2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅱ）（含解析版）下载

2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 1．（5 分）已知集合 A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则 A∪B=（　　） A．（﹣1，3） 2．（5 分）若为 a 实数，且 A．﹣4 B．﹣3 B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，3） =3+i，则 a=（　　） C．3 D．4 3．（5 分）根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位： 万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（　　） A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．（5 分） =（1，﹣1）， =（﹣1，2）则（2 + ） =（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 5．（5 分）已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1+a3+a5=3，则 S5=（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 6．（5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则 截去部分体积与剩余部分体积的比值为（　　） 第 1 页（共 30 页） A． B． C． D． 7．（5 分）已知三点 A（1，0），B（0， ），C（2， ）则△ABC 外接圆的 圆心到原点的距离为（　　） A． B． C． D． 8．（5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“ 更相减损术”．执行该程序框图，若输入 a，b 分别为 14，18，则输出的 a=（　　 ）A．0 B．2 C．4 D．14 9．（5 分）已知等比数列{an}满足 a1= ，a3a5=4（a4﹣1），则 a2=（　　） A．2 B．1 C． D． 10．（5 分）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点 ，若三棱锥 O﹣ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（　　） 第 2 页（共 30 页） A．36π B．64π C．144π D．256π 11．（5 分）如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着 边 BC，CD 与 DA 运动，记∠BOP=x．将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f（x），则 y=f（x）的图象大致为（　　） A． B． D． C． 12．（5 分）设函数 f（x）=ln（1+|x|）﹣ ，则使得 f（x）＞f（2x﹣1）成 立的 x 的取值范围是（　　） A．（﹣∞， ）∪（1，+∞） B．（ ，1） C．（ ）D．（﹣∞，﹣ ，） 　二、填空题 13．（3 分）已知函数 f（x）=ax3﹣2x 的图象过点（﹣1，4）则 a=　 　． 14．（3 分）若 x，y 满足约束条件 15．（3 分）已知双曲线过点 ，则 z=2x+y 的最大值为　 　． 且渐近线方程为 y=± x，则该双曲线的 标准方程是　 　． 16．（3 分）已知曲线 y=x+lnx 在点（1，1）处的切线与曲线 y=ax2+（a+2）x+1 第 3 页（共 30 页） 相切，则 a=　 　． 　三．解答题 17．△ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC，BD=2DC （Ⅰ）求 ．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B． 18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 A 地区用户满意度评分的频率 分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表 B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100） 2814 10 6频数 （1）做出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区 满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可） （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级： 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由． 第 4 页（共 30 页） 19．（12 分）如图，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8，点 E， F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4．过 E，F 的平面 α 与此长方体的面相交， 交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值． 20．椭圆 C： =1，（a＞b＞0）的离心率 ，点（2， ）在C 上． （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的 中点为 M．证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值． 21．设函数 f（x）=lnx+a（1﹣x）． （Ⅰ）讨论：f（x）的单调性； （Ⅱ）当 f（x）有最大值，且最大值大于 2a﹣2 时，求 a 的取值范围． 第 5 页（共 30 页） 　四、选修 4-1：几何证明选讲 22．（10 分）如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分别相切于 E，F 两点 ．（1）证明：EF∥BC； （2）若 AG 等于⊙O 的半径，且 AE=MN=2 ，求四边形 EBCF 的面积． 　五、选修 4-4：坐标系与参数方程 23．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： （t 为参数，t≠0）， 其中 0≤α≤π，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： ρ=2sinθ，C3：ρ=2 cosθ． （1）求 C2 与 C3 交点的直角坐标； （2）若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值． 　六、选修 4-5 不等式选讲 24．（10 分）设 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，证明： （1）若 ab＞cd，则 +＞+；第 6 页（共 30 页） （2） +＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件． 　第 7 页（共 30 页） 2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 1．