2014年山东高考文科数学真题及答案下载

2014 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学山东卷 第Ｉ卷（共 50分） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 (1) 已知 a,b R,i 是虚数单位. 若ai ＝2 bi ，则 (a  bi)2  (A) 3 4i (B) 3 4i (C) 4 3i (D) 4  3i (D) (1,4) (2) 设集合 A {x | x2  2x  0}, B {x |1 x  4}，则 A B  (A) (0,2] (B) (1,2) (C) [1,2) 1(3) 函数 f (x)  的定义域为 log2 x 1 (A) (0,2) (B) (0,2] (C) (2,) (D) [2,) (4) 用反证法证明命题：“设 a,b 为实数，则方程 x3  ax  b  0至少有一个实根”时，要做的假设是 (A) 方程 x3  ax  b  0没有实根 (B) 方程 x3  ax  b  0至多有一个实根 (C) 方程 x3  ax  b  0至多有两个实根 (D) 方程 x3  ax  b  0恰好有两个实根 (5) 已知实数 x, y 满足 ax  ay (0  a 1) ，则下列关系式恒成立的是 (A) x3  y3 (B) sin x  sin y 11(C) ln(x2 1)  ln(y2 1) (D) x2 1 y2 1 (6) 已知函数 y  loga (x  c)(a,c为常数，其中a  0,a 1) 的图象如右图，则下列结论成立的是 EOx(A) a  0,c 1 (B) a 1,0  c 1 (C) 0  a 1,c 1 (D) 0  a 1,0  c 1   6(7) 已知向量 a  (1, 3),b  (3,m). 若向量 a,b 的夹角为 ，则实数m  (A) 2 3 (B) 3(C) 0 (D)  3 (8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一 组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为 第 1 页 共 10 页 1频率/ 组距 0.36 0.24 0.16 0.08 12 13 14 15 16 17 舒张压 / kPa (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 18 (9) 对于函数 f (x) ，若存在常数 a  0 ，使得 x 取定义域内的每一个值，都有 f (x)  f (2a  x) ，则 称f (x) 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 (A) f (x)  x (B) f (x)  x3 (C) f (x)  tan x (D) f (x)  cos(x 1) x  y 1 0, (10) 已知 x, y 满足约束条件 当目标函数 z  ax  by (a  0,b  0) 在该约束条件下取 2x  y 3  0, 到最小值 2 5时， a2  b2 的最小值为 (A)　5 (B) 4 (C) 5(D) 2 第 II 卷（共 100分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. (11) 执行右面的程序框图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 n 的值为　　. 开始 输入 x n  0 3(12) 函数 y  sin 2x  cos2 x 的最小正周期为　. 2(13) 一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都 相等，则该六棱锥的侧面积为　　　　。 (14) 圆心在直线 x  2y  0上的圆 C与y轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴 否所得弦的长为 2 3，则圆 C的标准方程为　　。 3x 4x30 x2 y2 (15) 已知双曲线 1(a  0,b  0) 的焦距为 2c ，右顶点为 A，抛 是a2 b2 物线 x2  2py( p  0) 的焦点为 F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c ，且| FA| c，则双曲线的渐近线方程为　　　　　　。 x  x 1 输入 x 结束 n  n 1 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分. (16)（本小题满分 12 分） 海关对同时从 A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量 （单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测. ABC地区 50 150 100 数量 （Ｉ）求这 6 件样品中来自 A，B，C 各地区商品的数量； （II）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概 第 2 页 共 10 页 2率. (17) （本小题满分 12 分） 62ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c . 