2023年高考数学真题（文科）（全国甲卷）（原卷版）

2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. U  1,2,3,4,5 M  1,4 ,N  2,5 N ð M  U1. 设全集，集合，则（）2,3,5 1,3,4 1,2,4,5 2,3,4,5 A. B. C. D. 5 1 i3 2（）2  i 2 i  1 A. B. 1 C. D. D. 1i 1 i    cos a  b,a b  a  3,1 ,b  2,2 3. 已知向量，则（）1A. 17 17 52 5 5B. C. 517 4. 某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各 2 名．从这 4 名学生中随机选 2 名组织校文艺汇演，则这 2 名学生来自不同年级的概率为（）16132312A. B. C. D. n的前项和．若 Saa  a  10,a a 45 S  5. 记为等差数列，则（）  nn26485A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 6. 执行下边的程序框图，则输出的（）B  A. 21 7. 设 A. 1 B. 34 C. 55 D. 89 x2   2F , F PF  PF  为椭圆的两个焦点，点 P在上，若，则（）CPF  PF2  0 C :  y 1 121215B. 2 C. 4 D. 5 ex e的1, 8. 曲线在点处切线方程为（）y  2x 1 eeeee3e 4y  xy  xy  x  y  x  A. B. C. D. 42442×2 y2 221(a  0,b  0) 的离心率为 9. 已知双曲线 A，B 两点，则，其中一条渐近线与圆交于 (x  2)  (y 3) 1 5a2 b2 | AB | （）52 5 53 5 4 5 A. B. C. D. 55510. 在三棱锥中，是边长为 2 的等边三角形，，则该棱锥的体积 P  ABC ABC PA  PB  2, PC  6 为（）A. 1 B. C. 2 D. 3 3(x1)2 236a  f ,b  f ,c  f 11. 已知函数．记，则（）f x e   222b  c  a A. B. b  a  c C. c  b  a D. c  a  b 66y  f x y  cos 2x  y  f x 12. 函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与     112y  x  直线的交点个数为（）2A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. n的前Sa8S  7S a，则 n13. 记为等比数列项和．若的公比为________．     nn63πf x (x 1)2  ax  sin x  a  14. 若   为偶函数，则 ________． 23x  2y  3, 2x  3y  3 x  y 1, z  3x  2y 的最大值为________． 15. 若 x，y 满足约束条件，则 ABCD  A B C D AC 的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点， 1AB  4,O 16. 在正方体 1 中，为O11 1 则球的半径的取值范围是________． O三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. b2  c2  a2 A, B,C a,b,c ，已知 17. 记的内角的对边分别为．ABC  2 cosA （1）求bc ；acosB  bcosA b  1 （2）若，求面积． ABC acosB  bcosA cABC – A B C AC  ABC,ACB  90 18. 如图，在三棱柱 1 中，平面．111ACC A  BB C C ；1 1 （1）证明：平面平面 11AB  A B, AA  2 A  BB C C （2）设，求四棱锥的高． 1111119. 一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到试验组，另外 20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19 820.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 （1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求 40 只小白鼠体重的增加量的中位数 m，再分别统计两样本中小于 m 与不小于 m 的数据的个数，完成如下列联表  m  m 对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有 95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ n(ad bc)2 K2  附：，a  b c d a c b d    P K2  k 0.100 0.050 3.841 0.010 6.635 2.706 ksinx cos2 x πf x ax  20 已知函数   , x 0, ．2f x （1）当 a 1时，讨论  的单调性； a，求的取值范围． f x sinx  0   （2）若 C : y2  2px( p  0) AB  4 15 x  2y 1 0 A, B 两点， 21. 已知直线与抛物线交于．p（1）求（2）设；为  M , N 的焦点，为上两点，且，求面积的最小值． CC△MFN FFM  FN  0 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） x  2  tcos, y 1 tsin yxtl l （为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分 P 2,1 l : 22. 已知点，直线 A, B PA  PB  4 别交于，且．（1）求；xl（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） f (x)  2 | x  a | a, a  0 f x x 23. 已知．（1）求不等式   y  f x 的解集； xa（2）若曲线  与轴所围成的图形的面积为2，求．