2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅱ）（含解析版）下载

2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出四个选项，只有一 个选项符合题目要求. 1．（5 分）已知集合 A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则 A∩B=（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} C．{1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{1，2} 2．（5 分）设复数 z 满足 z+i=3﹣i，则 =（　　） A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i 3．（5 分）函数 y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（　　） D．3﹣2i A．y=2sin（2x﹣ C．y=2sin（x+ ）B．y=2sin（2x﹣ D．y=2sin（x+ ）））4．（5 分）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　 ）A．12π B． πC．8π D．4π 5．（5 分）设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，曲线 y= （k＞0）与 C 交于点 P，PF ⊥x 轴，则 k=（　　） A． B．1 C． D．2 6．（5 分）圆 x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心到直线 ax+y﹣1=0 的距离为 1，则 a=（　　 ）A．﹣ B．﹣ C． D．2 第 1 页（共 29 页） 7．（5 分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表 面积为（　　） A．20π B．24π C．28π D．32π 8．（5 分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概 率为（　　） A． B． C． D． 9．（5 分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序 框图．执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的 a 为 2，2，5，则 输出的 s=（　　） A．7 B．12 C．17 D．34 10．（5 分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域和值域相 第 2 页（共 29 页） 同的是（　　） A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y= 11．（5 分）函数 f（x）=cos2x+6cos（ ﹣x）的最大值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 12．（5 分）已知函数 f（x）（x∈R）满足 f（x）=f（2﹣x），若函数 y=|x2﹣2x﹣3| 与 y=f（x） 图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则 xi= （　　） A．0 B．m C．2m D．4m 　二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13．（5 分）已知向量 =（m，4）， =（3，﹣2），且 ∥ ，则m=　 　． 14．（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则z=x﹣2y 的最小值为　 15．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA= ，cosC= ，a=1，则 b=　． 　． 16．（5 分）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3．甲，乙，丙三人各 取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”， 乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡 片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是　 　． 　三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12 分）等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设 bn=[an]，求数列{bn}的前 10 项和，其中[x]表示不超过 x 的最大整数， 如[0.9]=0，[2.6]=2． 第 3 页（共 29 页） 18．（12 分）某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称 为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 01a234上年度出险次数 保费 ≥5 0.85a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 01234出险次数 频数 ≥5 60 50 30 30 20 10 （I）记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求 P（A）的估计 值； （Ⅱ）记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”．求 P（B）的估计值； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值． 19．（12 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别在 AD ，CD 上，AE=CF，EF 交 BD 于点 H，将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置． （Ⅰ）证明：AC⊥HD′； （Ⅱ）若 AB=5，AC=6，AE= ，OD′=2 ，求五棱锥 D′﹣ABCFE 体积． 第 4 页（共 29 页） 20．（12 分）已知函数 f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）． （I）当 a=4 时，求曲线 y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （II）若当 x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求 a 的取值范围． 21．（12 分）已知 A 是椭圆 E： +=1 的左顶点，斜率为 k（k＞0）的直线 交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MA⊥NA． （I）当|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积 （II）当 2|AM|=|AN|时，证明： ＜k＜2． 　请考生在第 22～24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选 修 4-1：几何证明选讲] 22．（10 分）如图，在正方形 ABCD 中，E，G 分别在边 DA，DC 上（不与端点 重合），且 DE=DG，过 D 点作 DF⊥CE，垂足为 F． （Ⅰ）证明：B，C，G，F 四点共圆； （Ⅱ）若 AB=1，E 为 DA 的中点，求四边形 BCGF 的面积． 第 5 页（共 29 页） 　[选项 4-4：坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为（x+6）2+y2=25． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程 ；（Ⅱ）直线 l 的参数方程是 （t 为参数），l 与 C 交与 A，B 两点，|AB|= ，求 l 的斜率． 　[选修 4-5：不等式选讲] 24．已知函数 f（x）=|x﹣ |+|x+ |，M 为不等式 f（x）＜2 的解集． （Ⅰ）求 M； （Ⅱ）证明：当 a，b∈M 时，|a+b|＜|1+ab|． 　