2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）下载

2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）设复数 z 满足 A．1 B． =i，则|z|=（　　） C． D．2 D． 2．（5 分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（　　） A． B． C． 3．（5 分）设命题 p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p 为（　　） A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 4．（5 分）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　） A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 5．（5 分）已知 M（x0，y0）是双曲线 C： =1 上的一点，F1，F2 是 C 的左、右两个焦点，若＜0，则 y0 的取值范围是（　　） A． C． B． D． 6．（5 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（　　）第 1 页（共 34 页） A．14 斛 B．22 斛 C．36 斛 D．66 斛，则（　　） 7．（5 分）设 D 为△ABC 所在平面内一点， A． C． B． D． 8．（5 分）函数 f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递减区间为（　　） A．（kπ﹣ ，kπ+ ），k∈z C．（k﹣ ，k+ ），k∈z B．（2kπ﹣ ，2kπ+ ），k∈z D．（，2k+ ），k∈z 9．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（　　）第 2 页（共 34 页） A．5 10．（5 分）（x2+x+y）5 的展开式中，x5y2 的系数为（　　） A．10 B．20 C．30 B．6 C．7 D．8 D．60 11．（5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 16+20π，则 r=（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 12．（5 分）设函数 f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中 a＜1，若存在唯一的整数 x0 使得 f（x0）＜0，则 a 的取值范围是（　　）第 3 页（共 34 页） A．[ ）B．[ ）C．[ ）D．[ ）　二、填空题（本大题共有 4 小题，每小题 5 分） 13．（5 分）若函数 f（x）=xln（x+ ）为偶函数，则 a=　　． 14．（5 分）一个圆经过椭圆 =1 的三个顶点．且圆心在 x 轴的正半轴上．则该圆标准方程为　　． 15．（5 分）若 x，y 满足约束条件．则的最大值为　　． 16．（5 分）在平面四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则 AB 的取值范围是　．　三、解答题： 217．（12 分）Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 an＞0，an +2an=4Sn+3 （I）求{an}的通项公式：（Ⅱ）设 bn= ，求数列{bn}的前 n 项和． 18．（12 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面 ABCD，DF 丄平面 ABCD，BE=2DF，AE 丄 EC．第 4 页（共 34 页）（Ⅰ）证明：平面 AEC 丄平面 AFC （Ⅱ）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值． 19．（12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（xi﹣ ）2 （wi﹣ ）2 （xi﹣ ）（yi﹣ ）（wi﹣ ）（yi﹣ ） 46.6 5636.8 289.8 1.6 1469 108.8 第 5 页（共 34 页）表中 wi= i， = （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线 v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： =，= ﹣ ．20．（12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y= 与直线 l：y=kx+a（a＞0）交于 M，N 两点．（Ⅰ）当 k=0 时，分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程．（Ⅱ）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）21．（12 分）已知函数 f（x）=x3+ax+ ，g（x）=﹣lnx （i）当 a 为何值时，x 轴为曲线 y=f（x）的切线；（ii）用 min{m，n}表示 m，n 中的最小值，设函数 h（x）=min{f（x），g（x）第 6 页（共 34 页） }（x＞0），讨论 h（x）零点的个数．　选修 4 一 1:几何证明选讲 22．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点 E．（Ⅰ）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若 OA= CE，求∠ACB 的大小．　选修 4 一 4：坐标系与参数方程 23．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x=﹣2，圆 C2：（x﹣1）2+（y﹣2 ）2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求 C1，C2 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线 C3 的极坐标方程为 θ= （ρ∈R），设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△ C2MN 的面积．第 7 页（共 34 页）　选修 4 一 5：不等式选讲 24．（10 分）已知函数 f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当 a=1 时，求不等式 f（x）＞1 的解集；（Ⅱ）若 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围．　第 8 页（共 34 页） 2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析　一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）设复数 z 满足 A．1 B． =i，则|z|=（　　） C． D．2 【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数 z 满足 ∴1+z=i﹣zi， =i， ∴z（1+i）=i﹣1， ∴z= =i， ∴|z|=1，故选：A．【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．　2．（5 分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（　　） A． B． C． D．【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值．