2023年高考数学真题（理科）（全国甲卷）（解析版）

2023 甲卷理科数学（记忆版）一、选择题 ð (A B)  A {x∣x  3k 1,k Z}, B {x∣x  3k  2,k Z} U1. 设集合，U 为整数集，（）{x | x  3k,k Z} {x∣x  3k 1,k Z} A. C. B. D. {x∣x  3k  2,k Z} 【答案】A 【解析】【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． Z  x | x  3k,k Z  x | x  3k 1,k Z  x | x  3k  2,k Z    【详解】因为整数集 ，，所 U  Z ð A B  x | x  3k,k Z 以， U    ．故选：A． a  a  i 1 ai  2,aR 2. 若复数，则（） A. -1 B. 0 ·C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． a  i 1 ai  a  a2i  i  a  2a  1 a2 i  2 【详解】因为  ，2a  2 所以，解得： a 1 ．1 a2  0 故选：C. 3. 执行下面的程序框遇，输出的（）B  A. 21 B. 34 C. 55 D. 89 【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．【详解】当 n 1时，判断框条件满足，第一次执行循环体， A 1 2  3 ，，B  3 2  5 n 11 2 ；当当当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，时，判断框条件满足，第三次执行循环体，时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出，，；n  2 n  3 n  4 A  3 5  8 B  8 5 13 n  2 1 3 ，，；A  813  21 B  2113  34 n  31 4 ．B  34 故选：B.   4. 向量，且，则（）| a || b | 1,| c | 2 cosa  c,b  c  a  b  c  0 122C. 45A. B. D. 555【答案】D 【解析】【分析】作出图形,根据几何意义求解. rrr【详解】因为,所以 ,a  b  c  0 a + b = – c rr2 2即2 ,即 ,所以 .a  b  2a b  c a b  0 11 2a b  2    如图,设 ,OA  a,OB  b,OC  c 由题知, 是等腰直角三角形, OA  OB 1,OC  2,OAB 22AB 边上的高 ,OD  , AD  2223 2 所以 ,CD  CO  OD  2  22AD CD 13tan ACD   ,cosACD  ,310   cosa  c,b  c  cosACB  cos2ACD  2cos2 ACD 1  3 2 45. 2 1 10 故选:D. aa 1,S aS  5S  4 S  5. 已知正项等比数列中，为前 n 项和，，则（）    n1nn534A. 7 B. 9 C. 15 D. 30 【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出关于 q的方程,计算出 ,即可求出 qS4 .1 q  q2  q3  q4  5 1 q  q2  4 【详解】由题知 ,3432即2 ,即 ,即 .(q  2)(q 1)(q  2)  0 q  q  4q  4q q  q  4q  4  0 q  0 q = 2 由题知 ,所以 .S 1 2  4 8 15 所以 .4故选:C. 6. 有 60 人报名足球俱乐部，60 人报名乒乓球俱乐部，70 人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 【答案】A 【解析】【分析】先算出报名两个俱乐部的人数,从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】报名两个俱乐部的人数为，50  60  70  40 B,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件，记“某人报足球俱乐部”为事件 A50 70 540 70 4P(A)   , P(AB)  则，774P(AB) P(A) 75P(B∣A)   0.8 所以 .7故选: .A22的（sin  cos   0 7. “ ”是“ ”）sin   sin  1 A. 充分条件但不是必要条件 C. 充要条件 B. 必要条件但不是充分条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. π22sin  cos   0   ,   0 【详解】当时，例如但，sin   sin  1 222sin  cos   0 即推不出；sin   sin  1 2222sin  cos   0 当即时，，sin   sin   (cos )  sin  1 22sin  cos   0 能推出 .sin   sin  1 22sin  cos   0 成立的必要不充分条件. 综上可知，故选：B 是sin   sin  1 x2 y2 221(a  0,b  0) 8. 已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于 A，B (x  2)  (y 3) 1 5a2 b2 | AB | 两点，则（）1552 5 54 5 5A. B. C. D. 5【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. c2 a2  b2 b2 a2 【详解】由，则，1  5 e  5 a2 a2 b 2 解得，ay  2x 所以双曲线的一条渐近线不妨取，| 22 3| 22 1 55(2,3) d  则圆心到渐近线的距离，154 5 22所以弦长 .