2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)下载

2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)下载

  • 最近更新2022年10月14日



2015 年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 1.(5 分)已知集合 A={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<3},则 A∪B=(  ) A.(﹣1,3) 2.(5 分)若为 a 实数,且 A.﹣4 B.﹣3 B.(﹣1,0) C.(0,2) D.(2,3) =3+i,则 a=(  ) C.3 D.4 3.(5 分)根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位: 万吨)柱形图,以下结论中不正确的是(  ) A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4.(5 分) =(1,﹣1), =(﹣1,2)则(2 + ) =(  ) A.﹣1 B.0 C.1 D.2 5.(5 分)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+a3+a5=3,则 S5=(  ) A.5 B.7 C.9 D.11 6.(5 分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则 截去部分体积与剩余部分体积的比值为(  ) 第 1 页(共 30 页) A. B. C. D. 7.(5 分)已知三点 A(1,0),B(0, ),C(2, )则△ABC 外接圆的 圆心到原点的距离为(  ) A. B. C. D. 8.(5 分)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“ 更相减损术”.执行该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=(   )A.0 B.2 C.4 D.14 9.(5 分)已知等比数列{an}满足 a1= ,a3a5=4(a4﹣1),则 a2=(  ) A.2 B.1 C. D. 10.(5 分)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点 ,若三棱锥 O﹣ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为(  ) 第 2 页(共 30 页) A.36π B.64π C.144π D.256π 11.(5 分)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着 边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x.将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的图象大致为(  ) A. B. D. C. 12.(5 分)设函数 f(x)=ln(1+|x|)﹣ ,则使得 f(x)>f(2x﹣1)成 立的 x 的取值范围是(  ) A.(﹣∞, )∪(1,+∞) B.( ,1) C.( )D.(﹣∞,﹣ ,)  二、填空题 13.(3 分)已知函数 f(x)=ax3﹣2x 的图象过点(﹣1,4)则 a=   . 14.(3 分)若 x,y 满足约束条件 15.(3 分)已知双曲线过点 ,则 z=2x+y 的最大值为   . 且渐近线方程为 y=± x,则该双曲线的 标准方程是   . 16.(3 分)已知曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 第 3 页(共 30 页) 相切,则 a=   .  三.解答题 17.△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC (Ⅰ)求 .(Ⅱ)若∠BAC=60°,求∠B. 18.某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率 分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表 B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 2814 10 6频数 (1)做出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区 满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可) (Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由. 第 4 页(共 30 页) 19.(12 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E, F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4.过 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交, 交线围成一个正方形 (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ)求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值. 20.椭圆 C: =1,(a>b>0)的离心率 ,点(2, )在C 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的 中点为 M.证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. 21.设函数 f(x)=lnx+a(1﹣x). (Ⅰ)讨论:f(x)的单调性; (Ⅱ)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a﹣2 时,求 a 的取值范围. 第 5 页(共 30 页)  四、选修 4-1:几何证明选讲 22.(10 分)如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点 .