2012年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)(含解析版)下载

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  • 最近更新2022年10月14日



2012 年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.(5 分)已知集合 A={x|x2﹣x﹣2<0},B={x|﹣1<x<1},则(  ) A.A⊊B B.B⊊A C.A=B D.A∩B=∅ 2.(5 分)复数 z= 的共轭复数是(  ) A.2+i B.2﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i 3.(5 分)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1, x2,…,xn 不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n) 都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的样本相关系数为(  ) A.﹣1 B.0 C. D.1 4.(5 分)设 F1、F2 是椭圆 E: 上一点,△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为(  ) A. B. C. D. +=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 5.(5 分)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象 限,若点(x,y)在△ABC 内部,则 z=﹣x+y 的取值范围是(  ) A.(1﹣ ,2) B.(0,2) C.( ﹣1,2) D.(0,1+ )6.(5 分)如果执行下边的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,… ,an,输出 A,B,则(  ) 第 1 页(共 28 页) A.A+B 为 a1,a2,…,an 的和 B. 为 a1,a2,…,an 的算术平均数 C.A 和 B 分别是 a1,a2,…,an 中最大的数和最小的数 D.A 和 B 分别是 a1,a2,…,an 中最小的数和最大的数 7.(5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视 图,则此几何体的体积为(  ) A.6 B.9 C.12 D.18 8.(5 分)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 第 2 页(共 28 页) ,则此球的体积为(  ) A. B.4 ππC.4 πD.6 π9.(5 分)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= )图象的两条相邻的对称轴,则 φ=(  ) 是函数 f(x)=sin(ωx+φ A. B. C. D. 10.(5 分)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的 准线交于点 A 和点 B,|AB|=4 ,则 C 的实轴长为(  ) A. B. C.4 D.8 11.(5 分)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是(  ) A.(0, 12.(5 分)数列{an}满足 an+1+(﹣1)an=2n﹣1,则{an}的前 60 项和为(  ) A.3690 B.3660 C.1845 D.1830 )B.( ,1) C.(1, )D.( ,2) n 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(5 分)曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为  14.(5 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=   .  . = . 15.(5 分)已知向量 夹角为 45°,且 ,则 16.(5 分)设函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=   . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 .(12 分)已知 a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角 A ,B ,C 的对边, c= asinC﹣ccosA. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 ,求b,c. 第 3 页(共 28 页) 18.(12 分)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以 每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需 求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式. (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得如表: 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 日需求量 n 频数 (i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位 :元)的平均数; (ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求 量发生的概率,求当天的利润不少于 75 元的概率. 19.(12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点. (Ⅰ)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. 第 4 页(共 28 页) 20.(12 分)设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A∈C,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点; (1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个 公共点,求坐标原点到 m,n 距离的比值. 21.(12 分)设函数 f(x)=ex﹣ax﹣2. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x﹣k)f′(x)+x+1>0,求 k 的最大 值. 22.(10 分)如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的 外接圆于 F,G 两点,若 CF∥AB,证明: (1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD. 第 5 页(共 28 页) 23.选修 4﹣4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 (φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的 正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C2 的坐标系方程是 ρ=2,正方形 ABCD 的顶 点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ).(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围. 24.已知函数 f(x)=|x+a|+|x﹣2| ①当 a=﹣3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; ②f(x)≤|x﹣4|若的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.  第 6 页(共 28 页) 2012 年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标) 参考答案与试题解析  一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.(5 分)已知集合 A={x|x2﹣x﹣2<0},B={x|﹣1<x<1},则(  ) A.A⊊B B.B⊊A C.A=B D.A∩B=∅ 【考点】18:集合的包含关系判断及应用.菁优网版权所有 【专题】5J:集合. 【分析】先求出集合 A,然后根据集合之间的关系可判断 【解答】解:由题意可得,A={x|﹣1<x<2}, ∵B={x|﹣1<x<1}, 在集合 B 中的元素都属于集合 A,但是在集合 A 中的元素不一定在集合 B 中,例 如 x= ∴B⊊A. 故选:B. 【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断,属于基础试题.  2.(5 分)复数 z= A.2+i 的共轭复数是(  ) B.2﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i 【考点】A1:虚数单位 i、复数;A5:复数的运算.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,把复数化为 a+bi 的形式, 然后求法共轭复数即可. 第 7 页(共 28 页) 【解答】解:复数 z= ===﹣1+i. 所以复数的共轭复数为:﹣1﹣i. 故选:D. 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的基本概念,考查计算能力 . 3.(5 分)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1, x2,…,xn 不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n) 都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的样本相关系数为(  ) A.﹣1 B.0 C. D.1 【考点】BS:相关系数.菁优网版权所有 【专题】29:规律型. 【分析】所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线 y= x+1 上,故这组样 本数据完全正相关,故其相关系数为 1. 【解答】解:由题设知,所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线 y= x+1 上, ∴这组样本数据完全正相关,故其相关系数为 1, 故选:D. 【点评】本题主要考查样本的相关系数,是简单题.  4.(5 分)设 F1、F2 是椭圆 E: +=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为(  ) A. B. C. D. 【考点】K4:椭圆的性质.菁优网版权所有 第 8 页(共 28 页) 【专题】11:计算题. 【分析】利用△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,根据 P 为 直线 x= 上一点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率. 【解答】解:∵△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形, ∴|PF2|=|F2F1| ∵P 为直线 x= 上一点 ∴∴故选:C. 【点评】本题考查椭圆的几何性质,解题的关键是确定几何量之间的关系,属于 基础题.  5.(5 分)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象 限,若点(x,y)在△ABC 内部,则 z=﹣x+y 的取值范围是(  ) A.(1﹣ ,2) B.(0,2) C.( ﹣1,2) D.(0,1+ )【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】由 A,B 及△ABC 为正三角形可得,可求 C 的坐标,然后把三角形的各 第 9 页(共 28 页) 顶点代入可求 z 的值,进而判断最大与最小值,即可求解范围 【解答】解:设 C(a,b),(a>0,b>0) 由 A(1,1),B(1,3),及△ABC 为正三角形可得,AB=AC=BC=2 即(a﹣1)2+(b﹣1)2=(a﹣1)2+(b﹣3)2=4 ∴b=2,a=1+ 即 C(1+ ,2) 则此时直线 AB 的方程 x=1,AC 的方程为 y﹣1= (x﹣1), 直线 BC 的方程为 y﹣3=﹣ (x﹣1) 当直线 x﹣y+z=0 经过点 A(1,1)时,z=0,经过点 B(1,3)z=2,经过点 C(1+ ,2)时,z=1﹣ ∴故选:A. 【点评】考查学生线性规划的理解和认识,考查学生的数形结合思想.属于基本 题型.  6.(5 分)如果执行右边的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,… ,an,输出 A,B,则(  ) 第 10 页(共 28 页) A.A+B 为 a1,a2,…,an 的和 B. 