2007年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）下载

第 1 页 共 18 页 绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题 纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律 不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．填空题（本大题满分 44 分）本大题共有 11 题，只要求直接填写结果， 每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． lg(4  x) 1．函数 y  的定义域是 ．x  3 2．若直线l1：2x  my 1 0 与直线l2：y  3x 1平行，则 m  ．x1 3．函数 f (x)  的反函数 f (x)  ．x 1 4．方程 9x  6  3x  7  0 的解是 ．5．已知 x，y R+ ，且 x  4y  1，则 x  y 的最大值是 ．ππ6．函数 y  sin x  sin x  的最小正周期T  ．327．在五个数字1，2，3，4，5 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的 概率是 （结果用数值表示）． x2 y2 8．以双曲线  1的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程 45第 1 页 共 18 页 第 2 页 共 18 页 是．9．对于非零实数 a，b ，以下四个命题都成立： 1①a  0 ；②(a  b)2  a2  2ab  b2 ；a③ 若| a || b |，则 a  b ；④ 若a2  ab ，则 a  b ．那么，对于非零复数 a，b ，仍然成立的命题的所有序号是 ．10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知， 是两个 相交平面，空间两条直线 l1，l2 在 上的射影是直线s1，s2 l1，l2 在 上的射影是 直线 t1，t2 ．用 1 与 s2 1 与 2 的位置关系，写出一个总能确定 1 与 面直线的充分条件： ，s，ttll2 是异 ．11．已 知 P为 圆x2  ( y 1)2  1上 任 意 一 点 （ 原 点 的 倾 斜 角 为 O除 外 ）， 直 线 OP 弧 度 ， 记d | OP | ．在 右 侧 的 坐 标 系 中 ， 画 出 以(，d ) 为 坐 标 的 点 的 轨 迹 的 大 致 图 形 为 二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A，B，C，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都 写在圆括号内），一律得零分． 12．已知 a，bR ，且 2  ai, b  i （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程 x2  px  q  0 的两个根，那么 p，q 的值分别是（　　） 第 2 页 共 18 页 第 3 页 共 18 页 Ａ． p  4， q  5 Ｃ． p  4， q  5 Ｂ． p  4， q  3 Ｄ． p  4， q  3 13．设 a，b 是非零实数，若 a  b，则下列不等式成立的是（　　） 11baabＡ． a2  b2 Ｂ． ab2  a2b Ｃ． Ｄ． ab2 a2b   14．直角坐标系 xOy 中， i，j 分别是与 x，y 轴正方向同向的单位向量．在直角三角   形ABC 中，若 AB  2i  j, AC  3i  k j ，则 k的可能值个数是（　　） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 15．设 f (x) 是定义在正整数集上的函数，且 f (x) 满足：“当 f (k)≥ k2 成立时， 总可推出 f (k 1)≥ (k 1)2 成立”．那么，下列命题总成立的是（　　） Ａ．若 f (3)≥9 成立，则当 k ≥1时，均有 f (k )≥ k2 成立 Ｂ．若 f (5)≥ 25 成立，则当 k ≤5 时，均有 f (k )≥ k2 成立 Ｃ．若 f (7)  49 成立，则当 k ≥8 时，均有 f (k )  k 2 成立 Ｄ．若 f (4)  25 成立，则当 k ≥ 4 时，均有 f (k )≥ k2 成立 三．解答题（本大题满分 90 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分 12 分） 如图，在体积为 1 的直三棱柱 ABC  A B1C1 中， 1ACB  90 , AC  BC  1． 求直线A B 与B1 BC1 1A1平面 BB1C1C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． CA第 3 页 共 18 页 第 4 页 共 18 页 17．（本题满分 14 分） π在△ABC 中 ，a，b，c 分 别 是 三 个 内 角A，B，C 的 对 边 ． 若a  2, C  ，4B2 5 5cos ，求△ABC 的面积 S ． 218．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分． 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆 瓦，年生产量的增长率为 34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 2% （如，2003 年的年生产量的增长率为 36%）． （1）求 2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装 量为 1420 兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%，到 2010 年， 要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%），这四年中太阳电池 的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 0.1%）？ 