第 6 页（共 29 页） 2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出四个选项，只有一 个选项符合题目要求. 1．（5 分）已知集合 A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则 A∩B=（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} C．{1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{1，2} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】先求出集合 A 和 B，由此利用交集的定义能求出 A∩B 的值． 【解答】解：∵集合 A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}， ∴A∩B={1，2}． 故选：D． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的 合理运用． 　2．（5 分）设复数 z 满足 z+i=3﹣i，则 =（　　） A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】根据已知求出复数 z，结合共轭复数的定义，可得答案． 【解答】解：∵复数 z 满足 z+i=3﹣i， ∴z=3﹣2i， 第 7 页（共 29 页） ∴ =3+2i， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度 不大，属于基础题． 　3．（5 分）函数 y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（　　） A．y=2sin（2x﹣ C．y=2sin（x+ ）B．y=2sin（2x﹣ D．y=2sin（x+ ）））【考点】HK：由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】根据已知中的函数 y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的 A，ω ，φ 值，可得答案． 【解答】解：由图可得：函数的最大值为 2，最小值为﹣2，故 A=2， =，故 T=π，ω=2， 故 y=2sin（2x+φ）， 将（ ，2）代入可得：2sin（ +φ）=2， 则 φ=﹣ 满足要求， 故 y=2sin（2x﹣ ）， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确 第 8 页（共 29 页） 定各个参数的值是解答的关键． 　4．（5 分）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　 ）A．12π B． πC．8π D．4π 【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5U：球． 【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求 出球的表面积． 【解答】解：正方体体积为 8，可知其边长为 2， 正方体的体对角线为 =2 ，即为球的直径，所以半径为 ，所以球的表面积为 =12π． 故选：A． 【点评】本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题． 　5．（5 分）设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，曲线 y= （k＞0）与 C 交于点 P，PF ⊥x 轴，则 k=（　　） A． B．1 C． D．2 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出 P 点坐标，再由反比例函数的性质 ，可得 k 值． 【解答】解：抛物线 C：y2=4x 的焦点 F 为（1，0）， 曲线 y= （k＞0）与 C 交于点 P 在第一象限， 由 PF⊥x 轴得：P 点横坐标为 1， 第 9 页（共 29 页） 代入 C 得：P 点纵坐标为 2， 故 k=2， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档 ．　6．（5 分）圆 x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心到直线 ax+y﹣1=0 的距离为 1，则 a=（　　 ）A．﹣ B．﹣ C． D．2 【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5B：直线与圆． 【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案． 【解答】解：圆 x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心坐标为：（1，4）， 故圆心到直线 ax+y﹣1=0 的距离 d= =1， 解得：a= ，故选：A． 【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档． 　7．（5 分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表 面积为（　　） 第 10 页（共 29 页） A．20π B．24π C．28π D．32π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是 4，圆 锥的高是 2 ，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积， 下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 4，圆柱的高是 4，做出圆柱的表面积， 注意不包括重合的平面． 【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体， 上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是 4，圆锥的高是 2 ，∴在轴截面中圆锥的母线长是 =4， ∴圆锥的侧面积是 π×2×4=8π， 下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 4，圆柱的高是 4， ∴圆柱表现出来的表面积是 π×22+2π×2×4=20π ∴空间组合体的表面积是 28π， 故选：C． 【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是 两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端． 　8．（5 分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概 率为（　　） A． B． C． D． 【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】求出一名行人前 25 秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率． 【解答】解：∵红灯持续时间为 40 秒，至少需要等待 15 秒才出现绿灯， 第 11 页（共 29 页） ∴一名行人前 25 秒来到该路口遇到红灯， ∴至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 = ． 故选：B． 【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基础 ．　9．（5 分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序 框图．执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的 a 为 2，2，5，则 输出的 s=（　　） A．7 B．12 C．17 D．34 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图． 