2016 年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出四个选项,只有一 个选项符合题目要求. 1.(5 分)已知集合 A={1,2,3},B={x|x2<9},则 A∩B=( ) A.{﹣2,﹣1,0,1,2,3} C.{1,2,3} B.{﹣2,﹣1,0,1,2} D.{1,2} 2.(5 分)设复数 z 满足 z+i=3﹣i,则 =( ) A.﹣1+2i B.1﹣2i C.3+2i 3.(5 分)函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( ) D.3﹣2i A.y=2sin(2x﹣ C.y=2sin(x+ )B.y=2sin(2x﹣ D.y=2sin(x+ )))4.(5 分)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( )A.12π B. πC.8π D.4π 5.(5 分)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y= (k>0)与 C 交于点 P,PF ⊥x 轴,则 k=( ) A. B.1 C. D.2 6.(5 分)圆 x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心到直线 ax+y﹣1=0 的距离为 1,则 a=( )A.﹣ B.﹣ C. D.2 第 1 页(共 29 页) 7.(5 分)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表 面积为( ) A.20π B.24π C.28π D.32π 8.(5 分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概 率为( ) A. B. C. D. 9.(5 分)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序 框图.执行该程序框图,若输入的 x=2,n=2,依次输入的 a 为 2,2,5,则 输出的 s=( ) A.7 B.12 C.17 D.34 10.(5 分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域和值域相 第 2 页(共 29 页) 同的是( ) A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y= 11.(5 分)函数 f(x)=cos2x+6cos( ﹣x)的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 12.(5 分)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)=f(2﹣x),若函数 y=|x2﹣2x﹣3| 与 y=f(x) 图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则 xi= ( ) A.0 B.m C.2m D.4m 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(5 分)已知向量 =(m,4), =(3,﹣2),且 ∥ ,则m= . 14.(5 分)若 x,y 满足约束条件 ,则z=x﹣2y 的最小值为 15.(5 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cosA= ,cosC= ,a=1,则 b= . . 16.(5 分)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲,乙,丙三人各 取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”, 乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”,丙说:“我的卡 片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片上的数字是 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12 分)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=[an],求数列{bn}的前 10 项和,其中[x]表示不超过 x 的最大整数, 如[0.9]=0,[2.6]=2. 第 3 页(共 29 页) 18.(12 分)某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称 为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 01a234上年度出险次数 保费 ≥5 0.85a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表: 01234出险次数 频数 ≥5 60 50 30 30 20 10 (I)记 A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求 P(A)的估计 值; (Ⅱ)记 B 为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”.求 P(B)的估计值; (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费估计值. 19.(12 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E、F 分别在 AD ,CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于点 H,将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置. (Ⅰ)证明:AC⊥HD′; (Ⅱ)若 AB=5,AC=6,AE= ,OD′=2 ,求五棱锥 D′﹣ABCFE 体积. 第 4 页(共 29 页) 20.