| AB | 2 r  d  2 1 5故选：D 9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数为（）A. 120 B. 60 C. 40 D. 30 【答案】B 【解析】【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解. a,b,c,d,e 【详解】不妨记五名志愿者为，A2 12 a假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4 人抽取 2 人各参加星期六与星期天的社区服务，共有 4种方法， b,c,d,e 同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法， 12 所以恰有 1 人连续参加了两天社区服务的选择种数有故选：B. 种. 512  60 ππ112f x y  cos 2x  y  f x   y  x  10. 已知  为函数向左平移个单位所得函数，则 6与的交点个 62数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 112f x sin 2x 【分析】先利用三角函数平移的性质求得   f x ，再作出   y  x  与的部分大致图像， 2112f x y  x  考虑特殊点处   与的大小关系，从而精确图像，由此得解. 2ππy  cos 2x  【详解】因为向左平移个单位所得函数为 66ππ πy  cos 2 x   cos 2x   sin 2x f x sin 2x ，所以   ，66211120, 1,0 y  x  而显然过与两点， 22112f x 作出   y  x  与的部分大致图像如下， 23π 3π 7π 3π 3π 7π 11f x   2x  ,2x  ,2x  x  , x  , x  y  x  考虑，即处与的大小关系， 222444223π 3π 13π 13π  4 3π x   f   sin   1 y      1 当当当时，，；44224283π 3π 3π 1 3π y   13π  4 f sin  sin 1 x  x  1 时，时，，；42424287π 7π 7π 1 7π y   17π  4 f1 1 ，；424242811f x y  x  所以由图可知，   与的交点个数为 . 322故选：C. AB  4, PC  PD  3,PCA  45 11. 在四棱锥中，底面为正方形，，则的面 P ABCD ABCD PBC 积为（）A. B. C. D. 2 2 4 2 5 2 3 2 【答案】C 【解析】【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得PDO PCO ，PDB PCA，从而得到，PA  PB 再在中利用余弦定理求得，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角 △PAC PBC PA  17 PB  17 形面积公式即可得解；法二：先在中利用余弦定理求得   1cosPCB  ，，从而求得，再利用空中利用 △PAC PA  17 PA PC  3 3PB,BPD 间向量的数量积运算与余弦定理得到关于的方程组，从而求得，由此在 PBC PB  17 余弦定理与三角形面积公式即可得解. 【详解】法一： AC, BD AC, BD 的中点，如图，连结交于，连结 O，则为PO O因为底面为正方形，，所以，则，ABCD AB  4 DO  CO  2 2 AC  BD  4 2 PC  PD  3 又又，PO  OP ，所以PDO PCO ，则 PDO  PCO ，PC  PD  3 ，，所以PDB PCA，则，PA  PB AC  BD  4 2 在中，，△PAC PC  3, AC  4 2,PCA  45 2222则由余弦定理可得，PA  AC  PC  2AC  PC cosPCA  32  9  24 23 17 2故，则，PA  17 PB  17 故在中，，PBC PC  3, PB  17, BC  4 PC2  BC2  PB2 9 16 17 13所以，cosPCB  2PC  BC 234 2 2 32又0  PCB  π ，所以，sin PCB  1 cos PCB  112 2 3所以的面积为 .PBC S  PC  BC sin PCB  34  4 2 22法二：连结 AC, BD AC, BD 的中点，如图，交于，连结 O，则为PO O因为底面为正方形，，所以，，ABCD AB  4 AC  BD  4 2 PC  3,PCA  45 在中， △PAC 2222则由余弦定理可得，故 PA  AC  PC  2AC  PC cosPCA  32  9  24 23 17 2，PA  17 PA2  PC2  AC2 17  9 32 17 所以 cosAPC    ，则 2PA PC 17 2 17 3    17 PA PC  PA PC cosAPC  17 3   3 ，17 PB  m,BPD  不妨记，         2211PO  PA PC  PB  PD 因为，所以 PA PC  PB  PD ，222 2  2 2   即则，PA  PC  2PA PC  PB  PD  2PB PD 17  9  2 3  m2  9  23mcos 2，整理得 ①， m  6mcos 11 0 2222又在中，，即，则 △PBD BD  PB  PD  2PB PDcosBPD 32  m  9  6mcos 2②， m  6mcos  23  0 2两式相加得，故，2m 34  0 PB  m  17 故在中，，PBC PC  3, PB  17, BC  4 PC2  BC2  PB2 9 16 17 13所以，cosPCB  2PC  BC 234 2 2 32又0  PCB  π ，所以，sin PCB  1 cos PCB  112 2 所以的面积为 .PBC S  PC  BC sin PCB  34  4 2 223故选：C. x2 y2 35F , F | PO | cosF PF 12. 