(1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN=2 ,求四边形 EBCF 的面积.  五、选修 4-4:坐标系与参数方程 23.(10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: (t 为参数,t≠0), 其中 0≤α≤π,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ρ=2sinθ,C3:ρ=2 cosθ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.  六、选修 4-5 不等式选讲 24.(10 分)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (1)若 ab>cd,则 +>+;第 6 页(共 30 页) (2) +>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.  第 7 页(共 30 页) 2015 年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ) 参考答案与试题解析  一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 1.(5 分)已知集合 A={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<3},则 A∪B=(  ) A.(﹣1,3) B.(﹣1,0) C.(0,2) D.(2,3) 【考点】1D:并集及其运算.菁优网版权所有 【专题】5J:集合. 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:∵A={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<3}, ∴A∪B={x|﹣1<x<3}, 故选:A. 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.  2.(5 分)若为 a 实数,且 A.﹣4 B.﹣3 =3+i,则 a=(  ) C.3 D.4 【考点】A1:虚数单位 i、复数.菁优网版权所有 【专题】5N:数系的扩充和复数. 【分析】根据复数相等的条件进行求解即可. 【解答】解:由 ,得 2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i, 则 a=4, 故选:D. 【点评】本题主要考查复数相等的应用,比较基础.  第 8 页(共 30 页) 3.(5 分)根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位: 万吨)柱形图,以下结论中不正确的是(  ) A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【考点】B8:频率分布直方图.菁优网版权所有 【专题】5I:概率与统计. 【分析】A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放 量减少的最多,故 A 正确; B 从 2007 年开始二氧化硫排放量变少,故 B 正确; C 从图中看出,2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故 C 正确; D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,与年份负相关,故 D 错误. 【解答】解:A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排 放量明显减少,且减少的最多,故 A 正确; B2004﹣2006 年二氧化硫排放量越来越多,从 2007 年开始二氧化硫排放量变少, 故 B 正确; C 从图中看出,2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故 C 正确; D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故 D 错误 .第 9 页(共 30 页) 故选:D. 【点评】本题考查了学生识图的能力,能够从图中提取出所需要的信息,属于基 础题.  4.(5 分) =(1,﹣1), =(﹣1,2)则(2 + ) =(  ) A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.菁优网版权所有 【专题】5A:平面向量及应用. 【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题. 【解答】解:因为 =(1,﹣1), =(﹣1,2)则(2 + ) =(1,0)•(1, ﹣1)=1; 故选:C. 【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算;属于基础题目.  5.(5 分)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+a3+a5=3,则 S5=(  ) A.5 B.7 C.9 D.11 【考点】85:等差数列的前 n 项和.菁优网版权所有 【专题】35:转化思想;4A:数学模型法;54:等差数列与等比数列. 【分析】由等差数列{an}的性质,a1+a3+a5=3=3a3,解得 a3.再利用等差数列的 前 n 项和公式即可得出. 【解答】解:由等差数列{an}的性质,a1+a3+a5=3=3a3,解得 a3=1. 则 S5= =5a3=5. 故选:A. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前 n 项和公式,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题.  第 10 页(共 30 页) 6.(5 分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则 截去部分体积与剩余部分体积的比值为(  ) A. B. C. D. 【考点】L!:由三视图求面积、体积.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离. 【分析】由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,把相关数据代入棱锥的 体积公式计算即可. 