(12 分)已知函数 f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1). (I)当 a=4 时,求曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (II)若当 x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求 a 的取值范围. 21.(12 分)已知 A 是椭圆 E: +=1 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线 交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA. (I)当|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积 (II)当 2|AM|=|AN|时,证明: <k<2. 请考生在第 22~24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选 修 4-1:几何证明选讲] 22.(10 分)如图,在正方形 ABCD 中,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点 重合),且 DE=DG,过 D 点作 DF⊥CE,垂足为 F. (Ⅰ)证明:B,C,G,F 四点共圆; (Ⅱ)若 AB=1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积. 第 5 页(共 29 页) [选项 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25. (Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程 ;(Ⅱ)直线 l 的参数方程是 (t 为参数),l 与 C 交与 A,B 两点,|AB|= ,求 l 的斜率. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣ |+|x+ |,M 为不等式 f(x)<2 的解集. (Ⅰ)求 M; (Ⅱ)证明:当 a,b∈M 时,|a+b|<|1+ab|. 第 6 页(共 29 页) 2016 年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出四个选项,只有一 个选项符合题目要求. 1.(5 分)已知集合 A={1,2,3},B={x|x2<9},则 A∩B=( ) A.{﹣2,﹣1,0,1,2,3} C.{1,2,3} B.{﹣2,﹣1,0,1,2} D.{1,2} 【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;4O:定义法;5J:集合. 【分析】先求出集合 A 和 B,由此利用交集的定义能求出 A∩B 的值. 【解答】解:∵集合 A={1,2,3},B={x|x2<9}={x|﹣3<x<3}, ∴A∩B={1,2}. 故选:D. 【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的 合理运用. 2.(5 分)设复数 z 满足 z+i=3﹣i,则 =( ) A.﹣1+2i B.1﹣2i C.3+2i D.3﹣2i 【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;4O:定义法;5N:数系的扩充和复数. 【分析】根据已知求出复数 z,结合共轭复数的定义,可得答案. 【解答】解:∵复数 z 满足 z+i=3﹣i, ∴z=3﹣2i, 第 7 页(共 29 页) ∴ =3+2i, 故选:C. 【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算,共轭复数的定义,难度 不大,属于基础题. 3.(5 分)函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( ) A.y=2sin(2x﹣ C.y=2sin(x+ )B.y=2sin(2x﹣ D.y=2sin(x+ )))【考点】HK:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.菁优网版权所有 【专题】35:转化思想;4R:转化法;57:三角函数的图像与性质. 【分析】根据已知中的函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象,求出满足条件的 A,ω ,φ 值,可得答案. 【解答】解:由图可得:函数的最大值为 2,最小值为﹣2,故 A=2, =,故 T=π,ω=2, 故 y=2sin(2x+φ), 将( ,2)代入可得:2sin( +φ)=2, 则 φ=﹣ 满足要求, 故 y=2sin(2x﹣ ), 故选:A. 【点评】本题考查的知识点是由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,确 第 8 页(共 29 页) 定各个参数的值是解答的关键. 4.(5 分)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( )A.12π B. πC.8π D.4π 【考点】LG:球的体积和表面积.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5U:球. 【分析】先通过正方体的体积,求出正方体的棱长,然后求出球的半径,即可求 出球的表面积. 【解答】解:正方体体积为 8,可知其边长为 2, 正方体的体对角线为 =2 ,即为球的直径,所以半径为 ,所以球的表面积为 =12π. 故选:A. 【点评】本题考查学生的空间想象能力,体积与面积的计算能力,是基础题. 5.(5 分)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y= (k>0)与 C 交于点 P,PF ⊥x 轴,则 k=( ) A. B.1 C. D.2 【考点】K8:抛物线的性质.菁优网版权所有 【专题】35:转化思想;4R:转化法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据已知,结合抛物线的性质,求出 P 点坐标,再由反比例函数的性质 ,可得 k 值. 