2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）下载

2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．（5 分）设 z＝ A．2 ，则|z|＝（　　） B． C． D．1 2．（5 分）已知集合 U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}， 则 B∩∁UA＝（　　） A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7} 3．（5 分）已知 a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a 4．（5 分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比 ≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上 是（述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，则其身高可能 是（　　） A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 5．（5 分）函数 f（x）＝ 在[﹣π，π]的图象大致为（　　） A． B． 第 1 页（共 25 页） C． D． 6．（5 分）某学校为了解 1000 名新生的身体素质，将这些学生编号 1，2，…，1000，从这 些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验．若 46 号学生被抽到，则下 面 4 名学生中被抽到的是（　　） A．8 号学生 7．（5 分）tan255°＝（　　） A．﹣2﹣ B．﹣2+ B．200 号学生 C．616 号学生 D．815 号学生 C．2﹣ D．2+ 8．（5 分）已知非零向量 ， 满足| |＝2| |，且（ ﹣ ）⊥ ，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 9．（5 分）如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（　　） A．A＝ B．A＝2+ C．A＝ D．A＝1+ 10．（5 分）双曲线 C： ﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为 130°，则 C 的离心率为（　　） A．2sin40° B．2cos40° C． D． 第 2 页（共 25 页） 11．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA ＝﹣ ，则 ＝（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 12．（5 分）已知椭圆 C 的焦点为 F1（﹣1，0），F2（1，0），过 F2 的直线与 C 交于 A， B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程为（　　） A． C． +y2＝1 B． D． ++＝1 ＝1 +＝1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）曲线 y＝3（x2+x）ex 在点（0，0）处的切线方程为　 　． 14．（5 分）记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1＝1，S3＝ ，则S4＝　 15．（5 分）函数 f（x）＝sin（2x+ ）﹣3cosx 的最小值为　． 　． 16．（5 分）已知∠ACB＝90°，P 为平面 ABC 外一点，PC＝2，点 P 到∠ACB 两边 AC，BC 的距离均为 ，那么P 到平面 ABC 的距离为　． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题 ，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客 对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 40 不满意 10 男顾客 女顾客 30 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：K2＝ ．第 3 页（共 25 页） P（K2≥k） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 k10.828 18．（12 分）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S9＝﹣a5． （1）若 a3＝4，求{an}的通项公式； （2）若 a1＞0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围． 19．（12 分）如图，直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝ 60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点． （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求点 C 到平面 C1DE 的距离． 第 4 页（共 25 页） 20．（12 分）已知函数 f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为 f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若 x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求 a 的取值范围． 21．（12 分）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB|＝4，⊙M 过点 A，B 且与直线 x+2＝ 0 相切． （1）若 A 在直线 x+y＝0 上，求⊙M 的半径； （2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由． 第 5 页（共 25 页） （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）．以 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcosθ+ ρsinθ+11＝0． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．已知 a，b，c 为正数，且满足 abc＝1．证明： （1） + + ≤a2+b2+c2； （2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24． 第 6 页（共 25 页） 2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．（5 分）设 z＝ A．2 ，则|z|＝（　　） B． C． D．1 【分析】直接利用复数商的模等于模的商求解． 【解答】解：由 z＝ 故选：C． ，得|z|＝| |＝ ．【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题． 