【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10° 第 9 页（共 34 页） =sin20°cos10°+cos20°sin10° =sin30° = ．故选：D．【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．　3．（5 分）设命题 p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p 为（　　） A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．　4．（5 分）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　） A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计．【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【解答】解：由题意可知：同学 3 次测试满足 X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为 =0.648．故选：A．【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．　第 10 页（共 34 页） 5．（5 分）已知 M（x0，y0）是双曲线 C： =1 上的一点，F1，F2 是 C 的左、＜0，则 y0 的取值范围是（　　） C．右两个焦点，若 A． B． D．【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定 y0 的取值范围．【解答】解：由题意， =（﹣ ﹣x0 ，﹣y0 ）•（ ﹣x0 ，﹣y0 ） 222=x0 ﹣3+y0 =3y0 ﹣1＜0，所以﹣ ＜y0＜故选：A．．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．　6．（5 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（　　） A．14 斛 B．22 斛 C．36 斛 D．66 斛第 11 页（共 34 页）【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，则 r=8，解得 r= ，故米堆的体积为 × ×π×（）2×5≈ ∵1 斛米的体积约为 1.62 立方，，∴÷1.62≈22，故选：B．【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．　7．（5 分）设 D 为△ABC 所在平面内一点，，则（　　） A． C． B． D．【考点】96：平行向量（共线）．菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图，然后结合已知表示为由===；故选：A．第 12 页（共 34 页）【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．　8．（5 分）函数 f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递减区间为（　　） A．（kπ﹣ ，kπ+ ），k∈z C．（k﹣ ，k+ ），k∈z B．（2kπ﹣ ，2kπ+ ），k∈z D．（，2k+ ），k∈z 【考点】HA：余弦函数的单调性．菁优网版权所有【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出 ω，由五点法作图求出 φ，可得 f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得 f（x）的减区间．【解答】解：由函数 f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为（ ﹣ ）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）． =2 再根据函数的图象以及五点法作图，可得 +ϕ= ，k∈z，即 ϕ= ，f（x）=cos （πx+ ）．由 2kπ≤πx+ ≤2kπ+π，求得 2k﹣ ≤x≤2k+ ，故 f（x）的单调递减区间为（第 13 页（共 34 页），2k+ ），k∈z，故选：D．【点评】本题主要考查由函数 y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出 ω，由五点法作图求出 φ 的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．　9．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S= ，m= ，n=1，不满足退出循环的条件；第 14 页（共 34 页）再次执行循环体后，S= ，m= ，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S= ，m= ，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S= ，m= ，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S= ，m= ，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S= ，m= ，n=6，不满足退出循环的条件；，n=7，满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S= ，m= 故输出的 n 值为 7，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．　10．（5 分）（x2+x+y）5 的展开式中，x5y2 的系数为（　　） A．10 B．20 C．30 D．60 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．【解答】解：（x2+x+y）5 的展开式的通项为 Tr+1= ，令 r=2，则（x2+x）3 的通项为 =，令 6﹣k=5，则 k=1， ∴（x2+x+y）5 的展开式中，x5y2 的系数为故选：C． =30．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．　11．（5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为第 15 页（共 34 页） 16+20π，则 r=（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【专题】5Q：立体几何．【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱， ∴其表面积为： ×4πr2+ ×πr2 2r×2πr+2r×2r+ ×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为 16+20π， ∴5πr2+4r2=16+20π，解得 r=2，故选：B．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．　12．（5 分）设函数 f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中 a＜1，若存在唯一的整数 x0 使得 f（x0）＜0，则 a 的取值范围是（　　） A．[ ）B．[ ）C．[ ）D．[ ）第 16 页（共 34 页）【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用．