【解答】解:抛物线 C:y2=4x 的焦点 F 为(1,0), 曲线 y= (k>0)与 C 交于点 P 在第一象限, 由 PF⊥x 轴得:P 点横坐标为 1, 第 9 页(共 29 页) 代入 C 得:P 点纵坐标为 2, 故 k=2, 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质,反比例函数的性质,难度中档 . 6.(5 分)圆 x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心到直线 ax+y﹣1=0 的距离为 1,则 a=( )A.﹣ B.﹣ C. D.2 【考点】IT:点到直线的距离公式;J9:直线与圆的位置关系.菁优网版权所有 【专题】35:转化思想;4R:转化法;5B:直线与圆. 【分析】求出圆心坐标,代入点到直线距离方程,解得答案. 【解答】解:圆 x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心坐标为:(1,4), 故圆心到直线 ax+y﹣1=0 的距离 d= =1, 解得:a= ,故选:A. 【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程,点到直线的距离公式,难度中档. 7.(5 分)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表 面积为( ) 第 10 页(共 29 页) A.20π B.24π C.28π D.32π 【考点】L!:由三视图求面积、体积.菁优网版权所有 【专题】15:综合题;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离. 【分析】空间几何体是一个组合体,上面是一个圆锥,圆锥的底面直径是 4,圆 锥的高是 2 ,在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的,写出表面积, 下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是 4,圆柱的高是 4,做出圆柱的表面积, 注意不包括重合的平面. 【解答】解:由三视图知,空间几何体是一个组合体, 上面是一个圆锥,圆锥的底面直径是 4,圆锥的高是 2 ,∴在轴截面中圆锥的母线长是 =4, ∴圆锥的侧面积是 π×2×4=8π, 下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是 4,圆柱的高是 4, ∴圆柱表现出来的表面积是 π×22+2π×2×4=20π ∴空间组合体的表面积是 28π, 故选:C. 【点评】本题考查由三视图求表面积,本题的图形结构比较简单,易错点可能是 两个几何体重叠的部分忘记去掉,求表面积就有这样的弊端. 8.(5 分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概 率为( ) A. B. C. D. 【考点】CF:几何概型.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5I:概率与统计. 【分析】求出一名行人前 25 秒来到该路口遇到红灯,即可求出至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率. 【解答】解:∵红灯持续时间为 40 秒,至少需要等待 15 秒才出现绿灯, 第 11 页(共 29 页) ∴一名行人前 25 秒来到该路口遇到红灯, ∴至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 = . 故选:B. 【点评】本题考查概率的计算,考查几何概型,考查学生的计算能力,比较基础 . 9.(5 分)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序 框图.执行该程序框图,若输入的 x=2,n=2,依次输入的 a 为 2,2,5,则 输出的 s=( ) A.7 B.12 C.17 D.34 【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;28:操作型;5K:算法和程序框图. 【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 S 的值,模拟程序的运行过程,可得答案. 【解答】解:∵输入的 x=2,n=2, 当输入的 a 为 2 时,S=2,k=1,不满足退出循环的条件; 当再次输入的 a 为 2 时,S=6,k=2,不满足退出循环的条件; 第 12 页(共 29 页) 当输入的 a 为 5 时,S=17,k=3,满足退出循环的条件; 故输出的 S 值为 17, 故选:C. 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可 采用模拟程序法进行解答. 10.(5 分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域和值域相 同的是( ) A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y= 【考点】4K:对数函数的定义域;4L:对数函数的值域与最值.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;4O:定义法;51:函数的性质及应用. 【分析】分别求出各个函数的定义域和值域,比较后可得答案. 【解答】解:函数 y=10lgx 的定义域和值域均为(0,+∞), 函数 y=x 的定义域和值域均为 R,不满足要求; 函数 y=lgx 的定义域为(0,+∞),值域为 R,不满足要求; 函数 y=2x 的定义域为 R,值域为(0,+∞),不满足要求; 函数 y= 的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求; 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是函数的定义域和值域,熟练掌握各种基本初等函数 的定义域和值域,是解答的关键. 11.(5 分)函数 f(x)=cos2x+6cos( ﹣x)的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【考点】HW:三角函数的最值.菁优网版权所有 【专题】33:函数思想;4J:换元法;56:三角函数的求值;57:三角函数的图 像与性质. 