2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅱ）（含解析版）下载

2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．（5 分）已知集合 A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，则 A∩B＝（　　） A．（﹣1，+∞） 2．（5 分）设 z＝i（2+i），则 ＝（　　） A．1+2i B．﹣1+2i B．（﹣∞，2） C．（﹣1，2） D．∅ C．1﹣2i D．﹣1﹣2i 3．（5 分）已知向量 ＝（2，3）， ＝（3，2），则| ﹣ |＝（　　） A． B．2 C．5 D．50 4．（5 分）生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标．若从这 5 只兔子中随 机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为（　　） A． B． C． D． 5．（5 分）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次 序为（　　） A．甲、乙、丙 6．（5 分）设 f（x）为奇函数，且当 x≥0 时，f（x）＝ex﹣1，则当 x＜0 时，f（x）＝（　　） A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+1 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 7．（5 分）设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是（　　） A．α 内有无数条直线与 β 平行 B．α 内有两条相交直线与 β 平行 C．α，β 平行于同一条直线 D．α，β 垂直于同一平面 8．（5 分）若 x1＝ ，x2＝ 是函数 f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则 ω＝ （　　） 第 1 页（共 20 页） A．2 B． C．1 D． 9．（5 分）若抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆 +＝1 的一个焦点，则 p＝（　　） D．8 A．2 B．3 C．4 10．（5 分）曲线 y＝2sinx+cosx 在点（π，﹣1）处的切线方程为（　　） A．x﹣y﹣π﹣1＝0 C．2x+y﹣2π+1＝0 B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0 D．x+y﹣π+1＝0 11．（5 分）已知 α∈（0， ），2sin2α＝cos2α+1，则 sinα＝（　　） A． B． C． D． 12．（5 分）设 F 为双曲线 C： ﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2＝a2 交于 P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则 C 的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件 则 z＝3x﹣y 的最大值是　 　． 14．（5 分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个 车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　． 15．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 bsinA+acosB＝0，则 B＝　 ．　16．（5 分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体 、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）． 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对 称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上， 且此正方体的棱长为 1．则该半正多面体共有　个面，其棱长为　． 第 2 页（共 20 页） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）如图，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上， BE⊥EC1． （1）证明：BE⊥平面 EB1C1； （2）若 AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥 E﹣BB1C1C 的体积． 第 3 页（共 20 页） 18．（12 分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16． （1）求{an}的通项公式； （2）设 bn＝log2an，求数列{bn}的前 n 项和． 19．（12 分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业， 得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表． y 的分组 [﹣0.20，0） [0，0.20） [0.20，0.40） [0.40，0.60） [0.60，0.80） 24 5314 企业数 27（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的 中点值为代表）．（精确到 0.01） 附： ≈8.602． 第 4 页（共 20 页） 20．（12 分）已知 F1，F2 是椭圆 C： +＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P 为 C 上的点，O 为坐标原点． （1）若△POF2 为等边三角形，求 C 的离心率； （2）如果存在点 P，使得 PF1⊥PF2，且△F1PF2 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值 范围． 21．（12 分）已知函数 f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x﹣1．证明： （1）f（x）存在唯一的极值点； （2）f（x）＝0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 第 5 页（共 20 页） （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22．