【解答】解:设正方体的棱长为 1,由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱 锥, ∴正方体切掉部分的体积为 ×1×1×1= , ∴剩余部分体积为 1﹣ = , ∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为 . 故选:D. 【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状,求几何体的体积.  7.(5 分)已知三点 A(1,0),B(0, ),C(2, )则△ABC 外接圆的 圆心到原点的距离为(  ) 第 11 页(共 30 页) A. B. C. D. 【考点】J1:圆的标准方程.菁优网版权所有 【专题】5B:直线与圆. 【分析】利用外接圆的性质,求出圆心坐标,再根据圆心到原点的距离公式即可 求出结论. 【解答】解:因为△ABC 外接圆的圆心在直线 BC 垂直平分线上,即直线 x=1 上, 可设圆心 P(1,p),由 PA=PB 得 |p|= ,得 p= 圆心坐标为 P(1, ), 所以圆心到原点的距离|OP|= 故选:B. ==,【点评】本题主要考查圆性质及△ABC 外接圆的性质,了解性质并灵运用是解决 本题的关键.  8.(5 分)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“ 更相减损术”.执行该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=(   )第 12 页(共 30 页) A.0 B.2 C.4 D.14 【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有 【专题】27:图表型;5K:算法和程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 a,b 的值,当 a=b=2 时 不满足条件 a≠b,输出 a 的值为 2. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 a=14,b=18 满足条件 a≠b,不满足条件 a>b,b=4 满足条件 a≠b,满足条件 a>b,a=10 满足条件 a≠b,满足条件 a>b,a=6 满足条件 a≠b,满足条件 a>b,a=2 满足条件 a≠b,不满足条件 a>b,b=2 不满足条件 a≠b,输出 a 的值为 2. 故选:B. 【点评】本题主要考查了循环结构程序框图,属于基础题.  9.(5 分)已知等比数列{an}满足 a1= ,a3a5=4(a4﹣1),则 a2=(  ) A.2 B.1 C. D. 第 13 页(共 30 页) 【考点】88:等比数列的通项公式.菁优网版权所有 【专题】54:等差数列与等比数列. 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵∴,a3a5=4(a4﹣1), =4 ,化为 q3=8,解得 q=2 则 a2= = . 故选:C. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式,属于基础题.  10.(5 分)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点 ,若三棱锥 O﹣ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为(  ) A.36π B.64π C.144π D.256π 【考点】LG:球的体积和表面积.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离. 【分析】当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O﹣ABC 的体积最大, 利用三棱锥 O﹣ABC 体积的最大值为 36,求出半径,即可求出球 O 的表面积. 【解答】解:如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O﹣ABC 的 体 积 最 大 , 设 球 O的 半 径 为R , 此 时 VO﹣ABC=VC﹣AOB ===36 , 故R=6 , 则 球O 的 表 面 积 为 4πR2=144π, 故选:C. 第 14 页(共 30 页) 【点评】本题考查球的半径与表面积,考查体积的计算,确定点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O﹣ABC 的体积最大是关键.  11.(5 分)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着 边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x.将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的图象大致为(  ) A. B. D. C. 【考点】HC:正切函数的图象.菁优网版权所有 【分析】根据函数图象关系,利用排除法进行求解即可. 【解答】解:当 0≤x≤ 时,BP=tanx,AP= =,此时 f(x)= +tanx,0≤x≤ ,此时单调递增, 第 15 页(共 30 页) 当 P 在 CD 边上运动时, ≤x≤ 如图所示,tan∠POB=tan(π﹣∠POQ)=tanx=﹣tan∠POQ=﹣ =﹣ ∴OQ=﹣ 且 x≠ 时, ,,∴PD=AO﹣OQ=1+ ∴PA+PB= ,PC=BO+OQ=1﹣ ,,当 x= 时,PA+PB=2 ,当 P 在 AD 边上运动时, ≤x≤π,PA+PB= ﹣tanx, 由对称性可知函数 f(x)关于 x= 对称, 且 f( )>f( ),且轨迹为非线型, 排除 A,C,D, 故选:B. 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据条件先求出 0≤x≤ 时的 解析式是解决本题的关键.  12.(5 分)设函数 f(x)=ln(1+|x|)﹣ ,则使得 f(x)>f(2x﹣1)成 立的 x 的取值范围是(  ) A.(﹣∞, )∪(1,+∞) B.( ,1) D.(﹣∞,﹣ ,) C.( )第 16 页(共 30 页) 【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有 【专题】33:函数思想;49:综合法;51:函数的性质及应用. 【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化即可得到结 论. 