第 1 页 共 25 页 2017 年天津市高考数学试卷(文科) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5 分)设集合 A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},则(A∪B)∩C= ( ) A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,6} 2.(5 分)设 x∈R,则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(5 分)有 5 支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫. 从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔,则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的 概率为( ) A. B. C. D. 4.(5 分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入 N 的值为 19,则输 出 N 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 第 1 页(共 25 页) 第 2 页 共 25 页 5.(5 分)已知双曲线 ﹣=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,点 A 在双曲线 的渐近线上,△OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为( )A. B. C. D. 6.(5 分)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数.若 a=﹣f( ),b=f( log24.1),c=f(20.8),则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 7.(5 分)设函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,|φ|<π.若 f( )=2,f( )=0,且 f(x)的最小正周期大于 2π,则( ) A.ω= ,φ= C.ω= ,φ=﹣ B.ω= ,φ=﹣ D.ω= ,φ= 8.(5 分)已知函数 f(x)= ,设 a∈R,若关于 x 的不等式 f(x)≥ | +a|在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是( ) A.[﹣2,2] B. C. D. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.(5 分)已知 a∈R,i 为虚数单位,若 为实数,则a 的值为 . 10.(5 分)已知 a∈R,设函数 f(x)=ax﹣lnx 的图象在点(1,f(1))处的切 线为 l,则 l 在 y 轴上的截距为 11.(5 分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积 为 18,则这个球的体积为 . 12.(5 分)设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l.已知点 C 在 l 上,以 C 为圆 . 心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若∠FAC=120°,则圆的方程为 . 第 2 页(共 25 页) 第 3 页 共 25 页 13.(5 分)若 a,b∈R,ab>0,则 的最小值为 . 14.(5 分)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若 =2 ,=λ ﹣(λ∈ R),且 =﹣4,则 λ 的值为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 15.(13 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 asinA=4bsinB ,ac= (a2﹣b2﹣c2). (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)求 sin(2B﹣A)的值. 16.(13 分)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广 告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视 人次如下表所示: 连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万) 70 60 5560 25 甲乙已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟,广告的总播 放时间不少于 30 分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍. 分别用 x,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数. (I)用 x,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (II)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多? 17.(13 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AD⊥平面 PDC,AD∥BC,PD⊥PB, AD=1,BC=3,CD=4,PD=2. (Ⅰ)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值; (Ⅱ)求证:PD⊥平面 PBC; (Ⅲ)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值. 第 3 页(共 25 页) 第 4 页 共 25 页 18.