2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅱ）（含解析版）下载

2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）设集合 A={1，2，3}，B={2，3，4}，则 A∪B=（　　） A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4} 2．（5 分）（1+i）（2+i）=（　　） A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i 3．（5 分）函数 f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为（　　） A．4π 4．（5 分）设非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |则（　　） A． ⊥B．| |=| |C． ∥ B．2π C．π D． D．| |＞| | 5．（5 分）若 a＞1，则双曲线 ﹣y2=1 的离心率的取值范围是（　　） A．（ ，+∞） B．（ ，2） C．（1， D．（1，2） ）6．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三 视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（　　 ）A．90π B．63π C．42π D．36π 第 1 页（共 27 页） 7．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是（　　） C．1 D．9 A．﹣15 B．﹣9 8．（5 分）函数 f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（　　） A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞） 9．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师 说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看 丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根 据以上信息，则（　　） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 10．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=﹣1，则输出的 S=（　　） 第 2 页（共 27 页） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（5 分）从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再 随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（　　 ）A． B． C． D． 12．（5 分）过抛物线 C：y2=4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交C 于点 M（M 在 x 轴上方），l 为 C 的准线，点 N 在 l 上，且 MN⊥l，则 M 到直线 NF 的距 离为（　　） A． B．2 C．2 D．3 　二、填空题，本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13．（5 分）函数 f（x）=2cosx+sinx 的最大值为　 　． 14．（5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x∈（﹣∞，0）时，f（ x）=2×3+x2，则 f（2）=　． 15．（5 分）长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上， 则球 O 的表面积为　 16．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosB=acosC+ccosA ，则 B=　． 　． 　三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17 至 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答．（一）必考题：共 60 分． 17．（12 分）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn ，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2． （1）若 a3+b3=5，求{bn}的通项公式； （2）若 T3=21，求 S3． 第 3 页（共 27 页） 18．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°． （1）证明：直线 BC∥平面 PAD； （2）若△PCD 面积为 2 ，求四棱锥 P﹣ABCD 的体积． 19．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收 获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频 率分布直方图如下： （1）记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 第 4 页（共 27 页） 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 附： P（K2≥K） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 K10.828 K2= ．20．（12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： +y2=1 上，过 M 作 x 轴的 垂线，垂足为 N，点 P 满足 （1）求点 P 的轨迹方程； =．（2）设点 Q 在直线 x=﹣3 上，且 过 C 的左焦点 F． •=1．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 21．（12 分）设函数 f（x）=（1﹣x2）ex． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当 x≥0 时，f（x）≤ax+1，求 a 的取值范围． 　第 5 页（共 27 页） 选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所 做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρcosθ=4． （1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为（2， ），点B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值 ．　[选修 4-5：不等式选讲] 23．已知 a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明： （1）（a+b）（a5+b5）≥4； （2）a+b≤2． 　第 6 页（共 27 页） 2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）设集合 A={1，2，3}，B={2，3，4}，则 A∪B=（　　） A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4} 【考点】1D：并集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；49：综合法． 【分析】集合 A={1，2，3}，B={2，3，4}，求 A∪B，可用并集的定义直接求出 两集合的并集． 【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4}， ∴A∪B={1，2，3，4} 故选：A． 【点评】本题考查并集及其运算，解题的关系是正确理解并集的定义及求并集的 运算规则，是集合中的基本概念型题． 　2．（5 分）（1+i）（2+i）=（　　） A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：原式=2﹣1+3i=1+3i． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 第 7 页（共 27 页） ．　3．（5 分）函数 f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为（　　） A．4π B．2π C．π D． 【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用三角函数周期公式，直接求解即可． 【解答】解：函数 f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为： =π． 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题． 　4．（5 分）设非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |则（　　） A． ⊥ B．| |=| | C． ∥ D．| |＞| | 【考点】91：向量的概念与向量的模．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】由已知得 ，从而=0，由此得到 【解答】解：∵非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |， ．∴，，，解得 ∴=0， ．故选：A． 第 8 页（共 27 页） 【点评】本题考查两个向量的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意 向量的模的性质的合理运用． 　