（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点 M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲线 C：ρ＝4sinθ 上， 直线 l 过点 A（4，0）且与 OM 垂直，垂足为 P． （1）当 θ0＝ 时，求 ρ0 及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．已知 f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）． （1）当 a＝1 时，求不等式 f（x）＜0 的解集； （2）当 x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求 a 的取值范围． 第 6 页（共 20 页） 2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．（5 分）已知集合 A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，则 A∩B＝（　　） A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣1，2） D．∅ 【分析】直接利用交集运算得答案． 【解答】解：由 A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}， 得 A∩B＝{x|x＞﹣1}∩{x|x＜2}＝（﹣1，2）． 故选：C． 【点评】本题考查交集及其运算，是基础题． 2．（5 分）设 z＝i（2+i），则 ＝（　　） A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【解答】解：∵z＝i（2+i）＝﹣1+2i， ∴ ＝﹣1﹣2i， 故选：D． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．（5 分）已知向量 ＝（2，3）， ＝（3，2），则| ﹣ |＝（　　） A． 【分析】利用向量的坐标减法运算求得 【解答】解：∵ ＝（2，3）， ＝（3，2）， B．2 C．5 D．50 的坐标，再由向量模的公式求解． ∴＝（2，3）﹣（3，2）＝（﹣1，1）， |＝ ∴| ．第 7 页（共 20 页） 故选：A． 【点评】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题． 4．（5 分）生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标．若从这 5 只兔子中随 机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题根据组合的概念可知从这 5 只兔子中随机取出 3 只的所有情况数为 ，恰 有 2 只测量过该指标是从 3 只侧过的里面选 2，从未测的选 1，组合数为 ．即可得 出概率． 【解答】解：由题意，可知： 根据组合的概念，可知： 从这 5 只兔子中随机取出 3 只的所有情况数为 恰有 2 只测量过该指标的所有情况数为 ，．∴p＝ ＝ ． 故选：B． 【点评】本题主要考查组合的相关概念及应用以及简单的概率知识，本题属基础题． 5．（5 分）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次 序为（　　） A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手，因为只有一个人预测 正确，而乙对则丙必对，丙对乙很有可能对，假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情 况就是甲预测正确乙、丙错误，从而得出结果． 【解答】解：由题意，可把三人的预测简写如下： 甲：甲＞乙． 第 8 页（共 20 页） 乙：丙＞乙且丙＞甲． 丙：丙＞乙． ∵只有一个人预测正确， ∴分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确． 如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意． 如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确， 则有丙＞乙，乙＞甲， ∵乙预测不正确，而丙＞乙正确， ∴只有丙＞甲不正确， ∴甲＞丙，这与丙＞乙，乙＞甲矛盾． 不符合题意． ∴只有甲预测正确，乙、丙预测不正确， 甲＞乙，乙＞丙． 故选：A． 【点评】本题主要考查合情推理，因为只有一个人预测正确，所以本题关键是要找到互 相关联的两个预测入手就可找出矛盾．从而得出正确结果．本题属基础题． 6．（5 分）设 f（x）为奇函数，且当 x≥0 时，f（x）＝ex﹣1，则当 x＜0 时，f（x）＝（　　） A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+1 【分析】设 x＜0，则﹣x＞0，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得 x＜0 时的 f（x ）． 【解答】解：设 x＜0，则﹣x＞0， ∴f（﹣x）＝e﹣x﹣1， ∵设 f（x）为奇函数，∴﹣f（x）＝e﹣x﹣1， 即 f（x）＝﹣e﹣x+1． 故选：D． 【点评】本题考查函数的解析式即常用求法，考查函数奇偶性性质的应用，是基础题． 7．（5 分）设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是（　　） A．α 内有无数条直线与 β 平行 B．α 内有两条相交直线与 β 平行 C．α，β 平行于同一条直线 第 9 页（共 20 页） D．α，β 垂直于同一平面 【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论 【解答】解：对于 A，α 内有无数条直线与 β 平行，α∩β 或 α∥β； 对于 B，α 内有两条相交直线与 β 平行，α∥β； 对于 C，α，β 平行于同一条直线，α∩β 或 α∥β； 对于 D，α，β 垂直于同一平面，α∩β 或 α∥β． 故选：B． 【点评】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基 础题． 8．（5 分）若 x1＝ ，x2＝ 是函数 f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则 ω＝ （　　） A．