2006年上海高考数学真题(理科)试卷(word解析版)下载

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第 1 页 共 14 页 绝密★启用前 2006年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 数学试卷(理工农医类) (满分 150 分,考试时间 120 分钟) 考生注意 1.本场考试时间 120分钟,试卷共 4页,满分 150分,答题纸共 2页. 2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码 贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷 上作答一律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一.填空题(本大题满分 48 分) 1.已知集合 A= {-1,3,2 m-1 },集合 B= {3, m2 }.若 B A,则实数 m =.2.已知圆 x2 -4 x-4+ y2 =0 的圆心是点 P,则点 P 到直线 x-y -1=0 的距离 是.3.若函数 f (x) =ax (=a>0,且 a≠1)的反函数的图像过点(2,-1),则 a=.Cn3 4.计算: lim .n n3 1 5 . 若 复 数 z同 时 满 足 z-z= 2 i,z=iz (i为 虚 数 单 位 ), 则 z=.126 . 如 果cos =, 且  是 第 四 象 限 的 角 , 那 么cos(  ) 5.=7.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3,0),且长轴长是短轴长的 2 倍, 则该椭圆的标准方程是 .35 68.在极坐标系中,O 是极点,设点 A(4, ),B(5,- ),则△OAB 的面 积是 .9.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷 1 本,共 8 本.将它 们任意地排成一排,左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是 (结 果用分数表示). 第 1 页 共 14 页 第 2 页 共 14 页 10.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面 对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正 交线面对”的个数是 11.若曲线 y2 =| 件是 .x|+1 与直线 y=kx +b没有公共点,则 k、b分别应满足的条 .12.三个同学对问题“关于 立,求实数 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”. 乙说:“把不等式变形为左边含变量 的函数,右边仅含常数,求函数的最值”. 丙说:“把不等式两边看成关于 的函数,作出函数图像”. 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即 x的不等式 x2 +25+| x3 -5 x2 |≥ ax 在[1,12]上恒成 axxa的取值范围 是.二.选择题(本大题满分 16 分) 13.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是 [答]( ) (A) AB  (C) AB    AB   AC  CB DC=DC ;(B) AD  AD +=; AB-=BD ;(D) AD +=0.14.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同 一平面上”的 [答] ()(A)充分非必要条件;(B)必要非充分条件;(C)充要条件;(D)非充分非必要 条件. 15.若关于 [答]( (A)2∈M,0∈M; (B)2 0∈M. x的不等式 (1 k 2 )x )≤k 4 +4 的解集是 M,则对任意实常数 M,0 M; (C)2∈M,0 M; (D)2 2 相交于点 O,对于平面上任意一点 M,若 k,总有 M, 16.如图,平面中两条直线 分别是 M 到直线 1 和 2 的距离,则称有序非负实数对( 离坐标”.已知常数 ≥0, ≥0,给出下列命题: ①若 =0,则“距离坐标”为(0,0)的点 有且仅有 1 个; ②若 pq =0,且 )的点有且仅有 2 个; l1 和 lp、qllp,q)是点 M 的“距 l1 pqp=qM( p , q ) l2 p+q ≠0,则“距离坐标”为 O(p,q③若 pq ≠0,则“距离坐标”为( 上述命题中,正确命题的个数是 p,q)的点有且仅有 4 个. [答]( )(A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 三.解答题(本大题满分 86 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的 步骤. 17.(本题满分 12 分) 第 2 页 共 14 页 第 3 页 共 14 页 44求函数 [解] y=2 cos(x  )cos(x  ) +3sin 2x 的值域和最小正周期. 18.