绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有 14题，满分 56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分. 1．设 xR ，则不等式 x 3 1的解集为_______. 3 2i 2．设 z i，其中 为虚数单位，则z 的虚部等于______________________. i3．已知平行直线l1 : 2x y 1 0,l2 : 2x y 1 0 ，则l1与l2 的距离是_______________.[来 4．某次体检，5 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组 数据的中位数是_________（米）. 5．若函数 f (x) 4sin x acos x的最大值为 5，则常数 a ______. 6．已知点 (3,9) 在函数 f (x) 1 ax 的图像上，则 f (x)的反函数f 1(x) ________ .x 0, 7．若 x, y 满足 y 0, 则x 2y 的最大值为_______. y x 1, 8．方程3sin x 1 cos2x 在区间[0,2] 上的解为___________.[来 n23 9．在 x 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于_________. x10．已知△ABC 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________. 11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水 果相同的概率为______. [第 1 页 共 17 页 uuur uur 12．如图，已知点 O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P 是曲线 y = 1- x2 上一个动点，则OP×BA 的取值 范围是 .ìax + y = 1 ïï13．设 a>0,b>0. 若关于 x,y 的方程组 ，无解，则 a + b 的取值范围是 .íïx + by = 1 ïî14．无穷数列{an}由 k 个不同的数组成，Sn 为{an}的前 n 项和.若对任意 n Î N* 则 k 的最大值为 ，Sn Î {2，3} ，.二、选择题（本大题共有 4 小题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 15．设 aR ，则“ a 1”是“ a2 1”的（ ）. （A）充分非必要条件 （C）充要条件 （B）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件 16．如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BC、BB1 的中点，则下列直线中与 直线 EF 相交的是（ ）. (A)直线 AA1 (C)直线 A1D1 (B)直线 A1B1 (D)直线 B1C1 π17．设 a Î R ， b Î [0,2π].若对任意实数 x 都有 sin(3x- )=sin(ax + b) ，则满足条件的有序 3实数对(a,b)的对数为（ ）. (C)3 h(x) 是定义域为 (A)1 (B)2 (D)4 18．设 f (x) f (x) h(x) 、、g(x) 、R的三个函数．对于命题：①若 f (x) g(x) 、g(x) h(x)均是增函数，则 f (x) g(x) h(x) 均是增函数；②若 、 、 第 2 页 共 17 页 f (x) g(x) h(x) 均是以 、f (x) h(x) 、g(x) h(x)均是以 T为周期的函数，则 f (x) g(x) 、 、 T为周期的函数，下列判断正确的是（ ）. (A)①和②均为真命题 (B)①和②均为假命题 (D)①为假命题，②为真命题 (C)①为真命题，②为假命题 三、解答题（本题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 6 分. 将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为 5 63，A B1 长为 ，其中B1 与 C 在平面AA1O1O 的同侧. 1（1）求圆柱的体积与侧面积； （2）求异面直线 O1B1 与 OC 所成的角的大小. 20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 8 分. 有一块正方形菜地 EFGH 走.于是，菜地分为两个区域 ,EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F点或河边运 S1 和 2 ，其中 1 中的蔬菜运到河边较近， 2 中的蔬菜运到 SSSF点较近，而菜地内 S1 和 S2 的分界线 C上的点到河边与到 F点的距离相等，现建立平面直角 坐标系，其中原点 O为EF 的中点，点 F 的坐标为（1,0），如图. （1）求菜地内的分界线 C的方程； 1 面积是 83（2）菜农从蔬菜运量估计出 SS2 面积的两倍，由此得到 S1 面积的“经验值”为 .