2017年高考浙江高考数学试题及答案(精校版)下载

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  • 最近更新2022年10月14日



2017 年浙江省高考数学试卷  一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.(5 分)已知集合 P={x|﹣1<x<1},Q={x|0<x<2},那么 P∪Q=(  ) A.(﹣1,2) B.(0,1) C.(﹣1,0) D.(1,2) 2.(5 分)椭圆 A. B. +=1 的离心率是(  ) C. D. 3.(5 分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位: cm2)是(  ) A. +1 B. +3 C. +1 D. +3 4.(5 分)若 x、y 满足约束条件 ,则 z=x+2y 的取值范围是(  ) A.[0,6] B.[0,4] C.[6,+∞) D.[4,+∞) 5.(5 分)若函数 f(x)=x2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是 M,最小值是 m, 则 M﹣m(  ) A.与 a 有关,且与 b 有关 B.与 a 有关,但与 b 无关 C.与 a 无关,且与 b 无关 D.与 a 无关,但与 b 有关 6.(5 分)已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d>0”是“S4+S6> 2S5”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 第 1 页(共 25 页) C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(5 分)函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的 图象可能是(  ) A. B. C. D. 8.(5 分)已知随机变量 ξi 满足 P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1﹣pi,i=1,2.若 0<p1 <p2< ,则(  ) A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) 9.(5 分)如图,已知正四面体 D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R 分别为 AB、BC、CA 上的点,AP=PB, ==2,分别记二面角 D﹣PR﹣Q, D﹣PQ﹣R,D﹣QR﹣P 的平面角为 α、β、γ,则(  ) A.γ<α<βB.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α 10.(5 分)如图,已知平面四边形 ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与 BD 交于点 O,记 I1= •,I2= •,I3= •,则(  ) 第 2 页(共 25 页) A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3  二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分 11.(4 分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 π,理论上能把 π 的值计算到任意精度,祖冲之继承并发展了“割圆术”,将 π 的值精确到小数点 后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边 形的面积 S6,S6=   . 12.(6 分)已知 a、b∈R,(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),则 a2+b2=  ab= .  , 3213.(6 分)已知多项式(x+1)(x+2)=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则 a4=  a5= . 14.(6 分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2,点 D 为 AB 延长线上一点,BD=2,连 结 CD,则△BDC 的面积是 ,com∠BDC= .  , 15.(6 分)已知向量 、 满足| |=1,| |=2,则| + |+| ﹣ |的最小值 是   ,最大值是   . 16.(4 分)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2 人组成 4 人服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有   种不同的选 法.(用数字作答) 17.(4 分)已知 a∈R,函数 f(x)=|x+ ﹣a|+a 在区间[1,4]上的最大值是 5, 则 a 的取值范围是   .  三、解答题(共 5 小题,满分 74 分) 18.(14 分)已知函数 f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 sinxcosx(x∈R). (Ⅰ)求 f( )的值. (Ⅱ)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 19.(15 分)如图,已知四棱锥 P﹣ABCD,△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三 角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:CE∥平面 PAB; 第 3 页(共 25 页) (Ⅱ)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值. 20.