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：∵输入的 x=2，n=2， 当输入的 a 为 2 时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件； 当再次输入的 a 为 2 时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件； 第 12 页（共 29 页） 当输入的 a 为 5 时，S=17，k=3，满足退出循环的条件； 故输出的 S 值为 17， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可 采用模拟程序法进行解答． 　10．（5 分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域和值域相 同的是（　　） A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y= 【考点】4K：对数函数的定义域；4L：对数函数的值域与最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；4O：定义法；51：函数的性质及应用． 【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案． 【解答】解：函数 y=10lgx 的定义域和值域均为（0，+∞）， 函数 y=x 的定义域和值域均为 R，不满足要求； 函数 y=lgx 的定义域为（0，+∞），值域为 R，不满足要求； 函数 y=2x 的定义域为 R，值域为（0，+∞），不满足要求； 函数 y= 的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求； 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数 的定义域和值域，是解答的关键． 　11．（5 分）函数 f（x）=cos2x+6cos（ ﹣x）的最大值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4J：换元法；56：三角函数的求值；57：三角函数的图 像与性质． 第 13 页（共 29 页） 【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得 y=1﹣2sin2x+6sinx，令 t=sinx（ ﹣1≤t≤1），可得函数 y=﹣2t2+6t+1，配方，结合二次函数的最值的求法， 以及正弦函数的值域即可得到所求最大值． 【解答】解：函数 f（x）=cos2x+6cos（ ﹣x） =1﹣2sin2x+6sinx， 令 t=sinx（﹣1≤t≤1）， 可得函数 y=﹣2t2+6t+1 =﹣2（t﹣ ）2+ ，由 ∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增， 即有 t=1 即 x=2kπ+ ，k∈Z 时，函数取得最大值 5． 故选：B． 【点评】本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同 时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题． 　12．（5 分）已知函数 f（x）（x∈R）满足 f（x）=f（2﹣x），若函数 y=|x2﹣2x﹣3| 与 y=f（x） 图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则 xi= （　　） A．0 B．m C．2m D．4m 【考点】&2：带绝对值的函数；&T：函数迭代；3V：二次函数的性质与图象．菁优网版 权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据已知中函数函数 f（x）（x∈R）满足 f（x）=f（2﹣x），分析函数 的对称性，可得函数 y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点关于直线x=1 对 第 14 页（共 29 页） 称，进而得到答案． 【解答】解：∵函数 f（x）（x∈R）满足 f（x）=f（2﹣x）， 故函数 f（x）的图象关于直线 x=1 对称， 函数 y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线 x=1 对称， 故函数 y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点也关于直线x=1 对称， 故xi= ×2=m， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中 档． 　二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13．（5 分）已知向量 =（m，4）， =（3，﹣2），且 ∥ ，则m=　﹣6　． 【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；5A：平面向量及应用． 【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可． 【解答】解：向量 =（m，4）， =（3，﹣2），且 ∥ ， 可得 12=﹣2m，解得 m=﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力． 　14．（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x﹣2y 的最小值为　﹣5　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；59：不等式的解法及应用； 第 15 页（共 29 页） 5T：不等式． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得 到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得 答案． 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 B（3，4）． 化目标函数 z=x﹣2y 为 y= x﹣ z， 由图可知，当直线 y= x﹣ z 过 B（3，4）时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有 最小值为：3﹣2×4=﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 ．　15．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA= ，cosC= ，a=1，则 b=　． 【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有 第 16 页（共 29 页） 【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值；58：解三角形． 【分析】运用同角的平方关系可得 sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公 式，可得 sinB，运用正弦定理可得 b= ，代入计算即可得到所求值． 【解答】解：由 cosA= ，cosC= ，可得 sinA= sinC= === ， =，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= × +× 由正弦定理可得 b= =，==．故答案为： ．【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以 及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题． 　16．（5 分）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3．甲，乙，丙三人各 取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”， 乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡 片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是　1 和 3　． 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】2A：探究型；49：综合法；5L：简易逻辑． 【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着 1 和 2，或 1 和 3，分别讨论这 两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判 断出甲卡片上的数字是多少． 