第 13 页(共 29 页) 【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式,可得 y=1﹣2sin2x+6sinx,令 t=sinx( ﹣1≤t≤1),可得函数 y=﹣2t2+6t+1,配方,结合二次函数的最值的求法, 以及正弦函数的值域即可得到所求最大值. 【解答】解:函数 f(x)=cos2x+6cos( ﹣x) =1﹣2sin2x+6sinx, 令 t=sinx(﹣1≤t≤1), 可得函数 y=﹣2t2+6t+1 =﹣2(t﹣ )2+ ,由 ∉[﹣1,1],可得函数在[﹣1,1]递增, 即有 t=1 即 x=2kπ+ ,k∈Z 时,函数取得最大值 5. 故选:B. 【点评】本题考查三角函数的最值的求法,注意运用二倍角公式和诱导公式,同 时考查可化为二次函数的最值的求法,属于中档题. 12.(5 分)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)=f(2﹣x),若函数 y=|x2﹣2x﹣3| 与 y=f(x) 图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则 xi= ( ) A.0 B.m C.2m D.4m 【考点】&2:带绝对值的函数;&T:函数迭代;3V:二次函数的性质与图象.菁优网版 权所有 【专题】35:转化思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用. 【分析】根据已知中函数函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)=f(2﹣x),分析函数 的对称性,可得函数 y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f(x) 图象的交点关于直线x=1 对 第 14 页(共 29 页) 称,进而得到答案. 【解答】解:∵函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)=f(2﹣x), 故函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 函数 y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线 x=1 对称, 故函数 y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f(x) 图象的交点也关于直线x=1 对称, 故xi= ×2=m, 故选:B. 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,函数的对称性质,难度中 档. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(5 分)已知向量 =(m,4), =(3,﹣2),且 ∥ ,则m= ﹣6 . 【考点】9K:平面向量共线(平行)的坐标表示.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;29:规律型;5A:平面向量及应用. 【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可. 【解答】解:向量 =(m,4), =(3,﹣2),且 ∥ , 可得 12=﹣2m,解得 m=﹣6. 故答案为:﹣6. 【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用,考查计算能力. 14.(5 分)若 x,y 满足约束条件 ,则 z=x﹣2y 的最小值为 ﹣5 . 【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;29:规律型;31:数形结合;59:不等式的解法及应用; 第 15 页(共 29 页) 5T:不等式. 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得 到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得 答案. 【解答】解:由约束条件 作出可行域如图, 联立 ,解得 B(3,4). 化目标函数 z=x﹣2y 为 y= x﹣ z, 由图可知,当直线 y= x﹣ z 过 B(3,4)时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有 最小值为:3﹣2×4=﹣5. 故答案为:﹣5. 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题 . 15.(5 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cosA= ,cosC= ,a=1,则 b= . 【考点】HU:解三角形.菁优网版权所有 第 16 页(共 29 页) 【专题】34:方程思想;48:分析法;56:三角函数的求值;58:解三角形. 【分析】运用同角的平方关系可得 sinA,sinC,再由诱导公式和两角和的正弦公 式,可得 sinB,运用正弦定理可得 b= ,代入计算即可得到所求值. 【解答】解:由 cosA= ,cosC= ,可得 sinA= sinC= === , =,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= × +× 由正弦定理可得 b= =,==.故答案为: .【点评】本题考查正弦定理的运用,同时考查两角和的正弦公式和诱导公式,以 及同角的平方关系的运用,考查运算能力,属于中档题. 16.(5 分)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲,乙,丙三人各 取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”, 乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”,丙说:“我的卡 片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片上的数字是 1 和 3 . 【考点】F4:进行简单的合情推理.菁优网版权所有 【专题】2A:探究型;49:综合法;5L:简易逻辑. 