第 4 页 共 18 页 第 5 页 共 18 页 19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分． a已知函数 f (x)  x2  ( x  0，常数 aR) ．x（1）讨论函数 f (x) 的奇偶性，并说明理由； （2）若函数 f (x) x[2， ) 上为增函数，求 a 的取值范围． 在20．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分， 第 3 小题满分 9 分． 如果有穷数列 a1，a2，a3，，an （n为正整数）满足条件 a1  an ，a2  an1 ，…， an  a1 ，即 ai  ani1 （i 1，2，，n ），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数 列Cm0，Cm1，，Cmm 就是“对称数列”． （1）设 bn 是项数为 7 的“对称数列”，其中b，b2，b3，b4 是等差数列，且b  2 ，11b4  11．依次写出 bn 的每一项； 第 5 页 共 18 页 第 6 页 共 18 页 （2）设 cn 是项数为2k 1(正整数k  1)的“对称数列”，其中 ck，ck1，，c2k1 是首项为50，公差为  4 的等差数列．记 何值时， 2k1 取得最大值？并求出 2k1 的最大值； （3）对于确定的正整数 m  1，写出所有项数不超过 2m 的“对称数列”， cn 各项的和为 S2k1 ．当 k 为 SS使得1，2，22，，2m1 依次是该数列中连续的项；当 m  1500时， 求其中一个“对称数列”前 2008 项的和 S2008 ．21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分， 第 3 小题满分 8 分． x2 y2 y2 x2 我们把由半椭圆  1 ( x≥0) 与半椭圆  1 ( x ≤0) a2 b2 b2 c2 合成的曲线称作“果圆”，其中 a2  b2  c2 ，a  0 ，b  c  0 ．第 6 页 共 18 页 第 7 页 共 18 页 如图，点 F0 轴的交点． △F0 F F2 是边长为 1 的等边三角形， ，F，F2 是相应椭圆的焦点， A，A2 和 B1 ，B2 分别是“果圆” 11与 x ， y yB2 （1） 若1.求“果圆”的方程； F2 .b（2）当 A A2 B1 B2 时，求 的取值范围； xO1F0 AA2 1a.F（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦． 试研究：是否存在实数 ，使斜率为 的“果圆” 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在， 1B1 kk求出所有可能的 k值；若不存在，说明理由． 第 7 页 共 18 页 第 8 页 共 18 页 绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题 纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律 不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．填空题（本大题满分 44 分）本大题共有 11 题，只要求直接填写结果， 每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． lg(4  x) 1．函数 y  的定义域是 ．x  3 【答案】 【解析】 x x 4 且 x  3 4  x  0 x x 4 且 x  3 x 3  0 2．若直线l1：2x  my 1 0 与直线l2：y  3x 1平行，则 m  ．2【答案】 【解析】 32m123 m   31 1 x1 3．函数 f (x)  的反函数 f (x)  ．x 1 （x  1） x【答案】 x 1 xyx【解析】由 y   x  (y 1)  f 1 x  （x 1）   x 1 y 1 x 1 4．方程 9x  6  3x  7  0 的解是 【答案】 x  log3 7 ．【解析】 (3x )2  63x  7  0  3x  7或3x  1（舍去），x  log3 7 。第 8 页 共 18 页 第 9 页 共 18 页 5．已知 x，y R+ ，且 x  4y  1，则 x  y 的最大值是 ．1【答案】 16 11 x  4y 11【解析】 xy  x4y  ( )2  ，当且仅当x=4y= 时取等号. 44216 2ππ6．函数 y  sin x  sin x  的最小正周期T  ．32【答案】 π3233【解析】 y  sin(x  )sin(x  )  (sin xcos  cos xsin )cosx 1313 1 cos2x  sin xcos x  cos2 x  sin 2x  22422313 sin(2x  ) T   。427．在五个数字1，2，3，4，5 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的 概率是 （结果用数值表示）． 【答案】 0.3 C22C31 C53 3【解析】 10 x2 y2 8．以双曲线  1的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程 45是．【答案】 y2  12(x  3) x2 y2 【解析】双曲线  1的中心为O（0,0），该双曲线的左焦点为F（－3,0），则抛物线 45的顶点为（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是) y2 12(x  3) 9．