第 3 页 共 17 页 设M是C上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边、另一边过点 M的矩形的面积，及五 边形 EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于 1 面积的“经验值”. S21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. y2 b2 双曲线 x2 1(b 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、 B 两点. （1）若 l 的倾斜角为 2，△F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； 1（2）设b 3 ，若 l 的斜率存在，且|AB|=4，求 l 的斜率. 22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 6 分. 对于无穷数列{ 同时满足条件：①{ 与{ n }是无穷互补数列. （1）若 an （2）若 an （3）若{ n }与{ 项公式. an }与{ bn }，记 A={ x|x=，nN* }，B={ x|x=bn ，nN* }，若 an an }，{ bn }均单调递增；② A B 且A B N* ，则称{ an }b=2n 1 2n 且{ n }是无穷互补数列，{ ，bn =4n 2 ，判断{ n }与{ n }是无穷互补数列，求数列{ n }为等差数列且 an }与{ bn }是否为无穷互补数列，并说明理由； n }的前 16 项的和； 16 =36，求{ n }与{ =abbabaaabn }的通 23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 8 分. 1log ( a) 已知 aR，函数 f (x) =.2x（1）当 a 1时，解不等式 f (x) >1； （2）若关于 的方程f (x) log2 (x2 ) =0 的解集中恰有一个元素，求 （3）设 >0，若对任意t 不超过 1，求 x+a的值； 1[ ,1] a，函数 f (x) 在区间[t,t 1]上的最大值与最小值的差 2a的取值范围. 第 4 页 共 17 页 考生注意： 1. 本试卷共 4页，23道试题，满分 150分.考试时间 120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选 择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地写姓名、转考证号，并将核对后的条 形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有 14题，满分 56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分. 1．设 xR ，则不等式 x 3 1的解集为_______. 【答案】 (2，4) 【解析】试题分析：| x 3|1 1 x 3 1 2 x 4，故不等式| x 3|1的解集 为(2,4) .考点：绝对值不等式的基本解法. 3 2i 2．设 z i，其中 为虚数单位，则z 的虚部等于______________________. i【答案】 【解析】 3试题分析： 3 2i z 2 3i, z 的虚部等于3. i考点：1.复数的运算；2.复数的概念. 3．已知平行直线l1 : 2x y 1 0,l2 : 2x y 1 0 ，则l1与l2 的距离是_______________. 2 5 【答案】 5【解析】试题分析： | c1 c2 | |11| 25 利用两平行线间的距离公式得 d 考点：两平行线间距离公式. .a2 b2 22 12 5第 5 页 共 17 页 4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这 组数据的中位数是_________（米）. 【答案】1.76 【解析】试题分析： 将这 5位同学的身高按照从低到高排列为：1.69,1.72,1.76,1.78,1.80，这五个数的中位数 是 1.76. 考点：中位数的概念. 5．若函数 f (x) 4sin x acos x的最大值为 5，则常数 a ______. 【答案】 3 a【解析】试题分析： f (x) 16 a2 sin(x ) ，其中 tan ，故函数 f (x) 的最大值 4为16 a2 ，由已知得， 16 a2 5，解得 a 3 考点：三角函数 y Asin(x ) 的图象和性质. .6．已知点 (3,9) 在函数 f (x) 1 ax 的图像上，则 f (x)的反函数f 1(x) ________ 【答案】 log2 (x 1) .考点：反函数的概念以及指、对数式的转化. x 0, 7．