(15 分)已知函数 f(x)=(x﹣ )e﹣x(x≥ ). (1)求 f(x)的导函数; (2)求 f(x)在区间[ ,+∞)上的取值范围. 21.(15 分)如图,已知抛物线 x2=y,点 A(﹣ , ),B( , ),抛物线上 的点 P(x,y)(﹣ <x< ),过点B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q. (Ⅰ)求直线 AP 斜率的取值范围; (Ⅱ)求|PA|•|PQ|的最大值. 22.(15 分)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*),证明:当 n ∈N*时, (Ⅰ)0<xn+1<xn; (Ⅱ)2xn+1﹣xn≤ ;(Ⅲ) ≤xn≤ . 第 4 页(共 25 页) 2017 年浙江省高考数学试卷 参考答案与试题解析  一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.(5 分)已知集合 P={x|﹣1<x<1},Q={x|0<x<2},那么 P∪Q=(  ) A.(﹣1,2) B.(0,1) C.(﹣1,0) D.(1,2) 【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可. 【解答】解:集合 P={x|﹣1<x<1},Q={x|0<x<2}, 那么 P∪Q={x|﹣1<x<2}=(﹣1,2). 故选:A. 【点评】本题考查集合的基本运算,并集的求法,考查计算能力.  2.(5 分)椭圆 A. B. 【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可. +=1 的离心率是(  ) C. D. 【解答】解:椭圆 +=1,可得 a=3,b=2,则 c= =,所以椭圆的离心率为: = 故选:B. .【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.  3.(5 分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位: cm2)是(  ) 第 5 页(共 25 页) A. +1 B. +3 C. +1 D. +3 【分析】根据几何体的三视图,该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成,画出 图形,结合图中数据即可求出它的体积. 【解答】解:由几何的三视图可知,该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成, 圆锥的底面圆的半径为 1,三棱锥的底面是底边长 2 的等腰直角三角形,圆锥的 高和棱锥的高相等均为 3, 故该几何体的体积为 × ×π×12×3+ × × ××3= +1, 故选:A 【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,解题的关键是根据三视图得 出原几何体的结构特征,是基础题目.  4.(5 分)若 x、y 满足约束条件 ,则 z=x+2y 的取值范围是(  ) A.[0,6] B.[0,4] C.[6,+∞) D.[4,+∞) 【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可. 第 6 页(共 25 页) 【解答】解:x、y 满足约束条件 ,表示的可行域如图: 目标函数 z=x+2y 经过坐标原点时,函数取得最小值, 经过 A 时,目标函数取得最大值, 由解得 A(0,3), 目标函数的直线为:0,最大值为:36 目标函数的范围是[0,6]. 故选:A. 【点评】本题考查线性规划的简单应用,画出可行域判断目标函数的最优解是解 题的关键.  5.(5 分)若函数 f(x)=x2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是 M,最小值是 m, 则 M﹣m(  ) A.与 a 有关,且与 b 有关 B.与 a 有关,但与 b 无关 C.与 a 无关,且与 b 无关 D.与 a 无关,但与 b 有关 【分析】结合二次函数的图象和性质,分类讨论不同情况下 M﹣m 的取值与 a,b 的关系,综合可得答案. 【解答】解:函数 f(x)=x2+ax+b 的图象是开口朝上且以直线 x=﹣ 为对称轴的 抛物线, ①当﹣ >1 或﹣ <0,即 a<﹣2,或 a>0 时, 函数 f(x)在区间[0,1]上单调, 此时 M﹣m=|f(1)﹣f(0)|=|a|, 第 7 页(共 25 页) 故 M﹣m 的值与 a 有关,与 b 无关 ②当 ≤﹣ ≤1,即﹣2≤a≤﹣1 时, 函数 f(x)在区间[0,﹣ ]上递减,在[﹣ ,1]上递增, 且 f(0)>f(1), 此时 M﹣m=f(0)﹣f(﹣ )= 故 M﹣m 的值与 a 有关,与 b 无关 ,③当 0≤﹣ < ,即﹣1<a≤0 时, 函数 f(x)在区间[0,﹣ ]上递减,在[﹣ ,1]上递增, 且 f(0)<f(1), 此时 M﹣m=f(0)﹣f(﹣ )=a﹣ 故 M﹣m 的值与 a 有关,与 b 无关 ,综上可得:M﹣m 的值与 a 有关,与 b 无关 故选:B 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象 和性质,是解答的关键.  6.(5 分)已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d>0”是“S4+S6> 2S5”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】根据等差数列的求和公式和 S4+S6>2S5,可以得到 d>0,根据充分必要 条件的定义即可判断. 