第 1 页 共 18 页 绝密★启用前 2009年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．真空题 （本大题满分 56 分）本大题有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接 写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 . 1． 若复数z 满足 z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数 z =__________________ . 2． 已知集合 A x | x 1 ，B x | x a ，且 A B R ，则实数 a 的取值范围是 ______________________ . 4 5 x 3． 若行列式 1 x 3 中，元素 4 的代数余子式大于 0， 7 8 9 则 x 满足的条件是________________________ . 4．某算法的程序框如右图所示，则输出量 y与输入量 x 满足的关系式是____________________________ . 5．如图，若正四棱柱 ABCD A B C1D1 的底面连长为 2，高 11为 4，则异面直线 BD1 与 AD 所成角的大小是______________（结 果用反三角函数表示）. 第 1 页 共 18 页 第 2 页 共 18 页 6．函数 y 2cos2 x sin 2x 的最小值是_____________________ . 7．某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表 示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 E ____________（结果用最简分数表 示）. 8.已知三个球的半径 R1 ，R2 ，R3 满足 R1 2R2 3R3 ，则它们的表面积 S1 ， S2 ， S3 ， 满足的等量关系是___________. w.w.w.zxxk.c.o.m x2 y2 9.已知 F、F2 是椭圆C : 1 （ a ＞b ＞0）的两个焦点， P 为椭圆C 上一点，且 1a2 b2 PF PF2 .若 PF F2 的面积为 9，则 b=____________.w.w.w.zxxk.c.o.m 11310.在极坐标系中，由三条直线 0 形的面积是________. ， ， cos sin 1围成图 x 211. 当 0 x 1时， 不 等 式 sin kx 成 立 ， 则 实 数k 的 取 值 范 围 是 _______________. 12 ． 已 知 函 数f (x) sin x tan x . 项 数 为27 的 等 差 数 列 an 满 足 2 2 a ， ， 且 公 差 d 0 . 若 f (a1 ) f (a2 ) f (a27 ) 0 ， 则 当 nk=____________是， f (ak ) 0 .13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点。 第 2 页 共 18 页 第 3 页 共 18 页 若以互相垂直的两条街道为轴建立直角 坐标系，现有下述格点 (2，2) ， (3，1) ， (3，4) ， (2，3) ，(4，5) ，(6，6) 为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站， 使 6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. 14. 将函数 y 4 6x x2 2 (x (0 ) ，得到曲线 是一个函数的图像，则 的最大值为__________. 0，6 )的图像绕坐标原点逆时针方 向旋转角 C.若对于每一个旋转角 ，曲线 C 都 w.w.w.zxxk.c.o.m 二．选择题（本大题满分 16分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4分，否则一律得零分。 15.“2 a 2”是“实系数一元二次方程 x2 ax 1 0 有虚根”的 （A）必要不充分条件 （C）充要条件 （B）充分不必要条件 （D）既不充分也不必要条件 116.若事件 （A） E与F相互独立，且 P E P F ，则 P EI F 的值等于 4114120（B） （C） （D） 16 17. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感 染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”。根据过去 10 天甲、乙、丙、丁 四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 （A）甲地：总体均值为 3，中位数为 4 （C）丙地：中位数为 2，众数为 3 （B）乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0 （D）丁地：总体均值为 2，总体方差为 3 18.过圆 C：(x 1)2 (y 1)2 1的圆心，作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B， AOB 圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 S S¥ S S|||,则直线 AB 被有（ ）第 3 页 共 18 页 第 4 页 共 18 页 （A） 0 条 （B） 1 条 （C） 2 条 （D） 3 条 三．