为 a1,a2,…,an 的算术平均数 C.A 和 B 分别是 a1,a2,…,an 中最大的数和最小的数 D.A 和 B 分别是 a1,a2,…,an 中最小的数和最大的数 【考点】E7:循环结构.菁优网版权所有 【专题】5K:算法和程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是求出 a1,a2,…,an 中最大的数和最小的数. 【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序, 可知,该程序的作用是:求出 a1,a2,…,an 中最大的数和最小的数 其中 A 为 a1,a2,…,an 中最大的数,B 为 a1,a2,…,an 中最小的数 故选:C. 第 11 页(共 28 页) 【点评】本题主要考查了循环结构,解题的关键是建立数学模型,根据每一步分 析的结果,选择恰当的数学模型,属于中档题.  7.(5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视 图,则此几何体的体积为(  ) A.6 B.9 C.12 D.18 【考点】L!:由三视图求面积、体积.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】通过三视图判断几何体的特征,利用三视图的数据求出几何体的体积即 可. 【解答】解:该几何体是三棱锥,底面是俯视图,三棱锥的高为 3; 底面三角形斜边长为 6,高为 3 的等腰直角三角形, 此几何体的体积为 V= 故选:B. ×6×3×3=9. 【点评】本题考查三视图与几何体的关系,考查几何体的体积的求法,考查计算 能力.  8.(5 分)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 ,则此球的体积为(  ) A. πB.4 πC.4 πD.6 π第 12 页(共 28 页) 【考点】LG:球的体积和表面积.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】利用平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离 为,求出球的半径,然后求解球的体积. 【解答】解:因为平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的 距离为 ,所以球的半径为: 所以球的体积为: 故选:B. =.=4 π. 【点评】本题考查球的体积的求法,考查空间想象能力、计算能力.  9.(5 分)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= )图象的两条相邻的对称轴,则 φ=(  ) 是函数 f(x)=sin(ωx+φ A. B. C. D. 【考点】HK:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期,利用对称轴以及 φ 的范围,确定 φ 的值即可. 【解答】解:因为直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相 邻的对称轴, 所以 T= 是最大值与最小值,0<φ<π, =2π.所以 ω=1,并且 sin( +φ)与 sin( +φ)分别 所以 φ= .故选:A. 【点评】本题考查三角函数的解析式的求法,注意函数的最值的应用,考查计算 能力. 第 13 页(共 28 页)  10.(5 分)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的 准线交于点 A 和点 B,|AB|=4 ,则 C 的实轴长为(  ) A. B. C.4 D.8 【考点】KI:圆锥曲线的综合.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】设等轴双曲线 C:x2﹣y2=a2(a>0),y2=16x 的准线 l:x=﹣4,由 C 与 抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点, ,能求出 C 的实轴长. 【解答】解:设等轴双曲线 C:x2﹣y2=a2(a>0), y2=16x 的准线 l:x=﹣4, ∵C 与抛物线 y2=16x 的准线 l:x=﹣4 交于 A,B 两点, ∴A(﹣4,2 ),B(﹣4,﹣2 ), 将 A 点坐标代入双曲线方程得 =4, ∴a=2,2a=4. 故选:C. 【点评】本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖 掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.  11.(5 分)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是(  ) A.(0, )B.( ,1) C.(1, )D.( ,2) 【考点】7J:指、对数不等式的解法.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质,将已知不等式转化为不等式恒成 立问题加以解决即可 第 14 页(共 28 页) 【解答】解:∵0<x≤ 时,1<4x≤2 要使 4x<logax,由对数函数的性质可得 0<a<1, 数形结合可知只需 2<logax, ∴即∴对 0<x≤ 时恒成立 解得 <a<1 故选:B. 【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质,不等式恒成立问题 的一般解法,属基础题  n12.(5 分)数列{an}满足 an+1+(﹣1)an=2n﹣1,则{an}的前 60 项和为(  ) A.3690 B.3660 C.1845 D.1830 【考点】8E:数列的求和.菁优网版权所有 【专题】54:等差数列与等比数列. 【分析】由题意可得 a2﹣a1=1,a3+a2=3,a4﹣a3=5,a5+a4=7,a6﹣a5=9,a7+a6=11 第 15 页(共 28 页) ,…a50﹣a49=97,变形可得 a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a7=2,a12+a10=40,a13+a11=2,a16+a14=56 ,…利用 数列的结构特征,求出{an}的前 60 项和. n【解答】解:由于数列{an}满足 an+1+(﹣1) an=2n﹣1,故有 a2﹣a1=1,a3+a2=3 ,a4﹣a3=5, a5+a4=7,a6﹣a5=9,a7+a6=11,…a50﹣a49=97. 