 x , 时， f ‘ x 0，函数 f x单调递减， k1当x ,, 时， f ‘ x 0，函数 f x单调递增， k第 18 页 共 22 页 18 第 19 页 共 22 页 1若当k 0 ，则当 x , 时， f ‘ x 0，函数 f x单调递增， k1x ,, 时， f ‘ x 0，函数 f x单调递减， k1（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若 k 0 ，则当且仅当 1，即 k 1时，函数 f x 在1,1 k内单调递增； 1若k 0 ，则当且仅当 1，即 k 1时，函数 f x 在1,1 内单调递增， k综 上 可 知 ， 函 数f x在 区 间1,1 内 单 调 递 增 时 ， k的 取 值 范 围 是 1,0 0,1 .19．（本小题共 14 分） x2 y2 3已知双曲线C : 1(a 0,b 0) 的离心率为 3 ，右准线方程为 x a2 b2 3（Ⅰ）求双曲线 C 的方程； （Ⅱ）设直线 l是圆 O : x2 y2 2上动点 P(x0 , y0 )(x0 y0 0) 处的切线， l与双曲线 C交于不同的两点 A, B ，证明 AOB 的大小为定值. 【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方 程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力． 2a3c3，（Ⅰ）由题意，得 c 3 a解得 a 1,c 3 ，∴b2 c2 a2 2 ，y2 ∴所求双曲线 C的方程为 x2 1 .2（Ⅱ）点 P x, y xy 0 在圆 x2 y2 2 上， 0 000×0 y0 圆在点 P x, y 处的切线方程为 y y0 0 x x 0 ，0第 19 页 共 22 页 19 第 20 页 共 22 页 化简得 x0 x y0 y 2 y2 x2 1 由及x02 y02 2 得3×2 4 x2 4x x8 2×2 0 ，2000x0 x y0 y 2 ∵切线 l与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且 0 x02 2 ，∴3×02 4 0 ，且 16×2 4 3×2 4 8 2×2 0 0 ，00设 A、B 两点的坐标分别为 x , y , x , y 1 ，2 124×0 8 2×02 3×02 4 则∵x1 x2 , x1x2 ，3×02 4 OAOB cosAOB ， OA OB 1y02 且OAOB x1x2 y1 y2 x1x2 2 x x2 x x ，1 2 00120 1 2 x1x2 4 2x x x x xx 0 2 12 x02 x2 8 2×2 0 0 8 2×02 18×02 3×02 4 4 3×02 4 2 x02 3×02 4 8 2×02 2×02 8 0 .3×02 4 3×02 4 ∴AOB 的大小为90 ..w.k.s.5.u.c.o.m 【解法 2】 （Ⅰ）同解法 1 （Ⅱ）点 P x, y xy 0 在圆 x2 y2 2 上， 0 000×0 圆在点 P x, y 处的切线方程为 y y0 0 x x 0 ，0y0 化简得 x0 x y0 y 2 .第 20 页 共 22 页 20 第 21 页 共 22 页 y2 x2 1 由及x02 y02 2 得2x0 x y0 y 2 3×2 4 x2 4x x8 2×2 0 ①②0003×2 4 y2 8y x8 2×2 0 000∵切线 l与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，∴3×02 4 0 ，设 A、B 两点的坐标分别为 x , y , x , y ，1 2 128 2×02 3×02 4 2×02 8 3×02 4 则∴x1x2 , y1 y2 ， OAOB x1x2 y1 y2 0 ，∴AOB 的大小为90 .（∵ x02 y02 2 且x0 y0 0 ，∴ 0 x02 2,0 y02 2，从而当3×02 4 0 时， 方程①和方程②的判别式均大于零）. 20．（本小题共 13 分） 已 知 数 集A a ,a ,a 1 a a a ,n 2 具 有 性 质 P ： 对 任 意 的 n 1212naj i, j 1 i j n ， aiaj 与 两数中至少有一个属于A . ai （Ⅰ）分别判断数集 1,3,4 与1,2,3,6 是否具有性质 P，并说明理由； a1 a2 an （Ⅱ）证明： a1 1，且 an ；a11 a21 an1 （Ⅲ）证明：当 n 5时， a1,a2 ,a3,a4 ,a5 成等比数列..k.s.5. 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等 数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题. 4（Ⅰ）由于34 与均不属于数集 1,3,4 ，∴该数集不具有性质 P. 36 6 1 2 3 6 由于12,13,16,23, , ,, , , 都属于数集 1,2,3,6 ，2 3 1 2 3 6 ∴该数集具有性质 P. 第 21 页 共 22 页 21 第 22 页 共 22 页 an （Ⅱ）∵ A a ,a ,a 具有性质 P，∴ anan 与 n 中至少有一个属于 A， 12an 由于1 a1 a2 an ，∴ anan an ，故 anan A .an 从而1 A ，∴ a1 1 an ∵1 a1 a2 an ， ∴ak an an ，故 a a A k 2,3,,n .knan 由 A 具有性质 P 可知 A k1,2,3,,n .ak an an an an 又∵ ，an an1 a2 a1 an an a1, an an ∴ a2 , an1, an ，an an1 a2 a1 an an an an 从而 a1 a2 an1 an ，an an1 a2 a1 a1 a2 an ∴ an .a11 a21 an1 a5 a4 a5 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 n 5时，有 a2 , a3 ，即 a5 a2a4 a32 ，a3 ∵∴1 a1 a2 a5 ，a3a4 a2a4 a5 ，∴ a3a4 A ，a由 A 具有性质 P 可知 4 A .a3 a3 aa3 4 A ，且1 a3 ，∴ a2 a3 a2 a4 a3 由a2a4 a32 ，得 a2 ，a3 a2 a5 a4 a3 a2 ∴即 a2 ，a4 a3 a2 a1 a1,a2 ,a3,a4 ,a5 是首项为 1，公比为 a2 成等比数列. 第 22 页 共 22 页 22
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