解答题（本大题满分 78 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规 定区域内写出必要的步骤 19（本题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC A B C1 中， AA BC AB 2 ,111AB BC ,求二面角 B AC C1 的大小。 1120（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分。 有时可用函数 a0.115ln x 4.4 ,(x 6) a x f (x) ,(x 6) x 4 描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数（ x N* ）， f (x) 示对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关。 表（1） 证明：当x 7 时，掌握程度的增加量 f (x 1) f (x) 总是下降；[来 (121,127] （2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为 (115,121], , (121,133]。当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科。 第 4 页 共 18 页 第 5 页 共 18 页 21．（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 8 分。 x2 v已知双曲线 c : y2 1,设过点 A(3 2,0)的直线 l 的方向向量 e (1,k) 2（1） 当直线l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时，求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离； 2（2） 证明：当 k>时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为 6 。 222.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 6 分。 已知函数 y f (x) 的反函数。定义：若对给定的实数 a(a 0) ，函数 y f (x a) 与y f 1(x a) 互 为 反 函 数 ， 则 称y f (x) 满 足 “ y f 1(ax) 互为反函数，则称 y f (x) 满足“ a和 性 质 ”； 若 函 数y f (ax) 与a积性质”。 第 5 页 共 18 页 第 6 页 共 18 页 （1） 判断函数g(x) x2 1(x 0) 是否满足“1 和性质”，并说明理由； （2） 求所有满足“2 和性质”的一次函数； （3） 设函数y f (x)(x 0) 对任何 a 0 ，满足“ 积性质”。求 y f (x) 的表达式。 a23.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小 题满分 8 分。 已知 a是公差为 的等差数列，是公比为 的等比数列。 bdq nn（1） 若an 3n 1，是否存在 m、k N* ，有 am am1 ak ?说明理由； an1 （2） 找出所有数列 a和b，使对一切 n N* , bn ,并说明理由； nnan （3） 若a1 5,d 4,b q 3, 试确定所有的 p，使数列 a中存在某个连续 项的和 p 1n是数列 b中的一项，请证明。 n第 6 页 共 18 页 第 7 页 共 18 页 2009 年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理工农医类） 考生注意： [1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上 条形码 . 2． 本试卷共有 23 道试题，满分 150 分 .考试时间 20 分钟 . 一．真空题 （本大题满分 56 分）本大题有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接 写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 . 4． 若复数z 满足 z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数 1．【答案】i z =__________________ . 【 解 析 】 设z ＝ a ＋ bi ， 则 （ a ＋ bi ） (1+i) =1-i， 即a － b ＋ （ a ＋ b） i＝ 1 － i ， 由 a b 1 ，解得 a＝0，b＝－1，所以z＝－i， z ＝i a b 1 5． 已知集合 A x | x 1 ，B x | x a ，且 A B R ，则实数 a 的取值范围是 ______________________ . 2．【答案】a≤1 【解析】因为 A∪B=R，画数轴可知，实数 a 必须在点 1 上或在 1 的左边，所以，有 a≤1。 4 5 x 6． 