5．（5 分）若 a＞1，则双曲线 ﹣y2=1 的离心率的取值范围是（　　） A．（ ，+∞） B．（ ，2） C．（1， ）D．（1，2） 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线方程，求出 a，c 然后求解双曲线的离心率的范围即可． 【解答】解：a＞1，则双曲线 ﹣y2=1 的离心率为： = =∈（1， ）． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 　6．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三 视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（　　 ）A．90π B．63π C．42π D．36π 第 9 页（共 27 页） 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何． 【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半 ，即可求出几何体的体积． 【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的 一半， V=π•32×10﹣ •π•32×6=63π， 故选：B． 【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　7．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是（　　） C．1 D．9 A．﹣15 B．﹣9 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值 即可． 【解答】解：x、y 满足约束条件 的可行域如图： z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值， 解得 A（﹣6，﹣3）， 由第 10 页（共 27 页） 则 z=2x+y 的最小值是：﹣15． 故选：A． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力． 　8．（5 分）函数 f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（　　） A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞） 【考点】3G：复合函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】由 x2﹣2x﹣8＞0 得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令 t=x2﹣2x﹣8， 则 y=lnt，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案． 【解答】解：由 x2﹣2x﹣8＞0 得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）， 令 t=x2﹣2x﹣8，则 y=lnt， ∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8 为减函数； x∈（4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8 为增函数； y=lnt 为增函数， 故函数 f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞）， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次 数函数的图象和性质，难度中档． 　第 11 页（共 27 页） 9．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说 ：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙 的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据 以上信息，则（　　） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】2A：探究型；35：转化思想；48：分析法；5M：推理和证明． 【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正 确答案 【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩 →乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知 道自己的成绩） →乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 →丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩， 给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优， 则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙 看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道 自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲 丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已 的成绩了 故选：D． 【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所 说及最后甲说话，属于中档题． 　10．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=﹣1，则输出的 S=（　　） 第 12 页（共 27 页） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图． 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，K 值，当 K=7 时，程序终 止即可得到结论． 【解答】解：执行程序框图，有 S=0，K=1，a=﹣1，代入循环， 第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2； 满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3； 满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4； 满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5； 满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6； 第 13 页（共 27 页） 满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7； K≤6 不成立，退出循环输出 S 的值为 3． 故选：B． 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础． 　11．（5 分）从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再 随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（　　 ）A． B． C． D． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】先求出基本事件总数 n=5×5=25，再用列举法求出抽得的第一张卡片上 的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张 卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率． 【解答】解：从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再 随机抽取 1 张， 基本事件总数 n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1）， （5，2），（5，3），（5，4）， 共有 m=10 个基本事件， ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率 p= =． 故选：D． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合 理运用． 　12．（5 分）过抛物线 C：y2=4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交C 于点 M（M 第 14 页（共 27 页） 在 x 轴上方），l 为 C 的准线，点 N 在 l 上，且 MN⊥l，则 M 到直线 NF 的距 离为（　　） A． B．2 C．2 D．3 【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】利用已知条件求出 M 的坐标，求出 N 的坐标，利用点到直线的距离公 式求解即可． 【解答】解：抛物线 C：y2=4x 的焦点 F（1，0），且斜率为 的直线：y= （x﹣1 ）， 过抛物线 C：y2=4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交C 于点 M（M 在 x 轴上方）， l可知： ，解得 M（3，2 ）． 可得 N（﹣1，2 ），NF 的方程为：y=﹣ （x﹣1），即 ，则 M 到直线 NF 的距离为： 故选：C． =2 ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力． 　