己知椭圆，2 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，，则 1 11296（）253530 35 2A. B. C. D. 2【答案】B 【解析】 △PF F OP 的【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出值； 2 的面积，即可得到点 P的坐标，从而得出 12方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 2 ，再结合中线的向量公式以及数量积 PF PF2 , PF  PF2 11即可求出； 2方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 PF  PF2 2 ，即可根据中线定理求出． 1πF PF2  b2 tan  b2 tan 1F PF 2,0   S【详解】方法一：设，所以，12PF F2 122cos2  sin2  1 tan2  31tan  由，解得：，cosF PF2  cos2  1cos2  +sin2  1 tan2  52由椭圆方程可知， a2  9,b2  6,c2  a2 b2  3 ，1112y2  3 S F F2  yp  2 3 yp  6 所以，，解得：，pPF F2 11223692930 2×2  9 1 22即，因此．OP  xp  yp  3 p2故选：B．方法二：因为 22PF  PF2 2  2 PF PF2 F PF2  F F2 PF  PF  2a  6 ①，，12111162PF  PF 2  PF PF 12 即②，联立①②， 1212515 22PF PF  , PF  PF2  21 解得：，1212      11PO  PF  PF OP  PO  PF  PF2 而即，所以，2  1122    2   2 11123 15 21 2  30 2．PO  PF  PF2  PF  2PF  PF2  PF2 1112252故选：B． 22PF  PF2 2  2 PF PF2 F PF2  F F2 PF  PF  2a  6 方法三：因为 ①，，12111162PF  PF 2  PF PF 12 22即②，联立①②，解得：，PF  PF2  21 1212152 OP 2  F F2  2 PF  PF  42 22230 2F F 2 3 由中线定理可知，，易知，解得：．OP  11212故选：B．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．二、填空题 πy  (x 1)2  ax  sin x  a  ________． 13. 若为偶函数，则 2【答案】2 【解析】 ππ  的【分析】利用偶函数性质得到 f   f a  2 ，再检验即可得解 .，从而求得   22  π22y  f x x 1  ax  sin x   x 1  ax  cos x 【详解】因为   为偶函数，定义域为，R22     2 1  a  cos ππ  ππππππf   f 所以则，即， 1  a  cos      22  2222222 2 ππa  2 ，故，πa  1  1  2π 222此时 f x x 1  2x  cos x  x2 1 cos x ，  2所以 f x  x 1 cos x  x2 1 cos x  f x ，    f x 又定义域为，故  为偶函数， Ra  2 .所以故答案为：2. 2x  3y  3 3x  2y  3 x  y 1 z  3x  2y ，则 z 的最大值为____________． 14. 设 x，y 满足约束条件，设 【答案】15 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可. 【详解】作出可行域，如图， 3zzA过点时，有最大值， y  x  由图可知，当目标函数 222x  3y  3 3x  2y  3 x  3 y  3 A(3,3) ,由可得，即 z 33 23 15 .所以 max 故答案为：15 15. 在正方体 ABCD  A B C D A B 1 的中点，则以 EF 为直径的球面与正方体每条 11 中，E，F 分别为 CD， 11 1 棱的交点总数为____________．【答案】12 【解析】【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解. BB BB C C 的中心为 1 1 G,M 【详解】不妨设正方体棱长为 2，中点为，取 O，1 中点，侧面，NEF AB FG, EG,OM ,ON, MN 连接，如图， 2222由题意可知，为球心，在正方体中， O，EF  FG  EG  2  2  2 2 即，R  2 2222BB 则球心到1 的距离为，OOM  ON  MN  1 1  2 BB BB 所以球与棱1 相切，球面与棱 1 只有 1 个交点， O同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有 1 个交点，所以以 EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 12. 