2016年北京高考文科数学试题及答案下载

第 1 页 共 13 页 2016 年北京市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 　一．选择题（共 8 小题） 1．（2016•北京）已知集合 A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3 或 x＞5}，则 A∩B=（　　） A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4 或 x＞5} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2 或 x＞5} 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题；转化思想；综合法；集合． 【分析】由已知条件利用交集的定义能求出 A∩B． 【解答】解：∵集合 A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3 或 x＞5}， ∴A∩B={x|2＜x＜3}． 故选：C． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运 用． 　2．（2016•北京）复数 =（　　） A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题；转化思想；数系的扩充和复数． 【分析】将分子分线同乘 2+i，整理可得答案． 【解答】解： ===i， 故选：A 【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于 基础题． 　3．（2016•北京）执行如图所示的程序框图，输出 s 的值为（　　） A．8 B．9 C．27 D．36 【考点】程序框图． 第 1 页（共 13 页） 第 2 页 共 13 页 【专题】计算题；操作型；算法和程序框图． 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值， 模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：当 k=0 时，满足进行循环的条件，故 S=0，k=1， 当 k=1 时，满足进行循环的条件，故 S=1，k=2， 当 k=2 时，满足进行循环的条件，故 S=9，k=3， 当 k=3 时，不满足进行循环的条件， 故输出的 S 值为 9， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程 序法进行解答． 　4．（2016•北京）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（　　） A．y= B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x 【考点】函数单调性的判断与证明． 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选 项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项． 【解答】解：A．x 增大时，﹣x 减小，1﹣x 减小，∴ ∴函数 在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误； B．y=cosx 在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误； 增大； C．x 增大时，x+1 增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选 项错误； D. ；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确． 故选 D． 【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函 数的单调性，指数式的运算． 　5．（2016•北京）圆（x+1）2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为（　　） A．1 B．2 C． D．2 【考点】圆的标准方程；点到直线的距离公式． 【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆． 【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2 的圆心，再利用点到到直线 y=x+3 的距离公式求解． 【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2 的圆心为（﹣1，0）， ∴圆（x+1）2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为： d= =．故选：C． 第 2 页（共 13 页） 第 3 页 共 13 页 【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线 的距离公式和圆的性质的合理运用． 　6．（2016•北京）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】概率与统计． 【分析】从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含 的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率． 【解答】解：从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人， 基本事件总数 n= =10， 甲被选中包含的基本事件的个数 m= =4， ∴甲被选中的概率 p= == ． 故选：B． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公 式的合理运用． 　7．（2016•北京）已知 A（2，5），B（4，1）．若点 P（x，y）在线段 AB 上，则 2x﹣y 的最 大值为（　　） A．﹣1 B．3 C．7 D．8 【考点】简单线性规划． 【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式． 【分析】平行直线 z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可． 【解答】解：如图 A（2，5），B（4，1）．若点 P（x，y）在线段 AB 上， 令 z=2x﹣y，则平行 y=2x﹣z 当直线经过 B 时截距最小，Z 取得最大值， 可得 2x﹣y 的最大值为：2×4﹣1=7． 故选：C． