2007年上海高考数学真题(文科)试卷(word解析版)下载

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  • 最近更新2022年10月14日



第 1 页 共 17 页 绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 数学试卷(文史类) (满分 150 分,考试时间 120 分钟) 考生注意 1.本场考试时间 120分钟,试卷共 4页,满分 150分,答题纸共 2页. 2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一.填空题(本大题满分 44 分)本大题共有 11 题,只要求直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 11.方程3x1 的解是 .911 2.函数 f (x)  的反函数 f (x)  .x 1 3.直线 4x  y 1  0 的倾斜角  .π4.函数 y  sec x  cos x  的最小正周期T  .2×2 y2 5.以双曲线  1的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点 45的抛物线方程是 .  6.若向量 a,b 的夹角为 60 ,a  b 1,则 a a  b  .C1 CB1 B7.如 图 , 在 直 三 棱 柱ABC  A B1C1 中 ,ACB  90 ,A11AA  2 ,AC  BC  1,则异面直线 A B 与 AC 所成角 11A第 1 页 共 17 页 第 2 页 共 17 页 的大小是 (结果用反三角函数值表示). 8.某工程由 A,B,C,D 四道工序组成,完成它们需用时间依次为 2,5,x,4 天.四道工 序的先后顺序及相互关系是: A,B 可以同时开工; 完成后, 可以开工;B,C 完成后, 可以开工.若该工程总时数为9 天,则完成工序 需要的天数最大 是  . ACDCx9.在五个数字1,2,3,4,5 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 (结果用数值表示). 10.对于非零实数 a,b ,以下四个命题都成立: 1①a  0 ;②(a  b)2  a2  2ab  b2 ④ 若 a2  ab ,则 a  b 那么,对于非零复数 a,b ,仍然成立的命题的所有序号是 ;a③ 若| a || b |,则 a  b ;..11.如图, A,B 是直线 l上的两点,且 AB  2.两个半径 相等的动圆分别与 共点,则圆弧 AC 取值范围是 l相切于 A,B 点, 是这两个圆的公 CC,CB 与线段 AB 围成图形面积 S 的 lBA.二.选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A,B,C,D 的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内,选对得 4 分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都 写在圆括号内),一律得零分. 12.已知 a,bR ,且 2  ai, b  3i (i 是虚数单位)是一个实系数一元二次方程 的两个根,那么 a,b 的值分别是(  ) A. a  3, b  2 C. a  3, b  2 B. a  3, b  2 D. a  3, b  2 第 2 页 共 17 页 第 3 页 共 17 页 13.圆 x2  y2  2x 1  0 关于直线 2x  y  3  0 对称的圆的方程是(  ) 1212A. ( x  3)2  ( y  2)2  B. ( x  3)2  ( y  2)2  C. ( x  3)2  ( y  2)2  2 D. ( x  3)2  ( y  2)2  2 12 , 1≤ n≤1000, n 14.数列 an 中, a  则数列 an 的极限值(  ) nn2 ,n≥1001, 2n  2n A.等于 0B.等于 1C.等于 0 或1 D.不存在 15.设 f (x) 是定义在正整数集上的函数,且 f (x) 满足:“当 f (k)≥ k2 成立时, 总可推出 f (k 1)≥ (k 1)2 成立”. 那么,下列命题总成立的是(  ) A.若 f (1)  1成立,则 f (10)  100 成立 B.若 f (2)  4 成立,则 f (1)≥1成立 C.若 f (3)≥9 成立,则当 k ≥1时,均有 f (k )≥ k2 成立 D.若 f (4)≥ 25成立,则当 k ≥ 4 时,均有 f (k )≥ k2 成立 三.解答题(本大题满分 90 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 16.(本题满分 12 分) 如图,在正四棱锥 P  ABCD 中, PA  2,直线 PA 与平面 ABCD 所成的角为 60 ,P求正四棱锥 P  ABCD 的体积 V.DCAB第 3 页 共 17 页 第 4 页 共 17 页 17.(本题满分 14 分) π在△ABC 中, a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边.若 a  2, C  ,4B2 5 5cos ,求△ABC 的面积 S . 