若行列式 1 x 3 中，元素 4 的代数余子式大于 0， 7 8 9 则 x 满足的条件是________________________ . 83．【答案】 x w.w.w.zxxk.c.o.m 383【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得： x 4．某算法的程序框如右图所示，则输出量 y与输入量 x 满足的关系式是____________________________ . x2 ,x 1 4．【答案】 y x 2, x 1 第 7 页 共 18 页 第 8 页 共 18 页 【解析】当 x＞1 时，有 y＝x－2，当 x＜1 时有 y＝ 2x ，所以，有分段函数。 5．如图，若正四棱柱 ABCD A B C1D1 的底面连长为 2，高 11为 4，则异面直线 BD1 与 AD 所成角的大小是______________（结 果用反三角函数表示）. 5．【答案】 arctan 5 【解析】因为 AD∥A1D1，异面直线 BD1 与 AD 所成角就是 BD1 与 A1D1 所在角，即∠A1D1B， 由勾股定理，得 A1B＝2 5 ，tan∠A1D1B＝ 5 ，所以，∠A1D1B＝ arctan 5。 6．函数 y 2cos2 x sin 2x 的最小值是_____________________ . 6．【答案】1 2 4【解析】 f (x) cos2x sin 2x 1 2 sin(2x ) 1，所以最小值为：1 2 7．某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表 示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 E ____________（结果用最简分数表 示）. 47．【答案】 7C52 C72 C51C21 C72 10 21 10 21 【解析】 可取 0，1，2，因此 P（ ＝0）＝ ， P（ ＝1）＝ ，C22 C72 110 10 147P（ ＝2）＝ ，，E ＝0× 1 2 ＝21 21 21 21 8.已知三个球的半径 R1 R2 ，R3 满足 R1 2R2 3R3 ，则它们的表面积 S1 ，S2 ，S3 ，满足的等量关系是___________. 8、【答案】 S1 2 S2 3 S3 w.w.w.zxxk.c.o.m 【解析】 S1 4R12 ，S1 2 R1 ，同理： S2 2 R2 S3 2 R3 ，即 R1＝ S1 S2 S3 ，R2＝ ，R3＝ ，由 R1 2R2 3R3 得 S1 2 S2 3 S3 2 2 2 第 8 页 共 18 页 第 9 页 共 18 页 x2 y2 9.已知 F、F2 是椭圆C : 1 （ a ＞b ＞0）的两个焦点， P 为椭圆C 上一点，且 1a2 b2 PF PF2 .若 PF F2 的面积为 9，则 b =____________.w.w.w.zxxk.c.o.m 119．【答案】3 | PF | | PF2 | 2a 1【解析】依题意，有 | PF | | PF | 18 ，可得 4c2＋36＝4a2，即 a2－c2＝9，故有 b＝ 12| PF |2 | PF2 |2 4c2 13。 310.在极坐标系中，由三条直线 0 ， ， cos sin 1围成图形的面积是 ________. 3 3 10、【答案】 w.w.w.zxxk.c.o.m 4【解析】化为普通方程，分别为：y＝0，y＝ 3x，x＋y＝1，画出三条直线的 3 1 3 3 图象如右图，可求得 A（ ，），B（1,0），三角形 AOB 的面积为： 22123 3 3 3 1 ＝24x 211.当 0 x 1时，不等式sin 11、【答案】k≤1 kx 成立，则实数 k 的取值范围是_______________. x 2【 解 析 】 作 出y1 sin 与y2 kx 的 图 象 ， 要 使 不 等 式 x 2sin kx 成立，由图可知须 k≤1。 2 2 12．已知函数 f (x) sin x tan x .项数为 27的等差数列 an 满足 a ， ，且公 n差d 0 .若 f (a1 ) f (a2 ) f (a27 ) 0 ，则当 k=____________是， f (ak ) 0 .12．【答案】14 2 2 f (x) sin x tan x 【解析】函数 在( ， ) 是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于 原点对称，因为 a1 a27 a2 a26 2a14 ，第 9 页 共 18 页 第 10 页 共 18 页 所以 f (a1) f (a27 ) f (a2 ) f (a26 ) f (a14 ) 0 ，所以当 k 14 时， f (ak ) 0 . 13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点。 若以互相垂直的两条街道为轴建立直角 坐标系，现有下述格点 (2，2) (6，6) 为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站， ，(3，1) ， (3，4) ， (2，3) ， (4，5)， 使 6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. 13．