2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)下载

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  • 最近更新2022年10月14日



2015 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.(5 分)设复数 z 满足 A.1 B. =i,则|z|=(  ) C. D.2 D. 2.(5 分)sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=(  ) A. B. C. 3.(5 分)设命题 p:∃n∈N,n2>2n,则¬p 为(  ) A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n 4.(5 分)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同 学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过 测试的概率为(  ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 5.(5 分)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: =1 上的一点,F1,F2 是 C 的左 、右两个焦点,若 <0,则 y0 的取值范围是(  ) A. C. B. D. 6.(5 分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问 题:”今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思 为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部 的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有(  ) 第 1 页(共 34 页) A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 ,则(  ) 7.(5 分)设 D 为△ABC 所在平面内一点, A. C. B. D. 8.(5 分)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递 减区间为(  ) A.(kπ﹣ ,kπ+ ),k∈z C.(k﹣ ,k+ ),k∈z B.(2kπ﹣ ,2kπ+ ),k∈z D.( ,2k+ ),k∈z 9.(5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=(  ) 第 2 页(共 34 页) A.5 10.(5 分)(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系数为(  ) A.10 B.20 C.30 B.6 C.7 D.8 D.60 11.(5 分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π,则 r=(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 12.(5 分)设函数 f(x)=ex(2x﹣1)﹣ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是(  ) 第 3 页(共 34 页) A.[ )B.[ )C.[ )D.[ ) 二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 5 分) 13.(5 分)若函数 f(x)=xln(x+ )为偶函数,则 a=   . 14.(5 分)一个圆经过椭圆 =1 的三个顶点.且圆心在 x 轴的正半轴上. 则该圆标准方程为   . 15.(5 分)若 x,y 满足约束条件 .则 的最大值为   . 16.(5 分)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°.BC=2,则 AB 的取值范 围是 .  三、解答题: 217.(12 分)Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 an>0,an +2an=4Sn+3 (I)求{an}的通项公式: (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和. 18.(12 分)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一 侧的两点,BE 丄平面 ABCD,DF 丄平面 ABCD,BE=2DF,AE 丄 EC. 第 4 页(共 34 页) (Ⅰ)证明:平面 AEC 丄平面 AFC (Ⅱ)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值. 19.(12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x (单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响, 对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得 到下面的散点图及一些统计量的值. (xi﹣ )2 (wi﹣ )2 (xi﹣ )(yi﹣ ) (wi﹣ )(yi﹣ ) 46.6 5636.8 289.8 1.6 1469 108.8 第 5 页(共 34 页) 表中 wi= i, = (Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣 传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ)的结果 回答下列问题: (i)年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…..(un vn),其回归线 v=α+βu 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为: =,= ﹣ .20.