2018 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(5 分)已知集合 A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则 A∩B=( ) A.{0} 2.(5 分)(1+i)(2﹣i)=( ) A.﹣3﹣i B.﹣3+i B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} C.3﹣i D.3+i 3.(5 分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头, 凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件 与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可 以是( ) A. C. B. D. 4.(5 分)若 sinα= ,则 cos2α=( ) A. B. C.﹣ 5.(5 分)(x2+ )5 的展开式中 x4 的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.﹣ D.80 6.(5 分)直线 x+y+2=0 分别与 x 轴,y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆(x﹣2) 2+y2=2 上,则△ABP 面积的取值范围是( ) 第 1 页(共 31 页) A.[2,6] B.[4,8] C.[ ,3 ]D.[2 ,3 ]7.(5 分)函数 y=﹣x4+x2+2 的图象大致为( ) A. B. C. D. 8.(5 分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p,各成员的支付方式 相互独立.设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P( x=4)<P(X=6),则 p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 9.(5 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若△ABC 的面积为 ,则 C=( ) A. B. C. D. 10.(5 分)设 A,B,C,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点,△ABC 为等 边三角形且面积为 9 ,则三棱锥 D﹣ABC 体积的最大值为( ) A.12 B.18 C.24 D.54 11.(5 分)设 F1,F2 是双曲线 C: ﹣=1(a>0.b>0)的左,右焦点,O 是坐标原点.过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P,若|PF1|= |OP|, 则 C 的离心率为( ) A. B.2 C. D. 第 2 页(共 31 页) 12.(5 分)设 a=log0.20.3,b=log20.3,则( ) A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.(5 分)已知向量 =(1,2), =(2,﹣2), =(1,λ).若 ∥(2 + ),则 λ= . 14.(5 分)曲线 y=(ax+1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,则 a= . 15.(5 分)函数 f(x)=cos(3x+ )在[0,π]的零点个数为 16.(5 分)已知点 M(﹣1,1)和抛物线 C:y2=4x,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B 两点.若∠AMB=90°,则 k= . . 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要 求作答。(一)必考题:共 60 分。 17.(12 分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通项公式; (2)记 Sn 为{an}的前 n 项和.若 Sm=63,求 m. 第 3 页(共 31 页) 18.(12 分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生 产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取 40 名工人, 将他们随机分成两组,每组 20 人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工 人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制 了如下茎叶图: (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; (2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m,并将完成生产任务所需时 间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表: 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据(2)中的列联表,能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 ?附:K2= P(K2≥k) ,0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 k10.828 第 4 页(共 31 页) 19.(12 分)如图,边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 所在平面 垂直,M 是 上异于C,D 的点. (1)证明:平面 AMD⊥平面 BMC; (2)当三棱锥 M﹣ABC 体积最大时,求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦 值. 20.(12 分)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C: ++=1 交于 A,B 两点,线 段 AB 的中点为 M(1,m)(m>0). (1)证明:k<﹣ ; (2)设 F 为 C 的右焦点,P 为 C 上一点,且 |成等差数列,并求该数列的公差. += .