【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着 1 和 2，或 1 和 3； （1）若丙的卡片上写着 1 和 2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着 2 和 3； 第 17 页（共 29 页） ∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着 1 和 3； （2）若丙的卡片上写着 1 和 3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着 2 和 3； 又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”； ∴甲的卡片上写的数字不是 1 和 2，这与已知矛盾； ∴甲的卡片上的数字是 1 和 3． 故答案为：1 和 3． 【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类 题注意找出解题的突破口． 　三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12 分）等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设 bn=[an]，求数列{bn}的前 10 项和，其中[x]表示不超过 x 的最大整数， 如[0.9]=0，[2.6]=2． 【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d，根据已知构造关于首项和公差方程 组，解得答案； （Ⅱ）根据 bn=[an]，列出数列{bn}的前 10 项，相加可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d， ∵a3+a4=4，a5+a7=6． ∴，解得： ，∴an= ；（Ⅱ）∵bn=[an]， 第 18 页（共 29 页） ∴b1=b2=b3=1， b4=b5=2， b6=b7=b8=3， b9=b10=4． 故数列{bn}的前 10 项和 S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24． 【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档 ．　18．（12 分）某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称 为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 01a234上年度出险次数 保费 ≥5 0.85a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 01234出险次数 频数 ≥5 60 50 30 30 20 10 （I）记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求 P（A）的估计 值； （Ⅱ）记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”．求 P（B）的估计值； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值． 【考点】B2：简单随机抽样．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；5I：概率与统计． 【分析】（I）求出 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数． 总事件人数，即可求 P（A）的估计值； （Ⅱ）求出 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费 的 160%”的人数．然后求 P（B）的估计值； （Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值 ．第 19 页（共 29 页） 【解答】解：（I）记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事 件 A 的人数为：60+50=110，该险种的 200 名续保， P（A）的估计值为： =；（Ⅱ）记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”．事件 B 的人数为：30+30=60，P（B）的估计值为： =；（ Ⅲ ） 续 保 人 本 年 度 的 平 均 保 费 估 计 值 为 =1.1925a． =【点评】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力． 　19．（12 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别在 AD ，CD 上，AE=CF，EF 交 BD 于点 H，将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置． （Ⅰ）证明：AC⊥HD′； （Ⅱ）若 AB=5，AC=6，AE= ，OD′=2 ，求五棱锥 D′﹣ABCFE 体积． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系 ．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体 几何． 【分析】（1）根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可． （2）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明 OD′是五棱锥 D′﹣ABCFE 的高，即可得到结论． 【解答】（Ⅰ）证明：∵菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别 在 AD，CD 上，AE=CF， 第 20 页（共 29 页） ∴EF∥AC，且 EF⊥BD 将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置， 则 D′H⊥EF， ∵EF∥AC， ∴AC⊥HD′； （Ⅱ）若 AB=5，AC=6，则 AO=3，B0=OD=4， ∵AE= ，AD=AB=5， ∴DE=5﹣ = ∵EF∥AC， ，∴==== ， ∴EH= ，EF=2EH= ，DH=3，OH=4﹣3=1， ∵HD′=DH=3，OD′=2 ，∴满足 HD′2=OD′2+OH2， 则△OHD′为直角三角形，且 OD′⊥OH， 又 OD′⊥AC，AC∩OH=O， 即 OD′⊥底面 ABCD， 即 OD′是五棱锥 D′﹣ABCFE 的高． 底面五边形的面积 S= +=+=12+ =，则五棱锥 D′﹣ABCFE 体积 V= S•OD′= × ×2 =．【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，以及空间几何体的体 第 21 页（共 29 页） 积，根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键．本 题的难点在于证明 OD′是五棱锥 D′﹣ABCFE 的高．考查学生的运算和推理能力． 　20．（12 分）已知函数 f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）． （I）当 a=4 时，求曲线 y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （II）若当 x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求 a 的取值范围． 【考点】66：简单复合函数的导数．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；52：导数的概念及应用． 【分析】（I）当 a=4 时，求出曲线 y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率， 即可求出切线方程； （II）先求出 f′（x）＞f′（1）=2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求 a 的取值 范围． 