【解答】解:∵S4+S6>2S5, ∴4a1+6d+6a1+15d>2(5a1+10d), ∴21d>20d, ∴d>0, 第 8 页(共 25 页) 故“d>0”是“S4+S6>2S5”充分必要条件, 故选:C 【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件,属于基础题  7.(5 分)函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的 图象可能是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据导数与函数单调性的关系,当 f′(x)<0 时,函数 f(x)单调递减, 当 f′(x)>0 时,函数 f(x)单调递增,根据函数图象,即可判断函数的单调性, 然后根据函数极值的判断,即可判断函数极值的位置,即可求得函数 y=f(x)的 图象可能 【解答】解:由当 f′(x)<0 时,函数 f(x)单调递减,当 f′(x)>0 时,函数 f(x)单调递增, 则由导函数 y=f′(x)的图象可知:f(x)先单调递减,再单调递增,然后单调递 减,最后单调递增,排除 A,C, 且第二个拐点(即函数的极大值点)在 x 轴上的右侧,排除 B, 故选 D 【点评】本题考查导数的应用,考查导数与函数单调性的关系,考查函数极值的 判断,考查数形结合思想,属于基础题.  8.(5 分)已知随机变量 ξi 满足 P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1﹣pi,i=1,2.若 0<p1 <p2< ,则(  ) A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) 第 9 页(共 25 页) C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) 【分析】由已知得 0<p1<p2< , <1﹣p2<1﹣p1<1,求出 E(ξ1)=p1,E (ξ2)=p2,从而求出 D(ξ1),D(ξ2),由此能求出结果. 【解答】解:∵随机变量 ξi 满足 P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1﹣pi,i=1,2,…, 0<p1<p2< , ∴ <1﹣p2<1﹣p1<1, E(ξ1)=1×p1+0×(1﹣p1)=p1, E(ξ2)=1×p2+0×(1﹣p2)=p2, D(ξ1)=(1﹣p1)2p1+(0﹣p1)2(1﹣p1)= ,,D(ξ2)=(1﹣p2)2p2+(0﹣p2)2(1﹣p2)= 2D(ξ1)﹣D(ξ2)=p1﹣p1 ﹣( )=(p2﹣p1)(p1+p2﹣1)<0, ∴E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2). 故选:A. 【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识,考查推理论证 能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是 中档题.  9.(5 分)如图,已知正四面体 D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R 分别为 AB、BC、CA 上的点,AP=PB, ==2,分别记二面角 D﹣PR﹣Q, D﹣PQ﹣R,D﹣QR﹣P 的平面角为 α、β、γ,则(  ) A.γ<α<βB.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α 第 10 页(共 25 页) 【分析】解法一:如图所示,建立空间直角坐标系.设底面△ABC 的中心为 O.不 妨设 OP=3.则 O(0,0,0),P(0,﹣3,0),C(0,﹣6,0),D(0,0, 6),Q ,R ,利用法向量的夹角公式即可得出二面 角. 解法二:如图所示,连接 OD,OQ,OR,过点 O 发布作垂线:OE⊥DR,OF⊥ DQ,OG⊥QR,垂足分别为 E,F,G,连接 PE,PF,PG.设 OP=h.可得 cosα= ==.同理可得:cosβ= =,cosγ= =.由已知 可得:OE>OG>OF.即可得出. 【解答】解法一:如图所示,建立空间直角坐标系.设底面△ABC 的中心为 O. 不妨设 OP=3.则 O(0,0,0),P(0,﹣3,0),C(0,﹣6,0),D(0,0, 6), Q,R ,==,= ( 0 , 3 , 6 ), = ( , 5 , 0 ), =,.设平面 PDR 的法向量为 =(x,y,z),则 ,可得 ,可得 = 则 cos ,取平面 ABC 的法向量 =(0,0,1). ,取 α=arccos .γ=arccos ==.同理可得:β=arccos .∵>>.∴α<γ<β. 第 11 页(共 25 页) 解法二:如图所示,连接 OD,OQ,OR,过点 O 发布作垂线:OE⊥DR,OF⊥ DQ,OG⊥QR,垂足分别为 E,F,G,连接 PE,PF,PG. 设 OP=h. 则 cosα= ==.同理可得:cosβ= =,cosγ= =.由已知可得:OE>OG>OF. ∴cosα>cosγ>cosβ,α,β,γ 为锐角. ∴α<γ<β. 故选:B. 【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公 式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.  10.(5 分)如图,已知平面四边形 ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 第 12 页(共 25 页) 与 BD 交于点 O,记 I1= •,I2= •,I3= •,则(  ) A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3 【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可. 