(12 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:y= 与直线 l:y=kx+a(a>0)交 于 M,N 两点. (Ⅰ)当 k=0 时,分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程. (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?(说明理由 )21.(12 分)已知函数 f(x)=x3+ax+ ,g(x)=﹣lnx (i)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线; (ii)用 min{m,n}表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)=min{f(x),g(x) 第 6 页(共 34 页) }(x>0),讨论 h(x)零点的个数.  选修 4 一 1:几何证明选讲 22.(10 分)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于点 E. (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 OA= CE,求∠ACB 的大小.  选修 4 一 4:坐标系与参数方程 23.(10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=﹣2,圆 C2:(x﹣1)2+(y﹣2 )2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C1,C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△ C2MN 的面积. 第 7 页(共 34 页)  选修 4 一 5:不等式选讲 24.(10 分)已知函数 f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.  第 8 页(共 34 页) 2015 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) 参考答案与试题解析  一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.(5 分)设复数 z 满足 A.1 B. =i,则|z|=(  ) C. D.2 【考点】A8:复数的模.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;5N:数系的扩充和复数. 【分析】先化简复数,再求模即可. 【解答】解:∵复数 z 满足 ∴1+z=i﹣zi, =i, ∴z(1+i)=i﹣1, ∴z= =i, ∴|z|=1, 故选:A. 【点评】本题考查复数的运算,考查学生的计算能力,比较基础.  2.(5 分)sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=(  ) A. B. C. D. 【考点】GP:两角和与差的三角函数.菁优网版权所有 【专题】56:三角函数的求值. 【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数,化简求解即可. 【解答】解:sin20°cos10°﹣cos160°sin10° 第 9 页(共 34 页) =sin20°cos10°+cos20°sin10° =sin30° = . 故选:D. 【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用,基本知识的考查.  3.(5 分)设命题 p:∃n∈N,n2>2n,则¬p 为(  ) A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n 【考点】2J:命题的否定.菁优网版权所有 【专题】5L:简易逻辑. 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论. 【解答】解:命题的否定是:∀n∈N,n2≤2n, 故选:C. 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.  4.(5 分)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同 学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过 测试的概率为(  ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.菁优网版权所有 【专题】5I:概率与统计. 【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验,然后求解概率即可. 【解答】解:由题意可知:同学 3 次测试满足 X∽B(3,0.6), 该同学通过测试的概率为 =0.648. 故选:A. 【点评】本题考查独立重复试验概率的求法,基本知识的考查.  第 10 页(共 34 页) 5.(5 分)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: =1 上的一点,F1,F2 是 C 的左、 <0,则 y0 的取值范围是(  ) C. 右两个焦点,若 A. B. D. 【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用向量的数量积公式,结合双曲线方程,即可确定 y0 的取值范围. 【解答】解:由题意, =(﹣ ﹣x0 ,﹣y0 )•( ﹣x0 ,﹣y0 ) 222=x0 ﹣3+y0 =3y0 ﹣1<0, 所以﹣ <y0< 故选:A. .【点评】本题考查向量的数量积公式,考查双曲线方程,考查学生的计算能力, 比较基础.  6.(5 分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问 题:”今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思 为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部 的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有(  ) A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 第 11 页(共 34 页) 【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有 【专题】5F:空间位置关系与距离. 