二、填空题，本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13．（5 分）函数 f（x）=2cosx+sinx 的最大值为　． 【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图 像与性质． 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可． 【解答】解：函数 f（x）=2cosx+sinx= （cosx+ sinx）= sin（x+θ）， 第 15 页（共 27 页） 其中 tanθ=2， 可知函数的最大值为： ．故答案为： ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的有界性的应用，考查计算能 力． 　14．（5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x∈（﹣∞，0）时，f（ x）=2×3+x2，则 f（2）=　12　． 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3P：抽象函数及其应用．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】由已知中当 x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2×3+x2，先求出 f（﹣2），进而 根据奇函数的性质，可得答案． 【解答】解：∵当 x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2×3+x2， ∴f（﹣2）=﹣12， 又∵函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数， ∴f（2）=12， 故答案为：12 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基 础题． 　15．（5 分）长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上， 则球 O 的表面积为　14π　． 【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离． 【分析】求出球的半径，然后求解球的表面积． 【解答】解：长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上， 第 16 页（共 27 页） 可知长方体的对角线的长就是球的直径， 所以球的半径为： =．则球 O 的表面积为：4× 故答案为：14π． =14π． 【点评】本题考查长方体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算 能力． 　16．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosB=acosC+ccosA ，则 B=　． 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值；58： 解三角形． 【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可 【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得， 2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB， ∵sinB≠0， ∴cosB= ， ∵0＜B＜π， ∴B= ，故答案为： 【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题 　三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17 至 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答．（一）必考题：共 60 分． 17．（12 分）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn 第 17 页（共 27 页） ，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2． （1）若 a3+b3=5，求{bn}的通项公式； （2）若 T3=21，求 S3． 【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q，运用等差 数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得 d，q，即可得到所求通项公 式； （2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和 求和，计算即可得到所求和． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q， a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5， 可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5， 解得 d=1，q=2 或 d=3，q=0（舍去）， 则{bn}的通项公式为 bn=2n﹣1，n∈N*； （2）b1=1，T3=21， 可得 1+q+q2=21， 解得 q=4 或﹣5， 当 q=4 时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2， d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6； 当 q=﹣5 时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7， d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，求出公差 和公比是解题的关键，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于基础题． 　第 18 页（共 27 页） 18．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°． （1）证明：直线 BC∥平面 PAD； （2）若△PCD 面积为 2 ，求四棱锥 P﹣ABCD 的体积． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可． （2）利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可． 【解答】（1）证明：四棱锥 P﹣ABCD 中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵ AD⊂平面 PAD，BC⊄平面 PAD， ∴直线 BC∥平面 PAD； （2）解：四棱锥 P﹣ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°．设 AD=2x， 则 AB=BC=x，CD= 连接 PO，OC，CD 的中点为：E，连接 OE， 则 OE= ，PO= ，PE= ，O 是 AD 的中点， =，△PCD 面积为 2 ，可得： 即： ，解得x=2，PO=2 则 V P﹣ABCD= × （BC+AD）×AB×PO= =2 ，．=4 ．第 19 页（共 27 页） 【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考 查空间想象能力以及计算能力． 　19．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收 获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频 率分布直方图如下： （1）记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 附： P（K2≥K） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 K10.828 K2= ．第 20 页（共 27 页） 【考点】B8：频率分布直方图；BL：独立性检验．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；5I：概率与统计． 【分析】（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图计算可得答案； （ 2 ） 由 频 率 分 布 直 方 图 可 以 将 列 联 表 补 全 ， 进 而 计 算 可 得K2= ≈15.705＞6.635，与附表比较即可得答案； （3）由频率分布直方图计算新旧养殖法产量的平均数，比较即可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图可得： P（A）=（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62； （2）根据题意，补全列联表可得： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计 100 100 200 62 34 96 38 66 旧养殖法 新养殖法 总计 104 则有 K2= ≈15.705＞6.635， 故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； （3）由频率分布直方图可得： 旧 养 殖 法100 个 网 箱 产 量 的 平 均 数1= （ 27.5 × 0.012+32.5 × 0.014+37.5 × 0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5 ×0.012）×5=5×9.42=47.1； 新 养 殖 法100 个 网 箱 产 量 的 平 均 数2= （ 37.5 × 0.004+42.5 × 0.020+47.5 × 0.044+52.5 × 0.054+57.5 × 0.046+62.5 × 0.010+67.5 × 0.008 ） × 5=5 × 10.47=52.35； 比较可得： ＜ ， 21故新养殖法更加优于旧养殖法． 