证明:| |,| |,| 21.(12 分)已知函数 f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x. (1)若 a=0,证明:当﹣1<x<0 时,f(x)<0;当 x>0 时,f(x)>0; 第 5 页(共 31 页) (2)若 x=0 是 f(x)的极大值点,求 a. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做, 则按所做的第一题计分。[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 22.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,⊙O 的参数方程为 ,(θ 为 参数),过点(0,﹣ )且倾斜角为 α 的直线 l 与⊙O 交于 A,B 两点. (1)求 α 的取值范围; (2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程. [选修 4-5:不等式选讲](10 分) 23.设函数 f(x)=|2x+1|+|x﹣1|. (1)画出 y=f(x)的图象; (2)当 x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求 a+b 的最小值. 第 6 页(共 31 页) 第 7 页(共 31 页) 2018 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ) 参考答案与试题解析 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(5 分)已知集合 A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则 A∩B=( ) A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} 【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有 【专题】37:集合思想;4A:数学模型法;5J:集合. 【分析】求解不等式化简集合 A,再由交集的运算性质得答案. 【解答】解:∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1},B={0,1,2}, ∴A∩B={x|x≥1}∩{0,1,2}={1,2}. 故选:C. 【点评】本题考查了交集及其运算,是基础题. 2.(5 分)(1+i)(2﹣i)=( ) A.﹣3﹣i B.﹣3+i C.3﹣i D.3+i 【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有 【专题】38:对应思想;4A:数学模型法;5N:数系的扩充和复数. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:(1+i)(2﹣i)=3+i. 故选:D. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题. 3.(5 分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头, 第 8 页(共 31 页) 凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件 与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可 以是( ) A. B. D. C. 【考点】L7:简单空间图形的三视图.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离. 【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法,判断选项的正误即可. 【解答】解:由题意可知,如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方 体,小的长方体,是榫头,从图形看出,轮廓是长方形,内含一个长方形, 并且一条边重合,另外 3 边是虚线,所以木构件的俯视图是 A. 故选:A. 【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法,是基本知识的考查. 4.(5 分)若 sinα= ,则 cos2α=( ) A. B. C.﹣ D.﹣ 第 9 页(共 31 页) 【考点】GS:二倍角的三角函数.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;56:三角函数的求值. 【分析】cos2α=1﹣2sin2α,由此能求出结果. 【解答】解:∵sinα= , ∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2× = . 故选:B. 【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法,考查二倍角公式等基础知识,考查运 算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 5.(5 分)(x2+ )5 的展开式中 x4 的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5P:二项式定理. 【分析】由二项式定理得(x2+ )5 的展开式的通项为: Tr+1= (x2)5﹣r( )r= ,由 10﹣3r=4,解得 r=2,由此能求出 (x2+ )5 的展开式中 x4 的系数. 【解答】解:由二项式定理得(x2+ )5 的展开式的通项为: Tr+1= (x2)5﹣r( )r= ,由 10﹣3r=4,解得 r=2, ∴(x2+ )5 的展开式中 x4 的系数为 故选:C. =40. 【点评】本题考查二项展开式中 x4 的系数的求法,考查二项式定理、通项公式 等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 6.