2017年高考浙江高考数学试题及答案(精校版)下载

2017 年浙江省高考数学试卷 　一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1．（5 分）已知集合 P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么 P∪Q=（　　） A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2） 2．（5 分）椭圆 A． B． +=1 的离心率是（　　） C． D． 3．（5 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： cm2）是（　　） A． +1 B． +3 C． +1 D． +3 4．（5 分）若 x、y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的取值范围是（　　） A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞） D．[4，+∞） 5．（5 分）若函数 f（x）=x2+ax+b 在区间[0，1]上的最大值是 M，最小值是 m， 则 M﹣m（　　） A．与 a 有关，且与 b 有关 B．与 a 有关，但与 b 无关 C．与 a 无关，且与 b 无关 D．与 a 无关，但与 b 有关 6．（5 分）已知等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞ 2S5”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 第 1 页（共 25 页） C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（5 分）函数 y=f（x）的导函数 y=f′（x）的图象如图所示，则函数 y=f（x）的 图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．（5 分）已知随机变量 ξi 满足 P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2．若 0＜p1 ＜p2＜ ，则（　　） A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） 9．（5 分）如图，已知正四面体 D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为 AB、BC、CA 上的点，AP=PB， ==2，分别记二面角 D﹣PR﹣Q， D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P 的平面角为 α、β、γ，则（　　） A．γ＜α＜βB．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 10．（5 分）如图，已知平面四边形 ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与 BD 交于点 O，记 I1= •，I2= •，I3= •，则（　　） 第 2 页（共 25 页） A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3 　二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 11．（4 分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 π，理论上能把 π 的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 π 的值精确到小数点 后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边 形的面积 S6，S6=　 　． 12．（6 分）已知 a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），则 a2+b2=　 ab=　． 　， 3213．（6 分）已知多项式（x+1）（x+2）=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则 a4=　 a5=　． 14．（6 分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点 D 为 AB 延长线上一点，BD=2，连 结 CD，则△BDC 的面积是　，com∠BDC=　． 　， 15．（6 分）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值 是　 　，最大值是　 　． 16．（4 分）从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有　 　种不同的选 法．（用数字作答） 17．（4 分）已知 a∈R，函数 f（x）=|x+ ﹣a|+a 在区间[1，4]上的最大值是 5， 则 a 的取值范围是　 　． 　三、解答题（共 5 小题，满分 74 分） 18．（14 分）已知函数 f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinxcosx（x∈R）． （Ⅰ）求 f（ ）的值． （Ⅱ）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间． 19．（15 分）如图，已知四棱锥 P﹣ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三 角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点． （Ⅰ）证明：CE∥平面 PAB； 第 3 页（共 25 页） （Ⅱ）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值． 20．（15 分）已知函数 f（x）=（x﹣ ）e﹣x（x≥ ）． （1）求 f（x）的导函数； （2）求 f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围． 21．（15 分）如图，已知抛物线 x2=y，点 A（﹣ ， ），B（ ， ），抛物线上 的点 P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），过点B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q． （Ⅰ）求直线 AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值． 22．（15 分）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当 n ∈N*时， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn； （Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ；（Ⅲ） ≤xn≤ ．　第 4 页（共 25 页） 2017 年浙江省高考数学试卷 参考答案与试题解析 　一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1．（5 分）已知集合 P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么 P∪Q=（　　） A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2） 【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可． 