【分析】设 g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数 x0 使得 g （x0）在直线 y=ax﹣a 的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g （0）=﹣1 且 g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于 a 的不等式组可得．【解答】解：设 g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数 x0 使得 g（x0）在直线 y=ax﹣a 的下方， ∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1）， ∴当 x＜﹣ 时，g′（x）＜0，当 x＞﹣ 时，g′（x）＞0， ∴当 x=﹣ 时，g（x）取最小值﹣2 ，当 x=0 时，g（0）=﹣1，当 x=1 时，g（1）=e＞0，直线 y=ax﹣a 恒过定点（1，0）且斜率为 a，故﹣a＞g（0）=﹣1 且 g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得 ≤a＜1 故选：D．【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．　二、填空题（本大题共有 4 小题，每小题 5 分） 13．（5 分）若函数 f（x）=xln（x+ ）为偶函数，则 a=　1　．第 17 页（共 34 页）【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．【解答】解：∵f（x）=xln（x+ ∴f（﹣x）=f（x），）为偶函数， ∴（﹣x）ln（﹣x+ ）=xln（x+ ）=ln（x+ ）+ln（x+ +x）（ ﹣x）=0，）， ∴﹣ln（﹣x+ ），）=0， ∴ln（﹣x+ ∴ln（ ∴lna=0， ∴a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．　14．（5 分）一个圆经过椭圆 =1 的三个顶点．且圆心在 x 轴的正半轴上．则该圆标准方程为　（x﹣ ）2+y2= 　．【考点】K3：椭圆的标准方程．菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．【解答】解：一个圆经过椭圆 =1 的三个顶点．且圆心在 x 轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），第 18 页（共 34 页）设圆的圆心（a，0），则圆的半径为：，，解得 a= ，所求圆的方程为：（x﹣ ）2+y2= ．故答案为：（x﹣ ）2+y2= ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．　15．（5 分）若 x，y 满足约束条件．则的最大值为　3　．【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC）．设 k= ，则 k 的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知 OA 的斜率最大，由，解得，即 A（1，3）， kOA= =3，第 19 页（共 34 页）即的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．　16．（5 分）在平面四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则 AB 的取值范围是　（ ﹣，+）　．【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有【专题】15：综合题；2：创新题型；58：解三角形．【分析】如图所示，延长 BA，CD 交于点 E，设 AD= x，AE= x，DE= x， CD=m，求出 x+m= +，即可求出 AB 的取值范围．【解答】解：方法一：如图所示，延长 BA，CD 交于点 E，则在△ADE 中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°， ∴设 AD= x，AE= x，DE= ∵BC=2， x，CD=m， ∴（ ∴x+m）sin15°=1， x+m= +，∴0＜x＜4，第 20 页（共 34 页）而 AB= x+m﹣ x= +﹣x， ∴AB 的取值范围是（ ﹣，+）．故答案为：（方法二： ﹣，+）．如下图，作出底边 BC=2 的等腰三角形 EBC，B=C=75°，倾斜角为 150°的直线在平面内移动，分别交 EB、EC 于 A、D，则四边形 ABCD 即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想， ①直线接近点 C 时，AB 趋近最小，为 ②直线接近点 E 时，AB 趋近最大值，为 ﹣；+；故答案为：（ ﹣，+）．【点评】本题考查求 AB 的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．第 21 页（共 34 页）　三、解答题： 217．（12 分）Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 an＞0，an +2an=4Sn+3 （I）求{an}的通项公式：（Ⅱ）设 bn= ，求数列{bn}的前 n 项和．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：（Ⅱ）求出 bn= ，利用裂项法即可求数列{bn}的前 n 项和． 2【解答】解：（I）由 an +2an=4Sn+3，可知 an+12+2an+1=4Sn+1+3 2两式相减得 an+12﹣an +2（an+1﹣an）=4an+1， 2即 2（an+1+an）=an+12﹣an =（an+1+an）（an+1﹣an）， ∵an＞0，∴an+1﹣an=2， 2∵a1 +2a1=4a1+3， ∴a1=﹣1（舍）或 a1=3，则{an}是首项为 3，公差 d=2 的等差数列， ∴{an}的通项公式 an=3+2（n﹣1）=2n+1：（Ⅱ）∵an=2n+1， ∴bn= == （ ﹣）， +…+ ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn= （ ﹣ ﹣）= （ ﹣ ）= ．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．　18．（12 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一第 22 页（共 34 页）侧的两点，BE 丄平面 ABCD，DF 丄平面 ABCD，BE=2DF，AE 丄 EC．（Ⅰ）证明：平面 AEC 丄平面 AFC （Ⅱ）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值．【考点】LM：异面直线及其所成的角；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）连接 BD，设 BD∩AC=G，连接 EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到 EG⊥平面 AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；（Ⅱ）以 G 为坐标原点，分别以 GB，GC 为 x 轴，y 轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 G﹣xyz，求得 A，E，F，C 的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接 BD，设 BD∩AC=G，连接 EG、EF、FG，在菱形 ABCD 中，不妨设 BG=1，由∠ABC=120°，可得 AG=GC= ，BE⊥平面 ABCD，AB=BC=2，可知 AE=EC，又 AE⊥EC，所以 EG= ，且 EG⊥AC，在直角△EBG 中，可得 BE= ，故 DF= ，在直角三角形 FDG 中，可得 FG= ，第 23 页（共 34 页）在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE= ，FD= ，可得 EF= =，从而 EG2+FG2=EF2，则 EG⊥FG，（或由 tan∠EGB•tan∠FGD= •=•=1，可得∠EGB+∠FGD=90°，则 EG⊥FG） AC∩FG=G，可得 EG⊥平面 AFC，由 EG⊂平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 AFC；（Ⅱ）如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB，GC 为 x 轴，y 轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 G﹣xyz，由（Ⅰ）可得 A（0，﹣ ，0），E（1，0，），F（﹣1，0，），C（0，，0），即有 =（1，故 cos＜，）， =（﹣1，﹣ ，），，＞= ==﹣ ．