218.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快.2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦,年生产量的增长率为 34%. 以后四年中,年生产量的增长率逐年递增2% (如,2003 年的年生产量的增长率为 36%). (1)求 2006 年全球太阳电池的年生产量(结果精确到 0.1 兆瓦); (2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006 年的实际 安装量为 1420 兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%,到 2010 年 ,要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的 95%),这四年中太 阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到 0.1%)? 第 4 页 共 17 页 第 5 页 共 17 页 19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. a已知函数 f (x)  x2  ( x  0,常数 aR) .x(1)当 a  2 时,解不等式 f (x)  f (x 1)  2x 1 (2)讨论函数 f (x) 的奇偶性,并说明理由. ;20.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 9 分. 如果有穷数列 a1,a2,a3,,am (m为正整数)满足条件 a1  am ,a2  am1 ,…, am  a1 ,即ai  ami1 (i 1,2,,m ),我们称其为“对称数列”. 例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”. ( 1 ) 设是 7 项 的 “对 称 数 列 ”, 其 中 b,b2,b3,b4 是 等 差 数 列 , 且 b  2 bn ,11b4  11 .依次写出 (2)设 49 项的“对称数列”,其中 c25,c26,,c49 是首项为 公比为 的等比数列,求各项的和 (3)设 bn 的每一项; cn 是1, 2cn S ; dn 是100项的“对称数列”,其中 d51,d52,,d100 是首项为 2,第 5 页 共 17 页 第 6 页 共 17 页 公差为 3的等差数列.求 dn 前n项的和 Sn (n 1,2,,100 ) .21.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分, 第 3 小题满分 9 分. x2 y2 y2 x2 我们把由半椭圆  1 ( x≥0) 与半椭圆  1 ( x ≤0) 合成的曲线 a2 b2 b2 c2 称作“果圆”,其中 a2  b2  c2 如图,设点 F0 2 是相应椭圆的焦点, 轴的交点, 是线段A A2 的中点. △F0 F F2 是边长为 1 的等边三角形, ,a  0 ,b  c  0 .,F,FA,A2 和 B1 ,B2 是“果圆” 11y与x,yM1B2 (1) 若.1F2 ..求该“果圆”的方程; OxMAA2 F0 1.y2 x2 F1(2)设 P是“果圆”的半椭圆  1 b2 c2 B1 ( x ≤0) 上任意一点.求证:当 PM 取得 最小值时, 在点B,B2 或 1 处; PA1(2) 若P是“果圆”上任意一点,求 PM 取得最小值时点 P的横坐标. 第 6 页 共 17 页 第 7 页 共 17 页 第 7 页 共 17 页 第 8 页 共 17 页 绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 数学试卷(文史类) (满分 150 分,考试时间 120 分钟) 考生注意 1.本场考试时间 120分钟,试卷共 4页,满分 150分,答题纸共 2页. 2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一.填空题(本大题满分 44 分)本大题共有 11 题,只要求直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 11.方程3x1 的解是 .9【答案】 x  1 1【解析】3x1  32  x 1 2  x  1 911 2.函数 f (x)  x 1 的反函数 f (x)  .x 1 【答案】 (x  0) x1y 1 yx 1 x【解析】由 y   x  (y  0)  f 1 x  (x  0)   x 1 3.直线 4x  y 1  0 的倾斜角  【答案】 π  arctan 4 .2【解析】 tan  4, ( , )   π  arctan 4 .π4.函数 y  sec x  cos x  的最小正周期T  .2【答案】 π1【解析】 y  sec xcos x  (sin x)  tan x  T   .2cos x x2 y2 5.以双曲线  1的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点 45第 8 页 共 17 页 第 9 页 共 17 页 的抛物线方程是 .