2016年上海高考数学真题(文科)试卷(word解析版)下载

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  • 最近更新2022年10月14日



绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 数学试卷(文史类) (满分 150 分,考试时间 120 分钟) 考生注意 1.本场考试时间 120分钟,试卷共 4页,满分 150分,答题纸共 2页. 2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题(本大题共有 14题,满分 56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4分,否则一律得零分. 1.设 xR ,则不等式 x 3 1的解集为_______. 3 2i 2.设 z  i,其中 为虚数单位,则z 的虚部等于______________________. i3.已知平行直线l1 : 2x  y 1 0,l2 : 2x  y 1 0 ,则l1与l2 的距离是_______________.[来 4.某次体检,5 位同学的身高(单位:米)分别为 1.72,1.78,1.80,1.69,1.76,则这组 数据的中位数是_________(米). 5.若函数 f (x)  4sin x  acos x的最大值为 5,则常数 a ______. 6.已知点 (3,9) 在函数 f (x) 1 ax 的图像上,则 f (x)的反函数f 1(x)  ________ .x  0, 7.若 x, y 满足 y  0, 则x  2y 的最大值为_______. y  x 1, 8.方程3sin x 1 cos2x 在区间[0,2] 上的解为___________.[来 n23 9.在 x  的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为 256,则常数项等于_________. x10.已知△ABC 的三边长分别为 3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________. 11.某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水 果相同的概率为______. [第 1 页 共 17 页 uuur uur 12.如图,已知点 O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P 是曲线 y = 1- x2 上一个动点,则OP×BA 的取值 范围是 .ìax + y = 1 ïï13.设 a>0,b>0. 若关于 x,y 的方程组 ,无解,则 a + b 的取值范围是 .íïx + by = 1 ïî14.无穷数列{an}由 k 个不同的数组成,Sn 为{an}的前 n 项和.若对任意 n Î N* 则 k 的最大值为 ,Sn Î {2,3} ,.二、选择题(本大题共有 4 小题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题 纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.设 aR ,则“ a 1”是“ a2 1”的( ). (A)充分非必要条件 (C)充要条件 (B)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件 16.如图,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BC、BB1 的中点,则下列直线中与 直线 EF 相交的是( ). (A)直线 AA1 (C)直线 A1D1 (B)直线 A1B1 (D)直线 B1C1 π17.设 a Î R , b Î [0,2π].若对任意实数 x 都有 sin(3x- )=sin(ax + b) ,则满足条件的有序 3实数对(a,b)的对数为( ). (C)3 h(x) 是定义域为 (A)1 (B)2 (D)4 18.设 f (x) f (x)  h(x) 、、g(x) 、R的三个函数.对于命题:①若 f (x)  g(x) 、g(x)  h(x)均是增函数,则 f (x) g(x) h(x) 均是增函数;②若 、 、 第 2 页 共 17 页 f (x)  g(x) h(x) 均是以 、f (x)  h(x) 、g(x)  h(x)均是以 T为周期的函数,则 f (x) g(x) 、 、 T为周期的函数,下列判断正确的是( ). (A)①和②均为真命题 (B)①和②均为假命题 (D)①为假命题,②为真命题 (C)①为真命题,②为假命题 三、解答题(本题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 个小题满分 6 分,第 2 个小题满分 6 分. 将边长为 1 的正方形 AA1O1O(及其内部)绕 OO1 旋转一周形成圆柱,如图, AC 长为 5 63,A B1 长为 ,其中B1 与 C 在平面AA1O1O 的同侧. 1(1)求圆柱的体积与侧面积; (2)求异面直线 O1B1 与 OC 所成的角的大小. 