若 x, y 满足 y 0, 则x 2y 的最大值为_______. y x 1, 【答案】 2 【解析】试题分析：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，令 z x 2y ，当直线 11y x z 经过点 P(0,1) 时， z 取得最大值 2 .22第 6 页 共 17 页 yPxO考点：线性规划及其图解法. 8．方程3sin x 1 cos2x 在区间[0,2] 上的解为___________. 5 【答案】 ，6 6 【解析】试题分析： 化简3sinx 1 cos 2x 得：3sinx 2 2sin2 x ，所以 2sin2 x 3sinx 2 0 ，解得 12x 或 65 6sinx 或sinx 2 （舍去），又 x[0,2]，所以 .考点：二倍角公式及三角函数求值. n23 9．在 x 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于_________. x【答案】112 【解析】试题分析： 由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为 2n ，即 2n 256，所以 n 8 ，又二项展开 843r28 4 r8r rrr3式的通项为 T C8 ( x)( ) (2) C8x3 ，令 r 0 ，所以 r 2，所以 r1 x3 3 T 112 ，即常数项为 112. 3考点：二项式定理. 10．已知△ABC 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________. 7 3 【答案】 3【解析】试题分析： 32 52 72 235 1利用余弦定理可求得最大边 7所对应角的余弦值为 ，所以此角的正弦值 2第 7 页 共 17 页 377 3 3为，由正弦定理得 2R ,所以 R .232考点：正弦、余弦定理. 11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种 水果相同的概率为______. 1【答案】 6【解析】试题分析： 将 4种水果每两种分为一组，有 C42 6 种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相 1同的概率为 . 6考点：古典概型 uuur uur 12．如图，已知点 O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P 是曲线 y = 1- x2 上一个动点，则OP×BA 的取值范围是 .【答案】 [1, 2] [0,π] P(cos,sin) 【解析】试题分析：由题意，设 ,，则 ，又 OP (cos,sin) 4OP BA cos sin 2 sin( )[1, 2] BA (1,1) , 所以 .考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想. ìax + y = 1 x + by = 1 ïï13．设 a>0,b>0. 若关于 x,y 的方程组 ，无解，则 a + b 的 取值范围是 .íïïî(2,) 【答案】 ax y 1 x by 1 平行，所以 ab 1 【解析】试题分析：方程组无解等价于直线 与直线 a b 2 ab 2 a b 1 aba b 1 a b 的取值范围 且是.又 ，为正数，所以 （），即 (2,) .[第 8 页 共 17 页 考点：方程组的思想以及基本不等式的应用. 14．无穷数列{an}由 k 个不同的数组成，Sn 为{an}的前 n 项和.若对任意 n Î N* Sn Î {2，3} ， ， 则 k 的最大值为 【答案】4 .考点：数列的项与和. 三、选择题（本大题共有 4小题，满分 20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分. 15．设 aR ，则“ a 1”是“ a2 1”的（ ）. （B）充分非必要条件 （C）充要条件 （B）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】试题分析： a 1 a2 1,a2 1 a 1或a 1，所以“ a 1”是“ a2 1”的充分非必要条件，选 A. 考点：充要条件 16．如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1中，E、F 分别为 BC、BB1的中点，则下列直线中与直线 EF 相交的是（ ）. (A)直线 AA1 (C)直线 A1D1 (B)直线 A1B1 (D)直线 B1C1 【答案】D 第 9 页 共 17 页 【解析】试题分析： 只有 B C1 与 EF 在同一平面内，是相交的，其他 A，B，C中的直线与 EF 都是异面直线， 1故选 D． 考点：异面直线 π17．设 a Î R ，b Î [0,2π].