2017年北京高考理科数学试题及答案下载

第 1 页 共 12 页 绝密★启封并使用完毕前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）若集合 A={x|－2<x<1}，B={x|x<－1 或 x>3}，则 AᴨB= （A）{x|－2<x<－1} （C）{x|－1<x<1} （B）{x|－2<x<3} （D）{x|1<x<3} （2）若复数（1－i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是 （A）(–∞，1) （C）(1，+∞) （B）(–∞，－1) （D）(–1，+∞) （3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 3285（C）5 3（A）2 （B） （D） （4）若 x，y 满足 x≤3， x + y≥2，则 x + 2y 的最大值为 1第 1 页 共 12 页 第 2 页 共 12 页 y≤x， （A）1 （5）已知函数 f (x)  3x  （B）3 （C）5 （D）9 x1  ，则 f (x)   3  （A）是奇函数，且在 R 上是增函数 （C）是奇函数，且在 R 上是减函数 （B）是偶函数，且在 R 上是增函数 （D）是偶函数，且在 R 上是减函数 ，使得 m  n ”是 （6）设 m,n 为非零向量，则“存在负数 “mn＜0”的 （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （A）3 （B）2 232（C）2 （D）2 （8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的 M原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与 最接近的是 N（参考数据：lg3≈0.48） （A）1033 （B）1053 （C）1073 （D）1093 第二部分（非选择题 共110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 y2 （9）若双曲线 x2  1的离心率为 3，则实数 m=_______________. m（ 10 ） 若 等 差 数 列 a和 等 比 数 列满 足a =b =–1 ， a =b =8 ， 则 bn    1144na2 =__________. b2 （11）在极坐标系中，点 A 在圆 2  2 cos  4 sin  4  0 上，点 P 的坐标为(1,0)， 2第 2 页 共 12 页 第 3 页 共 12 页 则|AP|的最小值为 .（12）在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称。 1若sin  ，则 cos(  ) =.3（13）能够说明“设 a，b，c 是任意实数.若 a＞b＞c，则 a+b＞c”是假命题的一组整数 a， b，c 的值依次为______________________________. （14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 Ai 的横、纵 坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi 的横、纵坐标分别为第 i 名工 人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。 ①记 Qi 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q2，Q3 中最大的是_________。 ②记 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1，p2，p3 中最大的是 _________。 三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题 13 分） 3在△ABC 中， A =60°，c= （Ⅰ）求 sinC 的值； a. 7（Ⅱ）若 a=7,求△ABC 的面积. 3第 3 页 共 12 页 第 4 页 共 12 页 （16）（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD⊥平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD//平面 MAC,PA=PD= 6 ,AB=4. (I)求证：M 为 PB 的中点； (II)求二面角 B-PD-A 的大小； (III)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正炫值。 （17）（本小题 13 分） 为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组 不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其中“* ” 表示服药者，“+”表示为服药者. 4第 4 页 共 12 页 第 5 页 共 12 页 （Ⅰ）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率； （Ⅱ）从图中 A,B,C,D,四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标x 的值大于 1.7 的人 数，求 的分布列和数学期望E（ ）； （Ⅲ）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大 小.（只需写出结论） （18）（本小题 14 分） 1已知抛物线 C：y2=2px 过点 P(1,1).过点(0, )作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M,N， 2过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP、ON 交于点 A,B，其中 O 为原点. （Ⅰ）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段 BM 的中点. （19）（本小题 13 分） 已知函数 f(x)=excosx−x. （Ⅰ）求曲线 y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； 2（Ⅱ）求函数 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值. 5第 5 页 共 12 页 第 6 页 共 12 页 20 ）（本小题 13 分） （设{a } {b } 和是两个等差数列，记 nnc =max{b –a n,b –a n,…,b –a n}(n=1,2,3,…) ，n1122nnmax{x ,x ,…,x } x ,x ,…,x s s 这 个数中最大的数． 其中 表示 12s12a =n b=2n–1 c ,c ,c {c } （Ⅰ）若 ，，求 3 的值，并证明 是等差数列； nn12ncn M（Ⅱ）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 mn≥m  M 时， ；或者存在正整数 nmc ,cm+1,cm+2,… 是等差数列． m，使得 6第 6 页 共 12 页 第 7 页 共 12 页 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）答案 一、 （1）A （5）A 二、 （2）B （6）A （3）C （7）B （4）D （8）D （9）2 （10）1 79（11）1 （12）  （13） 1,2,3 （答案不唯一） 三、 （14）Q1 p2 （15）（共 13 分） 3解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为 A  60 ，c  a ， 7csin A 37323 3 14 所以由正弦定理得sinC  .a3（Ⅱ）因为 a  7 ，所以 c  7  3 .71由余弦定理 a2  b2  c2  2bccos A 得72  b2  32  2b3 ，2解得b  8 或b  5（舍）. 