2．（5 分）已知集合 U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}， 则 B∩∁UA＝（　　） A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7} 【分析】先求出∁UA，然后再求 B∩∁UA 即可求解 【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}， ∴∁UA＝{1，6，7}， 则 B∩∁UA＝{6，7} 故选：C． 【点评】本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础试题． 3．（5 分）已知 a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a 【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得 log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而 得出 a，b，c 的大小关系． 【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0， b＝20.2＞20＝1， ∵0＜0.20.3＜0.20＝1， ∴c＝0.20.3∈（0，1）， ∴a＜c＜b， 第 7 页（共 25 页） 故选：B． 【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题． 4．（5 分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比 是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上 述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，则其身高可能 是（　　） A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 【分析】充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高． 【解答】解：头顶至脖子下端的长度为 26cm， 说明头顶到咽喉的长度小于 26cm， 由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 可得咽喉至肚脐的长度小于 ≈42cm， 由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 可得肚脐至足底的长度小于 ＝110， ≈0.618， ，即有该人的身高小于 110+68＝178cm， 又肚脐至足底的长度大于 105cm， 可得头顶至肚脐的长度大于 105×0.618≈65cm， 即该人的身高大于 65+105＝170cm， 故选：B． 【点评】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 5．（5 分）函数 f（x）＝ 在[﹣π，π]的图象大致为（　　） 第 8 页（共 25 页） A． C． B． D． 【分析】由 f（x）的解析式知 f（x）为奇函数可排除 A，然后计算 f（π），判断正负即 可排除 B，C． 【解答】解：∵f（x）＝ ∴f（﹣x）＝ ，x∈[﹣π，π]， ＝﹣f（x）， ＝﹣ ∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除 A； 又 f（ ）＝ ，因此排除 B，C； 故选：D． 【点评】本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题． 6．（5 分）某学校为了解 1000 名新生的身体素质，将这些学生编号 1，2，…，1000，从这 些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验．若 46 号学生被抽到，则下 面 4 名学生中被抽到的是（　　） A．8 号学生 B．200 号学生 C．616 号学生 D．815 号学生 【分析】根据系统抽样的特征，从 1000 名学生从中抽取一个容量为 100 的样本，抽样的 分段间隔为 10，结合从第 4 组抽取的号码为 46，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码 ．【解答】解：：∵从 1000 名学生从中抽取一个容量为 100 的样本， ∴系统抽样的分段间隔为 ＝10， ∵46 号学生被抽到， 则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为 6，以后每个号码都比前一个号 码增加 10，所有号码数是以 6 为首项，以 10 为公差的等差数列， 第 9 页（共 25 页） 设其数列为{an}，则 an＝6+10（n﹣1）＝10n﹣4， 当 n＝62 时，a62＝616，即在第 62 组抽到 616． 故选：C． 【点评】本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔． 7．（5 分）tan255°＝（　　） A．﹣2﹣ 【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解． 【解答】解：tan255°＝tan（180°+75°）＝tan75°＝tan（45°+30°） B．﹣2+ C．2﹣ D．2+ ＝＝＝．故选：D． 【点评】本题考查三角函数的取值，考查诱导公式与两角和的正切，是基础题． 8．（5 分）已知非零向量 ， 满足| |＝2| |，且（ ﹣ ）⊥ ，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【分析】由（ ﹣ ）⊥ ，可得 ，然后求出夹角即可． ，进一步得到 【解答】解：∵（ ﹣ ）⊥ ， ∴＝，∴＝＝ ， ∵∴，．故选：B． 第 10 页（共 25 页） 【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题． 9．（5 分）如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（　　） A．A＝ B．A＝2+ C．A＝ D．A＝1+ 【分析】模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的 A 的值，观察规律即可得解． 【解答】解：模拟程序的运行，可得： A＝ ，k＝1； 满足条件 k≤2，执行循环体，A＝ 满足条件 k≤2，执行循环体，A＝ ，k＝2； ，k＝3； 此时，不满足条件 k≤2，退出循环，输出 A 的值为 ，观察 A 的取值规律可知图中空白框中应填入 A＝ 故选：A． ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题． 第 11 页（共 25 页） 10．（5 分）双曲线 C： ﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为 130°，则 C 的离心率为（　　） A．2sin40° B．2cos40° C． D． 【分析】由已知求得 ，化为弦函数，然后两边平方即可求得 C 的离心率． 