绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有 14题，满分 56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分. 1．设 x R ,则不等式 x 3 1的解集为_____________． 3 2i 2．设 z i，其中 为虚数单位，则Im z =_____________． i3．已知平行直线l1 : 2x y 1 0,l2 : 2x y 1 0 ，则 l1 与 l2 的距离是_____________． 4．某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则 这组数据的中位数是_________（米）． 5．已知点 (3,9) 在函数 f (x) 1 ax 的图像上，则 f (x)的反函数f 1(x) ________ ．6．如图，在正四棱柱 ABCD A B1C1D1 中，底面 ABCD 的边长为 3， BD1 与底面所成的 12角的大小为 arctan ，则该正四棱柱的高等于____________． 37．方程3sin x 1 cos2x 在区间 0,2π 上的解为___________ . 第 1 页 共 20 页 n23 8．在 x 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于 x_________． 9．已知 ABC 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________． ax y 1 x by 1 10．设 a 0,b 0.若关于 x, y 的方程组 ____________． ，无解，则 a b 的取值范围是 11．无穷数列 ，则 k 的最大值为________. 12．在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），P 是曲线 y 1 x2 上一个动点， BP BA 的取值范围是_____________. an 由 k 个不同的数组成， Sn 为 an 的前 n 项和.若对任意 n N ，Sn 2,3 则313.设 a,b R,c 0,2π .若对任意实数 x都有 2sin 3x asin bx c ，则满足条件 的有序实数组 a,b,c 的组数为 .14.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为正八边形 A A2 A8 的中心， A1 1,0 .任取不同的 1两点 A , Aj ，点 P 满足OP OA OAj 0 ，则点 P 落在第一象限的概率是 ii_____________. 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分. 15.设 a R ，则“ a 1”是“ a2 1”的（ ）. （A）充分非必要条件 （C）充要条件 （B）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件 第 2 页 共 20 页 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）. （A） 6 5cos （C） 6 5cos （B） 6 5sin （D） 6 5sin 17.已知无穷等比数列 an 的公比为 q，前 n 项和为 Sn ，且 .下列条件中，使得 lim Sn S n 2S S n N 恒成立的是（ ）. n（A） a1 0,0.6 q 0.7 （B） a1 0,0.7 q 0.6 （D） a1 0,0.8 q 0.7 （C） a1 0,0.7 q 0.8 18．设 f (x) f (x) h(x) 、、g(x) g(x) h(x)均是增函数，则 f (x) f (x) h(x) g(x) h(x)均是以 、h(x) 是定义域为 R 的三个函数，对于命题：①若 f (x) g(x) 、、g(x) 、h(x) 中至少有一个增函数；② 若f (x) g(x) 、、T为周期的函数，则 f (x) ）. g(x) 、 、 h(x) 均是以 T为周期的函数，下列判断正确的是（ （B）①和②均为假命题 （C）①为真命题，②为假命题 （D）①为假命题，②为真命题 （A）①和②均为真命题 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须 在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题满分 6 分.将边长 2 长为 为 1 的正方形 AAO O （及其内部）绕的OO1 旋转一周形成圆柱，如图， AC ，1133A B1 长为 ，其中 B1 与 C在平面 AAO O 的同侧. 111（1）求三棱锥C O A B1 的体积； 11（2）求异面直线 B C 与 AA1 所成的角的大小. 1第 3 页 共 20 页 20．（本题满分 14）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到 有一块正方形菜地 EFGH 点或河边运走. 于是，菜地分为两个区域 1 和 2 ，其中 1 中的蔬菜运到河边较近， 2 中的蔬菜运到 ,FSSSSF点较近，而菜地内 标系，其中原点 S1 和 S2 的分界线 C上的点到河边与到 F点的距离相等，现建立平面直角坐 O为EF 的中点，点 F的坐标为（1,0），如图. [（1）求菜地内的分界线 C的方程; 1 面积是 83（2）菜农从蔬菜运量估计出 SS2 面积的两倍，由此得到 S1 面积的“经验值”为 .