【答案】 y2 12x x2 y2 【解析】双曲线  1的中心为O(0,0),该双曲线的右焦点为F(3,0), 45则抛物线的顶点为(0,0),焦点为(3,0),所以p=6,所以抛物线方程是) y2 12x 。  6.若向量 a,b 的夹角为 60 ,a  b 1,则 a a  b  .1【答案】 22   2   1212【解析】 a a  b  a  a b  a  a  b cos60 1 。7.如 图 , 在 直 三 棱 柱ABC  A B1C1 中 ,ACB  90 ,C1 CB1 B1A1AA  2 ,AC  BC  1,则异面直线 A B 与AC 所成角 11的大小是 (结果用反三角函数值表示). 6A【答案】 arccos 6【解析】 AC1  AC,异面直线 A B 与AC 所成角为 BAC1 ,易求 A B  6 ,1111AC1 1661cosBAC1   BAC1  arccos 。11A B 66618.某工程由 A,B,C,D 四道工序组成,完成它们需用时间依次为 2,5,x,4 天.四道工 序的先后顺序及相互关系是: A,B 可以同时开工; 完成后, 可以开工;B,C 可以开工.若该工程总时数为 9 天,则完成工序 需要的天数最大 AC完成后, 是  . DCx【答案】3 【解析】因为 A完成后,C 才可以开工,C 完成后, D 才可以开工,完成 A、C、D 需用时间依次为 2,x,4 天,且 A,B 可以同时开工,该工程总时数为 9 天, 。2  xmax  4  9  xmax  3 第 9 页 共 17 页 第 10 页 共 17 页 9.在五个数字1,2,3,4,5 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 (结果用数值表示). 【答案】 0.3 【解析】剩下两个数字都是奇数,取出的三个数为两偶一奇, C22C31 C53 3所以剩下两个数字都是奇数的概率是 P   0.3 。10 10.对于非零实数 a,b ,以下四个命题都成立: 1①a  0 ;②(a  b)2  a2  2ab  b2 ;a③ 若| a || b |,则 a  b ;④ 若a2  ab ,则 a  b .那么,对于非零复数 a,b ,仍然成立的命题的所有序号是 【答案】②④ .11【解析】 对于①:解方程 a  0 得 a i,所以非零复数 a   i 使得 a  0 ,aa①不成立;②显然成立;对于③:在复数集 C 中,|1|=|i|,则 a  b a  b ,所以③不成立;④显然成立。则对于任意非零复数 a,b ,上述命题仍然成立的 所有序号是②④ 11.如图, A,B 是直线 l上的两点,且 AB  2.两个半径 相等的动圆分别与 共点,则圆弧 AC 取值范围是 l相切于 A,B 点, 是这两个圆的公 CC,CB 与线段 AB 围成图形面积 S 的 lBA.π【答案】 0,2  2O1 ACO2 B【解析】如图,当 O 与O2 外切于点 C 时, S 最大, 1此时,两圆半径为 1, S等于矩形 ABO2O1 的面积 l减去两扇形面积, 12Smax  21 2(  12 )  2  ,4随着圆半径的变化,C 可以向直线l 靠近, 2当 C 到直线 l的距离 d  0时, S  0,S (0,2  ] 。第 10 页 共 17 页 第 11 页 共 17 页 二.选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A,B,C,D 的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内,选对得 4 分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都 写在圆括号内),一律得零分. 12.已知 a,bR ,且 2  ai, b  3i (i 是虚数单位)是一个实系数一元二次方程 的两个根,那么 a,b 的值分别是(  ) A. a  3, b  2 C. a  3, b  2 B. a  3, b  2 D. a  3, b  2 【答案】A 【解析】 因为 2 a i,bi( i 是虚数单位)是实系数一元二次方程的两个根, 所以 2 a i 与 bi 互为共轭复数,则 a=-3,b=2。选 A。 13.圆 x2  y2  2x 1  0 关于直线 2x  y  3  0 对称的圆的方程是(  ) 1212A. ( x  3)2  ( y  2)2  B. ( x  3)2  ( y  2)2  C. ( x  3)2  ( y  2)2  2 D. ( x  3)2  ( y  2)2  2 【答案】C 【解析】圆 x2  y2  2x 1 0  (x 1)2  y2  2 ,圆心(1,0),半径 2,关于直线 2x  y  3  0 对称的圆半径不变,排除 A、B,两圆圆心连线段的中点在直线 2x  y  3  0 上,C 中圆 ( x  3)2  ( y  2)2  2 的圆心为(-3,2),验证适合,故选 C。 12 , 1≤ n≤1000, n 14.数列 an 中, a  则数列 an 的极限值(  ) nn2 ,n≥1001, 2n  2n A.等于 【答案】B 0B.等于 1C.等于 0 或1 D.不存在 n2 1【解析】 lim an  lim  lim 1,选 B。 