【解答】解：双曲线 C： ﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y＝ ，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为 130°，得 ，则＝，∴得＝，，∴e＝ ．故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 11．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 asinA﹣bsinB＝4csinC， cosA＝﹣ ，则 ＝（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果． 【解答】解：∵△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣ ，∴，解得 3c2＝ ，∴＝6． 故选：A． 第 12 页（共 25 页） 【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题． 12．（5 分）已知椭圆 C 的焦点为 F1（﹣1，0），F2（1，0），过 F2 的直线与 C 交于 A， B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程为（　　） A． C． +y2＝1 B． D． ++＝1 ＝1 +＝1 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得 a＝ ，b＝ ，可得椭圆的方程． 【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|， 又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|， 又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝ ∴|AF2|＝a，|BF1|＝ a， ，∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a， ∴|AF1|＝|AF2|，∴A 在 y 轴上． 在 Rt△AF2O 中，cos∠AF2O＝ ，在△BF1F2 中，由余弦定理可得 cos∠BF2F1＝ ，根据 cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得 b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2． +＝0，解得 a2＝3，∴a＝ ．所以椭圆 C 的方程为： 故选：B． +＝1． 第 13 页（共 25 页） 【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）曲线 y＝3（x2+x）ex 在点（0，0）处的切线方程为　y＝3x　． 【分析】对 y＝3（x2+x）ex 求导，可将 x＝0 代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程 ．【解答】解：∵y＝3（x2+x）ex， ∴y’＝3ex（x2+3x+1）， ∴当 x＝0 时，y’＝3， ∴y＝3（x2+x）ex 在点（0，0）处的切线斜率 k＝3， ∴切线方程为：y＝3x． 故答案为：y＝3x． 【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解 题关键，属基础题． 14．（5 分）记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1＝1，S3＝ ，则S4＝　． 【分析】利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数 列的求和公式即可求解 【解答】解：∵等比数列{an}的前 n 项和，a1＝1，S3＝ ，∴q≠1， ＝ ， 整理可得， ，解可得，q＝﹣ ，第 14 页（共 25 页） 则 S4＝ ＝＝ ． 故答案为： 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题 15．（5 分）函数 f（x）＝sin（2x+ ）﹣3cosx 的最小值为　﹣4　． 【分析】线利用诱导公式，二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的 单调 性即可去求解最小值 【解答】解：∵f（x）＝sin（2x+ ）﹣3cosx， ＝﹣cos2x﹣3cosx＝﹣2cos2x﹣3cosx+1， 令 t＝cosx，则﹣1≤t≤1， ∵f（t）＝﹣2t2﹣3t+1 的开口向下，对称轴 t＝ ，在[﹣1，1]上先增后减， 故当 t＝1 即 cosx＝1 时，函数有最小值﹣4． 故答案为：﹣4 【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角好按时化简求值中的应用 及利用余弦函数，二次函数的性质求解最值的应用，属于基础试题 16．（5 分）已知∠ACB＝90°，P 为平面 ABC 外一点，PC＝2，点 P 到∠ACB 两边 AC，BC 的距离均为 ，那么P 到平面 ABC 的距离为　． 【分析】过点 P 作 PD⊥AC，交 AC 于 D，作 PE⊥BC，交 BC 于 E，过 P 作 PO⊥平面 ABC ，交平面 ABC 于 O，连结 OD，OC，则 PD＝PE＝ ，从而CD＝CE＝OD＝OE＝ ＝1，由此能求出 P 到平面 ABC 的距离． 【解答】解：∠ACB＝90°，P 为平面 ABC 外一点，PC＝2，点 P 到∠ACB 两边 AC，BC 的距离均为 ，过点 P 作 PD⊥AC，交 AC 于 D，作 PE⊥BC，交 BC 于 E，过 P 作 PO⊥平面 ABC，交 平面 ABC 于 O， 连结 OD，OC，则 PD＝PE＝ ∴CD＝CE＝OD＝OE＝ ，＝1， ∴PO＝ ＝＝．第 15 页（共 25 页） ∴P 到平面 ABC 的距离为 故答案为： ．．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题 ，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客 对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 40 不满意 10 男顾客 女顾客 30 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：K2＝ P（K2≥k） ．0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 k10.828 【分析】（1）由题中数据，结合等可能事件的概率求解； （2）代入计算公式：K2＝ ，然后把所求数据与 3.841 进行比 较即可判断． 第 16 页（共 25 页） 【解答】解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率 P＝ ＝ ， 女顾客对该商场服务满意的概率 P＝ （2）由题意可知，K2＝ ＝ ； ＝≈4.762＞3.841， 故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异． 【点评】本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于 基础试题． 18．