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键． 第 3 页（共 13 页） 第 4 页 共 13 页 　8．（2016•北京）某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个 阶段，表中为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊． 学生序号 立定跳远（单位： 1.96 1.92 米） 30 秒跳绳（单位：63 次） 12345678910 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 a﹣1 a75 60 63 72 70 b65 在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的 有 6 人，则（　　） A．2 号学生进入 30 秒跳绳决赛B．5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 C．8 号学生进入 30 秒跳绳决赛D．9 号学生进入 30 秒跳绳决赛 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】探究型；简易逻辑；推理和证明． 【分析】根据已知中这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛 和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，逐一分析四个答案的正误，可得结论． 【解答】解：∵这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人， 故编号为 1，2，3，4，5，6，7，8 的学生进入立定跳远决赛， 又由同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人， 则 3，6，7 号同学必进入 30 秒跳绳决赛， 剩下 1，2，4，5，8 号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1 有且只有 3 人进入 30 秒 跳绳决赛， 故成绩为 63 的同学必进入 30 秒跳绳决赛， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是 解答的关键． 　二．填空题（共 6 小题） 9．（2016•北京）已知向量 =（1， ），=（ ，1），则 与 夹角的大小为　　． 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】计算题；定义法；平面向量及应用． 【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案． 【解答】解：∵向量 =（1， ），=（ ，1）， ∴ 与 夹角θ 满足： cosθ= ==，又∵θ∈[0，π]， ∴θ= ，第 4 页（共 13 页） 第 5 页 共 13 页 故答案为： ．【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答 的关键． 　10．（2016•北京）函数 f（x）= （x≥2）的最大值为　2　． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】分离常数便可得到 ，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在 [2，+∞）上为减函数，从而 x=2 时 f（x）取最大值，并可求出该最大值． 【解答】解： ；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减； ∴x=2 时，f（x）取最大值 2． 故答案为：2． 【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根 据函数单调性求最值的方法． 　11．（2016•北京）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为　． 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答 案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱， 棱柱的底面面积 S= ×（1+2）×1= ， 棱柱的高为 1， 故棱柱的体积 V= ， 故答案为： 第 5 页（共 13 页） 第 6 页 共 13 页 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体 的形状是解答的关键． 　12．（2016•北京）已知双曲线 ﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦 点为（ ，0），则 a=　1　，b=　2　． 【考点】双曲线的标准方程． 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由双曲的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为（ ，0），列出方程组，由此能出 a， b． 【解答】解：∵双曲线 ﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为 （，0）， ∴，解得 a=1，b=2． 故答案为：1，2． 【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性 质的合理运用． 　13．（2016•北京）在△ABC 中，∠A= ，a= c，则 =　1　． 【考点】正弦定理的应用． 【专题】计算题；规律型；转化思想；解三角形． 【分析】利用正弦定理求出 C 的大小，然后求出 B，然后判断三角形的形状，求解比值即 可． 【解答】解：在△ABC 中，∠A= 由正弦定理可得： ，a= c， ，=，sinC= ，C= ，则 B= =．三角形是等腰三角形，B=C，则 b=c， 则 =1． 故答案为：1． 【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力． 　第 6 页（共 13 页） 第 7 页 共 13 页 14．（2016•北京）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第 二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的 商品有 4 种，则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有　16　种； ②这三天售出的商品最少有　29　种． 【考点】容斥原理；集合的包含关系判断及应用． 