2022年高考数学真题（新课标Ⅰ）（原卷版）

绝密☆启用前试卷类型：A 2022 年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. M  N  1. 若集合，则（）M {x∣ x  4}, N {x∣3x 1}  1 x 0  x  2 x x  2 x 3  x 16 A. B. C. D. 3 1 x x 16 3i(1 z) 1 2. 若，则（）z  z  A. 2 B. C. 1 D. 2 （1    3. 在中，点 D 在边 AB 上，．记，则）ABC BD  2DA CA  m，CD  n CB  A. 3m  2n B. 2m  3n C. 3m  2n D. 2m  3n 4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m 时，相应水面的面积为 2 ；水位为海拔157．5m时，相应水 140．0km 面的面积为 180．0km 海拔148．5m 上升到157．5m时，增加的水量约为（ 2 ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从）（）7  2.65 1.0109 m3 1.6109 m3 1.2109 m3 1.4109 m3 A. B. C. D. 5. 从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为（）16132312A. B. C. D. 42 3的f (x)  sin x   b(  0)  T   6. 记函数 y  f (x) 最小正周期为 T．若，且 3   ,2 f的图象关于点中心对称，则（）  22  325A. 1 B. C. D. 3 21a  0.1e0.1,b  ，c  ln 0.9 7. 设，则（）9A. B. C. D. a  b  c c  b  a c  a  b a  c  b 8. 已知正四棱锥的侧棱长为 l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 36 ，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）3  l  3 3 81 427 81 27 64 18, ,,AB. C. D. 4443[18,27] 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． ABCD  A B C D 1 ，则（ 9. 已知正方体）111BC BC DA CA 所成的角为 1A. 直线 1 与所成的角为 B. 直线 1 与 90 90 1BC 的所成角为 BC D. 直线 1 与平面 ABCD 所成的角 BB D D C. 直线 1 与平面 45 11为45 310. 已知函数，则（）f (x)  x  x 1 f (x) f (x) A有两个极值点 B. 有三个零点 y  f (x) y  f (x) 的切 y  2x C. 点( 0, 1) 是曲线的对称中心 D. 直线是曲线线2A(1,1) B(0,1) 11. 已知 O 为坐标原点，点交 C 于 P，Q 两点，则（在抛物线上，过点的直线 C : x  2py( p  0) ）y  1 A. C 的准线为 B. 直线 AB 与 C 相切 D. C. OP  OQ | OA 2 | BP || BQ || BA|2 32f (x) g(x)  f (x) f 2x 12. 已知函数 g(2  x) 及其导函数的定义域均为，记 R，若，f (x) 均为偶函数，则（）12f (0)  0 g   0 f (1)  f (4) A. B. C. D. g(1)  g(2) 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． yx(x  y)8 213. 的展开式中 6 的系数为________________（用数字作答）． 1 x y 222214. 写出与圆和都相切的一条直线的方程 x  y 1 (x 3)  (y  4) 16 ________________． 15. 若曲线 x 有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围是 y  (x  a)e ________________． x2 y2 FF16. 已知椭圆，C 的上顶点为 A，两个焦点为，2 ，离心率 C : 1(a  b  0) 1a2 b2 为 12 ．过 1 且垂直于，则的周长是 FAF 2 的直线与 C 交于 D，E 两点， | DE | 6 ADE ________________．四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． Sn an 1Saa 1, 的前 n 项和，已知 17. 记为数列是公差为的等差数列．   nn13a（1）求 的通项公式； n111 2 （2）证明：．a1 a2 an cos A sin2B 18. 记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知．1 sin A 1 cos2B 2 3C  （1）若（2）求，求 B； a2  b2 的最小值． c2 ABC  A B C A BC 19. 如图，直三棱柱 1 的体积为 4，的面积为．2 2 111A BC （1）求 A 到平面的距离； 1AC AA  AB A BC  ABB A 平面 1 ，求二面角 1（2）设 D 为的中点，，平面 111的正弦值． A BD C 20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组对照组 40 10 60 90 （1）能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件 P(B | A) P(B | A) P(B | A) P(B | A) “选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 R． P(A| B) P(A | B) R  （ⅰ）证明：；P(A | B) P(A| B) （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出 R 的 P(A| B), P(A| B) 估计值． n(ad bc)2 附 K2  ，(ab)(cd)(ac)(bd) P K2  k 0 050 0.010 0.001 k3.841 6.635 10.828 x2 y2 A(2,1) 21. 已知点在双曲线上，直线 l 交 C 于 P，Q 两点，直线 C :  1(a  1) a2 a2 1 AP, AQ 的斜率之和为 0．（1）求 l 的斜率； △PAQ 的面积．（2）若，求 tanPAQ  2 2 xg(x)  ax  ln x 22. 已知函数（1）求 a；和有相同的最小值． f (x)  e  ax y  f (x) y  b y  g(x) （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．