【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可. 【解答】解:设圆锥的底面半径为 r,则 r=8, 解得 r= ,故米堆的体积为 × ×π×( )2×5≈ ∵1 斛米的体积约为 1.62 立方, ,∴÷1.62≈22, 故选:B. 【点评】本题主要考查椎体的体积的计算,比较基础.  7.(5 分)设 D 为△ABC 所在平面内一点, ,则(  ) A. C. B. D. 【考点】96:平行向量(共线).菁优网版权所有 【专题】5A:平面向量及应用. 【分析】将向量 利用向量的三角形法则首先表示为 的形式. 【解答】解:由已知得到如图 ,然后结合已知表示 为由===;故选:A. 第 12 页(共 34 页) 【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用;关键是想法将向量 表示为 . 8.(5 分)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递 减区间为(  ) A.(kπ﹣ ,kπ+ ),k∈z C.(k﹣ ,k+ ),k∈z B.(2kπ﹣ ,2kπ+ ),k∈z D.( ,2k+ ),k∈z 【考点】HA:余弦函数的单调性.菁优网版权所有 【专题】57:三角函数的图像与性质. 【分析】由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ,可得 f(x)的解析式,再根据余 弦函数的单调性,求得 f(x)的减区间. 【解答】解:由函数 f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图象,可得函数的周期为 ( ﹣ )=2,∴ω=π,f(x)=cos(πx+ϕ). =2 再根据函数的图象以及五点法作图,可得 +ϕ= ,k∈z,即 ϕ= ,f(x)=cos (πx+ ). 由 2kπ≤πx+ ≤2kπ+π,求得 2k﹣ ≤x≤2k+ ,故 f(x)的单调递减区间为( 第 13 页(共 34 页) ,2k+ ),k∈z, 故选:D. 【点评】本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由周期求 出 ω,由五点法作图求出 φ 的值;还考查了余弦函数的单调性,属于基础题.  9.(5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=(  ) A.5 B.6 C.7 D.8 【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有 【专题】5K:算法和程序框图. 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 n 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答 案. 【解答】解:第一次执行循环体后,S= ,m= ,n=1,不满足退出循环的条件; 第 14 页(共 34 页) 再次执行循环体后,S= ,m= ,n=2,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S= ,m= ,n=3,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S= ,m= ,n=4,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S= ,m= ,n=5,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S= ,m= ,n=6,不满足退出循环的条件; ,n=7,满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S= ,m= 故输出的 n 值为 7, 故选:C. 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采 用模拟循环的方法解答.  10.(5 分)(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系数为(  ) A.10 B.20 C.30 D.60 【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;5P:二项式定理. 【分析】利用展开式的通项,即可得出结论. 【解答】解:(x2+x+y)5 的展开式的通项为 Tr+1= ,令 r=2,则(x2+x)3 的通项为 =,令 6﹣k=5,则 k=1, ∴(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系数为 故选:C. =30. 【点评】本题考查二项式定理的运用,考查学生的计算能力,确定通项是关键.  11.(5 分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 第 15 页(共 34 页) 16+20π,则 r=(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 【考点】L!:由三视图求面积、体积.菁优网版权所有 【专题】5Q:立体几何. 【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱,计算即可. 【解答】解:由几何体三视图中的正视图和俯视图可知, 截圆柱的平面过圆柱的轴线, 该几何体是一个半球拼接半个圆柱, ∴其表面积为: ×4πr2+ ×πr2 2r×2πr+2r×2r+ ×πr2=5πr2+4r2, 又∵该几何体的表面积为 16+20π, ∴5πr2+4r2=16+20π,解得 r=2, 故选:B. 【点评】本题考查由三视图求表面积问题,考查空间想象能力,注意解题方法的 积累,属于中档题.  12.(5 分)设函数 f(x)=ex(2x﹣1)﹣ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是(  ) A.[ )B.[ )C.[ )D.