【专题】计算题；转化思想；综合法；集合． 【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天 售出的商品最少种数． 【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为 A，第二天售出商品的种类集为 B，第三天 售出商品的种类集为 C， 如图， 则第一天售出但第二天未售出的商品有 16 种； ②由①知，前两天售出的商品种类为 19+13﹣3=29 种， 当第三天售出的 18 种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少 为 29 种． 故答案为：①16；②29． 【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻 辑思维能力，是中档题． 　三．解答题（共 6 小题） 15．（2016•北京）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 b2=3，b3=9，a1=b1， a14=b4． （1）求{an}的通项公式； （2）设 cn=an+bn，求数列{cn}的前 n 项和． 【考点】等差数列与等比数列的综合． 【专题】方程思想；分析法；等差数列与等比数列． 【分析】（1）设{an}是公差为 d 的等差数列，{bn}是公比为 q 的等比数列，运用通项公式可 得 q=3，d=2，进而得到所求通项公式； （2）求得 cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比 数列的求和公式，计算即可得到所求和． 【解答】解：（1）设{an}是公差为 d 的等差数列， {bn}是公比为 q 的等比数列， 由 b2=3，b3=9，可得 q= =3， bn=b2qn﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1 即有 a1=b1=1，a14=b4=27， ；则 d= =2， 第 7 页（共 13 页） 第 8 页 共 13 页 则 an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1 则数列{cn}的前 n 项和为 ，（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）= n•2n+ =n2+ ．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和 方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题． 　16．（2016•北京）已知函数 f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为 π． （1）求 ω 的值； （2）求 f（x）的单调递增区间． 【考点】复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法． 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质． 【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得 ω 的值； （2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解 x 的取值范围得 f（x）的单调递增区间． 【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx =sin2ωx+cos2ωx= =．由 T= ，得 ω=1； （2）由（1）得，f（x）= 再由 ．，得 ．∴f（x）的单调递增区间为[ ]（k∈Z）． 【点评】本题考查 y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档 题． 　17．（2016•北京）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w 立方米的部分 按 4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费，从该市随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图： 第 8 页（共 13 页） 第 9 页 共 13 页 （1）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立 方米，w 至少定为多少？ （2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w=3 时，估计该市居民该月的 人均水费． 【考点】频率分布直方图；随机抽样和样本估计总体的实际应用． 【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计． 【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为 0.1，用水量在[1，1.5）的 频率为 0.15，用水量在[1.5，2）的频率为 0.2，用水量在[2，2.5）的频率为 0.25，用水量在 [2.5，3）的频率为 0.15，用水量在[3，3.5）的频率为 0.05，用水量在[3.5，4）的频率为 0.05，用水量在[4，4.5）的频率为 0.05，由此能求出为使 80%以上居民在该用的用水价为 4 元/立方米，w 至少定为 3 立方米． （2）当 w=3 时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费． 【解答】解：（1）由频率分布直方图得： 用水量在[0.5，1）的频率为 0.1， 用水量在[1，1.5）的频率为 0.15， 用水量在[1.5，2）的频率为 0.2， 用水量在[2，2.5）的频率为 0.25， 用水量在[2.5，3）的频率为 0.15， 用水量在[3，3.5）的频率为 0.05， 用水量在[3.5，4）的频率为 0.05， 用水量在[4，4.5）的频率为 0.05， ∵用水量小于等于 3 立方米的频率为 85%， ∴为使 80%以上居民在该用的用水价为 4 元/立方米， ∴w 至少定为 3 立方米． （2）当 w=3 时，该市居民的人均水费为： （0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3） ×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5， ∴当 w=3 时，估计该市居民该月的人均水费为 10.5 元． 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当 w=3 时，该市居民该月的人均水费的估 计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用． 　