20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 个小题满分 6 分,第 2 个小题满分 8 分. 有一块正方形菜地 EFGH 走.于是,菜地分为两个区域 ,EH 所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到 F点或河边运 S1 和 2 ,其中 1 中的蔬菜运到河边较近, 2 中的蔬菜运到 SSSF点较近,而菜地内 S1 和 S2 的分界线 C上的点到河边与到 F点的距离相等,现建立平面直角 坐标系,其中原点 O为EF 的中点,点 F 的坐标为(1,0),如图. (1)求菜地内的分界线 C的方程; 1 面积是 83(2)菜农从蔬菜运量估计出 SS2 面积的两倍,由此得到 S1 面积的“经验值”为 .第 3 页 共 17 页 设M是C上纵坐标为 1 的点,请计算以 EH 为一边、另一边过点 M的矩形的面积,及五 边形 EOMGH 的面积,并判断哪一个更接近于 1 面积的“经验值”. S21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. y2 b2 双曲线 x2  1(b  0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、 B 两点. (1)若 l 的倾斜角为 2,△F AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程; 1(2)设b  3 ,若 l 的斜率存在,且|AB|=4,求 l 的斜率. 22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 对于无穷数列{ 同时满足条件:①{ 与{ n }是无穷互补数列. (1)若 an (2)若 an (3)若{ n }与{ 项公式. an }与{ bn },记 A={ x|x=,nN* },B={ x|x=bn ,nN* },若 an an },{ bn }均单调递增;② A B   且A B  N* ,则称{ an }b=2n 1 2n 且{ n }是无穷互补数列,{ ,bn =4n  2 ,判断{ n }与{ n }是无穷互补数列,求数列{ n }为等差数列且 an }与{ bn }是否为无穷互补数列,并说明理由; n }的前 16 项的和; 16 =36,求{ n }与{ =abbabaaabn }的通 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 1log ( a) 已知 aR,函数 f (x) =.2x(1)当 a 1时,解不等式 f (x) >1; (2)若关于 的方程f (x) log2 (x2 ) =0 的解集中恰有一个元素,求 (3)设 >0,若对任意t  不超过 1,求 x+a的值; 1[ ,1] a,函数 f (x) 在区间[t,t 1]上的最大值与最小值的差 2a的取值范围. 第 4 页 共 17 页 考生注意: 1. 本试卷共 4页,23道试题,满分 150分.考试时间 120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非选 择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分. 3. 答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地写姓名、转考证号,并将核对后的条 形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题(本大题共有 14题,满分 56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4分,否则一律得零分. 1.设 xR ,则不等式 x 3 1的解集为_______. 【答案】 (2,4) 【解析】试题分析:| x  3|1  1 x  3 1  2  x  4,故不等式| x 3|1的解集 为(2,4) .考点:绝对值不等式的基本解法. 3 2i 2.设 z  i,其中 为虚数单位,则z 的虚部等于______________________. i【答案】 【解析】 3试题分析: 3 2i z   2 3i, z 的虚部等于3. i考点:1.复数的运算;2.复数的概念. 3.已知平行直线l1 : 2x  y 1 0,l2 : 2x  y 1 0 ,则l1与l2 的距离是_______________. 2 5 【答案】 5【解析】试题分析: | c1  c2 | |11| 25 利用两平行线间的距离公式得 d  考点:两平行线间距离公式. .a2  b2 22 12 5第 5 页 共 17 页 4.某次体检,5位同学的身高(单位:米)分别为 1.72,1.78,1.80,1.69,1.76,则这 组数据的中位数是_________(米). 【答案】1.76 【解析】试题分析: 将这 5位同学的身高按照从低到高排列为:1.69,1.72,1.76,1.78,1.80,这五个数的中位数 是 1.76. 考点:中位数的概念. 