(13 分)已知{an}为等差数列,前 n 项和为 Sn(n∈N*),{bn}是首项为 2 的等比数列,且公比大于 0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4. (Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{a2nbn}的前 n 项和(n∈N*). 19.(14 分)设 a,b∈R,|a|≤1.已知函数 f(x)=x3﹣6×2﹣3a(a﹣4)x+b, g(x)=exf(x). (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数 y=g(x)和 y=ex 的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, (i)求证:f(x)在 x=x0 处的导数等于 0; (ii)若关于 x 的不等式 g(x)≤ex 在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求 b 的取值 范围. 20.(14 分)已知椭圆 +=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣c,0),右顶点 为 A,点 E 的坐标为(0,c),△EFA 的面积为 (I)求椭圆的离心率; .(II)设点 Q 在线段 AE 上,|FQ|= c,延长线段 FQ 与椭圆交于点 P,点 M,N 在 x 轴上,PM∥QN,且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c,四边形 PQNM 的面 积为 3c. (i)求直线 FP 的斜率; (ii)求椭圆的方程. 第 4 页(共 25 页) 第 5 页 共 25 页 2017 年天津市高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5 分)(2017•天津)设集合 A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4}, 则(A∪B)∩C=( ) A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,6} 【分析】由并集定义先求出 A∪B,再由交集定义能求出(A∪B)∩C. 【解答】解:∵集合 A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4}, ∴(A∪B)∩C={1,2,4,6}∩{1,2,3,4}={1,2,4}. 故选:B. 【点评】本题考查并集和交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集 和交集定义的合理运用. 2.(5 分)(2017•天津)设 x∈R,则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】求出不等式的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 .【解答】解:由 2﹣x≥0 得 x≤2, 由|x﹣1|≤1 得﹣1≤x﹣1≤1, 得 0≤x≤2. 则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件, 故选:B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合充分条件和必要条件的 定义以及不等式的性质是解决本题的关键. 第 5 页(共 25 页) 第 6 页 共 25 页 3.(5 分)(2017•天津)有 5 支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄 、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔,则取出的 2 支彩笔中 含有红色彩笔的概率为( ) A. B. C. D. 【分析】先求出基本事件总数 n= =10,再求出取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔 包含的基本事件个数 m= =4,由此能求出取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的 概率. 【解答】解:有 5 支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫 ,从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔, 基本事件总数 n= =10, 取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数 m= =4, ∴取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 p= = 故选:C. .【点评】本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解 能力和推理论证能力,是基础题. 4.(5 分)(2017•天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入 N 的 值为 19,则输出 N 的值为( ) 第 6 页(共 25 页) 第 7 页 共 25 页 A.0 B.1 C.2 D.3 【分析】根据程序框图,进行模拟计算即可. 【解答】解:第一次 N=19,不能被 3 整除,N=19﹣1=18≤3 不成立, 第二次 N=18,18 能被 3 整除,N= =6,N=6≤3 不成立, 第三次 N=6,能被 3 整除,N═ =2≤3 成立, 输出 N=2, 故选:C 【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用,根据条件进行模拟计算是解决本 题的关键. 5.(5 分)(2017•天津)已知双曲线 ﹣=1(a>0,b>0)的右焦点为 F, 点 A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点),则双 曲线的方程为( ) A. B. C. D. 【分析】利用三角形是正三角形,推出 a,b 关系,通过 c=2,求解 a,b,然后 第 7 页(共 25 页) 第 8 页 共 25 页 等到双曲线的方程. 