（5 分）已知集合 A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则 A∪B=（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，3） 【考点】1D：并集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}， ∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}， 故选：A． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 　2．（5 分）若为 a 实数，且 A．﹣4 B．﹣3 =3+i，则 a=（　　） C．3 D．4 【考点】A1：虚数单位 i、复数．菁优网版权所有 【专题】5N：数系的扩充和复数． 【分析】根据复数相等的条件进行求解即可． 【解答】解：由 ，得 2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i， 则 a=4， 故选：D． 【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础． 　第 8 页（共 30 页） 3．（5 分）根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位： 万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（　　） A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【考点】B8：频率分布直方图．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放 量减少的最多，故 A 正确； B 从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确； C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故 C 正确； D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故 D 错误． 【解答】解：A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排 放量明显减少，且减少的最多，故 A 正确； B2004﹣2006 年二氧化硫排放量越来越多，从 2007 年开始二氧化硫排放量变少， 故 B 正确； C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故 C 正确； D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故 D 错误 ．第 9 页（共 30 页） 故选：D． 【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基 础题． 　4．（5 分） =（1，﹣1）， =（﹣1，2）则（2 + ） =（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题． 【解答】解：因为 =（1，﹣1）， =（﹣1，2）则（2 + ） =（1，0）•（1， ﹣1）=1； 故选：C． 【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目． 　5．（5 分）已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1+a3+a5=3，则 S5=（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【考点】85：等差数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列． 【分析】由等差数列{an}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得 a3．再利用等差数列的 前 n 项和公式即可得出． 【解答】解：由等差数列{an}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得 a3=1． 则 S5= =5a3=5． 故选：A． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前 n 项和公式，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题． 　第 10 页（共 30 页） 6．（5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则 截去部分体积与剩余部分体积的比值为（　　） A． B． C． D． 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的 体积公式计算即可． 【解答】解：设正方体的棱长为 1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱 锥， ∴正方体切掉部分的体积为 ×1×1×1= ， ∴剩余部分体积为 1﹣ = ， ∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ． 故选：D． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积． 　7．（5 分）已知三点 A（1，0），B（0， ），C（2， ）则△ABC 外接圆的 圆心到原点的距离为（　　） 第 11 页（共 30 页） A． B． C． D． 【考点】J1：圆的标准方程．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可 求出结论． 【解答】解：因为△ABC 外接圆的圆心在直线 BC 垂直平分线上，即直线 x=1 上， 可设圆心 P（1，p），由 PA=PB 得 |p|= ，得 p= 圆心坐标为 P（1， ）， 所以圆心到原点的距离|OP|= 故选：B． ==，【点评】本题主要考查圆性质及△ABC 外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决 本题的关键． 　8．（5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“ 更相减损术”．执行该程序框图，若输入 a，b 分别为 14，18，则输出的 a=（　　 ）第 12 页（共 30 页） A．0 B．2 C．4 D．14 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a，b 的值，当 a=b=2 时 不满足条件 a≠b，输出 a 的值为 2． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=14，b=18 满足条件 a≠b，不满足条件 a＞b，b=4 满足条件 a≠b，满足条件 a＞b，a=10 满足条件 a≠b，满足条件 a＞b，a=6 满足条件 a≠b，满足条件 a＞b，a=2 满足条件 a≠b，不满足条件 a＞b，b=2 不满足条件 a≠b，输出 a 的值为 2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题． 　9．（5 分）已知等比数列{an}满足 a1= ，a3a5=4（a4﹣1），则 a2=（　　） A．2 B．1 C． D． 第 13 页（共 30 页） 【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为 q， ∵∴，a3a5=4（a4﹣1）， =4 ，化为 q3=8，解得 q=2 则 a2= = ． 故选：C． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题． 　10．（5 分）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点 ，若三棱锥 O﹣ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（　　） A．36π B．64π C．144π D．256π 【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 O﹣ABC 的体积最大， 利用三棱锥 O﹣ABC 体积的最大值为 36，求出半径，即可求出球 O 的表面积． 【解答】解：如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 O﹣ABC 的 体 积 最 大 ， 设 球 O的 半 径 为R ， 此 时 VO﹣ABC=VC﹣AOB ===36 ， 故R=6 ， 则 球O 的 表 面 积 为 4πR2=144π， 故选：C． 第 14 页（共 30 页） 【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 O﹣ABC 的体积最大是关键． 　11．（5 分）如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着 边 BC，CD 与 DA 运动，记∠BOP=x．将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f（x），则 y=f（x）的图象大致为（　　） A． B． D． C． 【考点】HC：正切函数的图象．菁优网版权所有 【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可． 【解答】解：当 0≤x≤ 时，BP=tanx，AP= =，此时 f（x）= +tanx，0≤x≤ ，此时单调递增， 第 15 页（共 30 页） 当 P 在 CD 边上运动时， ≤x≤ 如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣ =﹣ ∴OQ=﹣ 且 x≠ 时， ，，∴PD=AO﹣OQ=1+ ∴PA+PB= ，PC=BO+OQ=1﹣ ，，当 x= 时，PA+PB=2 ，当 P 在 AD 边上运动时， ≤x≤π，PA+PB= ﹣tanx， 由对称性可知函数 f（x）关于 x= 对称， 且 f（ ）＞f（ ），且轨迹为非线型， 排除 A，C，D， 故选：B． 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出 0≤x≤ 时的 解析式是解决本题的关键． 　12．（5 分）设函数 f（x）=ln（1+|x|）﹣ ，则使得 f（x）＞f（2x﹣1）成 立的 x 的取值范围是（　　） A．（﹣∞， ）∪（1，+∞） B．（ ，1） D．（﹣∞，﹣ ，） C．（ ）第 16 页（共 30 页） 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结 论． 【解答】解：∵函数 f（x）=ln（1+|x|）﹣ 且在 x≥0 时，f（x）=ln（1+x）﹣ 导数为 f′（x）= ＞0， 为偶函数， ，+即有函数 f（x）在[0，+∞）单调递增， ∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为 f（|x|）＞f（|2x﹣1|）， 即|x|＞|2x﹣1|， 平方得 3×2﹣4x+1＜0， 解得： ＜x＜1， 所求 x 的取值范围是（ ，1）． 故选：B． 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应 用，运用偶函数的性质是解题的关键． 　二、填空题 13．（3 分）已知函数 f（x）=ax3﹣2x 的图象过点（﹣1，4）则 a=　﹣2　． 【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用． 【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数 f（x）解析式， 从而将点（﹣1，4）带入函数 f（x）解析式即可求出 a． 第 17 页（共 30 页） 【解答】解：根据条件得：4=﹣a+2； ∴a=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力 ，比较基础． 　14．（3 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为　8　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结 合确定 z 的最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC）． 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z， 平移直线 y=﹣2x+z， 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时，直线 y=﹣2x+z 的截距最大， 此时 z 最大． 由，解得 ，即 A（3，2） 将 A（3，2）的坐标代入目标函数 z=2x+y， 得 z=2×3+2=8．即 z=2x+y 的最大值为 8． 故答案为：8． 第 18 页（共 30 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结 合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 　15．（3 分）已知双曲线过点 标准方程是　 x2﹣y2=1　． 且渐近线方程为 y=± x，则该双曲线的 【考点】KB：双曲线的标准方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设双曲线方程为 y2﹣ x2=λ，代入点 ，求出 λ，即可求出双曲 线的标准方程． 【解答】解：设双曲线方程为 y2﹣ x2=λ， 代入点 ，可得 3﹣ =λ， ∴λ=﹣1， ∴双曲线的标准方程是 x2﹣y2=1． 故答案为： x2﹣y2=1． 【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的 方程是关键． 　16．（3 分）已知曲线 y=x+lnx 在点（1，1）处的切线与曲线 y=ax2+（a+2）x+1 第 19 页（共 30 页） 相切，则 a=　8　． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】26：开放型；53：导数的综合应用． 【分析】求出 y=x+lnx 的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与 曲线 y=ax2+（a+2）x+1 相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程， 根据△=0 得到 a 的值． 【解答】解：y=x+lnx 的导数为 y′=1+ ， 曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线斜率为 k=2， 则曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线方程为 y﹣1=2x﹣2，即 y=2x﹣1． 由于切线与曲线 y=ax2+（a+2）x+1 相切， 故 y=ax2+（a+2）x+1 可联立 y=2x﹣1， 得 ax2+ax+2=0， 又 a≠0，两线相切有一切点， 所以有△=a2﹣8a=0， 解得 a=8． 故答案为：8． 