2009年北京高考文科数学试卷及答案下载

2009 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）（北京卷） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷（选择题 共40 分） 注意事项： 1．答第 I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用 2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字 母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1A {x |  x  2}, B {x x2 1} A B  21．设集合 ，则 （）1{x |  x 1} {x 1 x  2} 2A． B． {x | x  2} {x |1 x  2} D． C． 【答案】A 【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算 的考查. 12A {x |  x  2}, B {x x1}  x | 1 x 1 2∵，A B {x 1 x  2} ∴，故选 A. a  (1,0),b  (0,1),c  ka  b(k  R),d  a b c // d ，那么 2．已知向量 A． ，如果 k 1 cd且 与同向 k 1 c d 且 与反向 B． D． k  1 cd且 与同向 k  1 c d 且 与反向 C． 【答案】D .w【解析】.k.s.5.u.c 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基 本运算的考查.  1,0  0,1  1,1  1,1 ，k 1   ，d a b ∵a ，b ，若 ，则 c ab显然，a 与 b 不平行，排除 A、B. 第 1 页 共 12 页  1,1  1,1 ，k  1    ，d ab 若，则 c ab// 即 c d且 c 与 d 反向，排除 C，故选 D (1 2)4  a  b 2(a,b a  b  3．若 为有理数），则 （）A．33 B． 29 C．23 D．19 【答案】B .w【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. 4012341 2  C40 2  C1 2  C2 2  C3 2  C4 24  4  4  4  ∵1 4 212 8 2 4 17 12 2 ，17 12 2 a  b 2 a  b 17 12  29 .故选 B. 由已知，得 ，∴ x  3 10 y  lg y  lg x .k.s.5.u.c 4．为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点（ ）A．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 【答案】C .w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. y  lg x  3 1 lg10 x  3 ，A． y  lg x 3 1 lg10 x 3 ，B． C． x  3 10 y  lg x  3 1 lg ，x 3 10 y  lg x 3 1 lg D． .故应选 C. 5．用数字 1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （）A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C .w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的 考查. A21  2 2 和 4 排在末位时，共有 种排法， A43  432  24 其余三位数从余下的四个数中任取三个有 第 2 页 共 12 页 种排法， 224  48 于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有 （个）.故选 C. 612  cos2  6．“ ”是“ ”的 A． 充分而不必要条件 C． 充分必要条件 【答案】A B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 .w【解析】本题主要考查.k 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 6312  cos2  cos 当时， ，1236cos2  2  2k    k  k Z ，反之，当 时，有 362  2k    k  k Z 或，故应选 A. ABCD  A B C1D AB AC1 1 与底面 ABCD 成 60°角，则 1117．若正四棱柱 1 的底面边长为 1， 到底面 ABCD 的距离为 ()33D． 23A． 【答案】D B． 1 C． .w【解析】.k 本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等 概念. 属于基础知识、基本运算的考查. B AB  60 1依题意， ，如图， BB 1 tan 60  3 1，故选 D. PP P PPP P 3 及 其 内 部 的 点 构 成 的 集 合 ， 点0 是 3 的 中 心 ， 若 集 合 121 2 8 ． 设D 是 正 S {P | P D,| PP || PP |,i 1,2,3} 0i，则集合 S 表示的平面区域是 ()A． 三角形区域 C． 五边形区域 【答案】D B．四边形区域 D．六边形区域 【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识..5.u.c.o. 本题主要考查阅读与理解、信息迁 移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 第 3 页 共 12 页 大光明 如图， A、B、C、D、E、F 为各边三等分点，答案是集合 S 为六边形 ABCDEF，其中， P A  P A  PA i1,3 02i即点 P 可以是点 A. 第Ⅱ卷（110 分） 注意事项： 1．用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 三题号 二总分 15 16 17 18 19 20 分数 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填写在题中横线上。 4sin  , tan  0 cos  59．