【解答】解:∵函数 f(x)=ln(1+|x|)﹣ 且在 x≥0 时,f(x)=ln(1+x)﹣ 导数为 f′(x)= >0, 为偶函数, ,+即有函数 f(x)在[0,+∞)单调递增, ∴f(x)>f(2x﹣1)等价为 f(|x|)>f(|2x﹣1|), 即|x|>|2x﹣1|, 平方得 3×2﹣4x+1<0, 解得: <x<1, 所求 x 的取值范围是( ,1). 故选:B. 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,综合考查函数性质的综合应 用,运用偶函数的性质是解题的关键.  二、填空题 13.(3 分)已知函数 f(x)=ax3﹣2x 的图象过点(﹣1,4)则 a= ﹣2 . 【考点】36:函数解析式的求解及常用方法.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;51:函数的性质及应用. 【分析】f(x)是图象过点(﹣1,4),从而该点坐标满足函数 f(x)解析式, 从而将点(﹣1,4)带入函数 f(x)解析式即可求出 a. 第 17 页(共 30 页) 【解答】解:根据条件得:4=﹣a+2; ∴a=﹣2. 故答案为:﹣2. 【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系,考查学生的计算能力 ,比较基础.  14.(3 分)若 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x+y 的最大值为 8 . 【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有 【专题】59:不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结 合确定 z 的最大值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分 ABC). 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大. 由,解得 ,即 A(3,2) 将 A(3,2)的坐标代入目标函数 z=2x+y, 得 z=2×3+2=8.即 z=2x+y 的最大值为 8. 故答案为:8. 第 18 页(共 30 页) 【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结 合的数学思想是解决此类问题的基本方法.  15.(3 分)已知双曲线过点 标准方程是  x2﹣y2=1 . 且渐近线方程为 y=± x,则该双曲线的 【考点】KB:双曲线的标准方程.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设双曲线方程为 y2﹣ x2=λ,代入点 ,求出 λ,即可求出双曲 线的标准方程. 【解答】解:设双曲线方程为 y2﹣ x2=λ, 代入点 ,可得 3﹣ =λ, ∴λ=﹣1, ∴双曲线的标准方程是 x2﹣y2=1. 故答案为: x2﹣y2=1. 【点评】本题考查双曲线的标准方程,考查学生的计算能力,正确设出双曲线的 方程是关键.  16.(3 分)已知曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 第 19 页(共 30 页) 相切,则 a= 8 . 【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有 【专题】26:开放型;53:导数的综合应用. 【分析】求出 y=x+lnx 的导数,求得切线的斜率,可得切线方程,再由于切线与 曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,有且只有一切点,进而可联立切线与曲线方程, 根据△=0 得到 a 的值. 【解答】解:y=x+lnx 的导数为 y′=1+ , 曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线斜率为 k=2, 则曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线方程为 y﹣1=2x﹣2,即 y=2x﹣1. 由于切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切, 故 y=ax2+(a+2)x+1 可联立 y=2x﹣1, 得 ax2+ax+2=0, 又 a≠0,两线相切有一切点, 所以有△=a2﹣8a=0, 解得 a=8. 故答案为:8. 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程,主要考查导数的几何意义:函数在 某点处的导数即为曲线在该点处的导数,设出切线方程运用两线相切的性质 是解题的关键.  三.解答题 17.△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC (Ⅰ)求 .(Ⅱ)若∠BAC=60°,求∠B. 【考点】HP:正弦定理.菁优网版权所有 【专题】58:解三角形. 第 20 页(共 30 页) 【分析】(Ⅰ)由题意画出图形,再由正弦定理结合内角平分线定理得答案; (Ⅱ)由∠C=180°﹣(∠BAC+∠B),两边取正弦后展开两角和的正弦,再结合( Ⅰ)中的结论得答案. 【解答】解:(Ⅰ)如图, 由正弦定理得: ,∵AD 平分∠BAC,BD=2DC, ∴;(Ⅱ)∵∠C=180°﹣(∠BAC+∠B),∠BAC=60°, ∴,由(Ⅰ)知 2sin∠B=sin∠C, ∴tan∠B= ,即∠B=30°. 【点评】本题考查了内角平分线的性质,考查了正弦定理的应用,是中档题.  18.某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率 分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表 第 21 页(共 30 页) B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 2814 10 6频数 (1)做出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区 满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可) (Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由. 