【解答】解：集合 P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}， 那么 P∪Q={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）． 故选：A． 【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力． 　2．（5 分）椭圆 A． B． 【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可． +=1 的离心率是（　　） C． D． 【解答】解：椭圆 +=1，可得 a=3，b=2，则 c= =，所以椭圆的离心率为： = 故选：B． ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 　3．（5 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： cm2）是（　　） 第 5 页（共 25 页） A． +1 B． +3 C． +1 D． +3 【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出 图形，结合图中数据即可求出它的体积． 【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成， 圆锥的底面圆的半径为 1，三棱锥的底面是底边长 2 的等腰直角三角形，圆锥的 高和棱锥的高相等均为 3， 故该几何体的体积为 × ×π×12×3+ × × ××3= +1， 故选：A 【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得 出原几何体的结构特征，是基础题目． 　4．（5 分）若 x、y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的取值范围是（　　） A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞） D．[4，+∞） 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可． 第 6 页（共 25 页） 【解答】解：x、y 满足约束条件 ，表示的可行域如图： 目标函数 z=x+2y 经过坐标原点时，函数取得最小值， 经过 A 时，目标函数取得最大值， 由解得 A（0，3）， 目标函数的直线为：0，最大值为：36 目标函数的范围是[0，6]． 故选：A． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解 题的关键． 　5．（5 分）若函数 f（x）=x2+ax+b 在区间[0，1]上的最大值是 M，最小值是 m， 则 M﹣m（　　） A．与 a 有关，且与 b 有关 B．与 a 有关，但与 b 无关 C．与 a 无关，且与 b 无关 D．与 a 无关，但与 b 有关 【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下 M﹣m 的取值与 a，b 的关系，综合可得答案． 【解答】解：函数 f（x）=x2+ax+b 的图象是开口朝上且以直线 x=﹣ 为对称轴的 抛物线， ①当﹣ ＞1 或﹣ ＜0，即 a＜﹣2，或 a＞0 时， 函数 f（x）在区间[0，1]上单调， 此时 M﹣m=|f（1）﹣f（0）|=|a|， 第 7 页（共 25 页） 故 M﹣m 的值与 a 有关，与 b 无关 ②当 ≤﹣ ≤1，即﹣2≤a≤﹣1 时， 函数 f（x）在区间[0，﹣ ]上递减，在[﹣ ，1]上递增， 且 f（0）＞f（1）， 此时 M﹣m=f（0）﹣f（﹣ ）= 故 M﹣m 的值与 a 有关，与 b 无关 ，③当 0≤﹣ ＜ ，即﹣1＜a≤0 时， 函数 f（x）在区间[0，﹣ ]上递减，在[﹣ ，1]上递增， 且 f（0）＜f（1）， 此时 M﹣m=f（0）﹣f（﹣ ）=a﹣ 故 M﹣m 的值与 a 有关，与 b 无关 ，综上可得：M﹣m 的值与 a 有关，与 b 无关 故选：B 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象 和性质，是解答的关键． 　6．（5 分）已知等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞ 2S5”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据等差数列的求和公式和 S4+S6＞2S5，可以得到 d＞0，根据充分必要 条件的定义即可判断． 【解答】解：∵S4+S6＞2S5， ∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d）， ∴21d＞20d， ∴d＞0， 第 8 页（共 25 页） 故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件， 故选：C 【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题 　7．（5 分）函数 y=f（x）的导函数 y=f′（x）的图象如图所示，则函数 y=f（x）的 图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据导数与函数单调性的关系，当 f′（x）＜0 时，函数 f（x）单调递减， 当 f′（x）＞0 时，函数 f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性， 然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数 y=f（x）的 图象可能 【解答】解：由当 f′（x）＜0 时，函数 f（x）单调递减，当 f′（x）＞0 时，函数 f（x）单调递增， 则由导函数 y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递 减，最后单调递增，排除 A，C， 且第二个拐点（即函数的极大值点）在 x 轴上的右侧，排除 B， 故选 D 【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的 判断，考查数形结合思想，属于基础题． 　8．（5 分）已知随机变量 ξi 满足 P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2．若 0＜p1 ＜p2＜ ，则（　　） A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） 第 9 页（共 25 页） C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） 【分析】由已知得 0＜p1＜p2＜ ， ＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出 E（ξ1）=p1，E （ξ2）=p2，从而求出 D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果． 