[ )第 16 页(共 34 页) 【考点】51:函数的零点;6D:利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有 【专题】2:创新题型;53:导数的综合应用. 【分析】设 g(x)=ex(2x﹣1),y=ax﹣a,问题转化为存在唯一的整数 x0 使得 g (x0)在直线 y=ax﹣a 的下方,求导数可得函数的极值,数形结合可得﹣a>g (0)=﹣1 且 g(﹣1)=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a,解关于 a 的不等式组可得. 【解答】解:设 g(x)=ex(2x﹣1),y=ax﹣a, 由题意知存在唯一的整数 x0 使得 g(x0)在直线 y=ax﹣a 的下方, ∵g′(x)=ex(2x﹣1)+2ex=ex(2x+1), ∴当 x<﹣ 时,g′(x)<0,当 x>﹣ 时,g′(x)>0, ∴当 x=﹣ 时,g(x)取最小值﹣2 ,当 x=0 时,g(0)=﹣1,当 x=1 时,g(1)=e>0, 直线 y=ax﹣a 恒过定点(1,0)且斜率为 a, 故﹣a>g(0)=﹣1 且 g(﹣1)=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a,解得 ≤a<1 故选:D. 【点评】本题考查导数和极值,涉及数形结合和转化的思想,属中档题.  二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 5 分) 13.(5 分)若函数 f(x)=xln(x+ )为偶函数,则 a= 1 . 第 17 页(共 34 页) 【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.菁优网版权所有 【专题】51:函数的性质及应用. 【分析】由题意可得,f(﹣x)=f(x),代入根据对数的运算性质即可求解. 【解答】解:∵f(x)=xln(x+ ∴f(﹣x)=f(x), )为偶函数, ∴(﹣x)ln(﹣x+ )=xln(x+ )=ln(x+ )+ln(x+ +x)( ﹣x)=0, ), ∴﹣ln(﹣x+ ), )=0, ∴ln(﹣x+ ∴ln( ∴lna=0, ∴a=1. 故答案为:1. 【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用,属于基础 试题.  14.(5 分)一个圆经过椭圆 =1 的三个顶点.且圆心在 x 轴的正半轴上. 则该圆标准方程为 (x﹣ )2+y2=  . 【考点】K3:椭圆的标准方程.菁优网版权所有 【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标,然后求出圆心坐标,求出半径即可得到 圆的方程. 【解答】解:一个圆经过椭圆 =1 的三个顶点.且圆心在 x 轴的正半轴上. 可知椭圆的右顶点坐标(4,0),上下顶点坐标(0,±2), 第 18 页(共 34 页) 设圆的圆心(a,0),则 圆的半径为: , ,解得 a= , 所求圆的方程为:(x﹣ )2+y2= .故答案为:(x﹣ )2+y2= .【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,圆的方程的求法,考查计算能力.  15.(5 分)若 x,y 满足约束条件 .则 的最大值为 3 . 【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有 【专题】59:不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结 合确定 的最大值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分 ABC). 设 k= ,则 k 的几何意义为区域内的点到原点的斜率, 由图象知 OA 的斜率最大, 由,解得 ,即 A(1,3), kOA= =3, 第 19 页(共 34 页) 即 的最大值为3. 故答案为:3. 【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义以及直线的斜 率,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.  16.(5 分)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°.BC=2,则 AB 的取值范 围是 ( ﹣,+) . 【考点】HT:三角形中的几何计算.菁优网版权所有 【专题】15:综合题;2:创新题型;58:解三角形. 【分析】如图所示,延长 BA,CD 交于点 E,设 AD= x,AE= x,DE= x, CD=m,求出 x+m= +,即可求出 AB 的取值范围. 【解答】解:方法一: 如图所示,延长 BA,CD 交于点 E,则 在△ADE 中,∠DAE=105°,∠ADE=45°,∠E=30°, ∴设 AD= x,AE= x,DE= ∵BC=2, x,CD=m, ∴( ∴x+m)sin15°=1, x+m= +,∴0<x<4, 第 20 页(共 34 页) 而 AB= x+m﹣ x= +﹣x, ∴AB 的取值范围是( ﹣,+). 故答案为:( 方法二: ﹣,+). 如下图,作出底边 BC=2 的等腰三角形 EBC,B=C=75°, 倾斜角为 150°的直线在平面内移动,分别交 EB、EC 于 A、D,则四边形 ABCD 即 为满足题意的四边形; 当直线移动时,运用极限思想, ①直线接近点 C 时,AB 趋近最小,为 ②直线接近点 E 时,AB 趋近最大值,为 ﹣;+;故答案为:( ﹣,+). 【点评】本题考查求 AB 的取值范围,考查三角形中的几何计算,考查学生的计 算能力,属于中档题. 第 21 页(共 34 页)  三、解答题: 217.(12 分)Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 an>0,an +2an=4Sn+3 (I)求{an}的通项公式: (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和. 【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.菁优网版权所有 【专题】54:等差数列与等比数列. 