(5 分)直线 x+y+2=0 分别与 x 轴,y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆 第 10 页(共 31 页) (x﹣2)2+y2=2 上,则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2,6] B.[4,8] C.[ ,3 ]D.[2 ,3 ]【考点】J9:直线与圆的位置关系.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5B:直线与圆. 【分析】求出 A(﹣2,0),B(0,﹣2),|AB|=2 ,设 P(2+ ),点 P 到直线 x+y+2=0 的距离: ,d= =∈[ ], 由此能求出△ABP 面积的取值范围. 【解答】解:∵直线 x+y+2=0 分别与 x 轴,y 轴交于 A,B 两点, ∴令 x=0,得 y=﹣2,令 y=0,得 x=﹣2, ∴A(﹣2,0),B(0,﹣2),|AB|= =2 ,∵点 P 在圆(x﹣2)2+y2=2 上,∴设 P(2+ ∴点 P 到直线 x+y+2=0 的距离: ,), d= =,∵sin( )∈[﹣1,1],∴d= ∈[ ], ∴△ABP 面积的取值范围是: [,]=[2,6]. 故选:A. 【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法,考查直线方程、点到直线的距 离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识,考查运算求解能力,考 查函数与方程思想,是中档题. 7.(5 分)函数 y=﹣x4+x2+2 的图象大致为( ) 第 11 页(共 31 页) A. B. C. D. 【考点】3A:函数的图象与图象的变换.菁优网版权所有 【专题】38:对应思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用. 【分析】根据函数图象的特点,求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可. 【解答】解:函数过定点(0,2),排除 A,B. 函数的导数 f′(x)=﹣4×3+2x=﹣2x(2×2﹣1), 由 f′(x)>0 得 2x(2×2﹣1)<0, 得 x<﹣ 或 0<x< ,此时函数单调递增, 由 f′(x)<0 得 2x(2×2﹣1)>0, 得 x> 或﹣ <x<0,此时函数单调递减,排除 C, 也可以利用 f(1)=﹣1+1+2=2>0,排除 A,B, 故选:D. 【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断,利用函数过定点以及判断函数 的单调性是解决本题的关键. 8.(5 分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p,各成员的支付方式 相互独立.设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P( 第 12 页(共 31 页) x=4)<P(X=6),则 p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;49:综合法;5I:概率与 统计. 【分析】利用已知条件,转化为二项分布,利用方差转化求解即可. 【解答】解:某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p,看做是独立重复 事件,满足 X~B(10,p), P(x=4)<P(X=6),可得 可得 1﹣2p<0.即 p ,.因为 DX=2.4,可得 10p(1﹣p)=2.4,解得 p=0.6 或 p=0.4(舍去). 故选:B. 【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法,独立重复事件的 应用,考查转化思想以及计算能力. 9.(5 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若△ABC 的面积为 ,则 C=( ) A. B. C. D. 【考点】HR:余弦定理.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;58:解三角形. 【分析】推导出 S△ABC ==,从而 sinC= =cosC,由 此能求出结果. 【解答】解:∵△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. △ABC 的面积为 ∴S△ABC ,==,第 13 页(共 31 页) ∴sinC= =cosC, ∵0<C<π,∴C= 故选:C. .【点评】本题考查三角形内角的求法,考查余弦定理、三角形面积公式等基础知 识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 10.(5 分)设 A,B,C,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点,△ABC 为等 边三角形且面积为 9 ,则三棱锥 D﹣ABC 体积的最大值为( ) A.12 B.18 C.24 D.54 【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LG:球的体积和表面积.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;31:数形结合;34:方程思想;35:转化思想;49:综合 法;5F:空间位置关系与距离. 【分析】求出,△ABC 为等边三角形的边长,画出图形,判断 D 的位置,然后 求解即可. 【解答】解:△ABC 为等边三角形且面积为 9 ,可得 AB=6, ,解得 球心为 O,三角形 ABC 的外心为 O′,显然 D 在 O′O 的延长线与球的交点如图: O′C= ,OO′= =2, =则三棱锥 D﹣ABC 高的最大值为:6, 则三棱锥 D﹣ABC 体积的最大值为: 故选:B. =18 .【点评】本题考查球的内接多面体,棱锥的体积的求法,考查空间想象能力以及 第 14 页(共 31 页) 计算能力. 11.(5 分)设 F1,F2 是双曲线 C: ﹣=1(a>0.b>0)的左,右焦点,O 是坐标原点.过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P,若|PF1|= |OP|, 则 C 的离心率为( ) A. B.2 C. D. 