2 B． C．1 D． 【分析】x1＝ ，x2＝ 是 f（x）两个相邻的极值点，则周期 T＝2（ ）＝ ，然后根据周期公式即可求出 ．【解答】解：∵x1＝ ，x2＝ 是函数 f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点， ∴T＝2（ ）＝ ＝∴ω＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是根据条件得出周期，属基础题． 9．（5 分）若抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆 +＝1 的一个焦点，则 p＝（　　） D．8 A．2 B．3 C．4 【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得． 【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝（ ）2，解得 p＝8． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题． 10．（5 分）曲线 y＝2sinx+cosx 在点（π，﹣1）处的切线方程为（　　） A．x﹣y﹣π﹣1＝0 B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0 第 10 页（共 20 页） C．2x+y﹣2π+1＝0 D．x+y﹣π+1＝0 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 x＝π 时的导数，再由直线方程点斜式得答案 ．【解答】解：由 y＝2sinx+cosx，得 y′＝2cosx﹣sinx， ∴y′|x＝π＝2cosπ﹣sinπ＝﹣2， ∴曲线 y＝2sinx+cosx 在点（π，﹣1）处的切线方程为 y+1＝﹣2（x﹣π）， 即 2x+y﹣2π+1＝0． 故选：C． 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函 数是关键，是基础题． 11．（5 分）已知 α∈（0， A． B． ），2sin2α＝cos2α+1，则 sinα＝（　　） C． D． 【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得 4sinαcosα＝2cos2α，结合角的范围可求 sinα＞0，cosα＞0，可得 cosα＝2sinα，根据同角三角函数基本关系式即可解得 sinα 的值 ．【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1， ∴可得：4sinαcosα＝2cos2α， ∵α∈（0， ），sinα＞0，cosα＞0， ∴cosα＝2sinα， ∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1， ∴解得：sinα＝ 故选：B． ．【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数 化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 12．（5 分）设 F 为双曲线 C： ﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2＝a2 交于 P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则 C 的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 第 11 页（共 20 页） 【分析】由题意画出图形，先求出 PQ，再由|PQ|＝|OF|列式求 C 的离心率． 【解答】解：如图， 由题意，把 x＝ 代入x2+y2＝a2，得 PQ＝ ，再由|PQ|＝|OF|，得 ，即 2a2＝c2， ∴，解得 e＝ ．故选：A． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件 则 z＝3x﹣y 的最大值是　9　． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图： 第 12 页（共 20 页） 化目标函数 z＝3x﹣y 为 y＝3x﹣z，由图可知，当直线 y＝3x﹣z 过 A（3，0）时， 直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 9． 故答案为：9． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 14．（5 分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个 车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　0.98　． 【分析】利用加权平均数公式直接求解． 【解答】解：∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97， 有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99， ∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为： ＝（10×0.97+20×0.98+10×0.99）＝0.98． 故答案为：0.98． 【点评】本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权 平均数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 15．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 bsinA+acosB＝0，则 B＝　 　． 【分析】由正弦定理化简已知等式可得 sinAsinB+sinAcosB＝0，由于 sinA＞0，化简可得 tanB＝﹣1，结合范围 B∈（0，π），可求 B 的值为 ．【解答】解：∵bsinA+acosB＝0， ∴由正弦定理可得：sinAsinB+sinAcosB＝0， 第 13 页（共 20 页） ∵A∈（0，π），sinA＞0， ∴可得：sinB+cosB＝0，可得：tanB＝﹣1， ∵B∈（0，π）， ∴B＝ ．故答案为： ．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在 解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 16．