【答案】（3，3） 【 解 析 】 设 发 行 站 的 位 置 为x, y ， 零 售 点 到 发 行 站 的 距 离 为 z 2 x 2 y 2 2 x 3 y 1 y 4 y 3 x 4 y 5 x 6 y 6 ，2 3 3 2 4 6 2 1 4 3 5 6 72这六个点的横纵坐标的平均值为 2 ，，记 667A（2， ），画出图形可知，发行站的位置应该在点A 附近，代入附近的点的坐标进行比 2较可知，在（3,3）处 z 取得最小值。 14.将 函 数y 4 6x x2 2 (x 0，6 ) 的 图 像 绕 坐 标 原 点 逆 时 针 方 向 旋 转 角 (0 ) ，得到曲线 C.若对于每一个旋转角 ，曲线 C都是一个函数的图像，则 的最大值为__________. w.w.w.zxxk.c.o.m 214．【答案】 arctan 3【解析】由 y 4 6x x2 2 得：（x－3）2＋（y＋2）2＝13， (x 0，6 ) ，它的图象 是以（3，－2）为圆心， 13 为半径的一段圆弧， 1设过原点且与曲线 C 相切的直线为 y＝kx，当θ＝0 时，k＝－ ＝kOC 323，此时直线的倾斜角为β，即 tanβ＝ ，当切线与y 轴重合时，曲 2线上的点满足函数的定义，即是一个函数的图象，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函数的 323图象，旋转角为 90°－β，则 tan（90°－β）＝ ，即θ＝arctan 2二．选择题（本大题满分 16分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4分，否则一律得零分。 第 10 页 共 18 页 第 11 页 共 18 页 15.“2 a 2”是“实系数一元二次方程 x2 ax 1 0 有虚根”的 （A）必要不充分条件 （C）充要条件 （B）充分不必要条件 （D）既不充分也不必要条件 15、【答案】A 【解析】△＝ a2 －4＜0 时，－2＜ 分条件，故选 A。 a＜2，因为“2 a 2”是“－2＜ a ＜2”的必要不充 116.若事件 （A） E与F相互独立，且 P E P F ，则 P EI F 的值等于 4114120（B） （C） （D） 16 16、【答案】B 1 1 1【解析】 P EI F ＝P E P F ＝4 416 17. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感 染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”。根据过去 10 天甲、乙、丙、丁 四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 （A）甲地：总体均值为 3，中位数为 4 （C）丙地：中位数为 2，众数为 3 17、【答案】Dw.w.w.zxxk.c.o.m （B）乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0 （D）丁地：总体均值为 2，总体方差为 3 【解析】根据信息可知，连续 10 天内，每天的新增疑似病例不能有超过 7 的数，选项 A 中， 中位数为 4，可能存在大于 7 的数；同理，在选项 C 中也有可能；选项 B 中的总体方差大 于 0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于 7 的数；选项 D 中，根据方差公式， 如果有大于 7 的数存在，那么方差不会为 3，故答案选 D. 18.过圆C：(x 1)2 (y 1)2 1的圆心，作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B， AOB 被 圆 分 成 四 部 分 （ 如 图 ）， 若 这 四 部 分 图 形 面 积 满 足 S S¥ S S|||,则直线 AB 有（ ）（A） 0 条 （B） 1 条 （C） 2 条 （D） 3 条 18、【答案】B 【解析】由已知，得： SIV SII SIII SI , ，第 II，IV 部分的面积 第 11 页 共 18 页 第 12 页 共 18 页 是定值，所以， SIV SII 为定值，即 SIII SI , 为定值，当直线 AB 绕着圆心 C 移动时，只 可能有一个位置符合题意，即直线 AB 只有一条，故选 B。 三．解答题（本大题满分 78 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规 定区域内写出必要的步骤 19（本题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC A B C1 中， AA BC AB 2 ,111AB BC ,求二面角 B AC C1 的大小。 1119，【解】如图，建立空间直角坐标系 则 A（2，0，0）、 C（0，2，0） A1（2，0，2）， ……2 分 B1（0，0，2） 、C1（0，2，2） 设 AC 的中点为 M，∵BM⊥AC, BM⊥CC1; ∴BM⊥平面 A1C1C,即 BM =(1,1,0)是平面 A1C1C 的一个法向量。……5 分 设平面 A B C1 的一个法向量是 n (x, y, z) =（x，y， 11z）， AC =（-2，2，-2）， A B=（-2，0，0） ……7 分 11 1 n AB 2x 0,n AC 2x 2y 2z 0,令z 1,解得x 0, y 1 1n (0,1,1)……………….10分 设法向量 n与BM 的夹角为 ，二面角 B AC C1 的大小为 ，显然 为锐角 11 n BM 13cos cos ,解得 2n BM …………………….14 分 3二面角B AC C1的大小为 1120（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分。 