若对任意实数 x 都有 sin(3x- )=sin(ax + b) ，则满足条件的有序 3实数对(a,b)的对数为（ ）. (C)3 (A)1 (B)2 (D)4 【答案】B ππ5π 5π 【解析】试题分析：sin(3x ) sin(3x 2π) sin(3x )，(a,b) (3, )，3333ππ4π 4π 又sin(3x ) sin[π (3x )] sin(3x )，(a,b) (3, )，3333注意到b[0,2π)，只有这两组．故选 B． 考点：三角函数 18．设 f (x) f (x) h(x) f (x) g(x) h(x) 均是以 、、、g(x) g(x) h(x)均是增函数，则 f (x) f (x) h(x) g(x) h(x)均是以 、h(x) 是定义域为 R的三个函数．对于命题：①若 f (x) g(x) 、、、g(x) h(x) 均是增函数；②若 、T为周期的函数，则 f (x) ）. g(x) 、 、 T为周期的函数，下列判断正确的是（ (A)①和②均为真命题 (C)①为真命题，②为假命题 【答案】D (B)①和②均为假命题 (D)①为假命题，②为真命题 【解析】 试题分析： 考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性. 第 10 页 共 17 页 三、解答题（本题共有 5题，满分 74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19．（本题满分 12分）本题共有 2个小题，第 1个小题满分 6分，第 2个小题满分 6分. 5 6将边长为 1的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为 ，3A B1 长为 ，其中B1与 C 在平面 AA1O1O 的同侧. 1（1）求圆柱的体积与侧面积； （2）求异面直线 O1B1与 OC 所成的角的大小. π【答案】（1）V ，S 2 ；（2） ．2【解析】 试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高 h 1，底面半径 r 1．由此计算即得. （2）由 11 // 得C或其补角为 11 与 C所成的角，再结合题设条件计算即 得． 试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长l 1，底面半径 r 1 ．圆柱的体积V r2l 12 1 圆柱的侧面积 S 2rl 211 2 ，．（2）设过点 B1的母线与下底面交于点 B，则O B //OB ，11所以 COB 或其补角为O B1 与OC 所成的角． 133由A B1 长为 ，可知AOB AO B ，111 1 第 11 页 共 17 页 5 65π 2由 长为 AC ，可知 AOC ，COB AOC AOB ，62所以异面直线O B1 与OC 所成的角的大小为 ．1考点：1.几何体的体积；2.空间角. 20．（本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1个小题满分 6分，第 2个小题满分 8分. 有一块正方形菜地 EFGH 走.于是，菜地分为两个区域 ,EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F点或河边运 S1 和 2 ，其中 1 中的蔬菜运到河边较近， 2 中的蔬菜运到 SSSF点较近，而菜地内 S1 和 S2 的分界线 C上的点到河边与到 F点的距离相等，现建立平面直角 坐标系，其中原点 O为EF 的中点，点 F 的坐标为（1,0），如图. （3）求菜地内的分界线 （4）菜农从蔬菜运量估计出 上纵坐标为 1的点，请计算以 EH 为一边、另一边过点 边形 EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于 1 面积的“经验值”. 【答案】（1） y2 4x C的方程； 8S1 面积是 S2 面积的两倍，由此得到 S1 面积的“经验值”为 . 3设M是CM的矩形的面积，及五 S511 （0 y 2 ）；（2）矩形面积为 ，五边形面积为，五边形面积 24更接近于 【解析】 S1 面积的“经验值”． 第 12 页 共 17 页 511 4所求的矩形面积为 ，而所求的五边形面积为 2．5 8 1矩形面积与“经验值”之差的绝对值为 ，而五边形面积与“经验值”之差 2 3 611 8 1的绝对值为 ，所以五边形面积更接近于 S1 面积的“经验值”． 4312 考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算. 21．（本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分. y2 b2 双曲线 x2 1(b 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 l 过 F2且与双曲线交于 A、B 两点. （1）若 l 的倾斜角为 2，△F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； 1（2）设b 3 ，若 l 的斜率存在，且|AB|=4，求 l 的斜率. 15 【答案】（1） y 2x ；（2） .5【解析】 试题分析：（1）设 A x , y ，根据题设条件可以得到 4 1 b2 3b4 ，从而解得b2 A 的A值． （2）设 A x, y ，B x, y ，直线l : y k x 2 与双曲线方程联立，得到一元二次方 2 1 12程，根据 l与双曲线交于两点，可得 k2 3 0 ，且 36 1 k2 0．