2015年安徽高考数学(理科)真题(带答案)下载

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  • 最近更新2022年10月14日



2015 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理科) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷第 1 至第 2 页,第 II 卷第 3 至 第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1. 答题前,务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上 所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的 地方填写姓名和座位号后两位。 2. 答第I 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3. 答第II 卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清 晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描 清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在答题卷、草 稿纸上答题无效。 4. 考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式: 第Ⅰ卷(选择题 共50 分) 一、选择题:本大题共 10个小题;每小题 5分,共 50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一 项是符合题目要求的。 2i (1)设 i 是虚数单位,则复数 在复平面内所对应的点位于 1i (A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限 (2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 (A) y  cos x (B) y  sin x (C) y  l n x (D) y  x2 1 (3)设 p:1<x<2,q:2x>1,则 p 是 q 成立的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 4、下列双曲线中,焦点在 y轴上且渐近线方程为 y  2x 的是( )y2 x2 y2 x2 (A) x2  1 (B)  y2 1 (C)  x2 1 (D) y2  1 44445、已知 m,n是两条不同直线, ,是两个不同平面,则下列命题正确的是( )(A)若 (B)若 ,,垂直于同一平面,则 平行于同一平面,则 与与平行 平行 mnmn第 1 页 共 8 页 (C)若 (D)若 ,,不平行,则在 内不存在与 不可能垂直于同一平面 10 的标准差为 ,则数据 2×1 1 平行的直线 mn不平行,则 m与 n 6、若样本数据 x1 ,x2 , ,x8,2×2 1 , ,2×10 1的标准差为 (D)32 ()(A) 8(B)15 (C)16 7、一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )(A)1 3 (B) 2  3 (C)1 2 2 (D) 2 2  ,8、 AC 是边长为 2的等边三角形,已知向量 a,b满足 A  2a  AC  2a  b ,则下列结论正确的是( ) (A) b 1 (B) a  b ax  b (C) a b 1 (D) 4a b  C )9、函数 f x 的图象如图所示,则下列结论成立的是(   2x  c (A) a  0 (C) a  0 ,,b  0 b  0 ,,c  0 c  0 (B) a  0 (D) a  0 ,,b  0 b  0 ,c  0 c  0 ,10、已知函数 f x Asin x    (A,,均为正的常数)的最小正 2 周期为 ,当 x  时,函数 f x取得最小值,则下列结论正确的是( )  3(A) f 2  f 2  f 0    (B) f 0  f 2  f 2    (C) f 2  f 0  f 2 (D) f 2  f 0  f 2        第二卷 二.填空题 111. (x3  )7 的展开式中 x5 的系数是 (用数字填写答案) x312.在极坐标系中,圆   8sin 上的点到直线  (  R)距离的最大值是 13.执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的 n 为 14.已知数列{an}是递增的等比数列, a1  a4  9,a2a3  8,则数列{an}的前 n项和等于 15. 设 x3  ax  b  0,其中 a,b 均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是 (写出所有正确条件的编号) 第 2 页 共 8 页 (1)a  3,b  3 三.解答题 ;(2)a  3,b  2 3 ;(3)a  3,b  2 ;(4)a  0,b  2 ;(5)a 1,b  2 .16.在 ABC 中, A  , AB  6, AC  3 2,点 D 在 BC 边上, AD  BD ,求 AD 的长。 417.已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后 不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结果. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时 所需要的检测费用(单位:元),求 X 的分布列和均值(数学期望) (18)(本小题 12 分) 设n N* , x n 是曲线 y  x2n3 1在点 (1,2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标, (1)求数列{xn}的通项公式; 1(2)记Tn  x12 x22 x22n1 ,证明Tn  .4n 19.如图所示,在多面体 A B D DCBA 中,四边形 AA B B , ADD A , ABCD 均为正方形, E 为 B D 1 11 1 11111的中点,过 A , D, E 的平面交CD1 于 F 1(1)证明: EF / /B C1 1(2)求二面角 E  A D  B1 余弦值. 1(20)(本小题 13 分) x2 y2 设椭圆 E 的方程为 1 a  b  0 ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 a,0 ,点 B 的坐标为 a2 b2 50,b ,点 M 在线段 AB 上,满足 BM  2 MA ,直线 OM 的斜率为 .10 (I)求 E 的离心率 e; 72(II)设点 C 的坐标为 0,b ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 ,求 E 的方程. 21.设函数 f (x)  x2  ax  b .  (1)讨论函数 f (sin x)在( -, )内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; 2 2   (2)记 f0 (x)  x2  a0x  b0,求函数 f (sin x)  f0 (sin x) 在( -, )上的最大值 D; 2 2 第 3 页 共 8 页 a(3)在(2)中,取 a0  b0  0,求z  b  2 满足D  1时的最大值。 