【分析】(I)根据数列的递推关系,利用作差法即可求{an}的通项公式: (Ⅱ)求出 bn= ,利用裂项法即可求数列{bn}的前 n 项和. 2【解答】解:(I)由 an +2an=4Sn+3,可知 an+12+2an+1=4Sn+1+3 2两式相减得 an+12﹣an +2(an+1﹣an)=4an+1, 2即 2(an+1+an)=an+12﹣an =(an+1+an)(an+1﹣an), ∵an>0,∴an+1﹣an=2, 2∵a1 +2a1=4a1+3, ∴a1=﹣1(舍)或 a1=3, 则{an}是首项为 3,公差 d=2 的等差数列, ∴{an}的通项公式 an=3+2(n﹣1)=2n+1: (Ⅱ)∵an=2n+1, ∴bn= == ( ﹣), +…+ ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn= ( ﹣ ﹣)= ( ﹣ )= .【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算,利用裂项法是解决 本题的关键.  18.(12 分)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一 第 22 页(共 34 页) 侧的两点,BE 丄平面 ABCD,DF 丄平面 ABCD,BE=2DF,AE 丄 EC. (Ⅰ)证明:平面 AEC 丄平面 AFC (Ⅱ)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值. 【考点】LM:异面直线及其所成的角;LY:平面与平面垂直.菁优网版权所有 【专题】5F:空间位置关系与距离;5G:空间角;5H:空间向量及应用. 【分析】(Ⅰ)连接 BD,设 BD∩AC=G,连接 EG、EF、FG,运用线面垂直的判 定定理得到 EG⊥平面 AFC,再由面面垂直的判定定理,即可得到; (Ⅱ)以 G 为坐标原点,分别以 GB,GC 为 x 轴,y 轴,|GB|为单位长度,建立 空间直角坐标系 G﹣xyz,求得 A,E,F,C 的坐标,运用向量的数量积的定义 ,计算即可得到所求角的余弦值. 【解答】解:(Ⅰ)连接 BD, 设 BD∩AC=G, 连接 EG、EF、FG, 在菱形 ABCD 中, 不妨设 BG=1, 由∠ABC=120°, 可得 AG=GC= ,BE⊥平面 ABCD,AB=BC=2, 可知 AE=EC,又 AE⊥EC, 所以 EG= ,且 EG⊥AC, 在直角△EBG 中,可得 BE= ,故 DF= ,在直角三角形 FDG 中,可得 FG= ,第 23 页(共 34 页) 在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= ,FD= ,可得 EF= =,从而 EG2+FG2=EF2,则 EG⊥FG, (或由 tan∠EGB•tan∠FGD= •=•=1, 可得∠EGB+∠FGD=90°,则 EG⊥FG) AC∩FG=G,可得 EG⊥平面 AFC, 由 EG⊂平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 AFC; (Ⅱ)如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB,GC 为 x 轴,y 轴,|GB|为单位长度 ,建立空间直角坐标系 G﹣xyz,由(Ⅰ)可得 A(0,﹣ ,0),E(1,0, ),F(﹣1,0, ),C(0, ,0), 即有 =(1, 故 cos< ,), =(﹣1,﹣ ,), ,>= ==﹣ .则有直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 .【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法,主要考查面面垂 直的判定定理和异面直线所成的角的求法:向量法,考查运算能力,属于中 档题.  19.(12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x 第 24 页(共 34 页) (单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响, 对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得 到下面的散点图及一些统计量的值. (xi﹣ ) (wi﹣ (xi﹣ ) (wi﹣ ) (yi﹣ ) (yi﹣ ) 22)46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 wi= i, = (Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣 传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ)的结果 回答下列问题: (i)年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…..(un vn),其回归线 v=α+βu 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为: =,= ﹣ .【考点】BK:线性回归方程.菁优网版权所有 第 25 页(共 34 页) 【专题】5I:概率与统计. 【分析】(Ⅰ)根据散点图,即可判断出, (Ⅱ)先建立中间量 w= ,建立 y 关于 w 的线性回归方程,根据公式求出 w, 问题得以解决; (Ⅲ)(i)年宣传费 x=49 时,代入到回归方程,计算即可, (ii)求出预报值得方程,根据函数的性质,即可求出. 【解答】解:(Ⅰ)由散点图可以判断,y=c+d 适宜作为年销售量 y 关于年宣 传费 x 的回归方程类型; (Ⅱ)令 w= ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程,由于 = =68, = ﹣ =563﹣68×6.8=100.6, 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 =100.6+68w, 因此 y 关于 x 的回归方程为 =100.6+68 ,(Ⅲ)(i)由(Ⅱ)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值 =100.6+68 =576.6 ,年利润 z 的预报值 =576.6×0.2﹣49=66.32, ( ii ) 根 据 ( Ⅱ ) 的 结 果 可 知 , 年 利 润z 的 预 报 值=0.2 ( 100.6+68 ﹣x=﹣x+13.6 +20.12, )当==6.8 时,即当 x=46.24 时,年利润的预报值最大. 