则有直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为．【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题．　19．（12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x 第 24 页（共 34 页）（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（xi﹣ ）（wi﹣ （xi﹣ ）（wi﹣ ）（yi﹣ ）（yi﹣ ） 22）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 wi= i， = （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线 v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： =，= ﹣ ．【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有第 25 页（共 34 页）【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，（Ⅱ）先建立中间量 w= ，建立 y 关于 w 的线性回归方程，根据公式求出 w，问题得以解决；（Ⅲ）（i）年宣传费 x=49 时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型；（Ⅱ）令 w= ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，由于 = =68， = ﹣ =563﹣68×6.8=100.6，所以 y 关于 w 的线性回归方程为 =100.6+68w，因此 y 关于 x 的回归方程为 =100.6+68 ，（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值 =100.6+68 =576.6 ，年利润 z 的预报值 =576.6×0.2﹣49=66.32，（ ii ）根据（ Ⅱ ）的结果可知，年利润z 的预报值=0.2 （ 100.6+68 ﹣x=﹣x+13.6 +20.12，）当==6.8 时，即当 x=46.24 时，年利润的预报值最大．【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．　20．（12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y= 与直线 l：y=kx+a（a＞0）交于 M，N 两点．（Ⅰ）当 k=0 时，分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程．（Ⅱ）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）第 26 页（共 34 页）【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有【分析】（I）联立，可得交点 M，N 的坐标，由曲线 C：y= ，利用导数的运算法则可得：y′= ，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设 P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1， y1），N（x2，y2），直线 PM，PN 的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为 x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得 k1+k2= ．k1+k2=0⇔直线 PM，PN 的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．【解答】解：（I）联立，不妨取 M ，N ，由曲线 C：y= 可得：y′= ， ∴曲线 C 在 M 点处的切线斜率为 =，其切线方程为：y﹣a= ，化为．同理可得曲线 C 在点 N 处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：设 P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线 PM，PN 的斜率分别为：k1，k2．联立，化为 x2﹣4kx﹣4a=0， ∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a． ∴k1+k2= +==．当 b=﹣a 时，k1+k2=0，直线 PM，PN 的倾斜角互补，第 27 页（共 34 页） ∴∠OPM=∠OPN． ∴点 P（0，﹣a）符合条件．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　21．（12 分）已知函数 f（x）=x3+ax+ ，g（x）=﹣lnx （i）当 a 为何值时，x 轴为曲线 y=f（x）的切线；（ii）用 min{m，n}表示 m，n 中的最小值，设函数 h（x）=min{f（x），g（x） }（x＞0），讨论 h（x）零点的个数．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用．【分析】（i）f′（x）=3×2+a．设曲线 y=f（x）与 x 轴相切于点 P（x0，0），则 f（ x0）=0，f′（x0）=0 解出即可．（ii）对 x 分类讨论：当 x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，可得函数 h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．当 x=1 时，对 a 分类讨论：a≥﹣ ，a＜﹣ ，即可得出零点的个数；当 x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑 f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对 a 分类讨论：①当 a≤﹣3 或 a≥0 时，②当﹣3＜a＜0 时，利用导数研究其单调性极值即可得出．【解答】解：（i）f′（x）=3×2+a．设曲线 y=f（x）与 x 轴相切于点 P（x0，0），则 f（x0）=0，f′（x0）=0， ∴，解得，a= ．第 28 页（共 34 页）因此当 a=﹣ 时，x 轴为曲线 y=f（x）的切线；（ii）当 x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0， ∴函数 h（x）=min { f（x），g（x）}＜0，故 h（x）在 x∈（1，+∞）时无零点．