设M是C上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边、另有一边过点 M的矩形的面积，及 五边形 EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于 1 面积的经验值. S21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. y2 b2 双曲线 x2 1(b 0) 的左、右焦点分别为 F、F2 ，直线 l过F2 且与双曲线交于 1A、B 两点. （1）若 的倾斜角为 （2）设b 3 ，若 πl，F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； 12 l的斜率存在，且 (F A F B) AB 0 l，求 的斜率. 11第 4 页 共 20 页 22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 6 分. 1已知 a R ，函数 f (x) log2 ( a) .xf (x) 0 （1）当 a 5 时，解不等式 ；（2）若关于 的方程f (x) log2[(a 4)x 2a 5] 0的解集中恰好有一个元素，求 的ax取值范围； 1f (x) [t,t 1] （3）设 a 0 ，若对任意t [ ,1]，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不 2超过 1，求 的取值范围. a23.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 8 分. *若无穷数列{an}满足：只要 ，必有 ap1 aq1 ，则称{an}具有性质 ap aq ( p,q N ) P.（1）若{an}具有性质 P，且 a1 1,a2 2,a4 3,a5 2 ，a6 a7 a8 21，求 a3 ；（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b c5 1 ，1b5 c1 81 （3）设{bn}是无穷数 列，已知 an1 bn sin an (n N*) .求证：“对任意 a1,{an}都具有性 ”的充要条件为“{bn}是常数列”. ，an bn cn ，判断{an}是否具有性质 P ，并说明理由； 质P第 5 页 共 20 页 考生注意： 1. 本试卷共 4页，23道试题，满分 150分.考试时间 120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写 （非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对 后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有 14题，满分 56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分. 1．设 x R ,则不等式 x 3 1的解集为_____________． 【答案】（2,4） 【解析】试题分析： 由题意得： 1 x 3 1，解得 2 x 4 .考点：绝对值不等式的基本解法. 3 2i 2．设 z i，其中 为虚数单位，则Im z =_____________． i【答案】-3 【解析】 试题分析： 3 2i z 2 3i,Im z= 3. i考点：1.复数的运算；2.复数的概念. 3．已知平行直线l1 : 2x y 1 0,l2 : 2x y 1 0 ，则l1 与 l2 的距离是_____________． 2 5 【答案】 5【解析】试题分析： | c1 c || 11| 25 2利用两平行线间的距离公式得 d .a2 b2 22 12 5第 6 页 共 20 页 考点：两平行线间距离公式. 4．某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则 这组数据的中位数是_________（米）． 【答案】1.76 考点：中位数的概念. 5．已知点 (3,9) 在函数 f (x) 1 ax 的图像上，则 f (x)的反函数f 1(x) ________ ．【答案】 log2 (x 1) 【解析】试题分析： 将点（3，9）代入函数 f x 1 ax 中得 a 2 ，所以 f x 1 2x ，用 y 表示 x 得 x log2 (y 1) ，所以 f 1 x log (x1) . 2考点：反函数的概念以及指、对数式的转化. 6．如图，在正四棱柱 ABCD A B1C1D1 中，底面 ABCD 的边长为 3， BD1 与底面所成的 12角的大小为 arctan ，则该正四棱柱的高等于____________． 3【答案】 2 2 【解析】试题分析： DD 23DD 2311连结 BD，则由题意得 tanDBD DD 2 2. 11BD 3 2 考点：线面角 7．方程3sin x 1 cos2x 在区间 0,2π 上的解为___________ . 第 7 页 共 20 页 5 6 6 【答案】 ，【解析】试题分析： 化简3sinx 1 cos 2x 得：3sinx 2 2sin2 x ，所以 2sin2 x 3sinx 2 0 ，解得 1265 6sinx 或sinx 2 （舍去），又 x 0,2π ，所以 x 或 .考点：二倍角公式及三角函数求值. n23 8．在 x 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于_________ x．【答案】112 【解析】试题分析： 由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为 2n ，即 2n 256，所以 n 8 ，又二项展开 843r28 4 r8r rrr3式的通项为 T C8 ( x)( ) (2) C8x3 ，令 r 0 ，所以 r 2，所以 r1 x3 3 T 112 ，即常数项为 112. 