从而可得 a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a11+a9=2,a12+a10=40,a15+a13=2 ,a16+a14=56,… 从第一项开始,依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2, 从第二项开始,依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 8 为首项,以 16 为公差的等 差数列. {an}的前 60 项和为 15×2+(15×8+ 故选:D. )=1830, 【点评】本题主要考查数列求和的方法,等差数列的求和公式,注意利用数列的 结构特征,属于中档题.  二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(5 分)曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 y=4x﹣3 . 【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】先求导函数,求出切线的斜率,再求切线的方程. 【解答】解:求导函数,可得 y′=3lnx+4, 当 x=1 时,y′=4, ∴曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 y﹣1=4(x﹣1),即 y=4x﹣3 .第 16 页(共 28 页) 故答案为:y=4x﹣3. 【点评】本题考查导数的几何意义,考查点斜式求直线的方程,属于基础题.  14.(5 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q= ﹣2 . 【考点】89:等比数列的前 n 项和.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】由题意可得,q≠1,由 S3+3S2=0,代入等比数列的求和公式可求 q 【解答】解:由题意可得,q≠1 ∵S3+3S2=0 ∴∴q3+3q2﹣4=0 ∴(q﹣1)(q+2)2=0 ∵q≠1 ∴q=﹣2 故答案为:﹣2 【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用,解题中要注意公比 q 是否 为 1  15.(5 分)已知向量 夹角为 45°,且 ,则 = 3  .【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算;9S:数量积表示两个向量的夹 角.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【 分 析 】 由 已 知 可 得 , =, 代 入 第 17 页(共 28 页) |2 |= ===可求 【解答】解:∵ ∴,=1 =∴|2 |= ===解得 故答案为:3 【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用,向量的数量积性质| |= 是求解向量的模常用的方法  16.(5 分)设函数 f(x)= 2 . 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=  【考点】3N:奇偶性与单调性的综合.菁优网版权所有 【专题】15:综合题;16:压轴题. 【分析】函数可化为 f(x)= =,令 ,则 为奇函数,从而函数 的最大值与最小值的和为 0 ,由此可得函数 f(x)= 的最大值与最小值的和. 【解答】解:函数可化为 f(x)= =,令∴,则 为奇函数, 的最大值与最小值的和为 0. ∴函数 f(x)= 的最大值与最小值的和为 1+1+0=2. 第 18 页(共 28 页) 即 M+m=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查函数的最值,考查函数的奇偶性,解题的关键是将函数化简, 转化为利用函数的奇偶性解题.  三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 .(12 分)已知 a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角 A ,B ,C 的对边, c= asinC﹣ccosA. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 ,求b,c. 【考点】HU:解三角形.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】(1)由正弦定理有: sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0,可以求出 A; (2)有三角形面积以及余弦定理,可以求出 b、c. 【解答】解:(1)c= asinC﹣ccosA,由正弦定理有: sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0,即 sinC•( sinA﹣cosA﹣1)=0, 又,sinC≠0, 所以 sinA﹣cosA﹣1=0,即 2sin(A﹣ )=1, 所以 A= ;(2)S△ABC= bcsinA=,所以 bc=4, a=2,由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA,即 4=b2+c2﹣bc, 即有 ,解得 b=c=2. 【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式 的综合应用,诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础, 第 19 页(共 28 页) 解题的关键是熟练掌握基本公式  18.(12 分)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以 每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需 求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式. (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得如表: 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 日需求量 n 频数 (i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位 :元)的平均数; (ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求 量发生的概率,求当天的利润不少于 75 元的概率. 【考点】36:函数解析式的求解及常用方法;BB:众数、中位数、平均数;CS: 概率的应用.