18．（2016•北京）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PC⊥平面 ABCD，AB∥DC，DC⊥AC． （1）求证：DC⊥平面 PAC； （2）求证：平面 PAB⊥平面 PAC； （3）设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA∥平面 CEF？说明理由． 第 9 页（共 13 页） 第 10 页 共 13 页 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系． 【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明 DC⊥平面 PAC； （2）利用线面垂直的判定定理证明 AB⊥平面 PAC，即可证明平面 PAB⊥平面 PAC； （3）在棱 PB 上存在中点 F，使得 PA∥平面 CEF．利用线面平行的判定定理证明． 【解答】（1）证明：∵PC⊥平面 ABCD，DC⊂平面 ABCD， ∴PC⊥DC， ∵DC⊥AC，PC∩AC=C， ∴DC⊥平面 PAC； （2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC， ∴AB⊥AC， ∵PC⊥平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD， ∴PC⊥AB， ∵PC∩AC=C， ∴AB⊥平面 PAC， ∵AB⊂平面 PAB， ∴平面 PAB⊥平面 PAC； （3）解：在棱 PB 上存在中点 F，使得 PA∥平面 CEF． ∵点 E 为 AB 的中点， ∴EF∥PA， ∵PA⊄平面 CEF，EF⊂平面 CEF， ∴PA∥平面 CEF． 【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决 问题的能力，属于中档题． 　19．（2016•北京）已知椭圆 C： +=1 过点 A（2，0），B（0，1）两点． （1）求椭圆 C 的方程及离心率； （2）设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交 于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值． 【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系． 【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 第 10 页（共 13 页） 第 11 页 共 13 页 【分析】（1）由题意可得 a=2，b=1，则 离心率为 e= ，则椭圆 C 的方程可求， ；（2）设 P（x0，y0），求出 PA、PB 所在直线方程，得到 M，N 的坐标，求得|AN|，|BM|．由 ，结合 P 在椭圆上求得四边形 ABNM 的面积为定值 2． 【解答】（1）解：∵椭圆 C： ∴a=2，b=1，则 +=1 过点 A（2，0），B（0，1）两点， ，∴椭圆 C 的方程为 （2）证明：如图， ，离心率为 e= ；设 P（x0，y0），则 ，PA 所在直线方程为 y= ，取 x=0，得 ；，PB 所在直线方程为 ，取 y=0，得 ∴|AN|= |BM|=1﹣ ∴．，．==﹣ ==第 11 页（共 13 页） 第 12 页 共 13 页 =．∴四边形 ABNM 的面积为定值 2． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力， 是中档题． 　20．（2016•北京）设函数 f（x）=x3+ax2+bx+c． （1）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）设 a=b=4，若函数 f（x）有三个不同零点，求 c 的取值范围； （3）求证：a2﹣3b＞0 是 f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理． 【专题】方程思想；分析法；函数的性质及应用；导数的概念及应用． 【分析】（1）求出 f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程； （2）由 f（x）=0，可得﹣c=x3+4×2+4x，由 g（x）=x3+4×2+4x，求得导数，单调区间和极 值，由﹣c 介于极值之间，解不等式即可得到所求范围； （3）先证若 f（x）有三个不同零点，令 f（x）=0，可得单调区间有 3 个，求出导数，由导 数的图象与 x 轴有两个不同的交点，运用判别式大于 0，可得 a2﹣3b＞0；再由 a=b=4， c=0，可得若 a2﹣3b＞0，不能推出 f（x）有 3 个零点． 【解答】解：（1）函数 f（x）=x3+ax2+bx+c 的导数为 f′（x）=3×2+2ax+b， 可得 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为 k=f′（0）=b， 切点为（0，c），可得切线的方程为 y=bx+c； （2）设 a=b=4，即有 f（x）=x3+4×2+4x+c， 由 f（x）=0，可得﹣c=x3+4×2+4x， 由 g（x）=x3+4×2+4x 的导数 g′（x）=3×2+8x+4=（x+2）（3x+2）， 当 x＞﹣ 或 x＜﹣2 时，g′（x）＞0，g（x）递增； 当﹣2＜x＜﹣ 时，g′（x）＜0，g（x）递减． 即有 g（x）在 x=﹣2 处取得极大值，且为 0； g（x）在 x=﹣ 处取得极小值，且为﹣ 由函数 f（x）有三个不同零点，可得﹣ ＜﹣c＜0， 解得 0＜c＜ ．，第 12 页（共 13 页） 第 13 页 共 13 页 则 c 的取值范围是（0， ）； （3）证明：若 f（x）有三个不同零点，令 f（x）=0， 可得 f（x）的图象与 x 轴有三个不同的交点． 即有 f（x）有 3 个单调区间， 即为导数 f′（x）=3×2+2ax+b 的图象与 x 轴有两个交点， 可得△＞0，即 4a2﹣12b＞0，即为 a2﹣3b＞0； 若 a2﹣3b＞0，即有导数 f′（x）=3×2+2ax+b 的图象与 x 轴有两个交点， 当 c=0，a=b=4 时，满足 a2﹣3b＞0， 即有 f（x）=x（x+2）2，图象与 x 轴交于（0，0），（﹣2，0），则 f（x）的零点为 2 个． 故 a2﹣3b＞0 是 f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件． 【点评】不同考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断， 注意运用导数求得极值，考查化简整理的圆能力，属于中档题． 　第 13 页（共 13 页）