故答案为：12 16. 在中，，AB  2 BAC  60, BC  6 ，D 为 BC 上一点，AD 为的平分线，则 ABC  BAC AD  _________．【答案】【解析】 2【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；AC AD B,C ，即可根据三角形的特征求出．方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出 AC 【详解】 AB  c, AC  b, BC  a 如图所示：记，22方法一：由余弦定理可得，，2  b  22bcos60  6 b  0 因为，解得：，b 1 3 S SABD  SACD 由可得， ABC 12112bsin 60  2 ADsin30  ADbsin30 ，222 31 3 3b AD   2 ．解得： b3 3 1 2故答案为：．222b  0 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，2  b  22bcos60  6 b 1 3 6b26  2 42由正弦定理可得，，解得：，，sin B  sinC  sin 60 sin B sinC 2因为又，所以，C  45 B 180  60  45  75 ，1 3  6  2 o ，所以  ，即 AD  AB  2 ．BAD  30 ADB  75 故答案为：．2【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．三、解答题 aa 1 Sa2S  na 前 n 项和， 17. 已知数列中，，设为．    n2nnnna（1）求 的通项公式； na 1 n2n T（2）求数列【答案】（1）的前 n 项和．na  n 1 nn1  （2） T  2  2  n n  2  【解析】 S ,n 1 1a  【分析】（1）根据即可求出； nSn  Sn1,n  2 （2）根据错位相减法即可解出．【小问 1 详解】 2S  na 因为，nn2a  a a  0 当当当n 1时， 1 ，即；112 1 a  3a 3  a  2 时，时， 3 ，即，n  3 n  2 32S  n 1 a 2 S  S  na  n 1 an1  2an n1 ，所以 n1  ，n1 nnan an1 a3 n  2 a  n 1 a a  n 1   1 化简得： ，当时，，即，n  3 nn1 nn 1 n  2 2n 1,2,3 a  n 1 n N* 当时都满足上式，所以．n【小问 2 详解】 123nan 1 2n n2n 1111        因为，所以，Tn 1  2  3  n         22  2  2    23nn1 11111        ，Tn 1  2  (n 1)  n         22  2  2  2  两式相减得， n  11   1   123nn1 n1 22  1212111111          ，Tn    n  n           2222  2  2      1 nnn11    * 1 1 ，即，．T  2  2  n n N   n  222    ABC – A B C AA  2 AC  ，ABCC B ACB  90 18. 在三棱柱 1 中，底面ABC，，1 到平面 1 的距离为1． 11111AC  AC （1）求证：；1AA BB （2）若直线 1 与 1 距离为 2，求 AB BCC B 1 与平面 1 所成角的正弦值． 1【答案】（1）证明见解析 13 （2） 13 【解析】 AO  BCC B ，再由勾股定理求出 1 1 【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面 O1为中点，即可得证； AB （2）利用直角三角形求出 A1 的长及点到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值. 【小问 1 详解】如图，  AC  底面，面，ABC BC  ABC 1 AC  BC AC, AC  ACC AAC  AC  C ，，又，平面 ,BC  AC 11111BCC B ，1平面 ACC A ，又平面 BC  BC  111ACC A  BCC B 平面平面，1111BCC B CC A1 作 AO  CC CC 1 交 ACC A  AO  ACC A 平面， 1 1 过于，又平面平面，1O1111111 AO  BCC B 平面 111 A BCC B  AO 1 1 到平面 1 的距离为 1，，11Rt△ACC AC  AC ,CC  AA  2 在设1 中，，111111C O  2  x ，则，CO  x 1△AOC,△AOC ,△ACC CC  2 1 为直角三角形，且，11111CO2  AO2  AC2 AO2  OC2  C A2 AC2  AC2  C C2 ，，，111111111122，解得，1 x 1 (2  x)  4 x 1 ， AC  AC  AC1  2 11 AC  AC 1【小问 2 详解】  AC  AC ,BC  AC, BC  AC ，111Rt△ACB≌Rt△ACB 1BA  BA ，1BD  AA AA AA 为 1 中点，过 B 作 1 ，交 1 于 D，则 DAA BB 由直线 1 与 1 距离为 2，所以 BD  2  A D 1 ，BD  2 ，， A B  AB  5 1122在，，Rt△ABC BC  AB  AC  3 C M AC  CM 延长，使，连接，AC 1CM∥AC ,CM  AC ACMC 由1 知四边形 1 为平行四边形， 1111C M∥AC C M  ，平面，又 AM  平面， ABC ABC 