【点评】本题考查频率分布直方图、独立性检验的应用，涉及数据平均数、方差 的计算，关键认真分析频率分布直方图． 　第 21 页（共 27 页） 20．（12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： +y2=1 上，过 M 作 x 轴的 垂线，垂足为 N，点 P 满足 （1）求点 P 的轨迹方程； =．（2）设点 Q 在直线 x=﹣3 上，且 过 C 的左焦点 F． •=1．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 【考点】J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆． 【分析】（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0），设 P（x，y），运用向 量的坐标运算，结合 M 满足椭圆方程，化简整理可得 P 的轨迹方程； （2）设 Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数 量积的坐标表示，可得 m，即有 Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得 OQ ，PF 的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为 0，即可得证． 【解答】解：（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0）， 设 P（x，y），由点 P 满足 =．可得（x﹣x0，y）= （0，y0）， 可得 x﹣x0=0，y= y0， 即有 x0=x，y0= ，代入椭圆方程 +y2=1，可得 +=1， 即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y2=2； （2）证明：设 Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π）， •=1，可得（ cosα， sinα）•（﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1， 即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1， 当 α=0 时，上式不成立，则 0＜α＜2π， 第 22 页（共 27 页） 解得 m= ，即有 Q（﹣3， ）， 椭圆 +y2=1 的左焦点 F（﹣1，0）， =（﹣1﹣ cosα，﹣ sinα）•（﹣3， 由•）=3+3 cosα﹣3（1+ cosα）=0． 可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F． 另解：设 Q（﹣3，t），P（m，n），由 •=1， 可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1， 又 P 在圆 x2+y2=2 上，可得 m2+n2=2， 即有 nt=3+3m， 又椭圆的左焦点 F（﹣1，0）， •=（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）=3+3m﹣nt =3+3m﹣3﹣3m=0， 则⊥，可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考 查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和 两直线垂直的条件：向量数量积为 0，考查化简整理的运算能力，属于中档题 ．　21．（12 分）设函数 f（x）=（1﹣x2）ex． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当 x≥0 时，f（x）≤ax+1，求 a 的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 第 23 页（共 27 页） 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的 单调性即可． （2）化简 f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．f（x）≤ax+1，下面对 a 的范围进行讨论 ：①当 a≥1 时，②当 0＜a＜1 时，设函数 g（x）=ex﹣x﹣1，则 g′（x）=ex﹣1＞0（ x＞0），推出结论；③当 a≤0 时，推出结果，然后得到 a 的取值范围． 【解答】解：（1）因为 f（x）=（1﹣x2）ex，x∈R， 所以 f′（x）=（1﹣2x﹣x2）ex， 令 f′（x）=0 可知 x=﹣1± ，当 x＜﹣1﹣ 或 x＞﹣1+ 时 f′（x）＜0，当﹣1﹣ ＜x＜﹣1+ 时 f′（x）＞ 0， 所以 f（x）在（﹣∞，﹣1﹣ ），（﹣1+ ，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣ ，﹣1+ ）上单调递增； （2）由题可知 f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．下面对 a 的范围进行讨论： ①当 a≥1 时，设函数 h（x）=（1﹣x）ex，则 h′（x）=﹣xex＜0（x＞0）， 因此 h（x）在[0，+∞）上单调递减， 又因为 h（0）=1，所以 h（x）≤1， 所以 f（x）=（1+x）h（x）≤x+1≤ax+1； ②当 0＜a＜1 时，设函数 g（x）=ex﹣x﹣1，则 g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0）， 所以 g（x）在[0，+∞）上单调递增， 又 g（0）=1﹣0﹣1=0， 所以 ex≥x+1． 因为当 0＜x＜1 时 f（x）＞（1﹣x）（1+x）2， 所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x2）， 第 24 页（共 27 页） 取 x0= ∈（0，1），则（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0﹣1=0， 所以 f（x0）＞ax0+1，矛盾； 2③当 a≤0 时，取 x0= ∈（0，1），则 f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0） =1≥ax0+1 ，矛盾； 综上所述，a 的取值范围是[1，+∞）． 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考 查转化思想以及计算能力． 　选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所 做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρcosθ=4． （1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为（2， ），点B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值 ．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）设 P（x，y），利用相似得出 M 点坐标，根据|OM|•|OP|=16 列 方程化简即可； （2）求出曲线 C2 的圆心和半径，得出 B 到 OA 的最大距离，即可得出最大面积． 【解答】解：（1）曲线 C1 的直角坐标方程为：x=4， 设 P（x，y），M（4，y0），则 ，∴y0= ，∵|OM||OP|=16， ∴=16， 第 25 页（共 27 页） 即（x2+y2）（1+ ）=16， ∴x4+2x2y2+y4=16×2，即（x2+y2）2=16×2， 两边开方得：x2+y2=4x， 整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）， ∴点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）． （2）点 A 的直角坐标为 A（1， ），显然点A 在曲线 C2 上，|OA|=2， ∴曲线 C2 的圆心（2，0）到弦 OA 的距离 d= ∴△AOB 的最大面积 S= |OA|•（2+ ）=2+ =，．【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线 与圆的位置关系，属于中档题． 　[选修 4-5：不等式选讲] 23．已知 a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明： （1）（a+b）（a5+b5）≥4； （2）a+b≤2． 【考点】R6：不等式的证明．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式． 【分析】（1）由柯西不等式即可证明， （2）由 a3+b3=2 转化为 =ab，再由均值不等式可得： =ab≤（ ）2，即可得到 （a+b）3≤2，问题得以证明． 2【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ （a3+b3）2≥4， +） = 当且仅当 =，即 a=b=1 时取等号， （2）∵a3+b3=2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2， 第 26 页（共 27 页） ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2， ∴=ab， 由均值不等式可得： ∴（a+b）3﹣2≤ =ab≤（ ）2， ，∴ （a+b）3≤2， ∴a+b≤2，当且仅当 a=b=1 时等号成立． 【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于 中档题 第 27 页（共 27 页）