对于非零实数 a，b ，以下四个命题都成立： 1①a  0 ；②(a  b)2  a2  2ab  b2 ；a③ 若| a || b |，则 a  b ；④ 若a2  ab ，则 a  b ．第 9 页 共 18 页 第 10 页 共 18 页 那么，对于非零复数 a，b ，仍然成立的命题的所有序号是 ．【答案】②④ 11【解析】 对于①：解方程 a  0 得 a i，所以非零复数 a   i 使得 a  0 ，aa①不成立；②显然成立；对于③：在复数集 C 中，|1|=|i|，则 a  b  a  b ，所以③不成 立；④显然成立。则对于任意非零复数 a,b ，上述命题仍然成立的所有序号是②④ 10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知， 是两个 相交平面，空间两条直线 l1，l2 在 上的射影是直线 s1，s2 ，l1，l2 在 上的射影是 直线 t1，t2 ．用 面直线的充分条件： 【答案】 s1 // s2 ，并且 s1 与 s2 ，t1 与 t2 的位置关系，写出一个总能确定 l1 与 l2 是异 ．t1 与 t2 相交（t1 // t2 ，并且 s1 与 s2 相交） 【解析】 作图易得“能成为l1,l2 是异面直线的充分条件”的是“ s1 // s2 ，并且 或“t1 // 2 ，并且 1 与 2 相交”。 11．已 知 为 圆x2  ( y 1)2  1上 任 意 t1 与t2 相交” tssP一 点 （ 原 点 的 倾 斜 角 为 O除 外 ）， 直 线 OP 弧 度 ， 记d | OP | ．在 右 侧 的 坐 标 系 中 ， 画 出 以(，d ) 为 坐 标 的 点 的 轨 迹 的 大 致 图 形 为 【答案】 2【解析】 OP  2cos( )  2sin, (0, ) 第 10 页 共 18 页 第 11 页 共 18 页 二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A，B，C，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都 写在圆括号内），一律得零分． 12．已知 a，bR ，且 2  ai, b  i （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程 x2  px  q  0 的两个根，那么 p，q 的值分别是（　　） Ａ． p  4， q  5 Ｃ． p  4， q  5 Ｂ． p  4， q  3 Ｄ． p  4， q  3 【答案】A 【解析】 因为 2 a i，bi（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程 x2  px  q  0 的两个根，所以 a=－1，b=2，所以实系数一元二次方程 x2  px  q  0 的两个 根是 2  i 所以 p  [(2  i)  (2 i)]  4,q  (2  i)(2 i)  5. 13．设 a，b 是非零实数，若 a  b，则下列不等式成立的是（　　） 。11babＡ． a2  b2 【答案】C Ｂ． ab2  a2b Ｃ． Ｄ． ab2 a2b aab  0 a  b 【解析】若aba2b2，A不成立；若  a2b  ab2 ,B不成立； ,所以D不成立 ,故选C。 ba12baab若a=1，b=2，则  2,  ab  14．直角坐标系 xOy 中， i，j 分别是与 x，y 轴正方向同向的单位向量．在直角三角形   ABC 中，若 AB  2i  j, AC  3i  k j ，则 k的可能值个数是（　　） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 【答案】B        【解析】解法一： BC  BA AC  2i  j  3i  k j  i  (k 1) j     （1） 若A为直角，则 AB AC  (2i  j)(3i  k j)  6  k  0  k  6 ；    （2） 若B为直角，则 AB BC  (2i  j)[i  (k 1) j] 1 k  0  k  1 ；第 11 页 共 18 页 第 12 页 共 18 页     （3） 若C为直角，则 AC  BC  (3i  k j)[i  (k 1) j]  k2  k  3  0  k  。所以 k 的可能值个数是2，选B 解法二：数形结合．如图，将 A 放在坐标原点，则 B 点坐标为(2,1)，C 点坐标为(3,k)， 所以 C 点在直线 x=3 上，由图知，只可能 A、B 为直角，C 不可能为直角．所以 k 的可能值 个数是 2，选 B 15．设 f (x) 是定义在正整数集上的函数，且 f (x) 满足：“当 f (k)≥ k2 成立时， 总可推出 f (k 1)≥ (k 1)2 成立”．那么，下列命题总成立的是（　　） Ａ．若 f (3)≥9 成立，则当 k ≥1时，均有 f (k )≥ k2 成立 Ｂ．若 f (5)≥ 25 成立，则当 k ≤5 时，均有 f (k )≥ k2 成立 Ｃ．若 f (7)  49 成立，则当 k ≥8 时，均有 f (k )  k 2 成立 Ｄ．若 f (4)  25 成立，则当 k ≥ 4 时，均有 f (k )≥ k2 成立 【答案】D 【解析】 对 A，当 k=1 或 2 时，不一定有 f k  k2 成立；对 B，应有 f k  k2 成立；     对 C，只能得出：对于任意的 k  7 ，均有 f k  k2 成立，不能得出：任意的   k  7 ，均有 f k  k2 成立；对 D， f 4  25 16,对于任意的 k  4 ，    均有 f k  k2 成立。故选 D。   三．解答题（本大题满分 90 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分 12 分） C1 B1 如图，在体积为 1 的直三棱柱 ABC  A B1C1 中， 1A1ACB  90 , AC  BC  1． 