【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着 1 和 2,或 1 和 3,分别讨论这 两种情况,根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字,这样便可判 断出甲卡片上的数字是多少. 【解答】解:根据丙的说法知,丙的卡片上写着 1 和 2,或 1 和 3; (1)若丙的卡片上写着 1 和 2,根据乙的说法知,乙的卡片上写着 2 和 3; 第 17 页(共 29 页) ∴根据甲的说法知,甲的卡片上写着 1 和 3; (2)若丙的卡片上写着 1 和 3,根据乙的说法知,乙的卡片上写着 2 和 3; 又甲说,“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”; ∴甲的卡片上写的数字不是 1 和 2,这与已知矛盾; ∴甲的卡片上的数字是 1 和 3. 故答案为:1 和 3. 【点评】考查进行简单的合情推理的能力,以及分类讨论得到解题思想,做这类 题注意找出解题的突破口. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12 分)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=[an],求数列{bn}的前 10 项和,其中[x]表示不超过 x 的最大整数, 如[0.9]=0,[2.6]=2. 【考点】83:等差数列的性质;84:等差数列的通项公式.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;4R:转化法;54:等差数列与等比数列. 【分析】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,根据已知构造关于首项和公差方程 组,解得答案; (Ⅱ)根据 bn=[an],列出数列{bn}的前 10 项,相加可得答案. 【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d, ∵a3+a4=4,a5+a7=6. ∴,解得: ,∴an= ;(Ⅱ)∵bn=[an], 第 18 页(共 29 页) ∴b1=b2=b3=1, b4=b5=2, b6=b7=b8=3, b9=b10=4. 故数列{bn}的前 10 项和 S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24. 【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式,等差数列的性质,难度中档 . 18.(12 分)某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称 为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 01a234上年度出险次数 保费 ≥5 0.85a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表: 01234出险次数 频数 ≥5 60 50 30 30 20 10 (I)记 A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求 P(A)的估计 值; (Ⅱ)记 B 为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”.求 P(B)的估计值; (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费估计值. 【考点】B2:简单随机抽样.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;29:规律型;5I:概率与统计. 【分析】(I)求出 A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数. 总事件人数,即可求 P(A)的估计值; (Ⅱ)求出 B 为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费 的 160%”的人数.然后求 P(B)的估计值; (Ⅲ)利用人数与保费乘积的和除以总续保人数,可得本年度的平均保费估计值 .第 19 页(共 29 页) 【解答】解:(I)记 A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.事 件 A 的人数为:60+50=110,该险种的 200 名续保, P(A)的估计值为: =;(Ⅱ)记 B 为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”.事件 B 的人数为:30+30=60,P(B)的估计值为: =;( Ⅲ ) 续 保 人 本 年 度 的 平 均 保 费 估 计 值 为 =1.1925a. =【点评】本题考查样本估计总体的实际应用,考查计算能力. 19.(12 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E、F 分别在 AD ,CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于点 H,将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置. (Ⅰ)证明:AC⊥HD′; (Ⅱ)若 AB=5,AC=6,AE= ,OD′=2 ,求五棱锥 D′﹣ABCFE 体积. 【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LO:空间中直线与直线之间的位置关系 .菁优网版权所有 【专题】31:数形结合;35:转化思想;5F:空间位置关系与距离;5Q:立体 几何. 【分析】(1)根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可. (2)根据条件求出底面五边形的面积,结合平行线段的性质证明 OD′是五棱锥 D′﹣ABCFE 的高,即可得到结论. 