5.若函数 f (x)  4sin x  acos x的最大值为 5,则常数 a ______. 【答案】  3 a【解析】试题分析: f (x)  16  a2 sin(x ) ,其中 tan  ,故函数 f (x) 的最大值 4为16  a2 ,由已知得, 16  a2  5,解得 a  3 考点:三角函数 y  Asin(x ) 的图象和性质. .6.已知点 (3,9) 在函数 f (x) 1 ax 的图像上,则 f (x)的反函数f 1(x)  ________ 【答案】 log2 (x 1) .考点:反函数的概念以及指、对数式的转化. x  0, 7.若 x, y 满足 y  0, 则x  2y 的最大值为_______. y  x 1, 【答案】  2 【解析】试题分析:由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示,令 z  x  2y ,当直线 11y  x  z 经过点 P(0,1) 时, z 取得最大值  2 .22第 6 页 共 17 页 yPxO考点:线性规划及其图解法. 8.方程3sin x 1 cos2x 在区间[0,2] 上的解为___________.  5 【答案】 ,6 6 【解析】试题分析: 化简3sinx 1 cos 2x 得:3sinx  2  2sin2 x ,所以 2sin2 x  3sinx  2  0 ,解得 12x  或 65 6sinx  或sinx  2 (舍去),又 x[0,2],所以 .考点:二倍角公式及三角函数求值. n23 9.在 x  的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为 256,则常数项等于_________. x【答案】112 【解析】试题分析: 由二项式定理得:所有项的二项式系数之和为 2n ,即 2n  256,所以 n  8 ,又二项展开 843r28 4 r8r rrr3式的通项为 T  C8 ( x)( )  (2) C8x3 ,令  r  0 ,所以 r  2,所以 r1 x3 3 T 112 ,即常数项为 112. 3考点:二项式定理. 10.已知△ABC 的三边长分别为 3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________. 7 3 【答案】 3【解析】试题分析: 32  52  72 235 1利用余弦定理可求得最大边 7所对应角的余弦值为  ,所以此角的正弦值 2第 7 页 共 17 页 377 3 3为,由正弦定理得 2R  ,所以 R  .232考点:正弦、余弦定理. 11.某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种 水果相同的概率为______. 1【答案】 6【解析】试题分析: 将 4种水果每两种分为一组,有 C42  6 种方法,则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相 1同的概率为 . 6考点:古典概型 uuur uur 12.如图,已知点 O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P 是曲线 y = 1- x2 上一个动点,则OP×BA 的取值范围是 .【答案】 [1, 2]   [0,π] P(cos,sin) 【解析】试题分析:由题意,设   ,,则 ,又 OP  (cos,sin)  4OP BA  cos  sin  2 sin(  )[1, 2] BA  (1,1) , 所以 .考点:1.数量积的运算;2.数形结合的思想. ìax + y = 1 x + by = 1 ïï13.设 a>0,b>0. 若关于 x,y 的方程组 ,无解,则 a + b 的 取值范围是 .íïïî(2,) 【答案】 ax  y 1 x  by 1 平行,所以 ab 1 【解析】试题分析:方程组无解等价于直线 与直线 a  b  2 ab  2 a  b 1 aba  b 1 a  b 的取值范围 且是.又 ,为正数,所以 (),即 (2,) .[第 8 页 共 17 页 考点:方程组的思想以及基本不等式的应用. 14.无穷数列{an}由 k 个不同的数组成,Sn 为{an}的前 n 项和.若对任意 n Î N* Sn Î {2,3} , , 则 k 的最大值为 【答案】4 .考点:数列的项与和. 三、选择题(本大题共有 4小题,满分 20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题 纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5分,否则一律得零分. 15.设 aR ,则“ a 1”是“ a2 1”的( ). (B)充分非必要条件 (C)充要条件 (B)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】试题分析: a 1 a2 1,a2 1 a 1或a  1,所以“ a 1”是“ a2 1”的充分非必要条件,选 A. 考点:充要条件 16.