3考点：二项式定理. 9．已知 ABC 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________． 7 3 【答案】 3【解析】试题分析： 32 52 72 235 1利用余弦定理可求得最大边 7 所对应角的余弦值为 ，所以此角的正弦值 2377 3 3为，由正弦定理得 2R ,所以 R .232考点：正弦、余弦定理. ax y 1 x by 1 10．设 a 0,b 0.若关于 x, y 的方程组 ____________． ，无解，则 a b 的取值范围是 第 8 页 共 20 页 【答案】（2，+） 【解析】试题分析： 将方程组中上面的式子化简得 y 1 ax ，代入下面的式子整理得 (1 ab)x 1 b ，方程组 无解应该满足1 ab 0 且1 b 0，所以 ab 1 且b 1，所以由基本不等式得 a b 2 ab 2 ，即 a b 的取值范围是（2，+） .考点：方程组的思想以及基本不等式的应用. 11．无穷数列 由k 个不同的数组成， n 为 ，则 k 的最大值为________. an San 的前 n 项和.若对任意 n N ，Sn 2,3 【答案】4 考点：数列的项与和. 12．在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），P 是曲线 y 1 x2 上一个动点， BP BA 的取值范围是_____________. 则【答案】[0,1+ 2] 【解析】试题分析： P(cos,sin) [0,π] BA (1,1) 由题意设 ,，则 BP (cos,1 sin) ，又 ，所以 πBP BA=cos sin 1= 2sin( )+1[0,1 2] .4考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想. 313.设 a,b R,c 0,2π .若对任意实数 x都有 2sin 3x asin bx c ，则满足条件 的有序实数组 a,b,c 的组数为 .第 9 页 共 20 页 【答案】4 【解析】试题分析： ππ5π 5π 当a 2 时，sin(3x ) sin(3x 2π) sin(3x )，(b,c) (3, 4π )，又 3333ππ4π sin(3x ) sin[π (3x )] sin(3x )，(b,c) (3, )，注意到 c[0,2π) ，33335π 4π 所以只有 2 组： (2，3, ),(2，3, )满足题意；当 a 2 时，同理可得出满足题意的 33a,b,c 也有 2 组，故共有 4 组. 考点：三角函数 14.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为正八边形 A A2 A8 的中心， A1 1,0 .任取不同的 1两点 A , Aj ，点 P 满足OP OA OAj 0 ，则点 P 落在第一象限的概率是 ii_____________. 5【答案】 28 【解析】试题分析： 共有C82 28 种基本事件，其中使点 P 落在第一象限的情况有C32 2 5 种，故所求概率为 5.28 考点：古典概型 三、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分. 15.设 a R ，则“ a 1”是“ a2 1”的（ ）. （B）充分非必要条件 （C）充要条件 【答案】A （B）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件 第 10 页 共 20 页 【解析】试题分析： a 1 a2 1,a2 1 a 1或a 1，所以“ a 1”是“ a2 1”的充分非必要条件，选 A. 考点：充要条件 17.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）. （B） 6 5cos （C） 6 5cos 【答案】D （B） 6 5sin （D） 6 5sin 【解析】试题分析： 23 2依次取 0, ,, ，结合图形可知只有 6 5sin 满足，选 D. 考点：极坐标方程 18.已知无穷等比数列 an 的公比为 q，前 n 项和为 Sn ，且 .下列条件中，使得 lim Sn S n 2S S n N 恒成立的是（ ）. n（B） a1 0,0.6 q 0.7 （B） a1 0,0.7 q 0.6 （D） a1 0,0.8 q 0.7 （C） a1 0,0.7 q 0.8 【答案】B 考点：1.数列的极限；2.等比数列求和. 18．设 f (x) 、g(x) 、h(x) 是定义域为 R 的三个函数，对于命题：①若 f (x) g(x) 、第 11 页 共 20 页 f (x) h(x) f (x) g(x) h(x) 均是以 、g(x) h(x)均是增函数，则 f (x) g(x) h(x) 中至少有一个增函数；② 、 、 若、、f (x) h(x) g(x) h(x)均是以 T为周期的函数，则 f (x) ）. g(x) 、 、 T为周期的函数，下列判断正确的是（ （B）①和②均为假命题 （A）①和②均为真命题 （C）①为真命题，②为假命题 （D）①为假命题，②为真命题 m] 【答案】D 【解析】 试题分析： [ f (x) g(x)][ f (x) h(x)][g(x) h(x)] 因为 f (x) ，所以 2[ f (x+T) g(x+T)][ f (x+T) h(x+T)][g(x+T) h(x+T)] f (x+T) ,又 、f (x) g(x) 2f (x) h(x) 、g(x) h(x)均是以 T为周期的函数，所以 [ f (x) g(x)][ f (x) h(x)][g(x) h(x)] f (x+T) =f (x) ，所以 f (x) 是周期为 T的函数， 2同理可得 g(x) 、h(x) 均是以 g(x) h(x) 中至少有一 T为周期的函数，②正确； f (x) 、 、 个增函数包含一个增函数、两个减函数；两个增函数、一个减函数；三个增函数，其中当三 个函数中一个为增函数、另两个为减函数时，由于减函数加减函数一定为减函数，所以①不 正确.