已知 a  3,cos A  , B  A .3（Ｉ）求b 的值； （II）求 ABC 的面积. (18)（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P  ABCD 中， 1AP  平面PCD, AD∥BC, AB  BC  AD, E, F 分别为线段 P2AD, PC 的中点. （Ｉ）求证： AP∥平面BEF （II）求证： BE  平面PAC (19) （本小题满分 12 分） ；F.DA.E在等差数列{an}中，已知公差 d  2 ， a2 是 a1 与 a4 的等比中项. CB（Ｉ）求数列{an}的通项公式； （II）设bn  an(n1) ，记Tn  b  b2 b3  b4 …  (1)n bn ，求Tn 12(20) （本小题满分 13 分） x 1 x 1 设函数 f (x)  aln x  ，其中 a 为常数. （Ｉ）若 a  0 ，求曲线 y  f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程； （II）讨论函数 f (x) 的单调性. (21)（本小题满分 14 分） x2 y2 3在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C : 1(a  b  0) 的离心率为 ，直线 y  x 被椭圆 C截a2 b2 24 10 得的线段长为 （Ｉ）求椭圆 .5的方程； C（II）过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点（A，B 不是椭圆 C 的顶点）. 点 D 在椭圆 C 上，且 AD  AB 直线 BD 与 轴、 轴分别交于M，N 两点. ，xy（i）设直线 BD，AM 的斜率分别为 k1,k2 ，证明存在常数 （ii）求 OMN 面积的最大值. 使得 k1  k2 ，并求出 的值； 第 3 页 共 10 页 32014 年高考山东卷文科数学真题及参考答案 一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中， 选择符合题目要求的选项。 2（1）已知 a,b R,i 是虚数单位，若 a  i  2 bi ，则（a  bi） （A）3 4i （B）3 4i （C） 4 3i （D） 4  3i 2【解析】由 a  i  2 bi 得， a  2，b  1 故答案选 A （2）设集合 A {x x2  2x  0}, B {x1 x  4}, ，（a  bi） (2 i)2  4  4i  i2  3 4i 则A B  （D）(1,4) （A）(0,2] （B） (1,2) （C） [1,2) 【解析】 A  (0，2)，B  故答案为 C 1,4 ，数轴上表示出来得到 A B  [1,2) 1（3）函数 f (x)  的定义域为 log2 x 1 （A） (0，2) （B） (0,2] （C） (2,) （D）[2， ) 【解析】 log2 x 1 0 故x  2 。选 D （4）用反证法证明命题“设 a,b R, 则方程 x2  ax  b  0 至少有一个实根”时要做的假设是 （A）方程 x2  ax  b  0 没有实根 （B）方程 x2  ax  b  0 至多有一个实根 （C）方程 x2  ax  b  0 至多有两个实根 （D）方程 x2  ax  b  0 恰好有两个实根 【解析】答案选 A，解析略。 （5）已知实数 x, y 满足 ax  ay (0  a 1) ，则下列关系式恒成龙的是 （A） x3  y3 （B）sin x  sin y 11（C） ln(x2 1)  ln(y2 1) （D） x2 1 y2 1 【解析】由 ax  ay (0  a 1) 得， x  y ，但是不可以确定 x2 y  sin x 本身是一个周期函数，故 B 也不对， x3  y3 正确。 与y2 的大小关系，故 C、D 排除，而 （6）已知函数 y  loga (x  c)(a,c为常数。其中a  0,a 1) 的图像如右图，则下列结论成立的是 （A） a 1,c 1 （C） 0  a 1,c 1 【解析】 （B） a 1,0  c 1 （D） 0  a 1,0  c 1 1由图象单调递减的性质可得 0  a 1，向左平移小于 个单位，故0  c 1 C答案选 π（7）已知向量 a  (1, 3),b  (3,m).若向量 a,b 的夹角为 ，则实数 m=6（A） 2 3 【解析】： （B） 3（C） 0（D）  3 第 4 页 共 10 页 4r r ab  3 3m r rr r r r 3ab  a bcos a,b  2 9 m2  23 3m  3  9  m2 m  3 答案：B （8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床实验。所有志愿者的舒张压数据（单位： kPa）的分组区间为[12,13）, [13,14）,[14,15）,[15,16].将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二 组，……，第五组。右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组和第二组共有 20 人，第 三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为 （A） 6（B） 8（C）12 （D）18 【解析】：第一组与第二组频率之和为 0.24+0.16=0.4 20 0.4  50 500.36 18 18 6 12 答案：C x（9）对于函数 f(x)，若存在常数 a  0 ，使得 取定义域内的每一个值，都有f(x)  f( 2a-x)，则称 f(x) 为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是 （A） f (x)  x （B） f (x)  x2 （C） f (x)  tan x （D） f (x)  cos(x 1) 【解析】：由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。 