【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题,准确的计算是本题的关 键,属于中档题.  20.(12 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:y= 与直线 l:y=kx+a(a>0)交 于 M,N 两点. (Ⅰ)当 k=0 时,分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程. (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?(说明理由 )第 26 页(共 34 页) 【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有 【分析】(I)联立 ,可得交点 M,N 的坐标,由曲线 C:y= ,利用导 数的运算法则可得:y′= ,利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程. (II)存在符合条件的点(0,﹣a),设 P(0,b)满足∠OPM=∠OPN.M(x1, y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的斜率分别为:k1,k2.直线方程与抛物线 方程联立化为 x2﹣4kx﹣4a=0,利用根与系数的关系、斜率计算公式可得 k1+k2= .k1+k2=0⇔直线 PM,PN 的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN.即可证明. 【解答】解:(I)联立 ,不妨取 M ,N ,由曲线 C:y= 可得:y′= , ∴曲线 C 在 M 点处的切线斜率为 =,其切线方程为:y﹣a= ,化为 .同理可得曲线 C 在点 N 处的切线方程为: .(II)存在符合条件的点(0,﹣a),下面给出证明: 设 P(0,b)满足∠OPM=∠OPN.M(x1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的 斜率分别为:k1,k2. 联立 ,化为 x2﹣4kx﹣4a=0, ∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4a. ∴k1+k2= +==.当 b=﹣a 时,k1+k2=0,直线 PM,PN 的倾斜角互补, 第 27 页(共 34 页) ∴∠OPM=∠OPN. ∴点 P(0,﹣a)符合条件. 【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线 与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题.  21.(12 分)已知函数 f(x)=x3+ax+ ,g(x)=﹣lnx (i)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线; (ii)用 min{m,n}表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)=min{f(x),g(x) }(x>0),讨论 h(x)零点的个数. 【考点】6E:利用导数研究函数的最值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方 程.菁优网版权所有 【专题】2:创新题型;53:导数的综合应用. 【分析】(i)f′(x)=3×2+a.设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 P(x0,0),则 f( x0)=0,f′(x0)=0 解出即可. (ii)对 x 分类讨论:当 x∈(1,+∞)时,g(x)=﹣lnx<0,可得函数 h(x)=min { f(x),g(x)}≤g(x)<0,即可得出零点的个数. 当 x=1 时,对 a 分类讨论:a≥﹣ ,a<﹣ ,即可得出零点的个数; 当 x∈(0,1)时,g(x)=﹣lnx>0,因此只考虑 f(x)在(0,1)内的零点个 数即可.对 a 分类讨论:①当 a≤﹣3 或 a≥0 时,②当﹣3<a<0 时,利用导 数研究其单调性极值即可得出. 【解答】解:(i)f′(x)=3×2+a. 设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 P(x0,0),则 f(x0)=0,f′(x0)=0, ∴,解得 ,a= .第 28 页(共 34 页) 因此当 a=﹣ 时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线; (ii)当 x∈(1,+∞)时,g(x)=﹣lnx<0, ∴函数 h(x)=min { f(x),g(x)}<0, 故 h(x)在 x∈(1,+∞)时无零点. 当 x=1 时,若 a≥﹣ ,则 f(1)=a+ ≥0, ∴h(x)=min { f(1),g(1)}=g(1)=0,故 x=1 是函数 h(x)的一个零点; 若 a<﹣ ,则 f(1)=a+ <0,∴h(x)=min { f(1),g(1)}=f(1)<0, 故 x=1 不是函数 h(x)的零点; 当 x∈(0,1)时,g(x)=﹣lnx>0,因此只考虑 f(x)在(0,1)内的零点个 数即可. ①当 a≤﹣3 或 a≥0 时,f′(x)=3×2+a 在(0,1)内无零点,因此 f(x)在区间 (0,1)内单调, 而 f(0)= ,f(1)=a+ ,∴当 a≤﹣3 时,函数 f(x)在区间(0,1)内有一 个零点, 当 a≥0 时,函数 f(x)在区间(0,1)内没有零点. ②当﹣3<a<0 时,函数 f(x)在 内单调递减,在 内单调 递增,故当 x= >0,即 时,f(x)取得最小值 =.若,则 f(x)在(0,1)内无零点. 若=0,即 a=﹣ ,则 f(x)在(0,1)内有唯一零点. <0,即 ,由f(0)= ,f(1)=a+ , 时,f(x)在(0,1)内有两个零点.当﹣3<a 若∴当 时,f(x) 在(0,1)内有一个零点. 综上可得:a< 时,函数h(x)有一个零点. 当时,h(x)有一个零点; 第 29 页(共 34 页) 当 a= 或时,h(x)有两个零点; 当时,函数 h(x)有三个零点. 【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用 导数研究函数的单调性极值,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能 力,属于难题.  