由|AB|=4构建关于 k的方程进行求解． 第 13 页 共 17 页 试题解析：（1）设 A x , y ．A A由题意， F c,0 2 ，c 1 b2 ，y2 b2 c2 1 b4 ，A因为△F AB 是等边三角形，所以 2c 3 yA ，1即4 1 b2 3b4 ，解得b2 2 ．故双曲线的渐近线方程为 y 2x ．（2）由已知， F 2,0 2 ．设A x, y 1 ，B x, y ，直线l : y k x 2 2 ．12y2 x2 1 由，得 k2 3 x2 4k2 x 4k2 3 0 ．3y k x 2 因为 l与双曲线交于两点，所以 k2 3 0 ，且 36 1 k2 0 ．36 k2 1 4k2 4k2 3 k2 3 2由故x1 x2 ，x1x2 ，得 x x 2 ，21k2 3 k2 3 6 k2 1 4 AB x x 2 y y 2 1 k2 x1 x2 ，22 11k2 3 315 解得 k2 ，故 l的斜率为 ．55考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.弦长公式. 22．（本题满分 16分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小 题满分 6分. 对于无穷数列{ an }与{ bn }，记 A={ x|x=，nN* }，B={ x|x=bn ，nN* }，若 an 同时满足条件：①{ n }是无穷互补数列. （1）若 an （2）若 an an }，{ bn }均单调递增；② A B 且A B N* ，则称{ an }与 {b=2n 1 ，bn =4n 2 ，判断{ an }与{bn }是否为无穷互补数列，并说明理由； =2n 且{ an }与{ n }是无穷互补数列，求数列{bn }的前 16项的和； b第 14 页 共 17 页 （3）若{ 项公式. 【 答 案 】 （ 1） an }与{bn }是无穷互补数列，{an }为等差数列且 a16 =36，求{an }与{bn }的通 180 ； （ 3） a与b不 是 无 穷 互 补 数 列 ， 理 由 见 解 析 ；（ 2） nnn,n 5 an 2n 4 ，b ．n2n 5,n 5 【解析】试题分析：（1）直接应用定义“无穷互补数列”的条件验证即得；（2）利用等差数 列与等比数列的求和公式进行求解；（3）先求等差数列{ 公式. an }的通项公式，再求{bn }的通项 试题解析：（1）因为 4 A ，4 B ，所以 4 A B ，从而 与 不是无穷互补数列． bna n（2）因为 a4 16，所以b 16 4 20 ．16 考点：等差数列、等比数列、新定义问题 23．（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小 题满分 8分. 1log ( a) 已知 aR，函数 f (x) =.2x第 15 页 共 17 页 （1）当 a 1时，解不等式 f (x) >1； a（2）若关于 的方程f (x) 的值； log2 (x2 ) =0的解集中恰有一个元素，求 x+1[ ,1] ，函数 f (x) 在区间[t,t 1]上的最大值与最小值的差 （3）设 a>0，若对任意t 2不超过 1，求 a的取值范围. 142【答案】（1） x(0,1)；（2） 0或；（3） , ．3【解析】 11试题分析：（1）由 log2 1 1，得 1 2，从而得解． xx12（2）转化得到 （3）讨论 f x ，讨论当 a 0 、a 0 时的情况即可． log2 ( a) log2 (x ) 0 x在0, 上的单调性，再确定函数 f x在区间 t,t 1 上的最大值与最 1小值之差，由此得到 at2 a 1 t 1 0 ，对任意t ,1 成立． 211试题解析： （1）由 log2 1 1，得 1 2，解得 x(0,1) ．xx1（2） log2 a log x2 0有且仅有一解， 2 x函数 f x在区间 t,t 1 上的最大值与最小值分别为 f t ，f t1 ．第 16 页 共 17 页 11f t f t1 log a log2 a 1 即at2 a 1 t 1 0 ， 对 任 意 2tt 1 1t ,1 成立． 21因为 a 0 ，所以函数 y at2 a 1 t 1在区间 ,1 上单调递增， 21313123所以t 时， y有最小值 a ，由 a 0，得 a ．242422．故a的取值范围为 , 3考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质. 第 17 页 共 17 页
声明：如果本站提供的资源有问题或者不能下载，请点击页面底部的"联系我们"；
本站提供的资源大部分来自网络收集整理，如果侵犯了您的版权，请联系我们删除。