【解答】解:双曲线 ﹣=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,点 A 在双曲线的 渐近线上,△OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点), 可得 c=2, ,即 ,,解得 a=1,b= ,双曲线的焦点坐标在 x 轴,所得双曲线方程为: .故选:D. 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力. 6.(5 分)(2017•天津)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数.若 a=﹣f( ),b=f(log24.1),c=f(20.8),则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 【分析】根据奇函数 f(x)在 R 上是增函数,化简 a、b、c,即可得出 a,b,c 的大小. 【解答】解:奇函数 f(x)在 R 上是增函数, ∴a=﹣f( )=f(log25), b=f(log24.1), c=f(20.8), 又 1<20.8<2<log24.1<log25, ∴f(20.8)<f(log24.1)<f(log25), 即 c<b<a. 故选:C. 【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题,是基础题. 7.(5 分)(2017•天津)设函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,|φ| <π.若 f( )=2,f( )=0,且 f(x)的最小正周期大于 2π,则( ) 第 8 页(共 25 页) 第 9 页 共 25 页 A.ω= ,φ= B.ω= ,φ=﹣ D.ω= ,φ= C.ω= ,φ=﹣ 【分析】由题意求得 ,再由周期公式求得ω,最后由若 f( 【解答】解:由 f(x)的最小正周期大于 2π,得 )=2 求得 φ 值. ,又 f( )=2,f( )=0,得 ,∴T=3π,则 ,即 .∴f(x)=2sin(ωx+φ)=2sin( x+φ), 由 f( ∴φ+ )= ,得 sin(φ+ )=1. =,k∈Z. 取 k=0,得 φ= <π. ,φ= 故选:A. ∴.【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式,考查 y=Asin(ωx+φ)型函 数的性质,是中档题. 8.(5 分)(2017•天津)已知函数 f(x)= 的不等式 f(x)≥| +a|在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是( ) A.[﹣2,2] B. C. D. ,设 a∈R,若关于 x 【分析】根据题意,作出函数 f(x)的图象,令 g(x)=| +a|,分析 g(x)的 图象特点,将不等式 f(x)≥| +a|在 R 上恒成立转化为函数 f(x)的图象在 g( x)上的上方或相交的问题,分析可得 f(0)≥g(0),即 2≥|a|,解可得 a 的 取值范围,即可得答案. 第 9 页(共 25 页) 第 10 页 共 25 页 【解答】解:根据题意,函数 f(x)= 的图象如图: 令 g(x)=| +a|,其图象与 x 轴相交与点(﹣2a,0), 在区间(﹣∞,﹣2a)上为减函数,在(﹣2a,+∞)为增函数, 若不等式 f(x)≥| +a|在 R 上恒成立,则函数 f(x)的图象在 g(x)上的上方或相交, 则必有 f(0)≥g(0), 即 2≥|a|, 解可得﹣2≤a≤2, 故选:A. 【点评】本题考查分段函数的应用,关键是作出函数 f(x)的图象,将函数的恒 成立问题转化为图象的上下位置关系. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.(5 分)(2017•天津)已知 a∈R,i 为虚数单位,若 为实数,则 a 的值为 ﹣2 . 【分析】运用复数的除法法则,结合共轭复数,化简 ,再由复数为实数的条 件:虚部为 0,解方程即可得到所求值. 【解答】解:a∈R,i 为虚数单位, 第 10 页(共 25 页) 第 11 页 共 25 页 ===﹣i由为实数, 可得﹣ =0, 解得 a=﹣2. 故答案为:﹣2. 【点评】本题考查复数的乘除运算,注意运用共轭复数,同时考查复数为实数的 条件:虚部为 0,考查运算能力,属于基础题. 10.(5 分)(2017•天津)已知 a∈R,设函数 f(x)=ax﹣lnx 的图象在点(1,f (1))处的切线为 l,则 l 在 y 轴上的截距为 1 . 【分析】求出函数的导数,然后求解切线斜率,求出切点坐标,然后求解切线方 程,推出 l 在 y 轴上的截距. 【解答】解:函数 f(x)=ax﹣lnx,可得 f′(x)=a﹣ ,切线的斜率为:k=f′(1) =a﹣1, 切点坐标(1,a),切线方程 l 为:y﹣a=(a﹣1)(x﹣1), l 在 y 轴上的截距为:a+(a﹣1)(﹣1)=1. 故答案为:1. 【点评】本题考查曲线的切线方程的求法,考查转化思想以及计算能力. 11.(5 分)(2017•天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个 正方体的表面积为 18,则这个球的体积为 . 【分析】根据正方体和球的关系,得到正方体的体对角线等于直径,结合球的体 积公式进行计算即可. 【解答】解:设正方体的棱长为 a, ∵这个正方体的表面积为 18, ∴6a2=18, 第 11 页(共 25 页) 第 12 页 共 25 页 则 a2=3,即 a= ,∵一个正方体的所有顶点在一个球面上, ∴正方体的体对角线等于球的直径, 即a=2R, 即 R= , 则球的体积 V= π•( )3= ;故答案为: .【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系,利用正方体的体对角线等于直径 ,结合球的体积公式是解决本题的关键. 12.(5 分)(2017•天津)设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l.已知点 C 在 l 上,以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若∠FAC=120°,则圆的方程为 (x+1)2+ =1 . 