如图,在正方体 ABCD−A1B1C1D1中,E、F 分别为 BC、BB1的中点,则下列直线中与直线 EF 相交的是( ). (A)直线 AA1 (C)直线 A1D1 (B)直线 A1B1 (D)直线 B1C1 【答案】D 第 9 页 共 17 页 【解析】试题分析: 只有 B C1 与 EF 在同一平面内,是相交的,其他 A,B,C中的直线与 EF 都是异面直线, 1故选 D. 考点:异面直线 π17.设 a Î R ,b Î [0,2π].若对任意实数 x 都有 sin(3x- )=sin(ax + b) ,则满足条件的有序 3实数对(a,b)的对数为( ). (C)3 (A)1 (B)2 (D)4 【答案】B ππ5π 5π 【解析】试题分析:sin(3x  )  sin(3x  2π)  sin(3x  ),(a,b)  (3, ),3333ππ4π 4π 又sin(3x  )  sin[π  (3x  )]  sin(3x  ),(a,b)  (3, ),3333注意到b[0,2π),只有这两组.故选 B. 考点:三角函数 18.设 f (x) f (x)  h(x) f (x)  g(x) h(x) 均是以 、、、g(x) g(x)  h(x)均是增函数,则 f (x) f (x)  h(x) g(x)  h(x)均是以 、h(x) 是定义域为 R的三个函数.对于命题:①若 f (x)  g(x) 、、、g(x) h(x) 均是增函数;②若 、T为周期的函数,则 f (x) ). g(x) 、 、 T为周期的函数,下列判断正确的是( (A)①和②均为真命题 (C)①为真命题,②为假命题 【答案】D (B)①和②均为假命题 (D)①为假命题,②为真命题 【解析】 试题分析: 考点:1.抽象函数;2.函数的单调性;3.函数的周期性. 第 10 页 共 17 页 三、解答题(本题共有 5题,满分 74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12分)本题共有 2个小题,第 1个小题满分 6分,第 2个小题满分 6分. 5 6将边长为 1的正方形 AA1O1O(及其内部)绕 OO1旋转一周形成圆柱,如图, AC 长为 ,3A B1 长为 ,其中B1与 C 在平面 AA1O1O 的同侧. 1(1)求圆柱的体积与侧面积; (2)求异面直线 O1B1与 OC 所成的角的大小. π【答案】(1)V   ,S  2 ;(2) .2【解析】 试题分析:(1)由题意可知,圆柱的高 h 1,底面半径 r 1.由此计算即得. (2)由 11 // 得C或其补角为 11 与 C所成的角,再结合题设条件计算即 得. 试题解析:(1)由题意可知,圆柱的母线长l 1,底面半径 r 1 .圆柱的体积V  r2l  12 1  圆柱的侧面积 S  2rl  211 2 ,.(2)设过点 B1的母线与下底面交于点 B,则O B //OB ,11所以 COB 或其补角为O B1 与OC 所成的角. 133由A B1 长为 ,可知AOB  AO B ,111 1 第 11 页 共 17 页 5 65π 2由  长为 AC ,可知 AOC  ,COB  AOC  AOB  ,62所以异面直线O B1 与OC 所成的角的大小为 .1考点:1.几何体的体积;2.空间角. 20.(本题满分 14分)本题共有 2个小题,第 1个小题满分 6分,第 2个小题满分 8分. 有一块正方形菜地 EFGH 走.于是,菜地分为两个区域 ,EH 所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到 F点或河边运 S1 和 2 ,其中 1 中的蔬菜运到河边较近, 2 中的蔬菜运到 SSSF点较近,而菜地内 S1 和 S2 的分界线 C上的点到河边与到 F点的距离相等,现建立平面直角 坐标系,其中原点 O为EF 的中点,点 F 的坐标为(1,0),如图. (3)求菜地内的分界线 (4)菜农从蔬菜运量估计出 上纵坐标为 1的点,请计算以 EH 为一边、另一边过点 边形 EOMGH 的面积,并判断哪一个更接近于 1 面积的“经验值”. 【答案】(1) y2  4x C的方程; 8S1 面积是 S2 面积的两倍,由此得到 S1 面积的“经验值”为 . 3设M是CM的矩形的面积,及五 S511 (0  y  2 );(2)矩形面积为 ,五边形面积为,五边形面积 24更接近于 【解析】 S1 面积的“经验值”. 第 12 页 共 17 页 511 4所求的矩形面积为 ,而所求的五边形面积为 2.5 8 1矩形面积与“经验值”之差的绝对值为 ,而五边形面积与“经验值”之差 2 3 611 8 1的绝对值为 ,所以五边形面积更接近于 S1 面积的“经验值”. 4312 考点:1.抛物线的定义及其标准方程;2.面积计算. 21.(本题满分 14分)本题共有 2个小题,第 1小题满分 6分,第 2小题满分 8分. y2 b2 双曲线 x2  1(b  0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,直线 l 过 F2且与双曲线交于 A、B 两点. (1)若 l 的倾斜角为 2,△F AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程; 1(2)设b  3 ,若 l 的斜率存在,且|AB|=4,求 l 的斜率. 15 【答案】(1) y  2x ;(2) .5【解析】 试题分析:(1)设 A x , y ,根据题设条件可以得到 4 1 b2  3b4 ,从而解得b2 A  的A值. (2)设 A x, y ,B x, y ,直线l : y  k x 2 与双曲线方程联立,得到一元二次方 2  1  12程,根据 l与双曲线交于两点,可得 k2 3  0 ,且   36 1 k2  0.