4数学(理科)试题参考答案 一、 选择题 (2)A (1)B (3)A (4)C (5)D (6)C (7)B (8)D (9)C (10)A 二、 填空题 (11)35 (12)6(13)4 (14)2n 1 (15)①③④⑤ 三、解答题 (16)设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别是 a,b,c ,由余弦定理得 3 a2  b2  c2  2bccosBAC  (3 2)2  62  23 26cos 18 36  (36)  90 ,4所以 a  3 10 .bsin BAC 310 又由正弦定理得sin B  .a10 3 10 第 4 页 共 8 页 413 10 10 由题设知 0  B  ,所以 cos B  1sin2 B  1 .10 ABsin B sin(  2B) 2sinBcos B cos B 6sin B 3在ABD 中,由正弦定理得 AD   10 .(17) (Ⅰ)依据题目所给的条件可以先设“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A.得 A21 A1 31 3 6 3出P(A)  .(Ⅱ) X的可能取值为 200,300,400 .依此求出各自的概率 ,,,列出 A2 10 10 10 10 5136分布列,求出期望 EX  200 300 400 350 10 10 10 .试题解析:(Ⅰ)记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A . A21 A1 33P(A)  .A2 10 5(Ⅱ) X 的可能取值为 200,300,400 . A22 1P(X  200)  .A2 10 5A3  C21C31A22 33P(X  300)  .A3 10 5136P(X  400) 1 P(X  200)  P(X  300) 1 .10 10 10 故X的分布列为 XP200 300 400 13610 10 10 136EX  200 300 400 350 .10 10 10 (18) (I)解: y (x2n2 1)=(2n+2)x2n1 曲线 y  x2n2 1在点(1,2)处的切线斜率为 2n+2,从而 切线方程为 y  2  (2n  2)(x 1) 1n令 y=0,解得切线与 x 轴交点的和坐标 xn 1 n 1 n 1 (II) 证:由题设和(Ⅰ)中的计算结果知 132n 1 2n 2Tn  x12 x32 x22n1  ( )2 ( )2 ( ) . 24第 5 页 共 8 页 14当当n 1时,T  .12n 1 2n (2n 1)2 (2n 1)2 1 2n  2 n 1 2n  2 时,因为 x2n1  ( )2  ,(2n)2 (2n)2 (2n)2 n11 2 n 1 n1所以Tn  ( )2    .22 3 4n 1综上可得对任意的 n N *,均有Tn  .4n (19) (Ⅰ)证明:由正方形的性质可知 A B/ /AB / /DC ,且 A B AB  DC ,所以四边形 A B CD 为11111 1 平行四边形,从而 B C / /A D ,又 A D  面A DE ,B C  面A DE ,于是 B C / / 面A DE ,又 B C  111111111面B CD1 ,而面 A DE 面B CD1  EF ,所以 EF / /B C .1111(Ⅱ)因为四边形 AA B B ,ADD A ,ABCD 均为正方形,所以 AA  AB, AA  AD, AD  AB ,111111   且AA  AB  AD ,以 A为原点,分别以 AB, AD, AA1 为 x轴, y轴, z 轴单位正向量建立,如图 1所示的空间直角坐标系,可得点的坐标 A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), A (0,0,1), B (1,0,1), D (0,1,1) .111而E点为 B D1 的中点,所以 E点的坐标为 (0.5,0.5,1) .1   设 面A DE 的 法 向 量n1  (r , s1,t1) . 而 该 面 上 向 量A E  (0.5,0.5,0), A D  (0,1,1) , 由 1111   0.5r  0.5s  0 11n1  A E,n1  A D 得r , s1,t1 应满足的方程组 ,(1,1,1) 为其一组解,所以可取 111s1 t1  0     1n1  (1,1,1) .设面 A B CD 的法向量 n2  (r , s2 ,t2 ) ,而该面上向量 A B (1,0,0), A D  (0,1,1) ,12111 由 此 同 理 可 得n2  (0,1,1) . 所 以 结 合 图 形 知 二 面 角E  A D  B 的 余 弦 值 为 1  | n1 n2 | 26  .3| n1 || n2 | (20) 3 2 215b5( I ) 由 题 设 条 件 知 , 点 M的 坐 标 为( a, b), 又kOM , 从 而 , 进 而 得 3310 2a 10 c2 5 5a  5b,c  a2 b2  2b,故 e  .axy51(II)由题设条件和(I)的计算结果可得,直线 AB 的方程为 1,点 N的坐标为 (b, b) ,b225b 第 6 页 共 8 页 7设 点 N关 于 直 线AB 的 对 称 点 S的 坐 标 为(x1, ), 则 线 段NS 的 中 点 T的 坐 标 为 25×1 17b  5b  b  42441 b5×17(b  1 , b  ) .又点 T在直线 AB 上,且 kNS kAB  1,从而有 解7 1  b 2 2 4244 5 5b x1  2×2 y2 得b  3,所以b  3 5,故椭圆 E的方程为 1 .45 9(21) 22Ⅰ) f (sin x)  sin2 x  asin x  b  sin x(sin x  a)  b , x  .22[ f (sin x)]’  (2sin x  a)cos x , x  .22因为  x  ,所以 cos x  0,2  2sin x  2 .①当 a  2,b R 时,函数 f (sin x) 单调递增,无极值. ②当 a  2,b R 时,函数 f (sin x) 单调递减,无极值.   ③当 2  a  2,在 ( , )内存在唯一的 x0 ,使得 2sin x0  a .2 2 22 x  x0 时,函数 f (sin x) 单调递减; x0  x  时,函数 f (sin x) 单调递增. aa2 因此, 2  a  2 ,b R 时,函数 f (sin x) 在x0 处有极小值 f (sin x0 )  f ( ) b  .2422(Ⅱ)  x  时,| f (sin x)  f0 (sin x) || (a0  a)sin x  b b0 || a  a0 |  | b b0 | ,2当当(a0  a)(b0 b)  0时,取 x  ,等号成立, 2(a0  a)(b0 b)  0时,取 x  ,等号成立,   2 2 由此可知,函数 f (sin x)  f0 (sin x) 在[ , ]上的最大值为 D | a  a0 |  | b b0 | .a2 (Ⅲ) D 1,即| a |  | b |1,此时 0  a2 1,1 b 1,从而 z  b  1 .4第 7 页 共 8 页 a2 取a  0,b 1,则| a |  | b |1,并且 z  b  1 .4a2 由此可知, z  b  满足条件 D 1的最大值为 1. 4第 8 页 共 8 页

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