【分析】根据题意可得 F(﹣1,0),∠FAO=30°,OA= =1,由此求得 OA 的值,可得圆心 C 的坐标以及圆的半径,从而求得圆 C 方程. 【解答】解:设抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线 l:x=﹣1,∵点 C 在 l 上,以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切与点 A, ∵∠FAC=120°,∴∠FAO=30°,∴OA= ==1,∴OA= ,∴A(0, ),如图所示: ∴ C ( ﹣1 , ) , 圆 的 半 径 为CA=1 , 故 要 求 的 圆 的 标 准 方 程 为 ,故答案为:(x+1)2+ =1. 第 12 页(共 25 页) 第 13 页 共 25 页 【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法,抛物线的简单几何性质,属于中 档题. 13.(5 分)(2017•天津)若 a,b∈R,ab>0,则 的最小值为 4 . 【分析】【方法一】两次利用基本不等式,即可求出最小值,需要注意不等式等 号成立的条件是什么. 【方法二】将 拆成 +,利用柯西不等式求出最小值. 【解答】解:【解法一】a,b∈R,ab>0, ∴≥==4ab+ ≥2 =4, 当且仅当 即,,即 a= ,b= 或 a=﹣ ,b=﹣ 时取“=”; ∴上式的最小值为 4. 第 13 页(共 25 页) 第 14 页 共 25 页 【解法二】a,b∈R,ab>0, ∴=+++≥4 =4, 当且仅当 ,即,即 a= ,b= 或 a=﹣ ,b=﹣ 时取“=”; ∴上式的最小值为 4. 故答案为:4. 【点评】本题考查了基本不等式的应用问题,是中档题. 14.(5 分)(2017•天津)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若 =2 =λ (λ∈R),且 =﹣4,则 λ 的值为 . 【分析】根据题意画出图形,结合图形,利用 表示出 列出方程求出 λ 的值. ,﹣、,再根据平面向量的数量积 【解答】解:如图所示, △ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2, =2 ,∴=+=+==+ ( ﹣)+,又=λ ﹣(λ∈R), 第 14 页(共 25 页) 第 15 页 共 25 页 ∴=( =( λ﹣ ) =( λ﹣ )×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4, λ=1, 解得 λ= 故答案为: +)•(λ ﹣)•﹣ + λ ∴..【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题,是中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 15.(13 分)(2017•天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c.已知 asinA=4bsinB,ac= (a2﹣b2﹣c2). (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)求 sin(2B﹣A)的值. 【分析】(Ⅰ)由正弦定理得 asinB=bsinA,结合 asinA=4bsinB,得 a=2b.再由 ,得 ,代入余弦定理的推论可求 cosA 的 值; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ,代入 asinA=4bsinB,得 sinB,进一步求得 cosB. 利用倍角公式求 sin2B,cos2B,展开两角差的正弦可得 sin(2B﹣A)的值. 【解答】(Ⅰ)解:由 ,得 asinB=bsinA, 又 asinA=4bsinB,得 4bsinB=asinA, 第 15 页(共 25 页) 第 16 页 共 25 页 两式作比得: 由,∴a=2b. ,得 ,由余弦定理,得 ;(Ⅱ)解:由(Ⅰ),可得 ,代入 asinA=4bsinB,得 .由(Ⅰ)知,A 为钝角,则 B 为锐角, ∴.,于是 故,.【点评】本题考查三角形的解法,考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用 ,是中档题. 16.(13 分)(2017•天津)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时 ,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播 放时长、收视人次如下表所示: 连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万) 70 60 5560 25 甲乙已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟,广告的总播 放时间不少于 30 分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍. 分别用 x,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数. (I)用 x,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (II)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多? 【分析】(Ⅰ)直接由题意结合图表列关于 x,y 所满足得不等式组,化简后即 可画出二元一次不等式所表示的平面区域; (Ⅱ)写出总收视人次 z=60x+25y.化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合 第 16 页(共 25 页) 第 17 页 共 25 页 得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案. 【解答】(Ⅰ)解:由已知,x,y 满足的数学关系式为 ,即 .该二元一次不等式组所表示的平面区域如图: (Ⅱ)解:设总收视人次为 z 万,则目标函数为 z=60x+25y. 考虑 z=60x+25y,将它变形为 ,这是斜率为 ,随 z 变化的一族平 行直线. 