2022年高考数学真题（文科）（全国乙卷）（原卷版）

2022 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. M  2,4,6,8,10 ,N  x 1 x  6 M  N  1. 集合 ，则（）{2,4} {2,4,6} {2,4,6,8} C. AB. D. D. {2,4,6,8,10} (1 2i)a  b  2i a,b 为实数，则（ 2. 设，其中）a 1,b  1 a 1,b 1 a  1,b 1 A. B. C. a  1,b  1 r r a b 3. 已知向量，则（）a  (2,1)，b  (2,4) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 分别统计了甲、乙两位同学 16 周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.4 B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 8 C. 甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.4 D. 乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.6 x  y… 2, x  2y„ 4, z  2x  y 5. 若 x，y 满足约束条件则的最大值是（）y… 0, A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 2B(3,0) AF  BF 6. 设 F 为抛物线 AB  的焦点，点 A 在 C 上，点，若，则 C : y  4x （）A. 2 B. C. 3 D. 2 2 n  3 2 7. 执行下边的程序框图，输出的（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 [3,3] 8. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（）x3  3x x2 1 x3  x x2 1 2xcos x x2 1 y  A. B. C. D. y  y  2sin x x2 1 y  ABCD  A B C D 1 中，E，F 分别为 AB, BC 9. 在正方体的中点，则（）平面平面 111B EF  BDD B EF  A BD A. 平面 C. 平面平面平面 B. 平面 1111B EF / / A AC B EF / / AC D D. 平面 11111a  a  42 aa  10. 已知等比数列 A. 14 的前 3 项和为 168， B. 12 ，则（）  25n6C. 6 D. 3 f x cos x  x 1 sinx 1 0,2π 11. 函数在区间的最小值、最大值分别为（）  π π 3π π π π  ， ， ，  2 A. B. C. D. 2 2 2 2 2 2 3π π ，  2 2 2 12. 已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）1132A. B. C. D. 2332二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 2S  3S  6 Sa  nd  _______． 13. 记为等差数列的前 n 项和．若，则公差 n3214. 从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ____________． (0,0),(4,0),(1,1),(4,2) 的15. 过四点中三点的一个圆的方程为____________． 1a  f x ln a  16. 若    b 是奇函数，则 _____， ______． b  1 x 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17. 记的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c﹐已知 ABC sinC sin A B  sin Bsin C  A ．（1）若，求 C； A  2B 222（2）证明： 2a  b  c AD  CD, AD  CD,ADB  BDC 18. 如图，四面体中，，E 为 AC 的中点． ABCD （1）证明：平面平面 ACD； BED  AB  BD  2,ACB  60 （2）设，点 F 在 BD 上，当△AFC 的面积最小时，求三棱锥的体积． F  ABC 19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： 2 ）和材积量 m（单位： 3 ），得到如下数据： m总样本号ｉ 12345678910 和0根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 xi 08 00 46 y材积量 0.25 0.40 0.22 0.51 0.34 0.36 0.42 0.40 3.9 i54 10 10 10 x2  0.038, y2 1.6158, x y 0.2474 并计算得．iiiii=1 i=1 i=1 （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 2 ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林 186m 区这种树木的总材积量的估计值． n(x  x)(y  y) iii=1 r  , 1.8961.377 ．附：相关系数 nn(x  x)2 (y  y)2 iii=1 i=1 1f (x)  ax  (a 1)ln x 20. 已知函数．xf (x) （1）当 a  0 时，求的最大值； f (x) （2）若恰有一个零点，求 a 的取值范围． 3A 0,2 ,B ,1 21. 已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过 两2点．（1）求 E 的方程； P 1,2 的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交（2）设过点   于点 T，点 H 满足．证明：直线 HN 过定点． MT  TH （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. [选修 4—4：坐标系与参数方程] x  3 cos2t y  2sint xOy 22. 在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为，（t 为参数），以坐标原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 3 sin    m  0 ．（1）写出 l 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 有公共点，求 m 的取值范围． [选修 4—5：不等式选讲] 33323. 已知 a，b，c 都是正数，且，证明： a2  b2  c2 1 1abc  （1）（2）；9abc1；b  c a c a b 2 abc