【解答】解：∵随机变量 ξi 满足 P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2，…， 0＜p1＜p2＜ ， ∴ ＜1﹣p2＜1﹣p1＜1， E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1， E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2， D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）= ，，D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）= 2D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p1 ﹣（ ）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0， ∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）． 故选：A． 【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证 能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是 中档题． 　9．（5 分）如图，已知正四面体 D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为 AB、BC、CA 上的点，AP=PB， ==2，分别记二面角 D﹣PR﹣Q， D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P 的平面角为 α、β、γ，则（　　） A．γ＜α＜βB．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 第 10 页（共 25 页） 【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC 的中心为 O．不 妨设 OP=3．则 O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0， 6），Q ，R ，利用法向量的夹角公式即可得出二面 角． 解法二：如图所示，连接 OD，OQ，OR，过点 O 发布作垂线：OE⊥DR，OF⊥ DQ，OG⊥QR，垂足分别为 E，F，G，连接 PE，PF，PG．设 OP=h．可得 cosα= ==．同理可得：cosβ= =，cosγ= =．由已知 可得：OE＞OG＞OF．即可得出． 【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC 的中心为 O． 不妨设 OP=3．则 O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0， 6）， Q，R ，==，= （ 0 ， 3 ， 6 ）， = （ ， 5 ， 0 ）， =，．设平面 PDR 的法向量为 =（x，y，z），则 ，可得 ，可得 = 则 cos ，取平面 ABC 的法向量 =（0，0，1）． ，取 α=arccos ．γ=arccos ==．同理可得：β=arccos ．∵＞＞．∴α＜γ＜β． 第 11 页（共 25 页） 解法二：如图所示，连接 OD，OQ，OR，过点 O 发布作垂线：OE⊥DR，OF⊥ DQ，OG⊥QR，垂足分别为 E，F，G，连接 PE，PF，PG． 设 OP=h． 则 cosα= ==．同理可得：cosβ= =，cosγ= =．由已知可得：OE＞OG＞OF． ∴cosα＞cosγ＞cosβ，α，β，γ 为锐角． ∴α＜γ＜β． 故选：B． 【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公 式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 　10．（5 分）如图，已知平面四边形 ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 第 12 页（共 25 页） 与 BD 交于点 O，记 I1= •，I2= •，I3= •，则（　　） A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3 【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可． 【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3， ∴AC=2 ，∴∠AOB=∠COD＞90°， 由图象知 OA＜OC，OB＜OD， ∴0＞ •＞•，•＞0， 即 I3＜I1＜I2， 故选：C． 【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的 定义是解决本题的关键． 　二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 11．（4 分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 π，理论上能把 π 的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 π 的值精确到小数点 后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边 形的面积 S6，S6=　 　． 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积． 【解答】解：如图所示， 单位圆的半径为 1，则其内接正六边形 ABCDEF 中， △AOB 是边长为 1 的正三角形， 所以正六边形 ABCDEF 的面积为 S6=6× ×1×1×sin60°= ．第 13 页（共 25 页） 故答案为： ．【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础 题． 　12．（6 分）已知 a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），则 a2+b2=　5　，ab=　 2　． 【分析】a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），可得 3+4i=a2﹣b2+2abi，可得 3=a2﹣b2，2ab=4，解出即可得出． 【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位）， ∴3+4i=a2﹣b2+2abi， ∴3=a2﹣b2，2ab=4， 解得 ab=2， 则 a2+b2=5， ，．故答案为：5，2． 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能 力与计算能力，属于基础题． 　3213．（6 分）已知多项式（x+1） （x+2） =x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则 a4=　16　， a5=　4　． 【分析】利用二项式定理的展开式，求解 x 的系数就是两个多项式的展开式中 x 与常数乘积之和，a5 就是常数的乘积． 【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5， （x+1）3 中，x 的系数是：3，常数是 1；（x+2）2 中 x 的系数是 4，常数是 4， 第 14 页（共 25 页） a4=3×4+1×4=16； a5=1×4=4． 故答案为：16；4． 【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题． 　14．（6 分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点 D 为 AB 延长线上一点，BD=2，连 结 CD，则△BDC 的面积是　 　，com∠BDC=　 　． 