由|AB|=4构建关于 k的方程进行求解. 第 13 页 共 17 页 试题解析:(1)设 A x , y .A  A由题意, F c,0 2  ,c  1 b2 ,y2  b2 c2 1  b4 ,A因为△F AB 是等边三角形,所以 2c  3 yA ,1即4 1 b2  3b4 ,解得b2  2 .故双曲线的渐近线方程为 y  2x .(2)由已知, F 2,0 2  .设A x, y 1  ,B x, y ,直线l : y  k x 2 2   .12y2 x2  1 由,得 k2 3 x2  4k2 x  4k2  3  0 .3y  k x 2 因为 l与双曲线交于两点,所以 k2 3  0 ,且   36 1 k2  0 .36 k2 1 4k2 4k2  3 k2 3 2由故x1  x2  ,x1x2  ,得 x  x 2  ,21k2 3 k2 3 6 k2 1  4 AB  x  x 2  y  y 2   1 k2 x1  x2  ,22  11k2 3 315 解得 k2  ,故 l的斜率为 .55考点:1.双曲线的几何性质;2.直线与双曲线的位置关系;3.弦长公式. 22.(本题满分 16分)本题共有 3个小题,第 1小题满分 4分,第 2小题满分 6分,第 3小 题满分 6分. 对于无穷数列{ an }与{ bn },记 A={ x|x=,nN* },B={ x|x=bn ,nN* },若 an 同时满足条件:①{ n }是无穷互补数列. (1)若 an (2)若 an an },{ bn }均单调递增;② A B   且A B  N* ,则称{ an }与 {b=2n 1 ,bn =4n  2 ,判断{ an }与{bn }是否为无穷互补数列,并说明理由; =2n 且{ an }与{ n }是无穷互补数列,求数列{bn }的前 16项的和; b第 14 页 共 17 页 (3)若{ 项公式. 【 答 案 】 ( 1) an }与{bn }是无穷互补数列,{an }为等差数列且 a16 =36,求{an }与{bn }的通 180 ; ( 3) a与b不 是 无 穷 互 补 数 列 , 理 由 见 解 析 ;( 2)    nnn,n  5 an  2n  4 ,b  .n2n 5,n  5 【解析】试题分析:(1)直接应用定义“无穷互补数列”的条件验证即得;(2)利用等差数 列与等比数列的求和公式进行求解;(3)先求等差数列{ 公式. an }的通项公式,再求{bn }的通项 试题解析:(1)因为 4 A ,4 B ,所以 4 A B ,从而 与 不是无穷互补数列. bna   n(2)因为 a4 16,所以b 16  4  20 .16 考点:等差数列、等比数列、新定义问题 23.(本题满分 18分)本题共有 3个小题,第 1小题满分 4分,第 2小题满分 6分,第 3小 题满分 8分. 1log ( a) 已知 aR,函数 f (x) =.2x第 15 页 共 17 页 (1)当 a 1时,解不等式 f (x) >1; a(2)若关于 的方程f (x) 的值; log2 (x2 ) =0的解集中恰有一个元素,求 x+1[ ,1] ,函数 f (x) 在区间[t,t 1]上的最大值与最小值的差 (3)设 a>0,若对任意t  2不超过 1,求 a的取值范围. 142【答案】(1) x(0,1);(2) 0或;(3) , .3【解析】 11试题分析:(1)由 log2 1 1,得 1 2,从而得解. xx12(2)转化得到 (3)讨论 f x ,讨论当 a  0 、a  0 时的情况即可. log2 (  a)  log2 (x )  0 x在0, 上的单调性,再确定函数 f x在区间 t,t 1 上的最大值与最     1小值之差,由此得到 at2  a 1 t 1 0 ,对任意t  ,1 成立. 211试题解析: (1)由 log2 1 1,得 1 2,解得 x(0,1) .xx1(2) log2  a  log x2  0有且仅有一解, 2  x函数 f x在区间 t,t 1 上的最大值与最小值分别为 f t    ,f t1 .第 16 页 共 17 页 11f t  f t1  log    a  log2  a 1 即at2  a 1 t 1 0 , 对 任 意 2tt 1 1t  ,1 成立. 21因为 a  0 ,所以函数 y  at2  a 1 t 1在区间 ,1 上单调递增, 21313123所以t  时, y有最小值 a  ,由 a  0,得 a  .242422.故a的取值范围为 , 3考点:1.对数函数的性质;2.函数与方程;3.二次函数的性质. 第 17 页 共 17 页

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