若 ，则 .35【答案】 【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算。 属于基础知识、基本运算的考查。 24535cos  1sin2   1    35由已知， 在第三象限，∴ ，∴应填 .{an} a1 1,an1  2an (n N ) a5  10．若数列 满足： ，则 ；前 8 项 S8  的和 .（用数字作答） 【答案】16 255 .w【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m 本运算的考查. 属于基础知识、基 a1 1,a2  2a1  2,a3  2a2 4,a4  2a3  8,a5  2a4 16 ，28 1 2 1 S8   255 易知 ，∴应填 255. 第 4 页 共 12 页 x  y  2  0, x  4, x  5, x, y s  x  y 的最大值为 11．若实数 【答案】9 满足 则.【解析】.s.5.u 本题主要考查线性规划方面的基础知. 属 于基础知识、基本运算的考查. x  4, y  5 如图，当 s  x  y  4  5  9 故应填 9. 时， 为最大值. x3 ,x 1, x, x 1, f (x)  f (x)  2 ， 则 12 ． 已 知 函 数 若x  .log3 2 .w.w.k.s.5【答案】 x.w【解析】5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 的值. 属于基础知识、基本 运算的考查. x 1 3x  2 x 1  x  log3 2 log3 2 x  2  x  2 由，无解，故应填 .x2 y2 1 F , F | PF | 4 | PF2 | ，则 1113．椭圆 的焦点为 2 ，点 P 在椭圆上，若 ；92F PF 12 的大小为 .2, 120 【答案】 .w【解析】u.c 本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定 理. 属于基础知识、基本运算的考查. a2  9,b2  3 ∵，c  a2 b2  9  2  7 ∴∴又，F F2  2 7 1，PF  4, PF  PF2  2a  6 PF2  2 ，11，∴ 222  42  2 7 12cosF PF2    1224 又由余弦定理，得 ，第 5 页 共 12 页 F PF2 120 2, 120 1∴，故应填 .k  A k 1 A k1 A 且k，那么称 是 14．设 A 是整数集的一个非空子集，对于 ，如果 S {1,2,3,4,5,6,7,8,} A 的一个“孤立元”，给定 ，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不 含“孤立元”的集合共有 个. 【答案】6 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解 决问题的能力. 属于创新题型. k什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集 k合中有与 相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类： 1,2,3 , 2,3,4 , 3,4,5 , 4,5,6 , 5,6,7 , 6,7,8       因此，符合题意的集合是： 共 6 个. 故应填 6. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共 12 分） f (x)  2sin(  x)cos x 已知函数 （Ⅰ）求 .f (x) 的最小正周期；   6 2  , f (x) （Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值. 【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上 的最值等基础知识，主要考查基本运算能力． f x 2sin   x cos x  2sin xcos x  sin 2x   （Ⅰ）∵ ，f (x) ∴函数 的最小正周期为 .6233 x   2x    sin 2x 1 2（Ⅱ）由 ，∴ ，  6 2 3 , f (x) 2.∴在区间 上的最大值为 1，最小值为 16．（本小题共 14 分） P  ABCD 如 图 ， 四 棱 锥 的 底 面 是 正 方 形 ， PD  底面ABCD ，点 E 在棱 PB 上. 第 6 页 共 12 页 AEC  平面PDB （Ⅰ）求证：平面 （Ⅱ）当 ；PD  2AB 且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小. 【解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知 识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． （Ⅰ）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD， PD  底面ABCD ∵，∴PD⊥AC， ∴AC⊥平面 PDB， AEC  平面PDB ∴平面 .（Ⅱ）设 AC∩BD=O，连接 OE， 由（Ⅰ）知 AC⊥平面 PDB 于 O， ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角， ∴O，E 分别为 DB、PB 的中点， 1OE  PD 2∴OE//PD， ，，PD  底面ABCD 又∵ ∴OE⊥底面 ABCD，OE⊥AO， 12OE  PD  AB  AO 22在 Rt△AOE 中， ，AEO  45 45 ∴，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 .D  xyz 【解法 2】如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 ，A a,0,0 ,B a,a,0 ,C 0,a,0 ,D 0,0,0 ,P 0,0,h ，AB  a, PD  h, 设则   AC  a,a,0 ,DP  0,0,h , DB  a,a,0 ，（Ⅰ）∵     AC  DP  0, AC  DB  0 ∴，∴AC⊥DP，AC⊥BD， ∴AC⊥平面 PDB， AEC  平面PDB ∴平面 .PD  2AB （Ⅱ）当 且 E 为 PB 的中点时， 第 7 页 共 12 页 112P 0,0, 2a , E a, a, a222，11O( a, a,0) AC  BD  O 22设，则 ，连接 OE， 由（Ⅰ）知 AC⊥平面 PDB 于 O， ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角，   12122EA  a, a, a , EO  0,0, a222∵，  EA EO 2cosAEO    2EA  EO ∴∴，AEO  45 45 ，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 .17．