有时可用函数 第 12 页 共 18 页 第 13 页 共 18 页 a0.115ln x 4.4 ,(x 6) a x f (x) ,(x 6) x 4 描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数（ x N* ）， f (x) 示对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关。 表（3） 证明：当x 7 时，掌握程度的增加量 f (x 1) f (x) 总是下降；[来 （4） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为 (115,121] ,(121,127] ,(121,133]。当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科。 0.4 20.证明（1）当 x 7时，f (x 1) f (x) (x 3)(x 4) 而当 x 7时 ，函数 y (x 3)(x 4) 单调递增，且 (x 3)(x 4) >0……..3 分 故f (x 1) f (x) 单调递减 当x 7时 ，掌握程度的增长量 f (x 1) f (x) 总是下降……………..6 分 a（2）由题意可知 0.1+15ln =0.85……………….9 分 a 6 a整理得 e0.05 a 6 e0.05 e0.05 1 解得 a 6 20.506 123.0,123.0(121,127] …….13 分 由此可知，该学科是乙学科……………..14 分 w.w.w.zxxk.c.o.m 21．（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 8 分。 x2 v已知双曲线 c : y2 1,设过点 A(3 2,0)的直线 l 的方向向量 e (1,k) 2（3） 当直线l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时，求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离； 2（4） 证明：当 k>时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为 6。2×21.（1）双曲线 C 的渐近线 m : 2y 0…………2分 2第 13 页 共 18 页 第 14 页 共 18 页 直线 l 的方程 x 2y 3 2 0 ………………..6 分 w.w.w.zxxk.c.o.m 3 2 直线 l 与 m 的距离 d 6 ……….8 分 1 2 （2）设过原点且平行与 l 的直线b : kx y 0 3 2k 1 k2 则直线 l 与 b 的距离 d 2当k 时，d 6 w.w.w.zxxk.c.o.m 2又双曲线 C 的渐近线为 x 2y 0 双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方， 双曲线 右支上的任意点到直线的距离为 的右支上不存在点 ，使之到直线 的右支上存在点 (x0 , y0 ) 到直线 Cl6 。 故在双曲线 CQl的距离为 6 。 [ 证法二] 双曲线 CQl的距离为 6 ， kx0 y0 3 2 1 k2 x0 2y0 2,(2) 6,(1) 则由（1）得 y0 kx0 3 2k 6 1 k2 ，设当将t 3 2k 6 1 k2 2k ，t 3 2k 6 1 k2 0………………………………..13 分 2y0 kx0 t 代入（2）得 (1 2k2 )x02 4ktx0 2(t2 1) 0 （*） 2k ,t 0,1 2k2 0,4kt 0,2(t2 1) 0 2方程（*）不存在正根，即假设不成立 w.w.w.zxxk.c.o.m 故在双曲线 C 的右支上不存在 Q，使之到直线 l 的距离为 6…………….16 分 22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 第 14 页 共 18 页 第 15 页 共 18 页 题满分 6 分。 已知函数 y f (x) 的反函数。定义：若对给定的实数 a(a 0) ，函数 y f (x a) 与y f 1(x a) 互 为 反 函 数 ， 则 称y f (x) 满 足 “ y f 1(ax) 互为反函数，则称 y f (x) 满足“ a和 性 质 ”； 若 函 数y f (ax) 与a积性质”。 （4） 判断函数g(x) x2 1(x 0) 是否满足“1 和性质”，并说明理由； （5） 求所有满足“2 和性质”的一次函数； （6） 设函数y f (x)(x 0) 对任何 a 0 ，满足“ 积性质”。求 y f (x) 的表达式。 