【解答】解:∵AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3, ∴AC=2 ,∴∠AOB=∠COD>90°, 由图象知 OA<OC,OB<OD, ∴0> •>•,•>0, 即 I3<I1<I2, 故选:C. 【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用,根据图象结合平面向量数量积的 定义是解决本题的关键.  二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分 11.(4 分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 π,理论上能把 π 的值计算到任意精度,祖冲之继承并发展了“割圆术”,将 π 的值精确到小数点 后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边 形的面积 S6,S6=   . 【分析】根据题意画出图形,结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积. 【解答】解:如图所示, 单位圆的半径为 1,则其内接正六边形 ABCDEF 中, △AOB 是边长为 1 的正三角形, 所以正六边形 ABCDEF 的面积为 S6=6× ×1×1×sin60°= .第 13 页(共 25 页) 故答案为: .【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题,是基础 题.  12.(6 分)已知 a、b∈R,(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),则 a2+b2= 5 ,ab=  2 . 【分析】a、b∈R,(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),可得 3+4i=a2﹣b2+2abi,可得 3=a2﹣b2,2ab=4,解出即可得出. 【解答】解:a、b∈R,(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位), ∴3+4i=a2﹣b2+2abi, ∴3=a2﹣b2,2ab=4, 解得 ab=2, 则 a2+b2=5, ,.故答案为:5,2. 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法,考查了推理能 力与计算能力,属于基础题.  3213.(6 分)已知多项式(x+1) (x+2) =x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则 a4= 16 , a5= 4 . 【分析】利用二项式定理的展开式,求解 x 的系数就是两个多项式的展开式中 x 与常数乘积之和,a5 就是常数的乘积. 【解答】解:多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5, (x+1)3 中,x 的系数是:3,常数是 1;(x+2)2 中 x 的系数是 4,常数是 4, 第 14 页(共 25 页) a4=3×4+1×4=16; a5=1×4=4. 故答案为:16;4. 【点评】本题考查二项式定理的应用,考查计算能力,是基础题.  14.(6 分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2,点 D 为 AB 延长线上一点,BD=2,连 结 CD,则△BDC 的面积是   ,com∠BDC=   . 【分析】如图,取 BC 得中点 E,根据勾股定理求出 AE,再求出 S△ABC,再根据 S △BDC= S△ABC 即可求出,根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出 【解答】解:如图,取 BC 得中点 E, ∵AB=AC=4,BC=2, ∴BE= BC=1,AE⊥BC, ∴AE= =,∴S△ABC= BC•AE= ×2× ∵BD=2, =,∴S△BDC= S△ABC =,∵BC=BD=2, ∴∠BDC=∠BCD, ∴∠ABE=2∠BDC 在 Rt△ABE 中, ∵cos∠ABE= =, ∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1= , ∴cos∠BDC= ,故答案为: ,第 15 页(共 25 页) 【点评】本题考查了解三角形的有关知识,关键是转化,属于基础题  15.(6 分)已知向量 、 满足| |=1,| |=2,则| + |+| ﹣ |的最小值是  4 ,最大值是  【分析】通过记∠AOB=α(0≤α≤π),利用余弦定理可可知| + |= | ﹣ |= ,进而换元,转化为线性规划问题,计算即得结论.  . 、【解答】解:记∠AOB=α,则 0≤α≤π,如图, 由余弦定理可得: | + |= ,| ﹣ |= 令 x= ,,y= ,则 x2+y2=10(x、y≥1),其图象为一段圆弧 MN,如图, 令 z=x+y,则 y=﹣x+z, 则直线 y=﹣x+z 过 M、N 时 z 最小为 zmin=1+3=3+1=4, 当直线 y=﹣x+z 与圆弧 MN 相切时 z 最大, 由平面几何知识易知 zmax 即为原点到切线的距离的 倍, 也就是圆弧 MN 所在圆的半径的 倍, 所以 zmax 综上所述,| + |+| ﹣ |的最小值是 4,最大值是 故答案为:4、 =×=...第 16 页(共 25 页) 【点评】本题考查函数的最值及其几何意义,考查数形结合能力,考查运算求解 能力,涉及余弦定理、线性规划等基础知识,注意解题方法的积累,属于中档 题.  16.