答案：D x-y-1 0, （10）已知 x,y 满足的约束条件 当目标函数 z  ax  by(a  0,b  0)在该约束条件下取 2x-y-3  0, 得最小值 2 5时， a2  b2 的最小值为 （A） 5（B） 4（C） 5（D） 2x  y 1 0 2,1 0,0 到直线 【解析】： 求得交点为 ，则 ，即圆心 2a  b  2 5 2a  b  2 5 0 2x  y 3  0 2 2 5 5的距离的平方  22  4 。B答案： 二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，答案须填在题中横线上。 11．执行右面的程序框图，若输入的 x的值为 1，则输出的 n的值为 。【解析】：根据判断条件 x2  4x  3  0 ，得1 x  3 输入 x 1 ，第一次判断后循环， x  x 1 2,n  n 11 第二次判断后循环， x  x 1 3,n  n 1 2 第三次判断后循环， x  x 1 4,n  n 1 3 第四次判断不满足条件，退出循环，输出 n  3 答案：3 312．函数 y  sin 2x  cos2 x 的最小正周期为 。2第 5 页 共 10 页 53311612【解析】： y  sin 2x  cos2 x  sin 2x  cos2x  sin 2x  22222 2T    . 答案：T   13．一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积 为。【解析】：设六棱锥的高为 h ，斜高为 h ， 211则由体积V  22sin 60 6 h  2 3得： h 1 ，3  h2  2 h  321侧面积为 2h 6 12 . 2答案：12 14．圆心在直线 x  2y  0上的圆 的标准方程为 C与y轴的正半轴相切，圆 C截x轴所得的弦的长 2 3，则圆 C。22aa  【解析】 设圆心a, a  0 ，半径为 a. 由勾股定理 3   a2 得： a  2   22  22圆心为 2,1 ，半径为 2， 圆C 的标准方程为 x  2  y 1  4 22答案： x  2  y 1  4 x2 y2 15．已知双曲线 1 a  0,b  0 的焦距为 2c ，右顶点为 A，抛物线 x2  2py p 0 的焦 a2 b2 点为 F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c ，且 FA  c ，则双曲线的渐近线方程为 。P【解析】 由题意知 c2  a2  b ，2P抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为 c, ，2c2 b2 c2 即c,b 代入双曲线方程为 1，得  2 ，a2 b2 a2 bc2 a2 渐近线方程为 y  x ，  1 1. a答案：1 三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （16）（本小题满分 12 分） 海关对同时从 A, B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数 量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测。 地区 ABC50 150 100 数量 （Ⅰ）求这 6 件样品中来自 A, B,C 各地区样品的数量； （Ⅱ）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概 率。 第 6 页 共 10 页 6（16）【解析】： （Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为： A: B :C  50:150:100 1:3: 2 132所以各地区抽取商品数为： A:6 1 ，B :6 3 ，C :6 2 ；666（Ⅱ）设各地区商品分别为： A, B , B2 , B3,C1,C2 1基本时间空间 为： A, B , A, B , A, B , A,C , A,C , B , B , B , B 1  2  3  1  2  2  3  11B ,C , B ,C , B , B , B ,C , B ,C , B ,C , B ,C , C ,C ，共 15 个. 1   2   3   1   2   1   2  2   2  11222331样本时间空间为： B , B , B , B , B , B , C ,C 2  3  3   11214所以这两件商品来自同一地区的概率为： P A  .  15 （17）（本小题满分 12 分） 62在ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c 。已知 a  3,cos A  , B  A .3（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求 ABC 的面积。 （17）【解析】： 3（Ⅰ）由题意知：sin A  1 cos2 A  ，32226sin B  sin A  sin Acos  cos Asin  cos A  ，3abasin B sin A 由正弦定理得：  b   3 2 sin A sin B （Ⅱ）由余弦定理得： b2  c2  a2 6cos A   c2  4 3c  9  0  c1  3,c2  3 3, 2bc 32又因为 B  A 为钝角，所以b  c ，即 c  3 ，13 2 2所以 SABC  acsin B  .2（18）（本小题满分 12 分） 1如图，四棱锥 P  ABCD 中， AP  平面PCD, AD // BC, AB  BC  AD ,E, F 分别为线段 2AD, PC 的中点。 （Ⅰ）求证： AP // 平面BEF （Ⅱ）求证： BE  平面PAC 【解析】：（Ⅰ）连接 AC 交 BE 于点 O，连接 OF，不妨设 AB=BC=1,则 AD=2  AB  BC, AD // BC, 四边形 ABCE 为菱形 O, F分别为AC, PC中点，OF // AP 又OF  平面BEF， AP // 平面BEF （Ⅱ） AP  平面PCD，CD  平面PCD, AP  CD BC // ED, BC  ED,BCDE为平行四边形，BE //CD ,BE  PA 第 7 页 共 10 页 7又 ABCE为菱形，BE  AC 又PA AC  A, PA、AC  平面PAC ,BE  平面PAC （19）（本小题满分 12 分） 在等差数列 a中，已知 d  2 ，a2 是 a1 与 a4 等比中项.   n（Ⅰ）求数列 a的通项公式；   nn（Ⅱ）设bn  an n1 ,记T  b  b b  1 bn ，求Tn .n1232【解析】： （Ⅰ）由题意知： 为等差数列，设 an  a1  an n 1 d，a2 为 a1 与 a4 的等比中项 2a22  a1 a4 且 a1  0，即 an  2  (n 1)2  2n a1  d  a1 a1  3d ，d  2 解得： a1  2 （Ⅱ）由 （Ⅰ）知：an  2n ①当 n 为偶数时： ，bn  an(n1)  n(n 1) 2Tn   12 23 34  n n 1  2 1 3  4 3 5  n n 1 n 1  22  42  62  n2  2 2  4  6  n n2  n n2  2n 2 2 22②当 n 为奇数时： Tn    2 1 3  22  42  62  12 23 34  n 1  n n 1 2  n n 1 n 1 n  2 n 1  4 3 5  n  n n 1  2 2  4  6  n 1  n n 1 2  n 1 n2  2n 1 2 2  n n 1   22n2  2n 1 ，n为奇数 2T  nn2  2n 综上： ,n为偶数 2（20）（本小题满分 13 分） x 1 x 1 设函数 f x aln x  ，其中 a 为常数.   （Ⅰ）若 a  0 ，求曲线 y  f x在点 1, f 1 处的切线方程；    （Ⅱ）讨论函数 f x的单调性.   x 1 x 1 2, f (x)  【解析】(1)当a  0时 f (x)  (x 1)2 第 8 页 共 10 页 8212f (1)  (11)2 又 f (1)  0直线过点(1,0) 1 y  x  212a2(2) f (x)  (x  0) x(x 1)2 2①当a  0时，f (x)  恒大于0. f (x)在定义域上单调递增. (x 1)2 ax2a(x 1)2  2x x(x 1)2 ②当a  0时，f (x)  = 0. f (x)在定义域上单调递增. (x 1)2 1③当a  0时，  (2a  2)2  4a2  8a  4  0,即a  . 2开口向下，f (x)在定义域上单调递减。 1(2a  2)  8a  4 a 1 2a 1 当 a  0时，  0.x1,2  22a  1 0.且x1x2 1 0 a2a  2 2a 1对称轴方程为x   aa 1 2a 1 a 1 2a 1 a 1 2a 1 ) 单调递减，( )单调递增，  f (x)在(0, ,aaaa 1+ 2a 1 (，+) 单调递减。 a综上所述，a  0 时，f (x)在定义域上单调递增；a  0 时，f (x) 在定义域上单调递增 11a 1 2a 1 a  时，f (x)在定义域上单调递减； a  0 时，f (x) 在(0, ) 单调递减， 22aa 1 2a 1 a 1 2a 1 a 1+ 2a 1 (,) 单调递增，( ，+) 单调递减。 aaa（21）（本小题满分 14 分） x2 y2 3在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C : 1 a  b  0 的离心率为 ，直线 y  x 被椭圆C a2 b2 24 10 截得的线段长为 .5（Ⅰ）求椭圆 （Ⅱ）过原点的直线与椭圆 交于A, B 两点（ A, B 不是椭圆 轴、 y 轴分别交于 M , N 两点. C 的方程； CC 的顶点），点 D 在椭圆 C 上，且 AD  AB ，直线 BD 与x（i）设直线 BD, AM 的斜率分别为 k1,k2 .证明存在常数 （ii）求OMN 面积的最大值. 使得 k1  k2 ，并求出 的值； 3c  a3c2 3 a2 b2 3【解析】(1)e  即= ,  a2  4b2 22a2 4a2 点为直线和椭圆在第一象限的交点。 4设直线与椭圆交于 p,q 两点。不妨设 p第 9 页 共 10 页 94 10 52 5 2 5 又弦长为 ， p( ,)5545451 a2 b2 联立解得a2  4,b2 1 x2 椭圆方程为  y2 1. 4第 10 页 共 10 页 10