选 D. 考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性. 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题满分 6 分. 长为 将边长为 1 的正方形 AAO O （及其内部）绕的OO1 旋转一周形成圆柱，如图， AC 11233，A B1 长为 ，其中 B1 与 C在平面 AAO O 的同侧. 111（1）求三棱锥C O A B1 的体积； 11（2）求异面直线 B C 与AA1 所成的角的大小. 1第 12 页 共 20 页 3π【答案】（1） ；（2） .12 4【解析】 3试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高 h 1，底面半径 r 1 形面积公式计算 S A 后即得. ，A111 ，再由三角 11 1 （2）设过点 1 的母线与下底面交于点 ，根据 1 //AA1 ，知 C1 或其补角为直线 ππ1C 与AA1 所成的角，再结合题设条件确定 C ，C 1．得出 C1 即34可． 试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高 h 1，底面半径 r 1 ．ππ由 A11 的长为 ，可知A111 ．3313S A 1A1 11 sin A111 ，11 1 2413VC A S A h ．1111 1 1 312 第 13 页 共 20 页 π从而直线 1C 与AA1 所成的角的大小为 ．4考点：1.几何体的体积；2.空间角.[来 20．（本题满分 14）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 有一块正方形菜地 EFGH 点或河边运走. EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到 F于是，菜地分为两个区域 1 和 2 ，其中 1 中的蔬菜运到河边较近， 2 中的蔬菜运到 点 ,FSSSS较近，而菜地内 标系，其中原点 S1 和 S2 的分界线 C上的点到河边与到 F点的距离相等，现建立平面直角坐 O为EF 的中点，点 F 的坐标为（1,0），如图. （3）求菜地内的分界线 C的方程; 第 14 页 共 20 页 83（4）菜农从蔬菜运量估计出 上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边、另有一边过点 五边形 EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于 1 面积的经验值. 【答案】（1） y2 4x S1 面积是 S2 面积的两倍，由此得到 S1 面积的“经验值”为 .设M是CM的矩形的面积，及 S511 （0 y 2 ）；（2）矩形面积为 ，五边形面积为，五边形面积 24更接近于 【解析】 S1 面积的“经验值”． 试题分析：（1）由 C上的点到直线 与到点 F的距离相等，知 C是以 F为焦点、以 为准线的抛物线在正方形 FG 内的部分． （2）通过计算矩形面积，五边形面积，以及计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五 边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可． 试题解析：（1）因为 C上的点到直线 与到点 F的距离相等，所以 C 是以 F为焦点、以 为准线的抛物线在正方形 FG 内的部分，其方程为 y2 4x （0 y 2 ）． 1（2）依题意，点 的坐标为 ,1 ．4511 4所求的矩形面积为 ，而所求的五边形面积为 2．5 8 1矩形面积与“经验值”之差的绝对值为 ，而五边形面积与“经验值”之差 2 3 611 8 1的绝对值为 ，所以五边形面积更接近于 S1 面积的“经验值”． 4312 考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算. 21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. y2 b2 双曲线 x2 1(b 0) 的左、右焦点分别为 F、F2 ，直线 l过F2 且与双曲线交于 1A、B 两点. （1）若 的倾斜角为 （2）设b 3 ，若 πl，F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； 12 l的斜率存在，且 (F A F B) AB 0 l，求 的斜率. 11第 15 页 共 20 页 15 5【答案】（1） y 2x ；（2） .【解析】 试题分析：（1）设 A x , y ，根据题设条件得到 4 1 b2 3b4 ，从而解得b2 的值． A A（2）设 A x , y 1 ， x , y ，直线l : y k x 2 与双曲线方程联立，得到一元二次方 2 12程，根据 l与双曲线交于两点，可得 k2 3 0 ，且 36 1 k2 0．再设 A的中点为 F A 0，从而得到 kF k 1，进而构建 1 x , y ，由 FA F A 0 即1 11关于 k 的方程求解即可． 试题解析：（1）设 A x , y ．