(4 分)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2 人组成 4 人服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有 660 种不同的选 法.(用数字作答) 【分析】由题意分两类选 1 女 3 男或选 2 女 2 男,再计算即可 31【解答】解:第一类,先选 1 女 3 男,有 C6 C2 =40 种,这 4 人选 2 人作为队长 2和副队有 A4 =12 种,故有 40×12=480 种, 222第二类,先选 2 女 2 男,有 C6 C2 =15 种,这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A4 =12 种,故有 15×12=180 种, 根据分类计数原理共有 480+180=660 种, 故答案为:660 【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理,属于中档题  17.(4 分)已知 a∈R,函数 f(x)=|x+ ﹣a|+a 在区间[1,4]上的最大值是 5, 则 a 的取值范围是 (﹣∞, ) . 第 17 页(共 25 页) 【分析】通过转化可知|x+ ﹣a|+a≤5 且 a≤5,进而解绝对值不等式可知 2a﹣5 ≤x+ ≤5,进而计算可得结论. 【解答】解:由题可知|x+ ﹣a|+a≤5,即|x+ ﹣a|≤5﹣a,所以 a≤5, 又因为|x+ ﹣a|≤5﹣a, 所以 a﹣5≤x+ ﹣a≤5﹣a, 所以 2a﹣5≤x+ ≤5, 又因为 1≤x≤4,4≤x+ ≤5, 所以 2a﹣5≤4,解得 a≤ , 故答案为:(﹣∞, ). 【点评】本题考查函数的最值,考查绝对值函数,考查转化与化归思想,注意解 题方法的积累,属于中档题.  三、解答题(共 5 小题,满分 74 分) 18.(14 分)已知函数 f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 sinxcosx(x∈R). (Ⅰ)求 f( )的值. (Ⅱ)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式, (Ⅰ)代入可得:f( )的值. (Ⅱ)根据正弦型函数的图象和性质,可得 f(x)的最小正周期及单调递增区间 【解答】解:∵函数 f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 sinxcosx=﹣ sin2x﹣cos2x=2sin (2x+ )(Ⅰ)f( )=2sin(2× +)=2sin =2, (Ⅱ)∵ω=2,故 T=π, 即 f(x)的最小正周期为 π, 第 18 页(共 25 页) 由 2x+ x∈[﹣ ∈[﹣ +2kπ, +2kπ],k∈Z 得: +kπ,﹣ +kπ],k∈Z, 故 f(x)的单调递增区间为[﹣ +kπ,﹣ +kπ],k∈Z. 【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值,三角函数的周期性,三角函 数的单调区间,难度中档.  19.(15 分)如图,已知四棱锥 P﹣ABCD,△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三 角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:CE∥平面 PAB; (Ⅱ)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值. 【分析】(Ⅰ)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,过 D 作平面 ABCD 的垂线 为 z 轴,建立空间直角系,利用向量法能证明 CE∥平面 PAB. (Ⅱ)求出平面 PBC 的法向量和 ,利用向量法能求出直线CE 与平面 PBC 所成 角的正弦值. 【解答】证明:(Ⅰ)∵四棱锥 P﹣ABCD,△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三 角形, BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E 为 PD 的中点, ∴以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,过 D 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴,建立 空间直角系, 设 PC=AD=2DC=2CB=2, 则 C(0,1,0),D(0,0,0),P(1,0,1),E( (1,1,0), ),A(2,0,0),B 第 19 页(共 25 页) =( ), =(1,0,﹣1), =(0,1,﹣1), 设平面 PAB 的法向量 =(x,y,z), 则∵,取 z=1,得 =(1,1,1), =0,CE⊄平面 PAB, =∴CE∥平面 PAB. 解:(Ⅱ) =(﹣1,1,﹣1),设平面 PBC 的法向量 =(a,b,c), 则,取 b=1,得 =(0,1,1), 设直线 CE 与平面 PBC 所成角为 θ, 则 sinθ=|cos< >|= ==.∴直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .【点评】本题考查线面平行的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线 线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、 空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.  20.(15 分)已知函数 f(x)=(x﹣ (1)求 f(x)的导函数; )e﹣x(x≥ ). 第 20 页(共 25 页) (2)求 f(x)在区间[ ,+∞)上的取值范围. 