111C1M  AM 22Rt△AC M AM  2AC,C M  AC 则在中，，， AC1  (2AC)  AC 111122Rt△AB C 在中，，，B1C1  BC  3 AC1  (2AC)  AC 111222, AB  (2 2)  ( 2)  ( 3)  13 1BCC B 1 距离也为 1， 1又A到平面 113 AB BCC B 1 所成角的正弦值为 1所以 1 与平面 .13 13 19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将 40 只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的分布列和数学期望； XX（2）测得 40 只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3 实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.88.2 9.410.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0 （i）求 40 只小鼠体重的中位数 m，并完成下面 2×2 列联表：  m  m 对照组实验组（ii）根据 2×2 列联表，能否有 95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．参考数据： k0 0.10 0.05 0.010 P k2  k 0  2.706 3.841 6.635 E(X )  1 【答案】（1）分布列见解析，（2）（i） m  23.4 ；列联表见解析，（ii）能【解析】【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；（2）（i）根据中位数的定义即可求得 m  23.4 ，从而求得列联表；（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解. 【小问 1 详解】依题意，的可能取值为 0,1,2 ，XC020C220 19 C120C120 20 C220C020 19 P(X  0)  P(X 1)  P(X  2)  则，，，C240 78 C240 39 C240 78 所以的分布列为： X0X1219 78 20 39 19 78 P19 20 19 E(X )  0 1 2 1 故.78 39 78 【小问 2 详解】（i）依题意，可知这 40 只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第 20 位与第 21 位数据的平均数，由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可， 17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6, 可得第 11 位数据为，后续依次为，14.4 23.2 故第 20 位为，第 21 位数据为，23.6 23.2  23.6 m   23.4 所以，2故列联表为：  m 6 m 14 6合计对照组 20 20 40 实验组合计 14 20 20 40(66 1414)2 20202020 （ii）由（i）可得，，K   6.400  3.841 所以能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. 95% C : y2  2px( p  0) x  2y 1 0 A, B 两点，且 20. 已知直线与抛物线交于．| AB|4 15 p（1）求；  （2）设 C 的焦点为 F，M，N 为 C 上两点，，求MNF 面积的最小值． MF  NF  0 p  2 【答案】（1）（2） 12 8 2 【解析】 p【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；  x  my  n m,n M x, y , N x, y , 1  （2）设直线：，2  利用，找到的关系，以及MNF MN MF  NF  0 12的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问 1 详解】 A x , y , B x , y 设由A  B  ，ABx  2y 1 0 y2  2px 可得， y2  4py  2p  0，所以，y  y  4p, y y 2p ABAB22AB  x  x 2  y  y B   5 yA  yB  5  y  y  4yA yB  4 15 B  所以，B  AAA2p2  p  6  0，因为，解得：．p  0 p  2 即【小问 2 详解】 F 1,0 因为 ，显然直线的斜率不可能为零， MN x  my  n M x, y , N x, y 1  设直线：，2  ，MN 122y  4x 可得， y2  4my  4n  0 ，所以，，y  y  4m, y y 4n 由1212x  my  n 22， 16m 16n  0  m  n  0   x 1 x 1  y y 0 因为，所以  ，MF  NF  0 121 2 my  n 1 my  n 1  y y 0  即，121 2 2m2 1 y y m n1 y  y  n 1  0 亦即， 2   121y  y  4m, y y 4n 将代入得， 121 2 24 m2  n  n 1  0 22，，4m  n  6n 1 2所以，且，解得或n  3 2 2n  3 2 2 ．