（5 分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体 、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）． 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对 称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上， 且此正方体的棱长为 1．则该半正多面体共有　26　个面，其棱长为　 ﹣1　． 【分析】中间层是一个正八棱柱，有 8 个侧面，上层是有 8+1，个面，下层也有 8+1 个 面，故共有 26 个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的 cos45° ＝倍． 【解答】解：该半正多面体共有 8+8+8+2＝26 个面，设其棱长为 x，则 x+ x+ x＝1 ，解得 x＝ ﹣1． 故答案为：26， ﹣1． 【点评】本题考查了球内接多面体，属中档题． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 第 14 页（共 20 页） 17．（12 分）如图，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上， BE⊥EC1． （1）证明：BE⊥平面 EB1C1； （2）若 AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥 E﹣BB1C1C 的体积． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得 B1C1⊥BE，结合 BE⊥EC1 利用线面垂直的判定定 理可证明 BE⊥平面 EB1C1； （2）由条件可得 AE＝AB＝3，然后得到 E 到平面 BB1C1C 的距离 d＝3，在求四棱锥的 体积即可． 【解答】解：（1）证明：由长方体 ABCD﹣A1B1C1D1，可知 B1C1⊥平面 ABB1A1，BE⊂平面 ABB1A1， ∴B1C1⊥BE， ∵BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1， ∴BE⊥平面 EB1C1； （2）由（1）知∠BEB1＝90°，由题设可知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E， ∴∠AEB＝∠A1EB1＝45°，∴AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6， ∵在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1∥平面 BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面 BB1C1C， ∴E 到平面 BB1C1C 的距离 d＝AB＝3， ∴四棱锥 E﹣BB1C1C 的体积 V＝ ×3×6×3＝18． 【点评】本题考查了线面垂直的判定定理和性质，考查了四棱锥体积的求法，属中档题． 18．（12 分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16． （1）求{an}的通项公式； （2）设 bn＝log2an，求数列{bn}的前 n 项和． 第 15 页（共 20 页） 【分析】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求； （2）把（1）中求得的{an}的通项公式代入 bn＝log2an，得到 bn，说明数列{bn}是等差数 列，再由等差数列的前 n 项和公式求解． 【解答】解：（1）设等比数列的公比为 q， 由 a1＝2，a3＝2a2+16，得 2q2＝4q+16， 即 q2﹣2q﹣8＝0，解得 q＝﹣2（舍）或 q＝4． ∴；（2）bn＝log2an＝ ，∵b1＝1，bn+1﹣bn＝2（n+1）﹣1﹣2n+1＝2， ∴数列{bn}是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列， 则数列{bn}的前 n 项和 ．【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前 n 项和，考查对数的运算性质， 是基础题． 19．（12 分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业， 得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表． y 的分组 [﹣0.20，0） [0，0.20） [0.20，0.40） [0.40，0.60） [0.60，0.80） 24 5314 企业数 27（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的 中点值为代表）．（精确到 0.01） 附： ≈8.602． 【分析】（1）根据频数分布表计算即可； （2）根据平均值和标准差计算公式代入数据计算即可． 【解答】解：（1）根据产值增长率频数表得，所调查的 100 个企业中产值增长率不低于 40%的企业为： ＝0.21＝21%， 产值负增长的企业频率为： ＝0.02＝2%， 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例为 21%， 第 16 页（共 20 页） 产值负增长的企业比例为 2%； （2）企业产值增长率的平均数 ﹣0.1×2+0.1×24+0.3×53+0.5×14+0.7×7＝0.3 ＝30%， 产值增长率的方差 s2＝ ＝[（﹣0.4）2×2+（﹣0.2）2×24+02×53+0.22×14+0.42×7] ＝0.0296， ∴产值增长率的标准差 s＝ ≈0.17， ∴这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为 0.30，0.17． 【点评】本题考查了样本数据的平均值和方差的求法，考查运算求解能力，属基础题． 20．（12 分）已知 F1，F2 是椭圆 C： +＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P 为 C 上的点， O 为坐标原点． （1）若△POF2 为等边三角形，求 C 的离心率； （2）如果存在点 P，使得 PF1⊥PF2，且△F1PF2 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值 范围． 