【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;38:对应思想;4R:转化法;5D:圆锥曲线的定义、性 质与方程. 【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|=b,再求出|OP|=a,在三角形 F1PF2 中, 由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2O,代值化简整理可 得a=c,问题得以解决. 【解答】解:双曲线 C: ∴点 F2 到渐近线的距离 d= ﹣=1(a>0.b>0)的一条渐近线方程为 y= x, =b,即|PF2|=b, ∴|OP|= ==a,cos∠PF2O= , ∵|PF1|= |OP|, ∴|PF1|= a, 在三角形 F1PF2 中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O, ∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c× =4c2﹣3b2=4c2﹣3(c2﹣a2), 即 3a2=c2, 即a=c, ∴e= = ,故选:C. 【点评】本题考查了双曲线的简单性质,点到直线的距离公式,余弦定理,离心 第 15 页(共 31 页) 率,属于中档题. 12.(5 分)设 a=log0.20.3,b=log20.3,则( ) A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b 【考点】4M:对数值大小的比较.菁优网版权所有 【专题】33:函数思想;48:分析法;51:函数的性质及应用. 【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案. 【解答】解:∵a=log0.20.3= ,b=log20.3= ,∴=,,∵,,∴ab<a+b<0. 故选:B. 【点评】本题考查了对数值大小的比较,考查了对数的运算性质,是中档题. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.(5 分)已知向量 =(1,2), =(2,﹣2), =(1,λ).若 ∥(2 + ),则 λ= . 【考点】96:平行向量(共线);9J:平面向量的坐标运算.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5A:平面向量及应用. 【分析】利用向量坐标运算法则求出 =(4,2),再由向量平行的性质能求 出 λ 的值. 【解答】解:∵向量 =(1,2), =(2,﹣2), 第 16 页(共 31 页) ∴=(4,2), ∵ =(1,λ), ∥(2 + ), ∴,解得 λ= . 故答案为: . 【点评】本题考查实数值的求法,考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基 础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 14.(5 分)曲线 y=(ax+1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,则 a= ﹣3 .【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;53:导数的综合应用. 【分析】球心函数的导数,利用切线的斜率列出方程求解即可. 【解答】解:曲线 y=(ax+1)ex,可得 y′=aex+(ax+1)ex, 曲线 y=(ax+1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2, 可得:a+1=﹣2,解得 a=﹣3. 故答案为:﹣3. 【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法,考查转化思想以及计算 能力. 15.(5 分)函数 f(x)=cos(3x+ )在[0,π]的零点个数为 3 . 【考点】51:函数的零点.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;38:对应思想;4O:定义法;57:三角函数的图像与性 质. 第 17 页(共 31 页) 【分析】由题意可得 f(x)=cos(3x+ )=0,可得 3x+ x= +kπ,即可求出. =+kπ,k∈Z,即 【解答】解:∵f(x)=cos(3x+ )=0, ∴3x+ ∴x= +kπ,k∈Z, 当 k=0 时,x= =+kπ,k∈Z, ,当 k=1 时,x= π, 当 k=2 时,x= π, 当 k=3 时,x= π, ∵x∈[0,π], ∴x= ,或 x= π,或 x= π, 故零点的个数为 3, 故答案为:3 【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题,属于基础题. 16.(5 分)已知点 M(﹣1,1)和抛物线 C:y2=4x,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B 两点.若∠AMB=90°,则 k= 2 . 【考点】K8:抛物线的性质;KN:直线与抛物线的综合.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;49:综合法;5D:圆锥 曲线的定义、性质与方程. 【分析】由已知可求过 A,B 两点的直线方程为 y=k(x﹣1),然后联立直线与 抛物线方程组可得,k2x2﹣2(2+k2)x+k2=0,可表示 x1+x2,x1x2,y1+y2,y1y2 ,由∠AMB=90°,向量的数量积为 0,代入整理可求 k. 【解答】解:∵抛物线 C:y2=4x 的焦点 F(1,0), 第 18 页(共 31 页) ∴过 A,B 两点的直线方程为 y=k(x﹣1), 联立 可得,k2x2﹣2(2+k2)x+k2=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= ,x1x2=1, ∴y1+y2=k(x1+x2﹣2)= , y1y2=k2(x1﹣1)(x2﹣1)=k2[x1x2﹣(x1+x2)+1]=﹣4, ∵M(﹣1,1), ∴=(x1+1,y1﹣1), =(x2+1,y2﹣1), ∵∠AMB=90°,∴ =0 •∴(x1+1)(x2+1)+(y1﹣1)(y2﹣1)=0, 整理可得,x1x2+(x1+x2)+y1y2﹣(y1+y2)+2=0, ∴1+2+ ﹣4﹣ +2=0, 即 k2﹣4k+4=0, ∴k=2. 