(本题满分 12 分) 如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔 船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30  ,相 距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援 (角度精确到 1  )? [解] 北B•A20 10 •C 19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60  ,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60  . P(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小(结果用反 三角函数值表示). DEB[解](1) ACO第 3 页 共 14 页 第 4 页 共 14 页 (2) 20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 在平面直角坐标系 xOy中,直线 l与抛物线 y2 =2 x 相交于 A、B 两点.  (1)求证:“如果直线 (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. l过点 T(3,0),那么OA OB =3”是真命题; [解](1) (2) 21.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 6 分) 已知有穷数列 {an }共有 2 k项(整数 k≥2),首项 a1 =2.设该数列的前 n项和为 Sn ,且 an1 =(a 1)Sn +2( n=1,2,┅,2 k-1),其中常数 a>1. (1)求证:数列 {an }是等比数列; 21(2)若 ),求数列 (3)若(2)中的数列 a=2 2k1 ,数列 的通项公式; 满足不等式|b1 {bn }满足bn =log2 (a1a2  an ) (n=1,2,┅,2 nk{ bn } 32323{bn }-|+|b2 -|+┅+|b2k1 -|+| 2第 4 页 共 14 页 第 5 页 共 14 页 32b2k -|≤4,求 k的值. [解](1) (2) (3) 22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 9 分) a已知函数 y=x+有如下性质:如果常数 a >0,那么该函数在 ( 0, a ] x上是减函数,在 [a,+∞ )上是增函数. >0)的值域为 (常数 >0)在定义域内的单调性,并说明理由; 2b (1)如果函数 (2)研究函数 yy==x+(x[6,+∞ ),求 b的值; xcx2 x2 +c第 5 页 共 14 页 第 6 页 共 14 页 axa(3)对函数 y=x+和y=x2 +(常数 a >0)作出推广,使它们都是你 x2 所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明), 111并求函数 F(x) =(x2  )n +( x)n (n是正整数)在区间[ ,2]上的最 x2 大值和最小值(可利用你的研究结论). x2[解](1) (2) (3) 第 6 页 共 14 页 第 7 页 共 14 页 上海数学(理工农医类)参考答案 2006 年 高 考 上海 数学试卷(理) 一.填空题 1. 解:由 m2 2m1m 1,经检验, m 1为所求; 2 . 解: 由 已 知 得 圆 心 为 :P(2,0), 由 点 到 直 线 距 离 公 式 得 : |201| 11 22d  ;123. 解:由互为反函数关系知, f (x) 过点 (1,2),代入得: a1 2a  ;4.解:321  Cn3 n3 3n2 2n (n3 1)3! 16n2 n(n1)(n2) (n3 1)3! nlim n n3 1  lim  lim  lim ;n (1 )3! n n 1n3 2i 5. 解:已知 Z iZ 2i  Z  6. 解:已知cos(  )sin ( 1cos2 ) i 1 ;1i 22 6 5;7. b2 4 y2 4a 2b,c 2 3 x2 16 解:已知  a2 16 1为所求; a2 b2 c2 F(2 3,0) 8. 解:如图△OAB 中, 35 5 6OA  4,OB 5,AOB  2 ( ( ))  6125  SAOB  45sin 5 (平方单位); 69. 解:分为二步完成: 1) 两套中任取一套,再作全排列,有 C21P4 种方法; 2) 剩下的一套全排列,有 P4 种方法; C21P4P 1所以,所求概率为: 4  ;P35 810.解:正方体中,一个面有四条棱与之垂直,六个面,共构成 24 个“正交线面 对”;而正方 体的六个对角截面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成 12 个“正交线 面对”,所以共有 36 个“正交线面对”; 11.解:作出函数 y2 | x|1的图象, 如右图所示: 所以, k 0,b(1,1) ;第 7 页 共 14 页 第 8 页 共 14 页 12.解:由 x2 +25+| x3 -5 x2 |≥ ax,1 x 12a  x | x2 5x| ,25 x25 25 而x 2 x 10 ,等号当且仅当 x 5[1,12]时成立; | x2 5x|0 ,等号当且仅当 x 5[1,12]时成立; x x 且25 所以,a[x |x2 5x|]min 10,等号当且仅当 x 5[1,12]时成立;故 xa(,10] ;二.选择题(本大题满分 16 分) 13. 解:由向量定义易得, (C)选项错误; AB AD  DB 14.解: 充分性成立: “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况:    DC;AB1)第四点在共线三点所在的直线上,可推出“这四个点在同一平面 2)第四点不在共线三点所在的直线上,可推出“这四点在唯一的一 上”; 个平面内”; 必要性不成立:“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或 平行直线上”; 故选(A) 15.解:选(A) 方法 1:代入判断法,将 x 2, x 0 分别代入不等式中,判断关于 k的不等式 解集是否为 R;方法 2:求出不等式的解集; 16.