【分析】(1)求出 f(x)的导数,注意运用复合函数的求导法则,即可得到所求; (2)求出 f(x)的导数,求得极值点,讨论当 <x<1 时,当 1<x< 时,当 x> 时,f(x)的单调性,判断 f(x)≥0,计算 f( ),f(1),f( ),即可 得到所求取值范围. 【解答】解:(1)函数 f(x)=(x﹣ 导数 f′(x)=(1﹣ • =(1﹣x+ )e﹣x=(1﹣x)(1﹣ )e﹣x(x≥ ), )e﹣x •2)e﹣x﹣(x﹣ )e﹣x; (2)由 f(x)的导数 f′(x)=(1﹣x)(1﹣ 可得 f′(x)=0 时,x=1 或 , )e﹣x, 当 <x<1 时,f′(x)<0,f(x)递减; 当 1<x< 时,f′(x)>0,f(x)递增; 当 x> 时,f′(x)<0,f(x)递减, 且 x≥ ⇔x2≥2x﹣1⇔(x﹣1)2≥0, 则 f(x)≥0. 由 f( )= e ,f(1)=0,f( )= e ,即有 f(x)的最大值为 e ,最小值为 f(1)=0. 则 f(x)在区间[ ,+∞)上的取值范围是[0, e ]. 【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算 能力,正确求导是解题的关键,属于中档题.  21.(15 分)如图,已知抛物线 x2=y,点 A(﹣ , ),B( , ),抛物线上 第 21 页(共 25 页) 的点 P(x,y)(﹣ <x< ),过点B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q. (Ⅰ)求直线 AP 斜率的取值范围; (Ⅱ)求|PA|•|PQ|的最大值. 【分析】(Ⅰ)通过点 P 在抛物线上可设 P(x,x2),利用斜率公式结合﹣ <x< 可得结论; (Ⅱ)通过(I)知 P(x,x2)、﹣ <x< ,设直线AP 的斜率为 k,联立直线 AP、BP 方程可知 Q 点坐标,进而可用 k 表示出 、,计算可知|PA|•|PQ|= (1+k)3(1﹣k),通过令 f(x)=(1+x)3(1﹣x),﹣1<x<1,求导结合单调 性可得结论. 【解答】解:(Ⅰ)由题可知 P(x,x2),﹣ <x< , 所以 kAP= =x﹣ ∈(﹣1,1), 故直线 AP 斜率的取值范围是:(﹣1,1); (Ⅱ)由(I)知 P(x,x2),﹣ <x< , 所以 =(﹣ ﹣x, ﹣x2), 设直线 AP 的斜率为 k,则 AP:y=kx+ k+ ,BP:y=﹣ x+ +, 联立直线 AP、BP 方程可知 Q( ,), 故=( ,), 第 22 页(共 25 页) 又因为 =(﹣1﹣k,﹣k2﹣k), 故﹣|PA|•|PQ|= 所以|PA|•|PQ|=(1+k)3(1﹣k), •=+=(1+k)3(k﹣1), 令 f(x)=(1+x)3(1﹣x),﹣1<x<1, 则 f′(x)=(1+x)2(2﹣4x)=﹣2(1+x)2(2x﹣1), 由于当﹣1<x<﹣ 时 f′(x)>0,当 <x<1 时 f′(x)<0, 故 f(x)max=f( )= ,即|PA|•|PQ|的最大值为 .【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题,考查运算求解能力,考查函数思想,注 意解题方法的积累,属于中档题.  22.(15 分)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*),证明:当 n ∈N*时, (Ⅰ)0<xn+1<xn; (Ⅱ)2xn+1﹣xn≤ (Ⅲ) ≤xn≤ ;.【分析】(Ⅰ)用数学归纳法即可证明, (Ⅱ)构造函数,利用导数判断函数的单调性,把数列问题转化为函数问题,即 可证明, (Ⅲ)由 ≥2xn+1﹣xn 得 ﹣ ≥2( ﹣ )>0,继续放缩即可证明 【解答】解:(Ⅰ)用数学归纳法证明:xn>0, 当 n=1 时,x1=1>0,成立, 假设当 n=k 时成立,则 xk>0, 那么 n=k+1 时,若 xk+1<0,则 0<xk=xk+1+ln(1+xk+1)<0,矛盾, 故 xn+1>0, 因此 xn>0,(n∈N*) 第 23 页(共 25 页) ∴xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1, 因此 0<xn+1<xn(n∈N*), ( Ⅱ ) 由xn=xn+1+ln ( 1+xn+1 ) 得xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+ ( xn+1+2 ) ln (1+xn+1), 记函数 f(x)=x2﹣2x+(x+2)ln(1+x),x≥0 ∴f′(x)= +ln(1+x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f(x)≥f(0)=0, 因此 xn+12﹣2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)≥0, 故 2xn+1﹣xn≤ ;(Ⅲ)∵xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1, ∴xn≥ ,由≥2xn+1﹣xn 得 ﹣ ≥2( ﹣ )>0, ﹣ )=2n﹣2 ,∴﹣ ≥2( ﹣ )≥…≥2n﹣1 (∴xn≤ 综上所述 ,≤xn≤ .【点评】本题考查了数列的概念,递推关系,数列的函数的特征,导数和函数的 单调性的关系,不等式的证明,考查了推理论证能力,分析解决问题的能力,运 算能力,放缩能力,运算能力,属于难题  第 24 页(共 25 页) 参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;whgcn;豫汝王世崇;铭灏 2016; zlzhan;沂蒙松;maths;742048;cst;双曲线(排名不分先后) 菁优网 2017 年 6 月 9 日 第 25 页(共 25 页)

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