n 1 n  6n 1 0 n 1 1 m2 d  设点到直线 F的距离为，所以 d，MN 2MN  x  x 2  y  y 2  2   1 m2 y1  y2  1 m2 16m2 16n 11 2 1 m2 4 n2  6n 1 16n  2 1 m2 n 1 ，n 1 1 m2 112S  MN d   2 1 m2 n 1  n 1 所以MNF 的面积 ，22而当或n  3 2 2n  3 2 2 ，所以， 2时，MNF 的面积．Smin  2  2 212 8 2 n  3 2 2 m,n 【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. sin x cos3 x πf (x)  ax  , x 0, 21. 已知 2f (x) 的单调性；（1）若（2）若，讨论 a  8 f (x)  sin 2x 恒成立，求 a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析. (,3] （2）【解析】 21,,;讨论导数的符号即可【分析】（）求导然后令 t  cos x g (x) aa的最大值然后与比较大小得出的分界点再对讨论即可 g(x)  f (x) sin 2x 2（）构造 ,,0,,.计算【小问 1 详解】 cos xcos3 x  3sin xcos2 xsin x cos6 x f  (x)  a   a  cos2 x  3sin2 x 3 2cos2 x cos4 x  a  cos4 x 2t (0,1) 则,令则cos x  t 3 2t at2  2t 3 f (x)  g(t)  a  t2 t2 8t2  2t 3 (2t 1)(4t  3) 当a  8, f (x)  g(t)  t2 t2 12π π t  0, x ,, f  (x)  0 ,.当即4 2 1π4t  ,1 x 0, ,f  (x)  0 ,.当即2ππ π f (x) ,0, ,上单调递增在所以在上单调递减 4 2 4【小问 2 详解】 g(x)  f (x) sin 2x 设at2  2t 3 23t2 g (x)  f  (x)  2cos2x  g(t)  2 2cos2 x 1   2(2t 1)  a  2  4t   设t2 t23t2 (t)  a  2  4t   t264t3  2t  6 2(t 1)(2t2  2t+3)  (t)  4     0 t2 t3 t3 t3 (t)  (1)  a 3 .所以 g (x)  (t)  a 3  0 a(,3] ,若12g(x) 0, g(x)  g(0)  0 ,上单调递减所以 .即在a(,3], f (x)  sin 2x ,.所以当符合题意 2 a(3,) 若2231 1 1(t)   ,.当所以 t  0,  3   tt2 t33(1)  a 3  0 .2,使得 g x  0 0  t (0,1)  t  0 x  0, ,,..所以使得   即000t  t ,1 ,(t)  0 x 0, x , g (x)  0, g(x) ,当即当 0  单调递增 0x 0, x , g(x)  g(0)  0 ,.不合题意所以当 0  a综上的取值范围为 (,3] ,.t  cos x t  cos x ,:,【点睛】关键点点睛本题采取了换元注意复合函数的单调性 ,在定义域内是减函数若当00t  t ,1 ,(t)  0 x 0, x , g (x)  0 .,对应当 0  0四、选做题 x  2  t cos y 1 t sin P(2,1) l（t 为参数），为的倾斜角，l 与 x 轴，y 轴正半轴交于 A，B 两 l : 22. 已知，直线 | PA| | PB | 4 点，．（1）求的值；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 l 的极坐标方程． 3π 【答案】（1） 4 cos   sin 3  0 （2）【解析】的t【分析】（1）根据几何意义即可解出； l（2）求出直线的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问 1 详解】 πy因为与轴，轴正半轴交于 xA, B l   π 两点，所以，221y  0 t   t   令，，令，，x  0 12cos sin 24PA PB  t t  4 sin 2  1 ，所以，所以 2 1 sin cos sin 2 ππ12  kπ    kπ,k Z 即，解得，所以，243π 2π   π   因为．24【小问 2 详解】由（1）可知，直线的斜率为 2,1 ，l，且过点 tan  1 y 1 x  2 x  y 3  0 ，l所以直线的普通方程为： ，即 x   cos, y   sin  cos   sin 3  0 l由可得直线的极坐标方程为．．f (x)  2 | x  a | a, a  0 23. 已知 f x x （1）求不等式   的解集； xay  f x （2）若曲线  与轴所围成的图形的面积为2，求． a,3a 【答案】（1） 32 6 （2） 3【解析】 x  a 讨论即可; x  a 【分析】（1）分和（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可. 【小问 1 详解】 f (x)  2a  2x  a  x ,x  a 若即若,则 aax   x  a ,,即 3x  a ,解得 33x  a f (x)  2x  2a  a  x ,则 ,a  x  3a 即,解得 x  3a a,3a 综上,不等式的解集为【小问 2 详解】 .32x  a, x  a 2x 3a, x  a f (x)  .f (x) f (x) 画出的草图,则与坐标轴围成与ABC | AB | a ,所以 △ADO a3a a, D(0,a), A ,0 ,B ,0 的高为 ABC 2212132 6 3SOAD  SABC OA a  AB a  a2  2 所以 ,解得 a  24【点睛】