【解答】(Ⅰ)证明:∵菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E、F 分别 在 AD,CD 上,AE=CF, 第 20 页(共 29 页) ∴EF∥AC,且 EF⊥BD 将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置, 则 D′H⊥EF, ∵EF∥AC, ∴AC⊥HD′; (Ⅱ)若 AB=5,AC=6,则 AO=3,B0=OD=4, ∵AE= ,AD=AB=5, ∴DE=5﹣ = ∵EF∥AC, ,∴==== , ∴EH= ,EF=2EH= ,DH=3,OH=4﹣3=1, ∵HD′=DH=3,OD′=2 ,∴满足 HD′2=OD′2+OH2, 则△OHD′为直角三角形,且 OD′⊥OH, 又 OD′⊥AC,AC∩OH=O, 即 OD′⊥底面 ABCD, 即 OD′是五棱锥 D′﹣ABCFE 的高. 底面五边形的面积 S= +=+=12+ =,则五棱锥 D′﹣ABCFE 体积 V= S•OD′= × ×2 =.【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断,以及空间几何体的体 第 21 页(共 29 页) 积,根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键.本 题的难点在于证明 OD′是五棱锥 D′﹣ABCFE 的高.考查学生的运算和推理能力. 20.(12 分)已知函数 f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1). (I)当 a=4 时,求曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (II)若当 x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求 a 的取值范围. 【考点】66:简单复合函数的导数.菁优网版权所有 【专题】15:综合题;35:转化思想;49:综合法;52:导数的概念及应用. 【分析】(I)当 a=4 时,求出曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率, 即可求出切线方程; (II)先求出 f′(x)>f′(1)=2﹣a,再结合条件,分类讨论,即可求 a 的取值 范围. 【解答】解:(I)当 a=4 时,f(x)=(x+1)lnx﹣4(x﹣1). f(1)=0,即点为(1,0), 函数的导数 f′(x)=lnx+(x+1)• ﹣4, 则 f′(1)=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2, 即函数的切线斜率 k=f′(1)=﹣2, 则曲线 y=f(x)在(1,0)处的切线方程为 y=﹣2(x﹣1)=﹣2x+2; (II)∵f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1), ∴f′(x)=1+ +lnx﹣a, ∴f″(x)= ,∵x>1,∴f″(x)>0, ∴f′(x)在(1,+∞)上单调递增, ∴f′(x)>f′(1)=2﹣a. 第 22 页(共 29 页) ①a≤2,f′(x)>f′(1)≥0, ∴f(x)在(1,+∞)上单调递增, ∴f(x)>f(1)=0,满足题意; ②a>2,存在 x0∈(1,+∞),f′(x0)=0,函数 f(x)在(1,x0)上单调递减, 在(x0,+∞)上单调递增, 由 f(1)=0,可得存在 x0∈(1,+∞),f(x0)<0,不合题意. 综上所述,a≤2. 另解:若当 x∈(1,+∞)时,f(x)>0, 可得(x+1)lnx﹣a(x﹣1)>0, 即为 a< 由 y= ,的导数为 y′= ,由 y=x﹣ ﹣2lnx 的导数为 y′=1+ ﹣ = >0, 函数 y 在 x>1 递增,可得 >0, 则函数 y= 在 x>1 递增, 则==2, 可得 >2 恒成立, 即有 a≤2. 【点评】本题主要考查了导数的应用,函数的导数与函数的单调性的关系的应用 ,导数的几何意义,考查参数范围的求解,考查学生分析解决问题的能力, 有难度. 21.(12 分)已知 A 是椭圆 E: +=1 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线 交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA. 第 23 页(共 29 页) (I)当|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积 (II)当 2|AM|=|AN|时,证明: <k<2. 【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有 【专题】33:函数思想;49:综合法;4M:构造法;5D:圆锥曲线的定义、性 质与方程. 【分析】(I)依题意知椭圆 E 的左顶点 A(﹣2,0),由|AM|=|AN|,且 MA⊥ NA,可知△AMN 为等腰直角三角形,设 M(a﹣2,a),利用点 M 在 E 上, 可得 3(a﹣2)2+4a2=12,解得:a= ,从而可求△AMN 的面积; (II)设直线 lAM 的方程为:y=k(x+2),直线 lAN 的方程为:y=﹣ (x+2),联 立消去 y,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣12=0,利用韦达定理及 弦 长 公 式 可 分 别 求 得 |AM|= |xM﹣ ( ﹣2 ) |= , |AN|= =,结 合2|AM|=|AN| , 可 得 =, 整 理 后 , 构 造 函 数f ( k ) =4k3﹣6k2+3k﹣8,利用导数法可判断其单调性,再结合零点存在定理即可证 得结论成立. 【解答】解:(I)由椭圆 E 的方程: +=1 知,其左顶点 A(﹣2,0), ∵|AM|=|AN|,且 MA⊥NA,∴△AMN 为等腰直角三角形, 第 24 页(共 29 页) ∴MN⊥x 轴,设 M 的纵坐标为 a,则 M(a﹣2,a), ∵点 M 在 E 上,∴3(a﹣2)2+4a2=12,整理得:7a2﹣12a=0,∴a= 或 a=0( 舍), ∴S△AMN= a×2a=a2= ;(II)设直线 lAM 的方程为:y=k(x+2),直线 lAN 的方程为:y=﹣ (x+2),由 消去 y 得:(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣12=0,∴xM﹣2=﹣ ,∴xM=2﹣ =,∴|AM|= |xM﹣(﹣2)|= •=∵k>0, ∴|AN|= =,又∵2|AM|=|AN|,∴ =,整理得:4k3﹣6k2+3k﹣8=0, 设 f(k)=4k3﹣6k2+3k﹣8, 则 f′(k)=12k2﹣12k+3=3(2k﹣1)2≥0, 第 25 页(共 29 页) ∴f(k)=4k3﹣6k2+3k﹣8 为(0,+∞)的增函数, 又 f( )=4×3 ﹣6×3+3 ﹣8=15 ﹣26= ×4+3×2﹣8=6>0, ﹣<0,f(2)=4×8﹣6 ∴<k<2. 