故答案为:2 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用,解题的难点是本题 具有较大的计算量. 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要 求作答。(一)必考题:共 60 分。 17.(12 分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通项公式; (2)记 Sn 为{an}的前 n 项和.若 Sm=63,求 m. 第 19 页(共 31 页) 【考点】89:等比数列的前 n 项和.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;54:等差数列与等比数列. 【分析】(1)利用等比数列通项公式列出方程,求出公比 q=±2,由此能求出{an} 的通项公式. (2)当 a1=1,q=﹣2 时,Sn= ,由 Sm=63,得 Sm= =63,m∈N, 无解;当 a1=1,q=2 时,Sn=2n﹣1,由此能求出 m. 【解答】解:(1)∵等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. ∴1×q4=4×(1×q2), 解得 q=±2, 当 q=2 时,an=2n﹣1 ,当 q=﹣2 时,an=(﹣2)n﹣1 ,∴{an}的通项公式为,an=2n﹣1,或 an=(﹣2)n﹣1 (2)记 Sn 为{an}的前 n 项和. .当 a1=1,q=﹣2 时,Sn= 由 Sm=63,得 Sm= ==,=63,m∈N,无解; =2n﹣1, 当 a1=1,q=2 时,Sn= =由 Sm=63,得 Sm=2m﹣1=63,m∈N, 解得 m=6. 【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法,考查等比数列的性质等基础知识 ,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 18.(12 分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生 产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取 40 名工人, 将他们随机分成两组,每组 20 人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工 第 20 页(共 31 页) 人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制 了如下茎叶图: (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; (2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m,并将完成生产任务所需时 间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表: 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据(2)中的列联表,能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 ?附:K2= P(K2≥k) ,0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 k10.828 【考点】BL:独立性检验.菁优网版权所有 【专题】38:对应思想;4A:数学模型法;5I:概率与统计. 【分析】(1)根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些,效 率更高; (2)根据茎叶图中的数据计算它们的中位数,再填写列联表; (3)列联表中的数据计算观测值,对照临界值得出结论. 【解答】解:(1)根据茎叶图中的数据知, 第一种生产方式的工作时间主要集中在 72~92 之间, 第二种生产方式的工作时间主要集中在 65~85 之间, 所以第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高; (2)这 40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后, 第 21 页(共 31 页) 排在中间的两个数据是 79 和 81,计算它们的中位数为 m= =80; 由此填写列联表如下; 超过 m 不超过 m 总计 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 15 5520 20 40 15 20 20 (3)根据(2)中的列联表,计算 K2= ==10>6.635, ∴能有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题,是基础题. 19.(12 分)如图,边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 所在平面 垂直,M 是 上异于C,D 的点. (1)证明:平面 AMD⊥平面 BMC; (2)当三棱锥 M﹣ABC 体积最大时,求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦 值. 【考点】LY:平面与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有 【专题】35:转化思想;4R:转化法;5F:空间位置关系与距离;5H:空间向 量及应用. 【分析】(1)根据面面垂直的判定定理证明 MC⊥平面 ADM 即可. (2)根据三棱锥的体积最大,确定 M 的位置,建立空间直角坐标系,求出点的 坐标,利用向量法进行求解即可. 