解:选(D) ① 正确,此点为点 一个非零,从而可知有且仅有 2 个点,这两点在其中一条直线上,且到另一直线的 距离为 (或); ③正确,四个交点为与直线l1相距为 的两条平行线和与直 l2 相距为 的两条平行线的交点; O ② 正确,注意到 p,q 为常数,由 p,q 中必有一个为零,另 qpp线q三.解答题(本大题满分 86 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的 步骤. 17.(本题满分 12 分) 44求函数 y 2cos(x )cos(x ) 3sin2x 的值域和最小正周期. 44[解] y 2cos(x )cos(x ) 3sin2x 第 8 页 共 14 页 第 9 页 共 14 页 12122( cos2 x sin2 x) 3sin2x cos2x 3sin2x 2sin(2x ) 644∴ 函数 y 2cos(x )cos(x ) 3sin2x 的值域是[2,2],最小正周期 是;18.(本题满分 12 分) 如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔 船遇险等待 营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30  ,相距 10 海 里 C 处的乙 船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1)? [解] 连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102-2×20×10COS120°=700. 于是,BC=10 7.sin ACB sin120 37∵,∴sin∠ACB= ,20 10 7 ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东 71°方向沿直线前往 B 处救援. 19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60  ,对角线 AC 与 BD 相交 于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60  . P(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小(结果用 DEB反三角函数值表示). AC[解](1)在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥平面 ABCD,得 ∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∠PBO=60°. 在 Rt△AOB 中 BO=ABsin30°=1, 由 PO⊥BO, O于是,PO=BOtg60°= 3,而底面菱形的面积为 2 3 . 第 9 页 共 14 页 第 10 页 共 14 页 1∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V= ×2 3 × 3 =2. 3(2)解法一:以 O 为坐标原点,射线 OB、OC、 OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系. 在 Rt△AOB 中 OA= D、P 的坐标分别是 A(0,- B (1,0,0),D (-1,0,0), P(0,0, 3 ,于是,点 A、B、 3,0), 3). 1333E 是 PB 的中点,则 E( ,0, )于是 DE =( ,0, ), AP =(0, 3 , 22223). 3222设DE与 AP 的夹角为 θ,有 cosθ= ,θ=arccos ,449434 3  3 2∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos ;4解法二:取 AB 的中点 F,连接 EF、DF. 由 E 是 PB 的中点,得 EF∥PA, ∴∠FED 是异面直线 DE 与 PA 所成 角(或它的补角), 在 Rt△AOB 中 AO=ABcos30°= 3 =OP, 于是, 在等腰 Rt△POA 中, 6PA= 6,则 EF= .2在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF= 3,12DE 6EF 243cos∠FED= =42∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos .420.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 第 10 页 共 14 页 第 11 页 共 14 页 在平面直角坐标系 xOy中,直线 过点 T(3,0),那么OA OB =3”是真命题; l x 相交于 A、B 两点. 与抛物线 y2 =2  (1)求证:“如果直线 l(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理 由. [解](1)设过点 T(3,0)的直线 当直线 的钭率不存在时,直线 l交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). 的方程为 x=3,此时,直线 与抛物线相交 lll于点 A(3, 6)、B(3,- 6). ∴OAOB =3; 当直线 的钭率存在时,设直线 ll的方程为 y k(x3) ,其中 k 0 ,y2 2x 由得ky2 2y6k 0 y1 y2 6 y k(x3) 121222又 ∵ x1  y1 , x2  y2 ,  14∴OAOB  x1x2  y1 y2  ( y1 y2 )2  y1 y2 3 ,综上所述,命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么OAOB =3”是真命题; (2)逆命题是:设直线 l交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果 OAOB =3,那么该 直线过点 T(3,0).