113所以△ABC 的面积 S  bcsin A  83  6 3. 222（16）（共 14 分） 7第 7 页 共 12 页 第 8 页 共 12 页 解：（I）设 AC, BD 交点为 E，连接 ME . 因为 PD∥平面 MAC ，平面 MAC  平面 PBD  ME ，所以 PD∥ME 因为 ABCD 是正方形，所以 BD 的中点，所以 PB 的中点. .E为M为（II）取 AD 的中点 因为 PA  PD ，所以OP  AD 又因为平面 PAD 平面 ABCD ，且OP  平面 PAD ，所以OP 平面 ABCD 因为OE  平面 ABCD ，所以OP  OE 因为 ABCD 是正方形，所以OE  AD ，连接OP ， . O OE ….如图建立空间直角坐标系O  xyz ，则 P(0,0, 2) ，D(2,0,0) ，B(2,4,0) ，  BD  (4,4,0) ，PD  (2,0, 2) . 4x  4y  0 n BD  0  设平面 BDP 的法向量为 n  (x, y, z)，则 ，即 .2x  2z  0 n PD  0 令x 1，则 y 1 ，z  2 .于是 n  (1,1, 2) .n p | n || p | 1平面 PAD 的法向量为 p  (0,1,0) ，所以 cos<n, p> .23由题知二面角 B  PD  A 为锐角，所以它的大小为 . 22（III）由题意知 M (1,2, )，D(2,4,0) ，MC  (3,2, ).228第 8 页 共 12 页 第 9 页 共 12 页   | nMC | 26  设直线 MC 与平面 BDP 所成角为 ，则sin | cos<n, MC>| .9| n || MC | 2 6 所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为 （17）（共 13 分） .9解：（Ⅰ）由图知，在服药的 50 名患者中，指标 所以从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 （Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标 的值大于1.7 的有 2 人：A 和 C. 所以 的所有可能取值为0,1,2. y的值小于 60 的有 15 人， 15 50 y的值小于 60 的概率为  0.3 .xC22 C24 1C12C12 C24 2C22 C24 16P(  0)   , P( 1)   , P(  2)  .63所以 的分布列为 0121231P66121故的期望 E()  0 1 2 1 .636（Ⅲ）在这 100 名患者中，服药者指标 yy数据的方差大于未服药者指标 数据的方差. （18）（共 14 分） 1解：（Ⅰ）由抛物线 C： y2  2px 过点 P（1，1），得 p  .2所以抛物线 C 的方程为 y2  x .114抛物线 C 的焦点坐标为（ ，0），准线方程为 x   .41（Ⅱ）由题意，设直线 l 的方程为 y  kx  （ k  0 ），l 与抛物线 C 的交点为 M (x1, y1) ， 2N(x2 , y2 ) .9第 9 页 共 12 页 第 10 页 共 12 页 12y  kx  由则，得 4k2 x2  (4k  4)x 1 0 .2y  x 1 k 1×1  x2  ，x1x2  .k2 4k2 因为点 P 的坐标为（1，1），所以直线 OP 的方程为 y  x ，点 A 的坐标为 (x1, y1) .y2 x2 y2 y1 x2 直线 ON 的方程为 y  x，点 B 的坐标为 (x1, ) . 因为 y2 y1 x2 y1 y2  y2 y1  2x1x2 y1   2×1  x2 11(kx1  )x2  (kx2  )x1  2x1x2 22x2 1(2k  2)x1x2  (x2  x1) 2×2 11 k (2k  2) 4k2 2k2 x2  0 ，y2 y1 x2 所以 y1   2×1 .故 A 为线段 BM 的中点. （19）（共 13 分） x解：（Ⅰ）因为 f (x)  ex cos x  x ，所以 f (x)  e (cosx sin x) 1, f (0)  0 .f (0) 1 y  f (x) (0, f (0)) y 1 .又因为 ，所以曲线 ）在点 处的切线方程为 （Ⅱ设h(x)  ex (cos x sin x) 1 ，则xx.h (x)  e (cosx sin x sin x  cos x)  2e sinx πh (x)  0 x(0, ) 当时， ，2πh(x) [0, ] 所以 在区间 上单调递减. 210 第 10 页 共 12 页 第 11 页 共 12 页 πf (x)  0 .h(x)  h(0)  0 x(0, ] 所以对任意 所以函数 f (x) 有，即 2πf (x) [0, ] 在区间 上单调递减. 2πππf (0) 1 [0, ] f ( )  因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .222（20）（共 13 分） c  b  a 11 0, 解：（Ⅰ） 111c  max{b  2a ,b  2a }  max{1 21,3 22}  1 ，21122c  max{b 3a ,b 3a ,b 3a }  max{131,332,533}  2 .3112233(bk1  nak1)  (bk  nak )  (bk1 bk )  n(ak1  a )  2  n  0 当n  3时， ，kb  na 所以 所以 关于 * 单调递减. k N kkc  max{b  a n,b  a n,,b  a n}  b  a n 1 n .n1122nn11n 1,c 1 n c c  1 所以对任意 ，于是 ，nn1 n{c } 所以 是等差数列. n（Ⅱ）设数列{an} 和{bn}的公差分别为 d1,d2 ，则 bk  nak  b  (k 1)d2 [a1  (k 1)d1]n  b  a1n  (d2  nd1)(k 1) .11b  a n  (n 1)(d  nd ),当d  nd 时， 112121所以 c  nb  a1n,当d2  nd1时， 1d2 ①当 d1  0 时，取正整数 m  ，则当 n  m 时， nd1  d2 ，因此 cn  b  a1n .1d1 此时， cm ,cm1,cm2 ,是等差数列. ②当 d1  0 时，对任意 n 1 ，cn  b  a1n  (n 1)max{d2 ,0}  b  a1  (n 1)(max{d2 ,0} a1). 11此时， c1,c2 ,c3,,cn ,是等差数列. 11 第 11 页 共 12 页 第 12 页 共 12 页 ③当 d1  0时， d2 当n  时，有 nd1  d2 .d1 cn b  a1n  (n 1)(d2  nd1) b  d2 11所以  n(d1)  d1  a1  d2  nnn n(d1)  d1  a1  d2  | b  d2 |. 1M  | b  d2 | a1  d1  d2 d2 1对任意正数 M，取正整数 m  max{ ,}，d1 d1 cn 故当 n  m 时，  M .n12 第 12 页 共 12 页