（12 分）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S9＝﹣a5． （1）若 a3＝4，求{an}的通项公式； （2）若 a1＞0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围． 【分析】（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为 d，由 S9＝﹣a5，即可得 S9＝ ＝9a5＝﹣a5，变形可得 a5＝0，结合 a3＝4，计算可得 d 的值，结合等差 数列的通项公式计算可得答案； （2）若 Sn≥an，则 na1+ d≥a1+（n﹣1）d，分 n＝1 与 n≥2 两种情况讨论，求 出 n 的取值范围，综合即可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为 d， 若 S9＝﹣a5，则 S9＝ 若 a3＝4，则 d＝ ＝9a5＝﹣a5，变形可得 a5＝0，即 a1+4d＝0， ＝﹣2， 则 an＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10， （2）若 Sn≥an，则 na1+ d≥a1+（n﹣1）d， 当 n＝1 时，不等式成立， 当 n≥2 时，有 ≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a1， 又由 S9＝﹣a5，即 S9＝ ﹣2） ≥﹣2a1， ＝9a5＝﹣a5，则有 a5＝0，即 a1+4d＝0，则有（n 又由 a1＞0，则有 n≤10， 则有 2≤n≤10， 综合可得：n 的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}． 第 17 页（共 25 页） 【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前 n 项和公式，涉及数列与不等式的 综合应用，属于基础题． 19．（12 分）如图，直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝ 60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点． （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求点 C 到平面 C1DE 的距离． 【分析】法一： （1）连结 B1C，ME，推导出四边形 MNDE 是平行四边形，从而 MN∥ED，由此能证明 MN∥平面 C1DE． （2）过 C 作 C1E 的垂线，垂足为 H，推导出 DE⊥BC，DE⊥C1C，从而 DE⊥平面 C1CE ，DE⊥CH，进而 CH⊥平面 C1DE，故 CH 的长即为 C 到时平面 C1DE 的距离，由此能 求出点 C 到平面 C1DE 的距离． 法二：（1）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DE 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能证明 MN∥平面 C1DE． （2）求出 ＝（﹣1， ，0），平面 C1DE 的法向量 ＝（4，0，1），利用向量法能 求出点 C 到平面 C1DE 的距离． 【解答】解法一： 证明：（1）连结 B1C，ME，∵M，E 分别是 BB1，BC 的中点， ∴ME∥B1C，又 N 为 A1D 的中点，∴ND＝ A1D， 由题设知 A1B1 DC，∴B1C A1D，∴ME ND， ∴四边形 MNDE 是平行四边形， 第 18 页（共 25 页） MN∥ED， 又 MN⊄平面 C1DE，∴MN∥平面 C1DE． 解：（2）过 C 作 C1E 的垂线，垂足为 H， 由已知可得 DE⊥BC，DE⊥C1C， ∴DE⊥平面 C1CE，故 DE⊥CH， ∴CH⊥平面 C1DE，故 CH 的长即为 C 到时平面 C1DE 的距离， 由已知可得 CE＝1，CC1＝4， ∴C1E＝ ，故 CH＝ ，∴点 C 到平面 C1DE 的距离为 ．解法二： 证明：（1）∵直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是菱形， AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点． ∴DD1⊥平面 ABCD，DE⊥AD， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DE 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， M（1， ，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0， ，0），C1（﹣1， ，4） ，＝（0，﹣ ，0）， ＝（﹣1， ）， ＝（0， ）， 设平面 C1DE 的法向量 ＝（x，y，z）， 则，取 z＝1，得 ＝（4，0，1）， • ＝0，MN⊄平面 C1DE， ∴MN∥平面 C1DE． ∵解：（2）C（﹣1， ，0）， ＝（﹣1， ，0）， 平面 C1DE 的法向量 ＝（4，0，1）， ∴点 C 到平面 C1DE 的距离： 第 19 页（共 25 页） d＝ ＝＝．【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（12 分）已知函数 f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为 f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若 x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求 a 的取值范围． 【分析】（1）令 g（x）＝f′（x），对 g（x）再求导，研究其在（0，π）上的单调性， 结合极值点和端点值不难证明； （2）利用（1）的结论，可设 f′（x）的零点为 x0，并结合 f′（x）的正负分析得到 f（ x）的情况，作出图示，得出结论． 【解答】解： （1） 第 20 页（共 25 页） 证明：∵f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x， ∴f′（x）＝2cosx﹣cosx+xsinx﹣1 ＝cosx+xsinx﹣1， 令 g（x）＝cosx+xsinx﹣1， 则 g′（x）＝﹣sinx+sinx+xcosx ＝xcosx， 当 x∈（0， 当 x ）时，xcosx＞0， 时，xcosx＜0， ∴当 x＝ 时，极大值为 g（ ）＝ ＞0， 又 g（0）＝0，g（π）＝﹣2， ∴g（x）在（0，π）上有唯一零点， 即 f′（x）在（0，π）上有唯一零点； （2） 由（1）知，f′（x）在（0，π）上有唯一零点 x0， 使得 f′（x0）＝0， 且 f′（x）在（0，x0）为正， 在（x0，π）为负， ∴f（x）在[0，x0]递增，在[x0，π]递减， 结合 f（0）＝0，f（π）＝0， 可知 f（x）在[0，π]上非负， 令 h（x）＝ax， 作出图示， ∵f（x）≥h（x）， ∴a≤0， ∴a 的取值范围是（﹣∞，0]． 第 21 页（共 25 页） 【点评】此题考查了利用导数研究函数的单调性，零点等问题，和数形结合的思想方法， 难度较大． 21．