【分析】如图，取 BC 得中点 E，根据勾股定理求出 AE，再求出 S△ABC，再根据 S △BDC= S△ABC 即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出 【解答】解：如图，取 BC 得中点 E， ∵AB=AC=4，BC=2， ∴BE= BC=1，AE⊥BC， ∴AE= =，∴S△ABC= BC•AE= ×2× ∵BD=2， =，∴S△BDC= S△ABC =，∵BC=BD=2， ∴∠BDC=∠BCD， ∴∠ABE=2∠BDC 在 Rt△ABE 中， ∵cos∠ABE= =， ∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1= ， ∴cos∠BDC= ，故答案为： ，第 15 页（共 25 页） 【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题 　15．（6 分）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是　 4　，最大值是　 【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知| + |= | ﹣ |= ，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论． 　． 、【解答】解：记∠AOB=α，则 0≤α≤π，如图， 由余弦定理可得： | + |= ，| ﹣ |= 令 x= ，，y= ，则 x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧 MN，如图， 令 z=x+y，则 y=﹣x+z， 则直线 y=﹣x+z 过 M、N 时 z 最小为 zmin=1+3=3+1=4， 当直线 y=﹣x+z 与圆弧 MN 相切时 z 最大， 由平面几何知识易知 zmax 即为原点到切线的距离的 倍， 也就是圆弧 MN 所在圆的半径的 倍， 所以 zmax 综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是 4，最大值是 故答案为：4、 =×=．．．第 16 页（共 25 页） 【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解 能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档 题． 　16．（4 分）从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有　660　种不同的选 法．（用数字作答） 【分析】由题意分两类选 1 女 3 男或选 2 女 2 男，再计算即可 31【解答】解：第一类，先选 1 女 3 男，有 C6 C2 =40 种，这 4 人选 2 人作为队长 2和副队有 A4 =12 种，故有 40×12=480 种， 222第二类，先选 2 女 2 男，有 C6 C2 =15 种，这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A4 =12 种，故有 15×12=180 种， 根据分类计数原理共有 480+180=660 种， 故答案为：660 【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题 　17．（4 分）已知 a∈R，函数 f（x）=|x+ ﹣a|+a 在区间[1，4]上的最大值是 5， 则 a 的取值范围是　（﹣∞， ）　． 第 17 页（共 25 页） 【分析】通过转化可知|x+ ﹣a|+a≤5 且 a≤5，进而解绝对值不等式可知 2a﹣5 ≤x+ ≤5，进而计算可得结论． 【解答】解：由题可知|x+ ﹣a|+a≤5，即|x+ ﹣a|≤5﹣a，所以 a≤5， 又因为|x+ ﹣a|≤5﹣a， 所以 a﹣5≤x+ ﹣a≤5﹣a， 所以 2a﹣5≤x+ ≤5， 又因为 1≤x≤4，4≤x+ ≤5， 所以 2a﹣5≤4，解得 a≤ ， 故答案为：（﹣∞， ）． 【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解 题方法的积累，属于中档题． 　三、解答题（共 5 小题，满分 74 分） 18．（14 分）已知函数 f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinxcosx（x∈R）． （Ⅰ）求 f（ ）的值． （Ⅱ）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间． 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式， （Ⅰ）代入可得：f（ ）的值． （Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得 f（x）的最小正周期及单调递增区间 【解答】解：∵函数 f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinxcosx=﹣ sin2x﹣cos2x=2sin （2x+ ）（Ⅰ）f（ ）=2sin（2× +）=2sin =2， （Ⅱ）∵ω=2，故 T=π， 即 f（x）的最小正周期为 π， 第 18 页（共 25 页） 由 2x+ x∈[﹣ ∈[﹣ +2kπ， +2kπ]，k∈Z 得： +kπ，﹣ +kπ]，k∈Z， 故 f（x）的单调递增区间为[﹣ +kπ，﹣ +kπ]，k∈Z． 【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函 数的单调区间，难度中档． 　19．（15 分）如图，已知四棱锥 P﹣ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三 角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点． （Ⅰ）证明：CE∥平面 PAB； （Ⅱ）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值． 【分析】（Ⅰ）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，过 D 作平面 ABCD 的垂线 为 z 轴，建立空间直角系，利用向量法能证明 CE∥平面 PAB． （Ⅱ）求出平面 PBC 的法向量和 ，利用向量法能求出直线CE 与平面 PBC 所成 角的正弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥 P﹣ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三 角形， BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点， ∴以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，过 D 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立 空间直角系， 设 PC=AD=2DC=2CB=2， 则 C（0，1，0），D（0，0，0），P（1，0，1），E（ （1，1，0）， ），A（2，0，0），B 第 19 页（共 25 页） =（ ）， =（1，0，﹣1）， =（0，1，﹣1）， 设平面 PAB 的法向量 =（x，y，z）， 则∵，取 z=1，得 =（1，1，1）， =0，CE⊄平面 PAB， =∴CE∥平面 PAB． 解：（Ⅱ） =（﹣1，1，﹣1），设平面 PBC 的法向量 =（a，b，c）， 则，取 b=1，得 =（0，1，1）， 设直线 CE 与平面 PBC 所成角为 θ， 则 sinθ=|cos＜ ＞|= ==．