求直线A B 与1CB平面 BB1C1C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． A11【解析】法一： 由题意，可得体积V  CC1S△ABC  CC1 ACBC  CC1 1 ，22第 12 页 共 18 页 第 13 页 共 18 页 ．连接 BC1 ． AC1  B C1，AC1  CC1 ，AA  CC1  2 1111C1 B1 B AC1 平面 BB1C1C ，1A1 A BC1 是直线 A B 与平面 BB1C1C 所成的角． 11CA C1 1221，，BC1  CC1  BC  5  tan A BC1  1BC1 5A55则A BC1 ＝arctan ．即直线 A B 与平面 BB1C1C 所成角的大小为 arctan ．1155法二： 由题意，可得 体积V  CC1SABC  CC1 ACBC  CC1 1 z11，，C1 B1 22A1 CC1  2 ，如图，建立空间直角坐标系． 得点B(0，1，0) BC yC1(0，0，2) ，A (1，0，2) ． 则A B  (1，1， 2) ，11Ax平面 BB1C1C 的法向量为 n  (1，0，0) ．设直线 A B 与平面 BB1C1C 所成的角为 ，A B 与n的夹角为 ，11  66A Bn 61则cos    ， sin | cos | ,   arcsin ，  666A B n 16即直线 A B 与平面 BB1C1C 所成角的大小为 arcsin ．1617．（本题满分 14 分） π在△ABC 中 ，a，b，c 分 别 是 三 个 内 角A，B，C 的 对 边 ． 若a  2, C  ，4B2 5 5cos ，求△ABC 的面积 S ． 2453【解析】 由题意，得 cos B  ， B 为锐角，sin B  ，5第 13 页 共 18 页 第 14 页 共 18 页 3π 7 2 10 sin A  sin( π  B  C )  sin  B  ，410 1110 74587由正弦定理得 c  ，S  acsin B  2 ．22718．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分． 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆 瓦，年生产量的增长率为 34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 2% （如，2003 年的年生产量的增长率为 36%）． （1）求 2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装 量为 1420 兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%，到 2010 年， 要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%），这四年中太阳电池 的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 0.1%）？ 【解析】（1）由已知得 2003，2004，2005，2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为 36% ，38% ， 40% ， 42% ． 则 2006 年全球太阳电池的年生产量为 6701.361.381.401.42  2499.8 (兆瓦)． 1420(1 x)4 （ 2 ） 设 太 阳 电 池 的 年 安 装 量 的 平 均 增 长 率 为 x， 则 ≥95% ． 解 得 2499.8(1 42%)4 x≥0.615 ．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 61.5% ．19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分． a已知函数 f (x)  x2  ( x  0，常数 aR) ．x（1）讨论函数 f (x) 的奇偶性，并说明理由； （2）若函数 f (x) x[2， ) 上为增函数，求 【解析】（1）当 a  0 时， f (x)  x2 对任意 x( ，0) (0， ) 在a 的取值范围． ，，f (x)  (x)2  x2  f (x) ， f (x) 为偶函数． 第 14 页 共 18 页 第 15 页 共 18 页 a当取a  0 时， f (x)  x2  (a  0，x  0) ，xx  1，得 f (1)  f (1)  2  0， f (1)  f (1)  2a  0 ，f (1)   f (1)， f (1)  f (1) ， 函数 f (x) 既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设 2≤ x1  x2 ，( x1  x2 ) aaf ( x1 )  f ( x2 )  x12  x22  x1x2 ( x1  x2 )  a ，x1 x2 x1x2 要使函数 f (x)  x1  x2  0， x1x2  4 ，即 a  x1x2 ( x1  x2 ) 恒成立．  x1  x2  4  x1x2 ( x1  x2 )  16  a 的取值范围是 ( ，16] 在x[2， ) 上为增函数，必须 f ( x1 )  f ( x2 )  0恒成立． 又，．．解法二：当 a  0 时， f (x)  x2 ，显然在[2， ) 为增函数． aax当a  0时，反比例函数 在[2， ) 为增函数， f (x)  x2  在[2， ) 为增函 x数． 当a  0 时，同解法一． 20．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分， 第 3 小题满分 9 分． 