（本小题共 13 分） 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的 13概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概 率知识解决实际问题的能力. （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等于事 件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件 A 的 11 1 3 3 4    P A  1 1      327 概率为 .（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B，这名学生在 B k 0,1,2 k  .k上学路上遇到 次红灯的事件 4216 81   P B 0    3  则由题意，得 ，13221232 81 1224 81       P B C1 1  , P B C2 2  4   4   333 3       .由于事件 B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”， 8P B  P B P B P B   0  1   2  9∴事件 B 的概率为 18．（本小题共 14 分） .第 8 页 共 12 页 f (x)  x3 3ax  b(a  0) 设函数 .y  f (x) f (x) (2, f (2)) y  8 a,b 相切，求 的值； （Ⅰ）若曲线 在点 处与直线 （Ⅱ）求函数 的单调区间与极值点. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合 分析和解决问题的能力． f ‘ x  3×2 3a   （Ⅰ） ,y  f (x) (2, f (2)) y  8 处与直线 相切， ∵曲线 在点 ‘f 2  0   3 4 a  0 a  4, b  24. f 2  8   8 6a  b  8 ∴f ‘ x  3 x2  a a 0   （Ⅱ）∵ ,f ‘ x  0 , 上单调递增，此时函数   f (x) f (x) a  0 a  0 当当当当当时， ，函数 在没有极值点. f ‘ x  0  x  a   时，由 ，f ‘ x  0 x , a   f (x) f (x) 时， ，函数 ，函数 单调递增， 单调递减， f ‘ x  0 x a, a   时， f ‘ x  0 x a,   f (x) 单调递增， 时， ，函数 f (x) f (x) x  a x  a 是∴此时 是的极大值点， 的极小值点. 19．（本小题共 14 分） x2 y2 3C : 1(a  0,b  0) x  a2 b2 3。3已知双曲线 的离心率为 ，右准线方程为 （Ⅰ）求双曲线 C 的方程； x  y  m  0 （Ⅱ）已知直线 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆 x2  y2  5 上，求 m 的值 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关 系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力． 第 9 页 共 12 页 2a3c3c 3 a 1,c  3 ，a（Ⅰ）由题意，得 ，解得 y2 x2  1 b2  c2  a2  2 C，∴所求双曲线 的方程为 2∴.x , y , x , y 1   M x, y 0  ，2  120（Ⅱ）设 A、B 两点的坐标分别为 ，线段 AB 的中点为 x  y  m  0 y2 x2  1 x2  2mx  m2  2  0   0 ）, 2由得（判别式 x1  x2 x0   m, y0  x0  m  2m 2∴,x2  y2  5 上， M x, y 0  0∵点 在圆 2m2  2m  5 m  1 .∴，∴ 20．（本小题共 13 分） {an} an  pn  q(n N, P  0) {bn} 设数列 的通项公式为 . 数列 定义如下：对于正整数 m ， ban  m m 是使得不等式 成立的所有 n 中的最小值. 11p  ,q   b3 23，求 （Ⅰ）若 （Ⅱ）若 ；{bm} p  2,q  1 ，求数列 的前 2m 项和公式； bm  3m  2(m N ) （Ⅲ）是否存在 p 和 q，使得 果不存在，请说明理由. ？如果存在，求 p 和 q 的取值范围；如 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类 讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题. 113an  n  2（Ⅰ）由题意，得 ，12120 n  3 n  33.解，得 第 10 页 共 12 页 121n  3 b3  7 .3∴成立的所有 n 中的最小正整数为 7，即 an  2n 1 （Ⅱ）由题意，得 ，m 1 2n  an  m 对于正整数 m，由 ，得 .b根据 m 的定义可知 b  k k N* mm  2k 1 当当∴时， ；b  k 1 k  N* mm  2k 时， .b  b  b  b  b  b  b  b  b 2m  2m1   122m 1324 1 2  3 m  2  3 4  m 1  m m1 m m 3  m2  2m 22.m  q n  pn  q  m p  0 p（Ⅲ）假设存在 p 和 q 满足条件，由不等式 及得.bm  3m  2(m N ) b∵,根据 m 的定义可知，对于任意的正整数 m 都有 m  q 3m 1  3m  2 p，2p  q  3p 1 m   p  q 即对任意的正整数 m 都成立. p  q 2p  q 3p 1 m   m   3p 1 0 3p 1 0 3p 1 当（或 ，即 ）时，得 （或 ），这与上述结论矛盾！ 121p   q  0   q 3p 1 0 333当时，得 ，21 q   33.（经检验符合题意） 解得 1p  bm  3m  2(m N ) 3，∴存 在p 和 q ， 使 得 ； p 和 q 的 取 值 范 围 分 别 是 第 11 页 共 12 页 213 q   3.第 12 页 共 12 页