【分析】（1）根据△POF2 为等边三角形，可得在△F1PF2 中，∠F1PF2＝90°，在根据 直角形和椭圆定义可得； （2）根据三个条件列三个方程，解方程组可得 b＝4，根据 x2＝ （c2﹣b2），所以 c2≥ b2，从而 a2＝b2+c2≥2b2＝32，故 a≥4 ，【解答】解：（1）连接 PF1，由△POF2 为等边三角形可知在△F1PF2 中， ∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝ c，于是 2a＝|PF1|+|PF2|＝（ +1）c， 故曲线 C 的离心率 e＝ ＝﹣1． （2）由题意可知，满足条件的点 P（x，y）存在当且仅当： |y|•2c＝16， •＝﹣1， +＝1， 即 c|y|＝16，① 第 17 页（共 20 页） x2+y2＝c2，② +＝1，③ 由②③及 a2＝b2+c2 得 y2＝ ，又由①知 y2＝ ，故 b＝4， 由②③得 x2＝ （c2﹣b2），所以 c2≥b2，从而 a2＝b2+c2≥2b2＝32，故 a≥4 ，当 b＝4，a≥4 时，存在满足条件的点 P． 所以 b＝4，a 的取值范围为[4 ，+∞）． 【点评】本题考查了双曲线的性质，属中档题． 21．（12 分）已知函数 f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x﹣1．证明： （1）f（x）存在唯一的极值点； （2）f（x）＝0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 【分析】（1）推导出 f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝lnx﹣ ，从而f′（x） 单调递增，进而存在唯一的 x0∈（1，2），使得 f′（x0）＝0．由此能证明 f（x）存在唯 一的极值点． （2）由 f（x0）＜f（1）＝﹣2，f（e2）＝e2﹣3＞0，得到 f（x）＝0 在（x0，+∞）内存 在唯一的根 x＝a，由 a＞x0＞1，得 ，从而 是f（x）＝0 在（0，x0）的唯一 根，由此能证明 f（x）＝0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 【解答】证明：（1）∵函数 f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x﹣1． ∴f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）＝ ∵y＝lnx 单调递增，y＝ 单调递减，∴f′（x）单调递增， 又 f′（1）＝﹣1＜0，f′（2）＝ln2﹣ ＞0， ＝lnx﹣ ， ＝∴存在唯一的 x0∈（1，2），使得 f′（x0）＝0． 当 x＜x0 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当 x＞x0 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， ∴f（x）存在唯一的极值点． 第 18 页（共 20 页） （2）由（1）知 f（x0）＜f（1）＝﹣2， 又 f（e2）＝e2﹣3＞0， ∴f（x）＝0 在（x0，+∞）内存在唯一的根 x＝a， 由 a＞x0＞1，得 ∵f（ ）＝（ ，）ln ﹣＝＝0， ∴是 f（x）＝0 在（0，x0）的唯一根， 综上，f（x）＝0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 【点评】本题考查函数有唯一的极值点的证明，考查函数有且仅有两个实根，且两个实 根互为倒数的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值、极值等基础知识，考查化归 与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22．（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点 M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲线 C：ρ＝4sinθ 上， 直线 l 过点 A（4，0）且与 OM 垂直，垂足为 P． （1）当 θ0＝ （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程． 【分析】（1）把 θ0＝ 直接代入ρ＝4sinθ 即可求得 ρ0，在直线 l 上任取一点（ρ，θ） 时，求 ρ0 及 l 的极坐标方程； ，利用三角形中点边角关系即可求得 l 的极坐标方程； （2）设 P（ρ，θ），在 Rt△OAP 中，根据边与角的关系得答案． 【解答】解：（1）当 θ0＝ 时， ，，在直线 l 上任取一点（ρ，θ），则有 故 l 的极坐标方程为有 ；（2）设 P（ρ，θ），则在 Rt△OAP 中，有 ρ＝4cosθ， ∵P 在线段 OM 上，∴θ∈[ ]， 故 P 点轨迹的极坐标方程为 ρ＝4cosθ，θ∈[ ，，]． 第 19 页（共 20 页） 【点评】本题考查解得曲线的极坐标方程及其应用，画图能够起到事半功倍的作用，是 基础题． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．已知 f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）． （1）当 a＝1 时，求不等式 f（x）＜0 的解集； （2）当 x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求 a 的取值范围． 【分析】（1）将 a＝1 代入得 f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），然后分 x＜1 和 x≥1 两种 情况讨论 f（x）＜0 即可； （2）根据条件分 a≥1 和 a＜1 两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）当 a＝1 时，f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1）， ∵f（x）＜0，∴当 x＜1 时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2＜0，恒成立，∴x＜1； 当 x≥1 时，f（x）＝（x﹣1）（x+|x﹣2|）≥0 恒成立，∴x∈∅； 综上，不等式的解集为（﹣∞，1）； （2）当 a≥1 时，f（x）＝2（a﹣x）（x﹣1）＜0 在 x∈（﹣∞，1）上恒成立； 当 a＜1 时，x∈（a，1），f（x）＝2（x﹣a）＞0，不满足题意， ∴a 的取值范围为：[1，+∞） 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属中档题． 第 20 页（共 20 页）