如果有穷数列 a1，a2，a3，，an （n为正整数）满足条件 a1  an ，a2  an1 ，…， an  a1 ，即 ai  ani1 （i 1，2，，n ），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数 列Cm0，Cm1，，Cmm 就是“对称数列”． （1）设 b4  11．依次写出 （2）设 cn 是项数为2k 1(正整数k  1)的“对称数列”，其中 ck，ck1，，c2k1 是首项为50，公差为  4 的等差数列．记 各项的和为2k1 ．当 何值时， 2k1 取得最大值？并求出 2k1 的最大值； （3）对于确定的正整数 m  1，写出所有项数不超过 2m 的“对称数列”， bn 是项数为 7 的“对称数列”，其中b，b2，b3，b4 是等差数列，且b  2 ，11bn 的每一项； cn Sk 为 SS使得1，2，22，，2m1 依次是该数列中连续的项；当 第 15 页 共 18 页 m  1500时， 第 16 页 共 18 页 求其中一个“对称数列”前 2008 项的和 S2008 ．【解析】（1）设 bn bn （2） S2k1  c1  c2  ck1  ck  ck1  c2k1  2(ck  ck1  c2k1 )  ck 的公差为 d，则b4  b1  3d  2  3d  11，解得 d  3 ，数列 为2，5，8，11，8，5，2 ．，S2k1  4(k 13)2  4132  50 k  13时， （3）所有可能的“对称数列”是： ，当S2k1 取得最大值． S2k1 的最大值为 626． ①②③④1，2，22，，2m2，2m1，2m2，，22，2，1 ；1，2，22，，2m2，2m1，2m1，2m2，，22，2，1 ；2m1，2m2，，22，2，1，2，22，，2m2，2m1 ；2m1，2m2，，22，2，1，1，2，22，，2m2，2m1 ．对于①，当 m≥ 2008时， S2008  1 2  22  22007  22008 1 ．当1500  m≤ 2007 时， S2008  1 2  2m2  2m1  2m2  22m2009  2m 1 2m1  22m2009  2m  2m1  22m2009 1 ．对于②，当 m≥ 2008时， S2008  22008 1 1500  m≤ 2007 时， S2008  2m1  22m2008 1 对于③，当 m≥ 2008时， S2008  2m  2m2008 ．当．．当1500  m≤ 2007 时， S2008  2m  22009m  3 ．对于④，当 m≥ 2008时， S2008  2m  2m2008 ．当1500  m≤ 2007 时， S2008  2m  22008m  2 ．21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分， 第 16 页 共 18 页 第 17 页 共 18 页 第 3 小题满分 8 分． x2 y2 y2 x2 我们把由半椭圆  1 ( x≥0) 与半椭圆  1 ( x ≤0) a2 b2 b2 c2 合成的曲线称作“果圆”，其中 a2  b2  c2 如图，点 F0 2 是相应椭圆的焦点， 轴的交点． △F0 F F2 是边长为 1 的等边三角形， ，a  0 ，b  c  0 ．，F，FA，A2 和 B1 ，B2 分别是“果圆” 11与 x ， y yB2 （2） 若1.求“果圆”的方程； F2 .b（2）当 A A2 B1 B2 时，求 的取值范围； xO1F0 AA2 1a.F（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦． 试研究：是否存在实数 ，使斜率为 的“果圆” 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在， 求出所有可能的 值；若不存在，说明理由． 【解析】（1） 1B1 kkkF0 (c，0)， F 0， b2  c2 ， F2 0，b2  c2 ，y1B2 F0 F2  b2  c2  c2  b 1， F F 2 b2  c2 1 ，12.F2 37于是 c2  ， a2  b2  c2  ，所求“果圆”方程为 .44F0 OxMAA2 1474.×2  y2 1 (x≥0) ，y2  x2 1 (x ≤0) F31（2）由题意，得 a  c  2b ，即 a2  b2  2b  a ．B1 ba4 (2b)2  b2  c2  a2 ， a2  b2  (2b  a)2 ，得 ．5b2 a2 12ba2 4 又b2  c2  a2  b2 ,  ．，5．2x2 y2 y2 x2 （3）设“果圆” 记平行弦的斜率为 k  0 时，直线 y  t ( b≤t ≤b) 与半椭圆 C的方程为 1 (x≥0) ，1 (x ≤0) ． a2 b2 b2 c2 k．x2 y2 当1 (x≥0) 的交点是 a2 b2 第 17 页 共 18 页 第 18 页 共 18 页 t2  a 1 ，t  ，与半椭圆 y2 x2 t2 P1 (x ≤0) 的交点是 Q  c 1 ，t  ．．b2 b2 c2 b2 a  c 2t2 b2 x2 y2 b2 x   1 ,P，Q 的中点 M( x，y) 满足 得 1 2a  c 2y  t， 2a  c 2a  c  2b a c  2b a  2b ，  b2   0 ．22综上所述，当 k  0 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上． x2 y2 当k  0 时，以 k为斜率过 B1 的直线 l与半椭圆 1 (x≥0) a2 b2 2ka2b k2a2b  b3 的交点是 ，．k2a2  b2 k2a2  b2 b2 ka2 由此，在直线 l右侧，以 k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 y   x上， 即不在某一椭圆上． 当k  0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上． 第 18 页 共 18 页