∴直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线 线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、 空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 　20．（15 分）已知函数 f（x）=（x﹣ （1）求 f（x）的导函数； ）e﹣x（x≥ ）． 第 20 页（共 25 页） （2）求 f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围． 【分析】（1）求出 f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求； （2）求出 f（x）的导数，求得极值点，讨论当 ＜x＜1 时，当 1＜x＜ 时，当 x＞ 时，f（x）的单调性，判断 f（x）≥0，计算 f（ ），f（1），f（ ），即可 得到所求取值范围． 【解答】解：（1）函数 f（x）=（x﹣ 导数 f′（x）=（1﹣ • =（1﹣x+ ）e﹣x=（1﹣x）（1﹣ ）e﹣x（x≥ ）， ）e﹣x •2）e﹣x﹣（x﹣ ）e﹣x； （2）由 f（x）的导数 f′（x）=（1﹣x）（1﹣ 可得 f′（x）=0 时，x=1 或 ， ）e﹣x， 当 ＜x＜1 时，f′（x）＜0，f（x）递减； 当 1＜x＜ 时，f′（x）＞0，f（x）递增； 当 x＞ 时，f′（x）＜0，f（x）递减， 且 x≥ ⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0， 则 f（x）≥0． 由 f（ ）= e ，f（1）=0，f（ ）= e ，即有 f（x）的最大值为 e ，最小值为 f（1）=0． 则 f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围是[0， e ]． 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算 能力，正确求导是解题的关键，属于中档题． 　21．（15 分）如图，已知抛物线 x2=y，点 A（﹣ ， ），B（ ， ），抛物线上 第 21 页（共 25 页） 的点 P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），过点B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q． （Ⅰ）求直线 AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值． 【分析】（Ⅰ）通过点 P 在抛物线上可设 P（x，x2），利用斜率公式结合﹣ ＜x＜ 可得结论； （Ⅱ）通过（I）知 P（x，x2）、﹣ ＜x＜ ，设直线AP 的斜率为 k，联立直线 AP、BP 方程可知 Q 点坐标，进而可用 k 表示出 、，计算可知|PA|•|PQ|= （1+k）3（1﹣k），通过令 f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调 性可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）由题可知 P（x，x2），﹣ ＜x＜ ， 所以 kAP= =x﹣ ∈（﹣1，1）， 故直线 AP 斜率的取值范围是：（﹣1，1）； （Ⅱ）由（I）知 P（x，x2），﹣ ＜x＜ ， 所以 =（﹣ ﹣x， ﹣x2）， 设直线 AP 的斜率为 k，则 AP：y=kx+ k+ ，BP：y=﹣ x+ +， 联立直线 AP、BP 方程可知 Q（ ，）， 故=（ ，）， 第 22 页（共 25 页） 又因为 =（﹣1﹣k，﹣k2﹣k）， 故﹣|PA|•|PQ|= 所以|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k）， •=+=（1+k）3（k﹣1）， 令 f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1， 则 f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1）， 由于当﹣1＜x＜﹣ 时 f′（x）＞0，当 ＜x＜1 时 f′（x）＜0， 故 f（x）max=f（ ）= ，即|PA|•|PQ|的最大值为 ．【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注 意解题方法的积累，属于中档题． 　22．（15 分）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当 n ∈N*时， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn； （Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ （Ⅲ） ≤xn≤ ；．【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明， （Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即 可证明， （Ⅲ）由 ≥2xn+1﹣xn 得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，继续放缩即可证明 【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn＞0， 当 n=1 时，x1=1＞0，成立， 假设当 n=k 时成立，则 xk＞0， 那么 n=k+1 时，若 xk+1＜0，则 0＜xk=xk+1+ln（1+xk+1）＜0，矛盾， 故 xn+1＞0， 因此 xn＞0，（n∈N*） 第 23 页（共 25 页） ∴xn=xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1， 因此 0＜xn+1＜xn（n∈N*）， （ Ⅱ ） 由xn=xn+1+ln （ 1+xn+1 ） 得xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+ （ xn+1+2 ） ln （1+xn+1）， 记函数 f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0 ∴f′（x）= +ln（1+x）＞0， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴f（x）≥f（0）=0， 因此 xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）≥0， 故 2xn+1﹣xn≤ ；（Ⅲ）∵xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤xn+1+xn+1=2xn+1， ∴xn≥ ，由≥2xn+1﹣xn 得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0， ﹣ ）=2n﹣2 ，∴﹣ ≥2（ ﹣ ）≥…≥2n﹣1 （∴xn≤ 综上所述 ，≤xn≤ ．【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的 单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运 算能力，放缩能力，运算能力，属于难题 　第 24 页（共 25 页） 参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；whgcn；豫汝王世崇；铭灏 2016； zlzhan；沂蒙松；maths；742048；cst；双曲线（排名不分先后） 菁优网 2017 年 6 月 9 日 第 25 页（共 25 页）