【考点】B8:频率分布直方图;CB:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有 【专题】5I:概率与统计. 【分析】(I)根据分布表的数据,画出频率直方图,求解即可. (II)计算得出 CA 表示事件:“A 地区用户的满意度等级为不满意”,CB 表示事件: “B 地区用户的满意度等级为不满意”, P(CA),P(CB),即可判断不满意的情况. 【解答】解:(Ⅰ) 第 22 页(共 30 页) 通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评 分的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值, B 地区的用户满意度评分的比较集中,而 A 地区的用户满意度评分的比较分散. (Ⅱ)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记 CA 表示事件:“A 地区用户的满意度等级为不满意”,CB 表示事件:“B 地区用 户的满意度等级为不满意”, 由直方图得 P(CA)=(0.01+0.02+0.03)×10=0.6 得 P(CB)=(0.005+0.02)×10=0.25 ∴A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 【点评】本题考查了频率直方图,频率表达运用,考查了阅读能力,属于中档题 . 19.(12 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E, F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4.过 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交, 交线围成一个正方形 (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ)求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值. 第 23 页(共 30 页) 【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LJ:平面的基本性质及推论.菁优网版权所有 【专题】15:综合题;5F:空间位置关系与距离. 【分析】(Ⅰ)利用平面与平面平行的性质,可在图中画出这个正方形; (Ⅱ)求出 MH= =6,AH=10,HB=6,即可求平面 a 把该长方体分成的 两部分体积的比值. 【解答】解:(Ⅰ)交线围成的正方形 EFGH 如图所示; (Ⅱ)作 EM⊥AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因为 EFGH 为正方形,所以 EH=EF=BC=10, 于是 MH= =6,AH=10,HB=6. 因为长方体被平面 α 分成两个高为 10 的直棱柱, 所以其体积的比值为 . 【点评】本题考查平面与平面平行的性质,考查学生的计算能力,比较基础.  20.椭圆 C: =1,(a>b>0)的离心率 ,点(2, )在C 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的 中点为 M.证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. 【考点】K3:椭圆的标准方程;KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有 【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)利用椭圆的离心率,以及椭圆经过的点,求解椭圆的几何量,然 后得到椭圆的方程. (2)设直线 l:y=kx+b,(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM, 第 24 页(共 30 页) yM),联立直线方程与椭圆方程,通过韦达定理求解 KOM,然后推出直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. 【解答】解:(1)椭圆 C: 在 C 上,可得 =1,(a>b>0)的离心率 ,点(2, ),,解得 a2=8,b2=4,所求椭圆 C 方程 为: .(2)设直线 l:y=kx+b,(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM, yM), 把直线 y=kx+b 代入 可得(2k2+1)x2+4kbx+2b2﹣8=0, 故 xM= =,yM=kxM+b= ,于是在 OM 的斜率为:KOM ==,即 KOM•k= .∴直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. 【点评】本题考查椭圆方程的综合应用,椭圆的方程的求法,考查分析问题解决 问题的能力.  21.设函数 f(x)=lnx+a(1﹣x). (Ⅰ)讨论:f(x)的单调性; (Ⅱ)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a﹣2 时,求 a 的取值范围. 【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数研究函数的最值.菁优网版权所有 【专题】26:开放型;53:导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)先求导,再分类讨论,根据导数即可判断函数的单调性; (2)先求出函数的最大值,再构造函数(a)=lna+a﹣1,根据函数的单调性即 第 25 页(共 30 页) 可求出 a 的范围. 【解答】解:(Ⅰ)f(x)=lnx+a(1﹣x)的定义域为(0,+∞), ∴f′(x)= ﹣a= ,若 a≤0,则 f′(x)>0,∴函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增, 若 a>0,则当 x∈(0, )时,f′(x)>0,当 x∈( ,+∞)时,f′(x)<0, 所以 f(x)在(0, )上单调递增,在( ,+∞)上单调递减, (Ⅱ),由(Ⅰ)知,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当 a>0 时 ,f(x)在 x= 取得最大值,最大值为 f( )=﹣lna+a﹣1, ∵f( )>2a﹣2, ∴lna+a﹣1<0, 令 g(a)=lna+a﹣1, ∵g(a)在(0,+∞)单调递增,g(1)=0, ∴当 0<a<1 时,g(a)<0, 当 a>1 时,g(a)>0, ∴a 的取值范围为(0,1). 