为直线在 y 轴上的截距,当 取得最大值时,z 的值最大. 又∵x,y 满足约束条件, ∴由图可知,当直线 z=60x+25y 经过可行域上的点 M 时,截距 最大,即z 最 大. 解方程组 ,得点 M 的坐标为(6,3). ∴电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多. 【点评】本题考查解得线性规划的应用,考查数学建模思想方法及数形结合的解 第 17 页(共 25 页) 第 18 页 共 25 页 题思想方法,是中档题. 17.(13 分)(2017•天津)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AD⊥平面 PDC,AD∥ BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2. (Ⅰ)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值; (Ⅱ)求证:PD⊥平面 PBC; (Ⅲ)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值. 【分析】(Ⅰ)由已知 AD∥BC,从而∠DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所 成的角,由此能求出异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值. (Ⅱ)由 AD⊥平面 PDC,得 AD⊥PD,由 BC∥AD,得 PD⊥BC,再由 PD⊥PB, 得到 PD⊥平面 PBC. (Ⅲ)过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F,连结 PF,则 DF 与平面 PBC 所成的角 等于 AB 与平面 PBC 所成的角,由 PD⊥平面 PBC,得到∠DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角,由此能求出直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值. 【解答】解:(Ⅰ)如图,由已知 AD∥BC, 故∠DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角. 因为 AD⊥平面 PDC,所以 AD⊥PD. 在 Rt△PDA 中,由已知,得 ,故.所以,异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 .证明:(Ⅱ)因为 AD⊥平面 PDC,直线 PD⊂平面 PDC, 所以 AD⊥PD. 又因为 BC∥AD,所以 PD⊥BC, 第 18 页(共 25 页) 第 19 页 共 25 页 又 PD⊥PB,所以 PD⊥平面 PBC. 解:(Ⅲ)过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F,连结 PF, 则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角. 因为 PD⊥平面 PBC,故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影, 所以∠DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角. 由于 AD∥BC,DF∥AB,故 BF=AD=1, 由已知,得 CF=BC﹣BF=2.又 AD⊥DC,故 BC⊥DC, 在 Rt△DCF 中,可得 .所以,直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .【点评】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面 所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力,是中 档题. 18.(13 分)(2017•天津)已知{an}为等差数列,前 n 项和为 Sn(n∈N*),{bn} 是首项为 2 的等比数列,且公比大于 0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4. (Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{a2nbn}的前 n 项和(n∈N*). 【分析】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q.通过 b2+b3=12,求出 q,得到 .然后求出公差 d,推出 an=3n﹣2. (Ⅱ)设数列{a2nbn}的前 n 项和为 Tn,利用错位相减法,转化求解数列{a2nbn} 的前 n 项和即可. 【解答】(Ⅰ)解:设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q.由 第 19 页(共 25 页) 第 20 页 共 25 页 已知 b2+b3=12,得 q=2.所以, ,而 b1=2,所以 q2+q﹣6=0.又因为 q>0,解得 .由 b3=a4﹣2a1,可得 3d﹣a1=8. 由 S11=11b4,可得 a1+5d=16,联立①②,解得 a1=1,d=3, 由此可得 an=3n﹣2. 所以,{an}的通项公式为 an=3n﹣2,{bn}的通项公式为 .( Ⅱ ) 解 : 设 数 列 {a2nbn} 的 前n 项 和 为Tn , 由a2n=6n﹣2 , 有 ,,上 述 两 式 相 减 , 得 =.得.所以,数列{a2nbn}的前 n 项和为(3n﹣4)2n+2+16. 【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法,数列求和,考查转化 思想以及计算能力. 19.(14 分)(2017•天津)设 a,b∈R,|a|≤1.已知函数 f(x)=x3﹣6×2﹣3a (a﹣4)x+b,g(x)=exf(x). (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数 y=g(x)和 y=ex 的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, (i)求证:f(x)在 x=x0 处的导数等于 0; (ii)若关于 x 的不等式 g(x)≤ex 在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求 b 的取值 范围. 