a22（1）解，函数 g(x) x2 1(x 0) 的反函数是 g1(x) x 1(x 1) g1(x 1) x(x 0) w.w.w.zxxk.c.o.m 而g(x 1) (x 1)2 1(x 1), 其反函数为 y x 1 1(x 1) 故函数 g(x) x2 1(x 0) 不满足“1 和性质” （2）设函数 f (x) kx b(x R)满足“2 和性质”， k 0. x b kx 2 b f 1(x) (x R), f 1(x 2) …….6 分 kx b 2k 而f (x 2) k(x 2) b(x R), 得反函数 y x 2 b x b 2k ………….8分 k由“2 和性质”定义可知 =对x R 恒成立 kkk 1,b R, 即所求一次函数为 f (x) x b(b R) ………..10 分 （3）设 a 0 ，x0 0 ，且点 (x0 , y0 ) 在y f (ax) 图像上，则 (y0 , x0 ) 在函数 y f 1(ax) 图象上， 故f (ax0 ) y0 ，可得 ay0 f (x0 ) af (ax0 ) ， ．．．．．．12 分 f 1(ay0 ) x0 ，w.w.w.zxxk.c.o.m xxx0 f (x0 ) 令ax0 x ，则 a 。 f (x0 ) f (x) ，即 f (x) 。 ．．．．．．14 分 x0 x0 x第 15 页 共 18 页 第 16 页 共 18 页 kkk综上所述，1 b qn1 bn f (x) (k 0) ，此时 f (ax) ，其反函数就是 y ，1xax ax k而f 1(ax) ，故 y f (ax) 与y f 1(ax) 互为反函数 。 ．．．．．．16 分 ax 23.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小 题满分 8 分。 已知 a是公差为 的等差数列，是公比为 的等比数列。 bdq nn（4） 若an 3n 1，是否存在 m、k N* ，有 am am1 ak ?说明理由； an1 （5） 找出所有数列 a和b，使对一切 n N* , bn ,并说明理由； nnan （6） 若a1 5,d 4,b q 3, 试确定所有的 p，使数列 a中存在某个连续 项的和 p 1n是数列 b中的一项，请证明。 n23．[解法一]（1）由 am am1 ak ，得 6m 5 3k 1 ，．．．．．．2 分 4整理后，可得 k 2m ， m、kN ， k 2m 为整数， 3不存在 m、kN ，使等式成立。 ．．．．．．5 分 an1 aa1 nd a1 (n 1)d （2）若 bn ，即 b qn1 ，（*） 1（ⅰ）若 d 0, 当{ 则1 b qn1 bn 。1an }为非零常数列，{ bn }为恒等于 1的常数列，满足要求。 ．．．．．．7 分 a1 nd n a1 (n 1)d （ⅱ）若 d 0 ，（*）式等号左边取极限得 lim 1，（*）式等号右边的极限只 有当 q 1时，才能等于 1。此时等号左边是常数，d 0，矛盾。 综上所述，只有当{ an }为非零常数列，{bn }为恒等于 1的常数列，满足要求。．．．．．．10 分 an1 【解法二】设 an nd c,若 b ,且 b 为等比数列 nnan an2 an1 则/ q,对n N*都成立，即anan2 qa2 n1 an1 an 第 16 页 共 18 页 第 17 页 共 18 页 (dn c)(dn 2d c) q(dn d c)2 对n N*都成立，a2 qd2….7分 （i） 若 d=0，则 an c 0,bn 1,n N* dn d c dn c （ii） 若d 0,则q=1,bn m （常数）即 m ，则 d=0，矛盾 an1 综上所述，有 an c 0,bn 1,使对一切n N*, （3） an 4n 1,bn 3n ,n N * bn ， 10 分 an 设am1 am2 am p bk 3k , p、k N*,m N 4(m 1) 1 4(m p) 1 .p 3k ，23k 4m 2p 3 , p、k N*, p 35, s N .13 分 p取k 3s 2,4m 32s2 23s 3 (4 1)2s2 2(4 1)s 3 0, 15 分 由二项展开式可得正整数 M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1, 2(4 1)s 8M2 (1)s 2, 4m 4(M1 2M2 ) (1)s 1 2,存在整数m满足要求. 故当且仅当 p=3s,s N 时，命题成立. 说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分） 若 p 为偶数，则 am+1+am+2+……+am+p 为偶数，但 3k 为奇数 故此等式不成立，所以，p 一定为奇数。 当 p=1 时，则 am+1=bk,即 4m+5=3k， 而 3k=(4-1)k =Ck0 4k Ck1 4k1 (1) Ckk1 4(1)k1 Ckk (1)k 4M (1)k , M Z, 当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k 成立 当 p=3 时，则 am+1+am+2+am+3=bk,即 3am+2-bk, 也即 3（4m+9）=3k,所以 4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1 由已证可知，当 k-1 为偶数即 k 为奇数时，存在 m, 4m+9=3k 成立 当 p=5 时，则 am+1+am+2+……+am+5=bk,即 5am+3=bk 第 17 页 共 18 页 1 分 2 分 第 18 页 共 18 页 也即 5（4m+13）=3k,而 3k 不是 5 的倍数，所以，当 p=5 时，所要求的 m 不存在 故不是所有奇数都成立. 2 分 第 18 页 共 18 页
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