【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系,以及参数的取值范围,属 于中档题.  四、选修 4-1:几何证明选讲 22.(10 分)如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点 .(1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN=2 ,求四边形 EBCF 的面积. 第 26 页(共 30 页) 【考点】N4:相似三角形的判定.菁优网版权所有 【专题】26:开放型;5F:空间位置关系与距离. 【分析】(1)通过 AD 是∠CAB 的角平分线及圆 O 分别与 AB、AC 相切于点 E、 F,利用相似的性质即得结论; (2)通过(1)知 AD 是 EF 的垂直平分线,连结 OE、OM,则 OE⊥AE,利用 S△ ABC﹣S△AEF 计算即可. 【解答】(1)证明:∵△ABC 为等腰三角形,AD⊥BC, ∴AD 是∠CAB 的角平分线, 又∵圆 O 分别与 AB、AC 相切于点 E、F, ∴AE=AF,∴AD⊥EF, ∴EF∥BC; (2)解:由(1)知 AE=AF,AD⊥EF,∴AD 是 EF 的垂直平分线, 又∵EF 为圆 O 的弦,∴O 在 AD 上, 连结 OE、OM,则 OE⊥AE, 由 AG 等于圆 O 的半径可得 AO=2OE, ∴∠OAE=30°,∴△ABC 与△AEF 都是等边三角形, ∵AE=2 ,∴AO=4,OE=2, ∵OM=OE=2,DM= MN=,∴OD=1, ∴AD=5,AB= ,∴四边形 EBCF 的面积为 ×﹣ × ×=.第 27 页(共 30 页) 【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系,考查四边形面积的计算,注意 解题方法的积累,属于中档题.  五、选修 4-4:坐标系与参数方程 23.(10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: (t 为参数,t≠0), 其中 0≤α≤π,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ρ=2sinθ,C3:ρ=2 cosθ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. 【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程.菁优网版权所有 【专题】5S:坐标系和参数方程. 【分析】(I)由曲线 C2:ρ=2sinθ,化为 ρ2=2ρsinθ,把 代入可得直 角坐标方程.同理由 C3:ρ=2 cosθ.可得直角坐标方程,联立解出可得 C2 与 C3 交点的直角坐标. (2)由曲线 C1 的参数方程,消去参数 t,化为普通方程:y=xtanα,其中 0≤α≤ π,α≠ ;α= 时,为 x=0(y≠0).其极坐标方程为:θ=α(ρ∈R,ρ≠0) ,利用|AB|= 即可得出. 【解答】解:(I)由曲线 C2:ρ=2sinθ,化为 ρ2=2ρsinθ, ∴x2+y2=2y. 同理由 C3:ρ=2 cosθ.可得直角坐标方程: ,第 28 页(共 30 页) 联立 解得 ,,,∴C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0), .(2)曲线 C1: (t 为参数,t≠0),化为普通方程:y=xtanα,其中 0 ≤α≤π,α≠ ;α= 时,为 x=0(y≠0).其极坐标方程为:θ=α(ρ∈R, ρ≠0), ∵A,B 都在 C1 上, ∴A(2sinα,α),B ∴|AB|= .=4 ,当时,|AB|取得最大值 4. 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲 线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题.  六、选修 4-5 不等式选讲 24.(10 分)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (1)若 ab>cd,则 +>+;(2) 是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件. +>+【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件;R6:不等式的证明.菁优网版权所有 【专题】59:不等式的解法及应用;5L:简易逻辑. 【分析】(1)运用不等式的性质,结合条件 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d ,ab>cd,即可得证; (2)从两方面证,①若 +>+,证得|a﹣b|<|c﹣d|,②若|a﹣b|< 第 29 页(共 30 页) |c﹣d|,证得 +>+,注意运用不等式的性质,即可得证. 【解答】证明:(1)由于( )2=c+d+2 由 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,ab>cd, +)2=a+b+2 ,(+,则>,即有( +)2>( +)2, 则+>+;(2)①若 即为 a+b+2 +>+,则( ,+)2>( +)2, >c+d+2 由 a+b=c+d,则 ab>cd, 于是(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab, (c﹣d)2=(c+d)2﹣4cd, 即有(a﹣b)2<(c﹣d)2,即为|a﹣b|<|c﹣d|; ②若|a﹣b|<|c﹣d|,则(a﹣b)2<(c﹣d)2, 即有(a+b)2﹣4ab<(c+d)2﹣4cd, 由 a+b=c+d,则 ab>cd, 则有( +)2>( +)2. 综上可得, +>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件. 【点评】本题考查不等式的证明,主要考查不等式的性质的运用,同时考查充要 条件的判断,属于基础题. 第 30 页(共 30 页)

分享到 :
相关推荐

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用 * 标注