n n2  2n n n 21 n第 11 页 共 17 页 第 12 页 共 17 页 15.设 f (x) 是定义在正整数集上的函数,且 f (x) 满足:“当 f (k)≥ k2 成立时, 总可推出 f (k 1)≥ (k 1)2 成立”. 那么,下列命题总成立的是(  ) A.若 f (1)  1成立,则 f (10)  100 成立 B.若 f (2)  4 成立,则 f (1)≥1成立 C.若 f (3)≥9 成立,则当 k ≥1时,均有 f (k )≥ k2 成立 D.若 f (4)≥ 25成立,则当 k ≥ 4 时,均有 f (k )≥ k2 成立 【答案】D 【解析】 对 A,因为“原命题成立,否命题不一定成立”,所以若 f (1)  1成立,则不一 定若f (10)  100 成立;对 B,因为“原命题成立,则逆否命题一定成立”,所以只能得出: f (2)  4 成立,则 f (1) 1成立,不能得出:.若 f (2)  4 成立,则 f (1)≥1成立;对 C,当 k=1 或 2 时,不一定有 f k  k2 成立;对 D, f 4  25 16,对于任意的 k  4 ,    均有 f k  k2 成立。故选 D。   三.解答题(本大题满分 90 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 16.(本题满分 12 分) 如图,在正四棱锥 P  ABCD 中, PA  2,直线 PA 与平面 ABCD 所成的角为 60 ,P求正四棱锥 P  ABCD 的体积 V . DC【解析】作 PO 平面 ABCD ,垂足为 是正方形 ABCD 的中心, PAO 是直线 PA 与平面 ABCD 所成的角. 60 O .连接 AO , ABOPPAO =,PA  2 . PO  3 .DCAO  1 ,AB  2 ,OAB第 12 页 共 17 页 第 13 页 共 17 页 1132 3  V  POSABCD  3  2  .3317.(本题满分 14 分) π在△ABC 中, a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边.若 a  2, C  ,4B2 5 5cos ,求△ABC 的面积 S . 2453【解析】由题意,得 cos B  , B 为锐角,sin B  ,53π 7 2 10 sin A  sin( π  B  C )  sin  B  ,410 1110 74587由正弦定理得 c  ,S  acsin B  2 .22718.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快.2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦,年生产量的增长率为 34%. 以后四年中,年生产量的增长率逐年递增2% (如,2003 年的年生产量的增长率为 36%). (1)求 2006 年全球太阳电池的年生产量(结果精确到 0.1 兆瓦); (2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006 年的实际 安装量为 1420 兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%,到 2010 年 ,要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的 95%),这四年中太 阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到 0.1%)? 【解析】(1) 由已知得2003,2004,2005,2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为 36% 6701.361.381.401.42  2499.8 (兆瓦). (2)设太阳电池的年安装量的平均增长率为 ,则 解得 x≥0.615 ,38% ,40% ,42% .则 2006 年全球太阳电池的年生产量为 1420(1 x)4 x≥95% . 2499.8(1 42%)4 .因此,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 61.5% .第 13 页 共 17 页 第 14 页 共 17 页 19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. a已知函数 f (x)  x2  ( x  0,常数 aR) .x(1)当 a  2 时,解不等式 f (x)  f (x 1)  2x 1 (2)讨论函数 f (x) 的奇偶性,并说明理由. ;2222【解析】(1) x2  (x 1)2   2x 1 , 0 ,xx 1 xx 1 x(x 1)  0 . 原不等式的解为 0  x  1 .(2)当 a  0 时, f (x)  x2 ,对任意 x( ,0)  (0, ) ,f (x)  (x)2  x2  f (x) , f (x) 为偶函数. a当取a  0 时, f (x)  x2  (a  0,x  0) ,xx  1,得 f (1)  f (1)  2  0, f (1)  f (1)  2a  0 f (1)   f (1), f (1)  f (1) ,,函数 f (x) 既不是奇函数,也不是偶函数. 