菁优网版权所有 【专题】15:综合题;5I:概率与统计. 【分析】(Ⅰ)根据卖出一枝可得利润 5 元,卖不出一枝可得赔本 5 元,即可建 立分段函数; (Ⅱ)(i)这 100 天的日利润的平均数,利用 100 天的销售量除以 100 即可得 到结论; (ii)当天的利润不少于 75 元,当且仅当日需求量不少于 16 枝,故可求当天的 利润不少于 75 元的概率. 【解答】解:(Ⅰ)当日需求量 n≥17 时,利润 y=85;当日需求量 n<17 时, 利润 y=10n﹣85;(4 分) ∴利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式 (n∈N*)(6 分) (Ⅱ)(i)这 100 天的日利润的平均数为 元;(9 分) 第 20 页(共 28 页) (ii)当天的利润不少于 75 元,当且仅当日需求量不少于 16 枝,故当天的利润 不少于 75 元的概率为 P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.(12 分) 【点评】本题考查函数解析式的确定,考查概率知识,考查利用数学知识解决实 际问题,属于中档题.  19.(12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点. (Ⅰ)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. 【考点】L2:棱柱的结构特征;LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LY:平面与平面 垂直.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;14:证明题. 【分析】(Ⅰ)由题意易证 DC1⊥平面 BDC,再由面面垂直的判定定理即可证得 平面 BDC1⊥平面 BDC; (Ⅱ)设棱锥 B﹣DACC1 的体积为 V1,AC=1,易求 V1= × ×1×1= ,三棱 柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 V=1,于是可得(V﹣V1):V1=1:1,从而可得答案. 【解答】证明:(1)由题意知 BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C, ∴BC⊥平面 ACC1A1,又 DC1⊂平面 ACC1A1, ∴DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°, 第 21 页(共 28 页) ∴∠CDC1=90°,即 DC1⊥DC,又 DC∩BC=C, ∴DC1⊥平面 BDC,又 DC1⊂平面 BDC1, ∴平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)设棱锥 B﹣DACC1 的体积为 V1,AC=1,由题意得 V1= × ×1×1= , 又三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 V=1, ∴(V﹣V1):V1=1:1, ∴平面 BDC1 分此棱柱两部分体积的比为 1:1. 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,着重考查线面垂直的判定定理的应用 与棱柱、棱锥的体积,考查分析,表达与运算能力,属于中档题.  20.(12 分)设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A∈C,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点; (1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个 公共点,求坐标原点到 m,n 距离的比值. 【考点】J1:圆的标准方程;K8:抛物线的性质;KI:圆锥曲线的综合.菁优网版权所有 【专题】15:综合题;16:压轴题. 【分析】(1)由对称性知:△BFD 是等腰直角△,斜边|BD|=2p 点 A 到准线 l 的 距 离 , 由 △ ABD 的 面 积S △ ABD =, 知 =,由此能求出圆 F 的方程. (2)由对称性设 ,则 点 A,B 关于点 F 对称得: ,得: ,由此能求出坐标 原点到 m,n 距离的比值. 【解答】解:(1)由对称性知:△BFD 是等腰直角△,斜边|BD|=2p 点 A 到准线 l 的距离 ,第 22 页(共 28 页) ∵△ABD 的面积 S△ABD =,∴=,解得 p=2,所以 F 坐标为(0,1), ∴圆 F 的方程为 x2+(y﹣1)2=8. (2)由题设 ,则 ,∵A,B,F 三点在同一直线 m 上, 又 AB 为圆 F 的直径,故 A,B 关于点 F 对称. 由点 A,B 关于点 F 对称得: 得:,直线,切点 直线 坐标原点到 m,n 距离的比值为 .【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用,具体涉及到抛物线的简 单性质、圆的性质、导数的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理 地进行等价转化.  21.(12 分)设函数 f(x)=ex﹣ax﹣2. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x﹣k)f′(x)+x+1>0,求 k 的最大 值. 【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数研究函数的最值.菁优网版权所有 【专题】15:综合题;16:压轴题;32:分类讨论;35:转化思想. 【分析】(Ⅰ)求函数的单调区间,可先求出函数的导数,由于函数中含有字母 第 23 页(共 28 页) a,故应按 a 的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性,给出单调区间; (II)由题设条件结合(I),将不等式,(x﹣k) f´(x)+x+1>0 在 x>0 时成 立转化为 k< (x>0)成立,由此问题转化为求 g(x)= 在 x> 0 上的最小值问题,求导,确定出函数的最小值,即可得出 k 的最大值; 【解答】解:(I)函数 f(x)=ex﹣ax﹣2 的定义域是 R,f′(x)=ex﹣a, 若 a≤0,则 f′(x)=ex﹣a≥0,所以函数 f(x)=ex﹣ax﹣2 在(﹣∞,+∞)上 单调递增. 