该命题是假命题.   1例如:取抛物线上的点 A(2,2),B( ,1),此时OAOB =3, 223直线 AB 的方程为: y  (x1) ,而 T(3,0)不在直线 AB 上; 说明:由抛物线 y2=2x 上的点 A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足 OAOB =3,可得 y1y2=-6, 或 y1y2=2,如果 y1y2=-6,可证得直线 AB 过点(3,0);如果 y1y2=2, AB 过点(-1,0),而不过点(3,0). 可证得直线 21.(本题满分 16 分,本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题 满分 6 分) 已知有穷数列 {an }共有 2 k项(整数 k≥2),首项 a1 =2.设该数列的前 n项和为 n ,且 an1 S=(a 1)Sn +2( n=1,2,┅,2 k-1),其中常数 a>第 11 页 共 14 页 第 12 页 共 14 页 1. (1)求证:数列 {an }是等比数列; 21(2)若 a=2 2k1 ,数列 {bn }满足bn =log2 (a1a2  an ) (n =1,2, n┅,2 k), 求数列 {bn }的通项公式; 3232(3)若(2)中的数列 {bn }满足不等式|b1 -|+|b2 -|+┅+|b2k1 -323|+|b2k -|2≤4,求 k的值. a2 (1) [证明] 当 n=1 时,a2=2a,则 =a; a1 2≤n≤2k-1 时, an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2, an1 an+1-an=(a-1) an, ∴=a, ∴数列{an}是等比数列. an n(n1) 2n(n1) 2k1 n (2) 解:由(1) 得 an=2a n1 , ∴a1a2…an=2 a=2 a=2 ,12(n1) nn1n(n 1) 2k 1 n 1 2k 1 bn= [n  ]  1(n=1,2,…,2k). n313(3)设 bn≤ ,解得 n≤k+ ,又 n 是正整数,于是当 n≤k 时, bn< ;222)+…+(b2k- k 2 32当 n≥k+1 时, bn> .3333232原式=( -b1)+( -b2)+…+( -bk)+(bk+1 -)222=(bk+1+…+b2k)-(b1+…+bk) 112(k  2k 1)k (0  k 1)k 2k 1 2=[ k] [  k] =.2k 1 2k 1 k 2 当≤4,得 k2-8k+4≤0, 4-2 3 ≤k≤4+2 3 ,又 k≥2, 2k 1 ∴当 k=2,3,4,5,6,7 时,原不等式成立. 22.(本题满分 18 分,本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题 第 12 页 共 14 页 第 13 页 共 14 页 满分 9 分) 已知函数 上是减函数,在 axy=x+有如下性质:如果常数 上是增函数. a >0,那么该函数在 ( 0, a ] [a,+∞ )2b (1)如果函数 (2)研究函数 y=x++(x>0)的值域为 [6,+∞ ),求 b的值; xcx2 y=x2 (常数 c>0)在定义域内的单调性,并说明理由; aax2 (3)对函数 y=x+和y=x2 +(常数 a >0)作出推广,使它们都是 x你所推广的 函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明), 并求函数 F(x) 11×2 1=(x2  )n +( x)n (n是正整数)在区间[ ,2]上的最大值和 x2最小值(可利 用你的研究结论). 2b [解](1)函数 y=x+ (x>0)的最小值是 2 2b ,则 2 2b =6, ∴b=log29. xcx22 cx12 c(2) 设 0<x1<x2,y2-y1= x22   x12   (x22  x12 )(1 ) . x12  x22 cx2 当 4 c<x1<x2 时, y2>y1, 函数 y= x2  在[ 4 c,+∞)上是增函数; cx2 当 0<x1<x2< 4 c时 y2<y1, 函数 y= x2  在(0, 4 c ]上是减函数. cx2 又 y= x2  是偶函数,于是, 该函数在(-∞,- 4 c]上是减函数, 在[- 4 c ,0)上是增函数; a(3) 可以把函数推广为 y= xn  当 n 是奇数时,函数 y= xn  (常数 a>0),其中 n 是正整数. xn a在(0, 2n a ]上是减函数,在[ 2n a ,+∞) 上是增 xn 函数, 在(-∞,- 2n a ]上是增函数, 在[- 2n a ,0) 上是减函数; 第 13 页 共 14 页 第 14 页 共 14 页 axn 当 n 是偶数时,函数 y= xn  在(0, 2n a ]上是减函数,在[ 2n a ,+∞) 上是增 函数, 在(-∞,- 2n a ]上是减函数, 在[- 2n a ,0) 上是增函数; 11×2 F(x)= (x2  )n +( x)n x=11x2n3 11xn Cn0 (x2n )  Cn1 (x2n3 )  Cnr (x2n3r )  Cnn (xn  )x2n x2n3r 1因此 F(x) 在 [ ,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数. 2199所以,当 x= 或 x=2 时,F(x)取得最大值( )n+( )n; 224当 x=1 时 F(x)取得最小值 2n+1 ;第 14 页 共 14 页

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