选修 4 一 1:几何证明选讲 22.(10 分)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于点 E. (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 OA= CE,求∠ACB 的大小. 【考点】N9:圆的切线的判定定理的证明.菁优网版权所有 【专题】5B:直线与圆. 【分析】(Ⅰ)连接 AE 和 OE,由三角形和圆的知识易得∠OED=90°,可得 DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)设 CE=1,AE=x,由射影定理可得关于 x 的方程 x2= ,解方程可得 x 值,可得所求角度. 【解答】解:(Ⅰ)连接 AE,由已知得 AE⊥BC,AC⊥AB, 在 RT△ABC 中,由已知可得 DE=DC,∴∠DEC=∠DCE, 连接 OE,则∠OBE=∠OEB, 又∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°, ∴∠OED=90°,∴DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)设 CE=1,AE=x, 第 30 页(共 34 页) 由已知得 AB=2 ,BE= ,由射影定理可得 AE2=CE•BE, ∴x2= ,即 x4+x2﹣12=0, 解方程可得 x= ∴∠ACB=60° 【点评】本题考查圆的切线的判定,涉及射影定理和三角形的知识,属基础题.  选修 4 一 4:坐标系与参数方程 23.(10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=﹣2,圆 C2:(x﹣1)2+(y﹣2 )2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C1,C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△ C2MN 的面积. 【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.菁优网版权所有 【专题】5S:坐标系和参数方程. 【分析】(Ⅰ)由条件根据 x=ρcosθ,y=ρsinθ 求得 C1,C2 的极坐标方程. (Ⅱ)把直线 C3 的极坐标方程代入 ρ2﹣3 ρ+4=0,求得 ρ1 和 ρ2 的值,结合圆 的半径可得 C2M⊥C2N,从而求得△C2MN 的面积 •C2M•C2N 的值. 【解答】解:(Ⅰ)由于 x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C1:x=﹣2 的 极坐标方程为 ρcosθ=﹣2, 第 31 页(共 34 页) 故 C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1 的极坐标方程为: (ρcosθ﹣1)2+(ρsinθ﹣2)2=1, 化简可得 ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0. (Ⅱ)把直线 C3 的极坐标方程 θ= (ρ∈R)代入 圆 C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1, 可得 ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0, 求得 ρ1=2 ,ρ2= ,∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|= ,由于圆 C2 的半径为 1,∴C2M⊥C2N, △C2MN 的面积为 •C2M•C2N= •1•1= . 【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程,点的极坐标的定义,属于基础题 . 选修 4 一 5:不等式选讲 24.(10 分)已知函数 f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 【考点】R5:绝对值不等式的解法.菁优网版权所有 第 32 页(共 34 页) 【专题】59:不等式的解法及应用. 【分析】(Ⅰ)当 a=1 时,把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等 式组,分别求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.(Ⅱ)化简函 数 f(x)的解析式,求得它的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标, 从而求得 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积;再根据 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,从而求得 a 的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)当 a=1 时,不等式 f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1, 即或①,或 ③. ②, 解①求得 x∈∅,解②求得 <x<1,解③求得 1≤x<2. 综上可得,原不等式的解集为( ,2). (Ⅱ)函数 f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|= ,由此求得 f(x)的图象与 x 轴的交点 A ( B(2a+1,0), ,0), 故 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的第三个顶点 C(a,a+1), 由△ABC 的面积大于 6, 可得 [2a+1﹣ ]•(a+1)>6,求得 a>2. 故要求的 a 的范围为(2,+∞). 第 33 页(共 34 页) 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想 ,属于中档题. 第 34 页(共 34 页)

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