（12 分）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB|＝4，⊙M 过点 A，B 且与直线 x+2＝ 0 相切． （1）若 A 在直线 x+y＝0 上，求⊙M 的半径； （2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由． 【分析】（1）由条件知点 M 在线段 AB 的中垂线 x﹣y＝0 上，设圆的方程为⊙M 的方程 为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），然后根据圆与直线 x+2＝0 相切和圆心到直线 x+y ＝0 的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可； （2）设 M 的坐标为（x，y），然后根据条件的到圆心 M 的轨迹方程为 y2＝4x，然后根 据抛物线的定义即可得到定点． 【解答】解：∵⊙M 过点 A，B 且 A 在直线 x+y＝0 上， ∴点 M 在线段 AB 的中垂线 x﹣y＝0 上， 设⊙M 的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则 圆心 M（a，a）到直线 x+y＝0 的距离 d＝ ，又|AB|＝4，∴在 Rt△OMB 中， d2+（ |AB|）2＝R2， 即①又∵⊙M 与 x＝﹣2 相切，∴|a+2|＝R② 由①②解得 ∴⊙M 的半径为 2 或 6； 或，第 22 页（共 25 页） （2）∵线段 AB 为⊙M 的一条弦 O 是弦 AB 的中点，∴圆心 M 在线段 AB 的中垂线上， 设点 M 的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2， ∵⊙M 与直线 x+2＝0 相切，∴|MA|＝|x+2|， ∴|x+2|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+4， ∴y2＝4x， ∴M 的轨迹是以 F（1，0）为焦点 x＝﹣1 为准线的抛物线， ∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP| ＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1， ∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点 P 与点 F 重合，即 P 的坐标为（1，0）， ∴存在定点 P（1，0）使得当 A 运动时，|MA|﹣|MP|为定值． 【点评】本题考查了直线与圆的关系和抛物线的定义，考查了待定系数法和曲线轨迹方 程的求法，属难题． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）．以 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcosθ+ ρsinθ+11＝0． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 【分析】（1）把曲线 C 的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入 2ρcosθ+ ρsinθ+11＝0，可得直线 l 的直角坐标方程； （2）法一、设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离， 利用三角函数求最值； 法二、写出与直线 l 平行的直线方程为 ，与曲线 C 联立，化为关于 x 的一 元二次方程，利用判别式大于 0 求得 m，转化为两平行线间的距离求 C 上的点到 l 距离 的最小值． 第 23 页（共 25 页） 【解答】解：（1）由 （t 为参数），得 ，两式平方相加，得 （x≠﹣1）， ∴C 的直角坐标方程为 （x≠﹣1）， 由 2ρcosθ+ ρsinθ+11＝0，得 即直线 l 的直角坐标方程为得 ．；（2）法一、设 C 上的点 P（cosθ，2sinθ）（θ≠π）， 则 P 到直线得 d＝ 的距离为： ＝．∴当 sin（θ+φ）＝﹣1 时，d 有最小值为 ．法二、设与直线 联立 平行的直线方程为 ，，得 16×2+4mx+m2﹣12＝0． 由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得 m＝±4． ∴当 m＝4 时，直线 与曲线C 的切点到直线 的距离最小， 为．【点评】本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆 位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．已知 a，b，c 为正数，且满足 abc＝1．证明： （1） + + ≤a2+b2+c2； （2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24． 【分析】（1）利用基本不等式和 1 的运用可证，（2）分析法和综合法的证明方法可证． 【解答】证明：（1）分析法：已知 a，b，c 为正数，且满足 abc＝1． 第 24 页（共 25 页） 要证（1） ++≤a2+b2+c2；因为 abc＝1． ≤a2+b2+c2； 就要证： ++即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2； 即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2； 2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0 （a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0； ∵a，b，c 为正数，且满足 abc＝1． ∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0 恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1 时取等 号． 即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0 得证． 故+ + ≤a2+b2+c2 得证． （2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24 成立； 即：已知 a，b，c 为正数，且满足 abc＝1． （a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数； （a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）； 当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1 时取等号； ∵a，b，c 为正数，且满足 abc＝1． （a+b）≥2 ；（b+c）≥2 ；（c+a）≥2 ；当且仅当 a＝b，b＝c；c＝a 时取等号；即：a＝b＝c＝1 时取等号； ∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8 24abc＝24； ••＝当且仅当 a＝b＝c＝1 时取等号； 故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证． 故得证． 【点评】本题考查重要不等式和基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法． 第 25 页（共 25 页）