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在 某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质 是解题的关键． 　三．解答题 17．△ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC，BD=2DC （Ⅰ）求 ．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B． 【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 第 20 页（共 30 页） 【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案； （Ⅱ）由∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（ Ⅰ）中的结论得答案． 【解答】解：（Ⅰ）如图， 由正弦定理得： ，∵AD 平分∠BAC，BD=2DC， ∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°， ∴，由（Ⅰ）知 2sin∠B=sin∠C， ∴tan∠B= ，即∠B=30°． 【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题． 　18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 A 地区用户满意度评分的频率 分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表 第 21 页（共 30 页） B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100） 2814 10 6频数 （1）做出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区 满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可） （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级： 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由． 【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可． （II）计算得出 CA 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”，CB 表示事件： “B 地区用户的满意度等级为不满意”， P（CA），P（CB），即可判断不满意的情况． 【解答】解：（Ⅰ） 第 22 页（共 30 页） 通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评 分的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值， B 地区的用户满意度评分的比较集中，而 A 地区的用户满意度评分的比较分散． （Ⅱ）A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大． 记 CA 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”，CB 表示事件：“B 地区用 户的满意度等级为不满意”， 由直方图得 P（CA）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6 得 P（CB）=（0.005+0.02）×10=0.25 ∴A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大． 【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题 ．　19．（12 分）如图，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8，点 E， F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4．过 E，F 的平面 α 与此长方体的面相交， 交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值． 第 23 页（共 30 页） 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LJ：平面的基本性质及推论．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形； （Ⅱ）求出 MH= =6，AH=10，HB=6，即可求平面 a 把该长方体分成的 两部分体积的比值． 【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形 EFGH 如图所示； （Ⅱ）作 EM⊥AB，垂足为 M，则 AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8． 因为 EFGH 为正方形，所以 EH=EF=BC=10， 于是 MH= =6，AH=10，HB=6． 因为长方体被平面 α 分成两个高为 10 的直棱柱， 所以其体积的比值为 ． 【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础． 　20．椭圆 C： =1，（a＞b＞0）的离心率 ，点（2， ）在C 上． （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的 中点为 M．证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值． 【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然 后得到椭圆的方程． （2）设直线 l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM， 第 24 页（共 30 页） yM），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解 KOM，然后推出直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值． 【解答】解：（1）椭圆 C： 在 C 上，可得 =1，（a＞b＞0）的离心率 ，点（2， ），，解得 a2=8，b2=4，所求椭圆 C 方程 为： ．（2）设直线 l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM， yM）， 把直线 y=kx+b 代入 可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0， 故 xM= =，yM=kxM+b= ，于是在 OM 的斜率为：KOM ==，即 KOM•k= ．∴直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值． 【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决 问题的能力． 　21．设函数 f（x）=lnx+a（1﹣x）． （Ⅰ）讨论：f（x）的单调性； （Ⅱ）当 f（x）有最大值，且最大值大于 2a﹣2 时，求 a 的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】26：开放型；53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性； （2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即 第 25 页（共 30 页） 可求出 a 的范围． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x）= ﹣a= ，若 a≤0，则 f′（x）＞0，∴函数 f（x）在（0，+∞）上单调递增， 若 a＞0，则当 x∈（0， ）时，f′（x）＞0，当 x∈（ ，+∞）时，f′（x）＜0， 所以 f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减， （Ⅱ），由（Ⅰ）知，当 a≤0 时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当 a＞0 时 ，f（x）在 x= 取得最大值，最大值为 f（ ）=﹣lna+a﹣1， ∵f（ ）＞2a﹣2， ∴lna+a﹣1＜0， 令 g（a）=lna+a﹣1， ∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0， ∴当 0＜a＜1 时，g（a）＜0， 当 a＞1 时，g（a）＞0， ∴a 的取值范围为（0，1）． 【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属 于中档题． 　四、选修 4-1：几何证明选讲 22．（10 分）如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分别相切于 E，F 两点 ．（1）证明：EF∥BC； （2）若 AG 等于⊙O 的半径，且 AE=MN=2 ，求四边形 EBCF 的面积． 第 26 页（共 30 页） 【考点】N4：相似三角形的判定．菁优网版权所有 【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）通过 AD 是∠CAB 的角平分线及圆 O 分别与 AB、AC 相切于点 E、 F，利用相似的性质即得结论； （2）通过（1）知 AD 是 EF 的垂直平分线，连结 OE、OM，则 OE⊥AE，利用 S△ ABC﹣S△AEF 计算即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC 为等腰三角形，AD⊥BC， ∴AD 是∠CAB 的角平分线， 又∵圆 O 分别与 AB、AC 相切于点 E、F， ∴AE=AF，∴AD⊥EF， ∴EF∥BC； （2）解：由（1）知 AE=AF，AD⊥EF，∴AD 是 EF 的垂直平分线， 又∵EF 为圆 O 的弦，∴O 在 AD 上， 连结 OE、OM，则 OE⊥AE， 由 AG 等于圆 O 的半径可得 AO=2OE， ∴∠OAE=30°，∴△ABC 与△AEF 都是等边三角形， ∵AE=2 ，∴AO=4，OE=2， ∵OM=OE=2，DM= MN=，∴OD=1， ∴AD=5，AB= ，∴四边形 EBCF 的面积为 ×﹣ × ×=．第 27 页（共 30 页） 【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意 解题方法的积累，属于中档题． 　五、选修 4-4：坐标系与参数方程 23．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： （t 为参数，t≠0）， 其中 0≤α≤π，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： ρ=2sinθ，C3：ρ=2 cosθ． （1）求 C2 与 C3 交点的直角坐标； （2）若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】5S：坐标系和参数方程． 【分析】（I）由曲线 C2：ρ=2sinθ，化为 ρ2=2ρsinθ，把 代入可得直 角坐标方程．同理由 C3：ρ=2 cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得 C2 与 C3 交点的直角坐标． （2）由曲线 C1 的参数方程，消去参数 t，化为普通方程：y=xtanα，其中 0≤α≤ π，α≠ ；α= 时，为 x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0） ，利用|AB|= 即可得出． 【解答】解：（I）由曲线 C2：ρ=2sinθ，化为 ρ2=2ρsinθ， ∴x2+y2=2y． 同理由 C3：ρ=2 cosθ．可得直角坐标方程： ，第 28 页（共 30 页） 联立 解得 ，，，∴C2 与 C3 交点的直角坐标为（0，0）， ．（2）曲线 C1： （t 为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中 0 ≤α≤π，α≠ ；α= 时，为 x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R， ρ≠0）， ∵A，B 都在 C1 上， ∴A（2sinα，α），B ∴|AB|= ．=4 ，当时，|AB|取得最大值 4． 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲 线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题． 　六、选修 4-5 不等式选讲 24．（10 分）设 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，证明： （1）若 ab＞cd，则 +＞+；（2） 是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件． +＞+【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑． 【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d ，ab＞cd，即可得证； （2）从两方面证，①若 +＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜ 第 29 页（共 30 页） |c﹣d|，证得 +＞+，注意运用不等式的性质，即可得证． 【解答】证明：（1）由于（ ）2=c+d+2 由 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，ab＞cd， +）2=a+b+2 ，（+，则＞，即有（ +）2＞（ +）2， 则+＞+；（2）①若 即为 a+b+2 +＞+，则（ ，+）2＞（ +）2， ＞c+d+2 由 a+b=c+d，则 ab＞cd， 于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab， （c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd， 即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|； ②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2， 即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd， 由 a+b=c+d，则 ab＞cd， 则有（ +）2＞（ +）2． 综上可得， +＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件． 【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要 条件的判断，属于基础题． 第 30 页（共 30 页）