第 22 页(共 31 页) 【解答】解:(1)证明:在半圆中,DM⊥MC, ∵正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直, ∴AD⊥平面 DCM,则 AD⊥MC, ∵AD∩DM=D, ∴MC⊥平面 ADM, ∵MC⊂平面 MBC, ∴平面 AMD⊥平面 BMC. (2)∵△ABC 的面积为定值, ∴要使三棱锥 M﹣ABC 体积最大,则三棱锥的高最大, 此时 M 为圆弧的中点, 建立以 O 为坐标原点,如图所示的空间直角坐标系如图 ∵正方形 ABCD 的边长为 2, ∴A(2,﹣1,0),B(2,1,0),M(0,0,1), 则平面 MCD 的法向量 =(1,0,0), 设平面 MAB 的法向量为 =(x,y,z) 则=(0,2,0), =(﹣2,1,1), 由 • =2y=0, • =﹣2x+y+z=0, 令 x=1, 则 y=0,z=2,即 =(1,0,2), 则 cos< , >= ==,则面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值 sinα= =.第 23 页(共 31 页) 【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解,利用相应的判定 定理以及建立坐标系,利用向量法是解决本题的关键. 20.(12 分)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C: ++=1 交于 A,B 两点,线 段 AB 的中点为 M(1,m)(m>0). (1)证明:k<﹣ ; (2)设 F 为 C 的右焦点,P 为 C 上一点,且 |成等差数列,并求该数列的公差. += .证明:| |,| |,| 【考点】K3:椭圆的标准方程;KL:直线与椭圆的综合.菁优网版权所有 【专题】35:转化思想;49:综合法;5E:圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),利用点差法得 6(x1﹣x2)+8m(y1﹣y2)=0,k= =﹣ =﹣ 又点 M(1,m)在椭圆内,即 得 k<﹣ , ,解得 m 的取值范围,即可 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),可得 x1+x2=2 = ,可得 x3﹣1=0,由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣ x1, 由++|FB|=2﹣ x2,|FP|=2﹣ x3= .即可证明|FA|+|FB|=2|FP|,求得 A,B 坐标再 第 24 页(共 31 页) 求公差. 【解答】解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∵线段 AB 的中点为 M(1,m), ∴x1+x2=2,y1+y2=2m 将 A,B 代入椭圆 C: +=1 中,可得 ,两式相减可得,3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0, 即 6(x1﹣x2)+8m(y1﹣y2)=0, ∴k= =﹣ =﹣ 点 M(1,m)在椭圆内,即 解得 0<m ,∴.(2)证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3), 可得 x1+x2=2, ∵++= ,F(1,0),∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0,y1+y2+y3=0, ∴x3=1,y3=﹣(y1+y2)=﹣2m ∵m>0,可得 P 在第四象限,故 y3=﹣ ,m= ,k=﹣1 由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣ x1,|FB|=2﹣ x2,|FP|=2﹣ x3= . 则|FA|+|FB|=4﹣ ,∴|FA|+|FB|=2|FP|, 联立 ,可得|x1﹣x2|= 所以该数列的公差 d 满足 2d= |x1﹣x2|= ,第 25 页(共 31 页) ∴该数列的公差为± .【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查了点差法、焦半径公 式,考查分析问题解决问题的能力,转化思想的应用与计算能力的考查.属 于中档题. 21.(12 分)已知函数 f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x. (1)若 a=0,证明:当﹣1<x<0 时,f(x)<0;当 x>0 时,f(x)>0; (2)若 x=0 是 f(x)的极大值点,求 a. 【考点】6D:利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有 【专题】34:方程思想;35:转化思想;48:分析法;53:导数的综合应用. 【分析】(1)对函数 f(x)两次求导数,分别判断 f′(x)和 f(x)的单调性, 结合 f(0)=0 即可得出结论; (2)令 h(x)为 f′(x)的分子,令 h″(0)计算 a,讨论 a 的范围,得出 f(x) 的单调性,从而得出 a 的值. 【解答】(1)证明:当 a=0 时,f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x,(x>﹣1). ,,可得 x∈(﹣1,0)时,f″(x)≤0,x∈(0,+∞)时,f″(x)≥0 ∴f′(x)在(﹣1,0)递减,在(0,+∞)递增, ∴f′(x)≥f′(0)=0, ∴f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x 在(﹣1,+∞)上单调递增,又 f(0)=0. ∴当﹣1<x<0 时,f(x)<0;当 x>0 时,f(x)>0. (2)解:由 f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x,得 f′(x)=(1+2ax)ln(1+x)+ ﹣2= ,令 h(x)=ax2﹣x+(1+2ax)(1+x)ln(x+1), 第 26 页(共 31 页) h′(x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(x+1). 当 a≥0,x>0 时,h′(x)>0,h(x)单调递增, ∴h(x)>h(0)=0,即 f′(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,故 x=0 不是 f(x)的极大值点,不符合题意. 