【分析】(Ⅰ)求出函数 f(x)的导函数,得到导函数的零点,由导函数的零点 第 20 页(共 25 页) 第 21 页 共 25 页 对定义域分段,列表后可得 f(x)的单调区间; (Ⅱ)(i )求出 g (x )的导函数,由题意知 .得到 f(x)在 x=x0 处的导数等于 0; ,求解可得 (ii)由(I)知 x0=a.且 f(x)在(a﹣1,a)内单调递增,在(a,a+1)内单 调递减,故当 x0=a 时,f(x)≤f(a)=1 在[a﹣1,a+1]上恒成立,从而 g(x)≤ ex 在 [x0﹣1 , x0+1] 上 恒 成 立 . 由f ( a ) =a3﹣6a2﹣3a ( a﹣4 ) a+b=1 , 得 b=2a3﹣6a2+1,﹣1≤a≤1.构造函数 t(x)=2×3﹣6×2+1,x∈[﹣1,1],利用导 数求其值域可得 b 的范围. 【解答】(Ⅰ)解:由 f(x)=x3﹣6×2﹣3a(a﹣4)x+b,可得 f’(x)=3×2﹣12x﹣3a (a﹣4)=3(x﹣a)(x﹣(4﹣a)), 令 f’(x)=0,解得 x=a,或 x=4﹣a.由|a|≤1,得 a<4﹣a. 当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: x(﹣∞,a) (a,4﹣a) (4﹣a,+∞) ﹣f’(x) f(x) ++↗↘↗∴f(x)的单调递增区间为(﹣∞,a),(4﹣a,+∞),单调递减区间为(a, 4﹣a); (Ⅱ)(i)证明:∵g’(x)=ex(f(x)+f’(x)),由题意知 ,∴,解得 .∴f(x)在 x=x0 处的导数等于 0; 第 21 页(共 25 页) 第 22 页 共 25 页 (ii)解:∵g(x)≤ex,x∈[x0﹣1,x0+1],由 ex>0,可得 f(x)≤1. 又∵f(x0)=1,f’(x0)=0, 故 x0 为 f(x)的极大值点,由(I)知 x0=a. 另一方面,由于|a|≤1,故 a+1<4﹣a, 由(Ⅰ)知 f(x)在(a﹣1,a)内单调递增,在(a,a+1)内单调递减, 故当 x0=a 时,f(x)≤f(a)=1 在[a﹣1,a+1]上恒成立,从而 g(x)≤ex 在[x0﹣1 ,x0+1]上恒成立. 由 f(a)=a3﹣6a2﹣3a(a﹣4)a+b=1,得 b=2a3﹣6a2+1,﹣1≤a≤1. 令 t(x)=2×3﹣6×2+1,x∈[﹣1,1], ∴t’(x)=6×2﹣12x, 令 t’(x)=0,解得 x=2(舍去),或 x=0. ∵t(﹣1)=﹣7,t(1)=﹣3,t(0)=1,故 t(x)的值域为[﹣7,1]. ∴b 的取值范围是[﹣7,1]. 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查了利用研究过曲线上某点处 的切线方程,训练了恒成立问题的求解方法,体现了数学转化思想方法,是压轴 题. 20.(14 分)(2017•天津)已知椭圆 +=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣c ,0),右顶点为 A,点 E 的坐标为(0,c),△EFA 的面积为 (I)求椭圆的离心率; .(II)设点 Q 在线段 AE 上,|FQ|= c,延长线段 FQ 与椭圆交于点 P,点 M,N 在 x 轴上,PM∥QN,且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c,四边形 PQNM 的面 积为 3c. (i)求直线 FP 的斜率; (ii)求椭圆的方程. 第 22 页(共 25 页) 第 23 页 共 25 页 【分析】(Ⅰ)设椭圆的离心率为 e.通过 率. (Ⅱ)(ⅰ)依题意,设直线 FP 的方程为 x=my﹣c(m>0),则直线 FP 的斜 率为 .通过a=2c,可得直线 AE 的方程为 ,求解点Q 的坐标为 .利用|FQ|= ,求出 m,然后求解直线 FP 的斜率. (ii)求出椭圆方程的表达式你,求出直线 FP 的方程为 3x﹣4y+3c=0,与椭圆方 .转化求解椭圆的离心 程联立通过 ,结合直线PM 和 QN 都垂直于直线 FP. 结合四边形 PQNM 的面积为 3c,求解 c,然后求椭圆的方程. 【解答】解:(Ⅰ)设椭圆的离心率为 e.由已知,可得 .又由 .b2=a2﹣c2,可得 2c2+ac﹣a2=0,即 2e2+e﹣1=0.又因为 0<e<1,解得 所以,椭圆的离心率为 ; (Ⅱ)(ⅰ)依题意,设直线 FP 的方程为 x=my﹣c(m>0),则直线 FP 的斜 率为 . 由(Ⅰ)知 a=2c,可得直线 AE 的方程为 ,即 x+2y﹣2c=0,与直线 FP ,即点 Q 的坐标为 ,整理得 3m2﹣4m=0,所 的方程联立,可解得 .由已知|FQ|= ,有 以,即直线 FP 的斜率为 . (ii)解:由 a=2c,可得 ,故椭圆方程可以表示为 .由(i)得直线 FP 的方程为 3x﹣4y+3c=0,与椭圆方程联立 消去 y, 整理得 7×2+6cx﹣13c2=0,解得 (舍去),或 x=c.因此可得点 第 23 页(共 25 页) 第 24 页 共 25 页 ,进而可得 ,所以 .由已 知,线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离,故直线 PM 和 QN 都 垂直于直线 FP. 因为 QN⊥FP,所以 ,同理¡÷FPM 的面积等于 ,所以¡÷FQN 的面积为 ,由四边形 PQNM 的面积为 3c ,得 ,整理得 c2=2c,又由 c>0,得 c=2. 所以,椭圆的方程为 .【点评】本题考查椭圆的方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查 转化思想以及计算能力. 第 24 页(共 25 页) 第 25 页 共 25 页 参与本试卷答题和审题的老师有:zlzhan;maths;qiss;742048;sxs123; danbo7801;双曲线;caoqz(排名不分先后) 菁优网 2017 年 6 月 26 日 第 25 页(共 25 页)
声明:如果本站提供的资源有问题或者不能下载,请点击页面底部的"联系我们";
本站提供的资源大部分来自网络收集整理,如果侵犯了您的版权,请联系我们删除。