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,常用的方法就是联立方程求出交 点的横坐标或者纵坐标的关系,通过这两个关系的变形去求解,考查构造函 数思想与导数法判断函数单调性,再结合零点存在定理确定参数范围,是难 题. 请考生在第 22~24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选 修 4-1:几何证明选讲] 22.(10 分)如图,在正方形 ABCD 中,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点 重合),且 DE=DG,过 D 点作 DF⊥CE,垂足为 F. (Ⅰ)证明:B,C,G,F 四点共圆; (Ⅱ)若 AB=1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积. 【考点】N8:圆內接多边形的性质与判定.菁优网版权所有 【专题】14:证明题. 【分析】(Ⅰ)证明 B,C,G,F 四点共圆可证明四边形 BCGF 对角互补,由已 知条件可知∠BCD=90°,因此问题可转化为证明∠GFB=90°; (Ⅱ)在 Rt△DFC 中,GF= CD=GC,因此可得△GFB≌△GCB,则 S 四边形 BCGF=2S△ BCG,据此解答. 【解答】(Ⅰ)证明:∵DF⊥CE, ∴Rt△DFC∽Rt△EDC, 第 26 页(共 29 页) ∴=,∵DE=DG,CD=BC, ∴=,又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF, ∴△GDF∽△BCF, ∴∠CFB=∠DFG, ∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°, ∴∠GFB+∠GCB=180°, ∴B,C,G,F 四点共圆. (Ⅱ)∵E 为 AD 中点,AB=1,∴DG=CG=DE= , ∴在 Rt△DFC 中,GF= CD=GC,连接 GB,Rt△BCG≌Rt△BFG, ∴S 四边形 BCGF=2S△BCG=2× ×1× = . 【点评】本题考查四点共圆的判断,主要根据对角互补进行判断,注意三角形相 似和全等性质的应用. [选项 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25. (Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程 ;(Ⅱ)直线 l 的参数方程是 ,求 l 的斜率. (t 为参数),l 与 C 交与 A,B 两点,|AB|= 【考点】J1:圆的标准方程;J8:直线与圆相交的性质.菁优网版权所有 第 27 页(共 29 页) 【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5B:直线与圆. 【分析】(Ⅰ)把圆 C 的标准方程化为一般方程,由此利用 ρ2=x2+y2,x=ρcosα, y=ρsinα,能求出圆 C 的极坐标方程. (Ⅱ)由直线 l 的参数方程求出直线 l 的一般方程,再求出圆心到直线距离,由 此能求出直线 l 的斜率. 【解答】解:(Ⅰ)∵圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25, ∴x2+y2+12x+11=0, ∵ρ2=x2+y2,x=ρcosα,y=ρsinα, ∴C 的极坐标方程为 ρ2+12ρcosα+11=0. (Ⅱ)∵直线 l 的参数方程是 (t 为参数), ∴t= ,代入 y=tsinα,得:直线 l 的一般方程 y=tanα•x, ∵l 与 C 交与 A,B 两点,|AB|= 圆心到直线的距离 d= ,圆 C 的圆心 C(﹣6,0),半径 r=5, .∴圆心 C(﹣6,0)到直线距离 d= 解得 tan2α= ,∴tanα=± =± =,.∴l 的斜率 k=± .【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法,考查直线的斜率的求法,是中档题, 解题时要认真审题,注意点到直线公式、圆的性质的合理运用. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣ |+|x+ |,M 为不等式 f(x)<2 的解集. (Ⅰ)求 M; (Ⅱ)证明:当 a,b∈M 时,|a+b|<|1+ab|. 【考点】R5:绝对值不等式的解法.菁优网版权所有 【专题】32:分类讨论;35:转化思想;4C:分类法;4R:转化法;59:不等 第 28 页(共 29 页) 式的解法及应用. 【分析】(I)分当 x< 时,当 ≤x≤ 时,当x> 时三种情况,分别求解 不等式,综合可得答案; (Ⅱ)当 a,b∈M 时,(a2﹣1)(b2﹣1)>0,即 a2b2+1>a2+b2,配方后,可 证得结论. 【解答】解:(I)当 x< 时,不等式f(x)<2 可化为: ﹣x﹣x﹣ <2, 解得:x>﹣1, ∴﹣1<x< ≤x≤ 时,不等式f(x)<2 可化为: ﹣x+x+ =1<2, 此时不等式恒成立, ≤x≤ , ,当∴当 x> 时,不等式f(x)<2 可化为:﹣ +x+x+ <2, 解得:x<1, ∴ <x<1, 综上可得:M=(﹣1,1); 证明:(Ⅱ)当 a,b∈M 时, (a2﹣1)(b2﹣1)>0, 即 a2b2+1>a2+b2, 即 a2b2+1+2ab>a2+b2+2ab, 即(ab+1)2>(a+b)2, 即|a+b|<|1+ab|. 【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法,不等式的证明,难度中档. 第 29 页(共 29 页)
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