当 a<0 时,h″(x)=8a+4aln(x+1)+ ,显然 h″(x)单调递减, ①令 h″(0)=0,解得 a=﹣ . ∴当﹣1<x<0 时,h″(x)>0,当 x>0 时,h″(x)<0, ∴h′(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, ∴h′(x)≤h′(0)=0, ∴h(x)单调递减,又 h(0)=0, ∴当﹣1<x<0 时,h(x)>0,即 f′(x)>0, 当 x>0 时,h(x)<0,即 f′(x)<0, ∴f(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, ∴x=0 是 f(x)的极大值点,符合题意; ②若﹣ <a<0,则 h″(0)=1+6a>0, h″(e ﹣1)=(2a﹣1)(1﹣e )<0, ∴h″(x)=0 在(0,+∞)上有唯一一个零点,设为 x0, ∴当 0<x<x0 时,h″(x)>0,h′(x)单调递增, ∴h′(x)>h′(0)=0,即 f′(x)>0, ∴f(x)在(0,x0)上单调递增,不符合题意; ③若 a<﹣ ,则 h″(0)=1+6a<0,h″( ﹣1)=(1﹣2a)e2>0, ∴h″(x)=0 在(﹣1,0)上有唯一一个零点,设为 x1, ∴当 x1<x<0 时,h″(x)<0,h′(x)单调递减, ∴h′(x)>h′(0)=0,∴h(x)单调递增, ∴h(x)<h(0)=0,即 f′(x)<0, 第 27 页(共 31 页) ∴f(x)在(x1,0)上单调递减,不符合题意. 综上,a=﹣ . 【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系,函数单调性与极值的计算,零点 的存在性定理,属于难题. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做, 则按所做的第一题计分。[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 22.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,⊙O 的参数方程为 ,(θ 为 参数),过点(0,﹣ )且倾斜角为 α 的直线 l 与⊙O 交于 A,B 两点. (1)求 α 的取值范围; (2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程. 【考点】QK:圆的参数方程.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5S:坐标系和参数方程. 【分析】(1)⊙O 的普通方程为 x2+y2=1,圆心为 O(0,0),半径 r=1,当 α= 时,直线 l 的方程为 x=0,成立;当 α≠ 时,过点(0,﹣ )且倾斜角 为 α 的直线 l 的方程为 y=tanα•x+ ,从而圆心 O(0,0)到直线 l 的距离 d= <1,进而求出 或,由此能求出 α 的取 值范围. (2)设直线 l 的方程为 x=m(y+ ),联立 y2+2 ,得(m2+1) +2m2﹣1=0,由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出 AB 中点 P 的轨迹的参数方程. 【解答】解:(1)∵⊙O 的参数方程为 (θ 为参数), ∴⊙O 的普通方程为 x2+y2=1,圆心为 O(0,0),半径 r=1, 当 α= 时,过点(0,﹣ )且倾斜角为 α 的直线 l 的方程为 x=0,成立; 第 28 页(共 31 页) 当 α≠ 时,过点(0,﹣ )且倾斜角为 α 的直线 l 的方程为 y=tanα•x﹣ ∵倾斜角为 α 的直线 l 与⊙O 交于 A,B 两点, ,∴圆心 O(0,0)到直线 l 的距离 d= ∴tan2α>1,∴tanα>1 或 tanα<﹣1, <1, ∴或,综上 α 的取值范围是( ,). (2)由(1)知直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x=m(y+ ), 设 A(x1,y1),(B(x2,y2),P(x3,y3), 联立 ,得(m2+1)y2+2 +2m2﹣1=0, ,=﹣ +2 ,=,=﹣ ,∴AB 中点 P 的轨迹的参数方程为 ,(m 为参数),(﹣1<m<1). 【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法,考查线段的中点的参数 方程的求法,考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基 础知识,考查数形结合思想的灵活运用,考查运算求解能力,考查函数与方 程思想,是中档题. [选修 4-5:不等式选讲](10 分) 第 29 页(共 31 页) 23.设函数 f(x)=|2x+1|+|x﹣1|. (1)画出 y=f(x)的图象; (2)当 x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求 a+b 的最小值. 【考点】3B:分段函数的解析式求法及其图象的作法;5B:分段函数的应用.菁优网版权所有 【专题】31:数形结合;4R:转化法;51:函数的性质及应用;59:不等式的 解法及应用. 【分析】(1)利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可. (2)将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可. 【解答】解:(1)当 x≤﹣ 时,f(x)=﹣(2x+1)﹣(x﹣1)=﹣3x, 当﹣ <x<1,f(x)=(2x+1)﹣(x﹣1)=x+2, 当 x≥1 时,f(x)=(2x+1)+(x﹣1)=3x, 则 f(x)= 对应的图象为: 画出 y=f(x)的图象; (2)当 x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b, 当 x=0 时,f(0)=2≤0•a+b,∴b≥2, 当 x>0 时,要使 f(x)≤ax+b 恒成立, 第 30 页(共 31 页) 则函数 f(x)的图象都在直线 y=ax+b 的下方或在直线上, ∵f(x)的图象与 y 轴的交点的纵坐标为 2, 且各部分直线的斜率的最大值为 3, 故当且仅当 a≥3 且 b≥2 时,不等式 f(x)≤ax+b 在[0,+∞)上成立, 即 a+b 的最小值为 5. 【点评】本题主要考查分段函数的应用,利用不等式和函数之间的关系利用数形 结合是解决本题的关键. 第 31 页(共 31 页)
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