若 a>0,则当 x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)=ex﹣a<0; 当 x∈(lna,+∞)时,f′(x)=ex﹣a>0; 所以,f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增. (II)由于 a=1,所以,(x﹣k) f´(x)+x+1=(x﹣k) (ex﹣1)+x+1 故当 x>0 时,(x﹣k) f´(x)+x+1>0 等价于 k< (x>0)① 令 g(x)= ,则 g′(x)= 由(I)知,当 a=1 时,函数 h(x)=ex﹣x﹣2 在(0,+∞)上单调递增, 而 h(1)<0,h(2)>0, 所以 h(x)=ex﹣x﹣2 在(0,+∞)上存在唯一的零点, 故 g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,设此零点为 α,则有 α∈(1,2) 当 x∈(0,α)时,g′(x)<0;当 x∈(α,+∞)时,g′(x)>0; 所以 g(x)在(0,+∞)上的最小值为 g(α). 又由 g′(α)=0,可得 eα=α+2 所以 g(α)=α+1∈(2,3) 由于①式等价于 k<g(α),故整数 k 的最大值为 2. 【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性,解题的 关键是第一小题应用分类的讨论的方法,第二小题将问题转化为求函数的最 小值问题,本题考查了转化的思想,分类讨论的思想,考查计算能力及推理 判断的能力,综合性强,是高考的重点题型,难度大,计算量也大,极易出 第 24 页(共 28 页) 错.  22.(10 分)如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的 外接圆于 F,G 两点,若 CF∥AB,证明: (1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD. 【考点】N4:相似三角形的判定.菁优网版权所有 【专题】14:证明题. 【分析】(1)根据 D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,可得 DE∥BC,证明 四边形 ADCF 是平行四边形,即可得到结论; (2)证明两组对应角相等,即可证得△BCD~△GBD. 【解答】证明:(1)∵D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点 ∴DF∥BC,AD=DB ∵AB∥CF,∴四边形 BDFC 是平行四边形 ∴CF∥BD,CF=BD ∴CF∥AD,CF=AD ∴四边形 ADCF 是平行四边形 ∴AF=CD ∵,∴BC=AF,∴CD=BC. (2)由(1)知 ,所以 .所以∠BGD=∠DBC. 因为 GF∥BC,所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC. 所以△BCD~△GBD. 第 25 页(共 28 页) 【点评】本题考查几何证明选讲,考查平行四边形的证明,考查三角形的相似, 属于基础题.  23.选修 4﹣4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 (φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的 正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C2 的坐标系方程是 ρ=2,正方形 ABCD 的顶 点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ).(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围. 【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;Q8:点的极坐标和直角坐标的互化;QL: 椭圆的参数方程.菁优网版权所有 【专题】15:综合题;16:压轴题. 【分析】(1)确定点 A,B,C,D 的极坐标,即可得点 A,B,C,D 的直角坐标 ;( 2 ) 利 用 参 数 方 程 设 出P 的 坐 标 , 借 助 于 三 角 函 数 , 即 可 求 得 |PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围. 【 解 答 】 解 : ( 1 ) 点A , B , C , D 的 极 坐 标 为 点 A,B,C,D 的直角坐标为 (2)设 P(x0,y0),则 为参数) 第 26 页(共 28 页) t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4×2+4y2+16=32+20sin2φ ∵sin2φ∈[0,1] ∴t∈[32,52] 【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查圆的参数方程的运用,属于中 档题.  24.已知函数 f(x)=|x+a|+|x﹣2| ①当 a=﹣3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; ②f(x)≤|x﹣4|若的解集包含[1,2],求 a 的取值范围. 【考点】R5:绝对值不等式的解法.菁优网版权所有 【专题】17:选作题;59:不等式的解法及应用;5T:不等式. 【分析】①不等式等价于 ,或 ,或 ,求出每个不等式组的解集,再取并集即得所求. ②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[1,2]上恒成立,由此求得求 a 的取值范围. 【解答】解:(1)当 a=﹣3 时,f(x)≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即 ,可得 x≤1; ,可得 x∈∅; ,可得 x≥4. 取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1 或 x≥4}. (2)原命题即 f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x 在[1 ,2]上恒成立, 等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[1,2]上恒成立. 故当 1≤x≤2 时,﹣2﹣x 的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x 的最小值为 0, 故 a 的取值范围为[﹣3,0]. 第 27 页(共 28 页) 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价 的不等式组来解,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 第 28 页(共 28 页)

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