A Ay2 x2 1 由，得 k2 3 x2 4k2 x 4k2 3 0 ．3y k x 2 因为 l与双曲线交于两点，所以 k2 3 0 ，且 36 1 k2 0 ．设由A的中点为 x , y ． FA F A 0 即F A 0，知 F A ，故 kF k 1 ．11111×1 x2 2k2 k2 3 6k k2 3 3k 2k2 3 而x ，y k x 2 ，kF ，12第 16 页 共 20 页 3k 2k2 3 315 5所以 k 1 ，得 k2 ，故 l的斜率为 ．5考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.平面向量的数量积. 22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 6 分. 1已知 a R ，函数 f (x) log2 ( a) .xf (x) 0 （1）当 a 5 时，解不等式 ；（2）若关于 的方程f (x) log2[(a 4)x 2a 5] 0的解集中恰好有一个元素，求 的ax取值范围； 1f (x) [t,t 1] （3）设 a 0 ，若对任意t [ ,1]，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不 2超过 1，求 的取值范围. a12【答案】（1） x , 0, ；（2） 1,2 3,4 ；（3） , ．43【解析】 11试题分析：（1）由 log2 5 0，得 5 1，从而得解． xx（2）将其转化为 a 4 x2 a 5 x 1 0 ，讨论当 a 4 、a 3时，以及 a 3 且a 4 时的情况即可． （3）讨论 f x 在0, 上的单调性，再确定函数 f x在区间 t,t 1 上的最大值与最 1小值之差，从而得到 at2 a 1 t 1 0 ，对任意t ,1 成立． 211试题解析：（1）由 log2 5 0 ，得 5 1 ，xx1解得 x , 0, ．41（2） a a 4 x 2a 5 ，a 4 x2 a 5 x 1 0 ，x当a 4 时， x 1，经检验，满足题意． 第 17 页 共 20 页 当当a 3时， x1 x2 1，经检验，满足题意． 1a 3 且a 4时， x1 ，x2 1 ，x1 x2 ．a 4 1×1 是原方程的解当且仅当 a 0 ，即 a 2 ；．x1 1×2 是原方程的解当且仅当 a 0 ，即 a 1 x2 于是满足题意的 a 1,2 ．综上， a的取值范围为 1,2 3,4 ．11因为 a 0 ，所以函数 y at2 a 1 t 1在区间 ,1 上单调递增，t 时， y22313123有最小值 a ，由 a 0，得 a ．42422故a的取值范围为 , ．3考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质. 23.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 8 分. *若无穷数列{an}满足：只要 ，必有 ap1 aq1 ，则称{an}具有性质 ap aq ( p,q N ) P.[第 18 页 共 20 页 （1）若{an}具有性质 P，且 a1 1,a2 2,a4 3,a5 2 ，a6 a7 a8 21，求 a3 ；（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b c5 1 ，1b5 c1 81 （3）设{bn}是无穷数列，已知 an1 bn sin an (n N*) .求证：“对任意 a1,{an}都具有性 ”的充要条件为“{bn}是常数列”. ，an bn cn ，判断{an}是否具有性质 P ，并说明理由； 质P【答案】（1）16；（2） a不具有性质 ，理由见解析；（3）见解析． n【解析】 试题分析：（1）根据已知条件，得到 a6 a7 a8 a3 3 2 ，结合 a6 a7 a8 21求解 即可． 1（2）根据 b的公差为 20 ，c的公比为 ，写出通项公式，从而可得 3 nnan bn cn 20n 19 35n 通过计算 a1 a5 82 a2 48 ．304 ，，a6 ，a2 a6 ，即知 a不具有性质 ． n3（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明． 试题解析：（1）因为 a5 a2 ，所以 a6 a3 ，a7 a4 3 ，a8 a5 2 ．于是 a6 a7 a8 a3 3 2 ，又因为 a6 a7 a8 21，解得 a3 16 ．1（2） b的公差为 20 ，c的公比为 ， nn3n1 1 所以b 1 20 n 1 20n 19 ，cn 81 35n ．n 3 an bn cn 20n 19 35n a1 a5 82，但 a2 48 a6 ．304 3，，a2 a6 ，所以 a不具有性质 ． n[证]（3）充分性： 为常数列时， an1 b sin an 当b n．1第 19 页 共 20 页 对任意给定的 a1 ，只要 ap aq ，则由b sin ap b sin aq ，必有 ap1 aq1 ．11充分性得证． 必要性： [用反证法证明．假设 b不是常数列，则存在 k ， n使得b b2 bk b ，而bk1 b ．1下面证明存在满足 an1 bn sin an 的a n，使得 a1 a2 ak1 ，但 ak2 ak1 ．设f x x sin x b ，取 m ，使得 mπ b ，则 f m m b 0 ，f m m b 0，故存在 c使得 f c 0 ．考点：1.等差数列、等比数列的通项公式；2.充要条件的证明；3.反证法. 第 20 页 共 20 页
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