20.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 9 分. 如果有穷数列 a1,a2,a3,,am (m为正整数)满足条件 a1  am ,a2  am1 ,…, am  a1 ,即ai  ami1 (i 1,2,,m ),我们称其为“对称数列”. 例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”. ( 1 ) 设是 7 项 的 “对 称 数 列 ”, 其 中 b,b2,b3,b4 是 等 差 数 列 , 且 b  2 bn ,11b4  11 .第 14 页 共 17 页 第 15 页 共 17 页 依次写出 (2)设 49 项的“对称数列”,其中 c25,c26,,c49 是首项为 公比为 的等比数列,求各项的和 (3)设 100项的“对称数列”,其中 d51,d52,,d100 是首项为 公差为 项的和 Sn (n 1,2,,100 ) 【解析】(1)设数列 数列 bn 的每一项; cn 是1, 2cn S ; dn 是2 , 3的等差数列.求 的公差为 2,5,8,11,8,5,2 dn 前n.bn d,则b4  b1  3d  2  3d  11,解得 d  3 ,bn 为.(2) S  c1  c2  c49  2(c25  c26  c49 )  c25  2 1 2  22  224 1  2 225 1 1  226  3 67108861. (3) d51  2, d100  2  3 (50 1) 149 .由题意得 d1,d2,,d50 是首项为149,公差为  3的等差数列. n(n 1) 3301 2当n≤50 时, Sn  d1  d2  dn  149n  (3)  n2  n . 22当51≤ n≤100 时, Sn  d1  d2  dn  S50  d51  d52  dn   32299 2(n  50)(n  51)  3775  2(n  50)  3 n2  n  7500 23301  n2  n, 1≤ n≤50, 22综上所述, S  n3299 2n2  n  7500, 51≤ n≤100.  2 21.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分, 第 3 小题满分 9 分. x2 y2 y2 x2 我们把由半椭圆  1 ( x≥0) 与半椭圆  1 ( x ≤0) 合成的曲线 a2 b2 b2 c2 称作“果圆”,其中 a2  b2  c2 ,a  0 ,b  c  0 .第 15 页 共 17 页 第 16 页 共 17 页 如图,设点 F0 轴的交点, △F0 F F2 是边长为 1 的等边三角形, ,F,F2 是相应椭圆的焦点, A,A2 和 B1 ,B2 是“果圆” 11y与x,yM 是线段 A A2 的中点. 1B2 (3) 若.1F2 ..求该“果圆”的方程; OxMAA2 F0 1.y2 x2 F1(2)设 P是“果圆”的半椭圆  1 b2 c2 B1 ( x ≤0) 上任意一点.求证:当 PM 取得 最小值时, 在点B,B2 或 1 处; (4) 是“果圆”上任意一点,求PM 取得最小值时点 【解析】(1) PA1若PP的横坐标. F0 (c,0), F 0, b2  c2 , F2 0, b2  c2 ,1374F0 F2  b2  c2  c2  b 1, F F 2 b2  c2 1,于是 c2  , a2  b2  c2  ,12444所求“果圆”方程为 x2  y2 1 (x≥0) ,y2  x2 1 (x ≤0) .73(2)设 P( x,y) ,则 2b2 c2 (a  c)2 a  c 2| PM |2  x   y2  1 x2  (a  c)x   b2,  c ≤ x ≤0 ,4b2 c2  1  0 , |PM |2 的最小值只能在 x  0 或x  c 处取到. 即当 PM 取得最小值时, P在点 B,B2 或 A1 处. 1×2 y2 (3) | A M ||MA2 | ,且 B1 和 B2 同时位于“果圆”的半椭圆 1 (x≥0) 1a2 b2 y2 x2 和半椭圆 1 (x ≤0) 上,所以,由(2)知,只需研究 P 位于“果圆”的半椭圆 b2 c2 x2 y2 1(x≥0) 上的情形即可. a2 b2 22c2 a2 a (a  c) (a  c)2 a2 (a  c)2 2 a  c 2| PM |2  x   y2 x   b2  .2c2 4c2 4第 16 页 共 17 页 第 17 页 共 17 页 a2 (a  c) 2c2 a2 (a  c) 2c2 当Px  ≤ a ,即 a ≤ 2c 时,|PM |2 的最小值在 x  时取到, a2 (a  c) 此时 的横坐标是 .2c2 a2 (a  c) 当x   a ,即 a  2c时,由于|PM |2 的横坐标是 综上所述,若 a ≤ 2c ,当|PM | 取得最小值时,点 在x  a 时是递减的,|PM |2 的最小 2c2 值在 x  a 时取到,此时 Pa . a2 (a  c) P的横坐标是 ;2c2 若a  2c,当|PM | 取得最小值时,点 P的横坐标是 a或 c .第 17 页 共 17 页

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