当 x=1 时，若 a≥﹣ ，则 f（1）=a+ ≥0， ∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故 x=1 是函数 h（x）的一个零点；若 a＜﹣ ，则 f（1）=a+ ＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故 x=1 不是函数 h（x）的零点；当 x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑 f（x）在（0，1）内的零点个数即可． ①当 a≤﹣3 或 a≥0 时，f′（x）=3×2+a 在（0，1）内无零点，因此 f（x）在区间（0，1）内单调，而 f（0）= ，f（1）=a+ ，∴当 a≤﹣3 时，函数 f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当 a≥0 时，函数 f（x）在区间（0，1）内没有零点． ②当﹣3＜a＜0 时，函数 f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当 x= ＞0，即时，f（x）取得最小值 =．若，则 f（x）在（0，1）内无零点．若=0，即 a=﹣ ，则 f（x）在（0，1）内有唯一零点．＜0，即，由f（0）= ，f（1）=a+ ，时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a 若∴当时，f（x）在（0，1）内有一个零点．综上可得：a＜时，函数h（x）有一个零点．当时，h（x）有一个零点；第 29 页（共 34 页）当 a= 或时，h（x）有两个零点；当时，函数 h（x）有三个零点．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．　选修 4 一 1:几何证明选讲 22．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点 E．（Ⅰ）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若 OA= CE，求∠ACB 的大小．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆．【分析】（Ⅰ）连接 AE 和 OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得 DE 是⊙O 的切线；（Ⅱ）设 CE=1，AE=x，由射影定理可得关于 x 的方程 x2= ，解方程可得 x 值，可得所求角度．【解答】解：（Ⅰ）连接 AE，由已知得 AE⊥BC，AC⊥AB，在 RT△ABC 中，由已知可得 DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接 OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， ∴∠OED=90°，∴DE 是⊙O 的切线；（Ⅱ）设 CE=1，AE=x，第 30 页（共 34 页）由已知得 AB=2 ，BE= ，由射影定理可得 AE2=CE•BE， ∴x2= ，即 x4+x2﹣12=0，解方程可得 x= ∴∠ACB=60° 【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．　选修 4 一 4：坐标系与参数方程 23．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x=﹣2，圆 C2：（x﹣1）2+（y﹣2 ）2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求 C1，C2 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线 C3 的极坐标方程为 θ= （ρ∈R），设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△ C2MN 的面积．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据 x=ρcosθ，y=ρsinθ 求得 C1，C2 的极坐标方程．（Ⅱ）把直线 C3 的极坐标方程代入 ρ2﹣3 ρ+4=0，求得 ρ1 和 ρ2 的值，结合圆的半径可得 C2M⊥C2N，从而求得△C2MN 的面积 •C2M•C2N 的值．【解答】解：（Ⅰ）由于 x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为 ρcosθ=﹣2，第 31 页（共 34 页）故 C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1 的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得 ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线 C3 的极坐标方程 θ= （ρ∈R）代入圆 C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得 ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得 ρ1=2 ，ρ2= ，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|= ，由于圆 C2 的半径为 1，∴C2M⊥C2N， △C2MN 的面积为 •C2M•C2N= •1•1= ．【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．　选修 4 一 5：不等式选讲 24．（10 分）已知函数 f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当 a=1 时，求不等式 f（x）＞1 的解集；（Ⅱ）若 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有第 32 页（共 34 页）【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当 a=1 时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数 f（x）的解析式，求得它的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积；再根据 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，从而求得 a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当 a=1 时，不等式 f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即或①，或 ③． ②，解①求得 x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得 1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数 f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|= ，由此求得 f（x）的图象与 x 轴的交点 A （ B（2a+1，0），，0），故 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形的第三个顶点 C（a，a+1），由△ABC 的面积大于 6，可得 [2a+1﹣ ]•（a+1）＞6，求得 a＞2．故要求的 a 的范围为（2，+∞）．第 33 页（共 34 页）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．第 34 页（共 34 页）