【解答】解：（I）当 a=4 时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）． f（1）=0，即点为（1，0）， 函数的导数 f′（x）=lnx+（x+1）• ﹣4， 则 f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2， 即函数的切线斜率 k=f′（1）=﹣2， 则曲线 y=f（x）在（1，0）处的切线方程为 y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2； （II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）， ∴f′（x）=1+ +lnx﹣a， ∴f″（x）= ，∵x＞1，∴f″（x）＞0， ∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增， ∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a． 第 22 页（共 29 页） ①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0， ∴f（x）在（1，+∞）上单调递增， ∴f（x）＞f（1）=0，满足题意； ②a＞2，存在 x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数 f（x）在（1，x0）上单调递减， 在（x0，+∞）上单调递增， 由 f（1）=0，可得存在 x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意． 综上所述，a≤2． 另解：若当 x∈（1，+∞）时，f（x）＞0， 可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0， 即为 a＜ 由 y= ，的导数为 y′= ，由 y=x﹣ ﹣2lnx 的导数为 y′=1+ ﹣ = ＞0， 函数 y 在 x＞1 递增，可得 ＞0， 则函数 y= 在 x＞1 递增， 则==2， 可得 ＞2 恒成立， 即有 a≤2． 【点评】本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用 ，导数的几何意义，考查参数范围的求解，考查学生分析解决问题的能力， 有难度． 　21．（12 分）已知 A 是椭圆 E： +=1 的左顶点，斜率为 k（k＞0）的直线 交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MA⊥NA． 第 23 页（共 29 页） （I）当|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积 （II）当 2|AM|=|AN|时，证明： ＜k＜2． 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；49：综合法；4M：构造法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】（I）依题意知椭圆 E 的左顶点 A（﹣2，0），由|AM|=|AN|，且 MA⊥ NA，可知△AMN 为等腰直角三角形，设 M（a﹣2，a），利用点 M 在 E 上， 可得 3（a﹣2）2+4a2=12，解得：a= ，从而可求△AMN 的面积； （II）设直线 lAM 的方程为：y=k（x+2），直线 lAN 的方程为：y=﹣ （x+2），联 立消去 y，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，利用韦达定理及 弦 长 公 式 可 分 别 求 得 |AM|= |xM﹣ （ ﹣2 ） |= ， |AN|= =，结 合2|AM|=|AN| ， 可 得 =， 整 理 后 ， 构 造 函 数f （ k ） =4k3﹣6k2+3k﹣8，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证 得结论成立． 【解答】解：（I）由椭圆 E 的方程： +=1 知，其左顶点 A（﹣2，0）， ∵|AM|=|AN|，且 MA⊥NA，∴△AMN 为等腰直角三角形， 第 24 页（共 29 页） ∴MN⊥x 轴，设 M 的纵坐标为 a，则 M（a﹣2，a）， ∵点 M 在 E 上，∴3（a﹣2）2+4a2=12，整理得：7a2﹣12a=0，∴a= 或 a=0（ 舍）， ∴S△AMN= a×2a=a2= ；（II）设直线 lAM 的方程为：y=k（x+2），直线 lAN 的方程为：y=﹣ （x+2），由 消去 y 得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，∴xM﹣2=﹣ ，∴xM=2﹣ =，∴|AM|= |xM﹣（﹣2）|= •=∵k＞0， ∴|AN|= =，又∵2|AM|=|AN|，∴ =，整理得：4k3﹣6k2+3k﹣8=0， 设 f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8， 则 f′（k）=12k2﹣12k+3=3（2k﹣1）2≥0， 第 25 页（共 29 页） ∴f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8 为（0，+∞）的增函数， 又 f（ ）=4×3 ﹣6×3+3 ﹣8=15 ﹣26= ×4+3×2﹣8=6＞0， ﹣＜0，f（2）=4×8﹣6 ∴＜k＜2． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交 点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造函 数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是难 题． 　请考生在第 22～24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选 修 4-1：几何证明选讲] 22．（10 分）如图，在正方形 ABCD 中，E，G 分别在边 DA，DC 上（不与端点 重合），且 DE=DG，过 D 点作 DF⊥CE，垂足为 F． （Ⅰ）证明：B，C，G，F 四点共圆； （Ⅱ）若 AB=1，E 为 DA 的中点，求四边形 BCGF 的面积． 【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．菁优网版权所有 【专题】14：证明题． 【分析】（Ⅰ）证明 B，C，G，F 四点共圆可证明四边形 BCGF 对角互补，由已 知条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°； （Ⅱ）在 Rt△DFC 中，GF= CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则 S 四边形 BCGF=2S△ BCG，据此解答． 【解答】（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE， ∴Rt△DFC∽Rt△EDC， 第 26 页（共 29 页） ∴=，∵DE=DG，CD=BC， ∴=，又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF， ∴△GDF∽△BCF， ∴∠CFB=∠DFG， ∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°， ∴∠GFB+∠GCB=180°， ∴B，C，G，F 四点共圆． （Ⅱ）∵E 为 AD 中点，AB=1，∴DG=CG=DE= ， ∴在 Rt△DFC 中，GF= CD=GC，连接 GB，Rt△BCG≌Rt△BFG， ∴S 四边形 BCGF=2S△BCG=2× ×1× = ． 【点评】本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相 似和全等性质的应用． 　[选项 4-4：坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为（x+6）2+y2=25． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程 ；（Ⅱ）直线 l 的参数方程是 ，求 l 的斜率． （t 为参数），l 与 C 交与 A，B 两点，|AB|= 【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有 第 27 页（共 29 页） 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】（Ⅰ）把圆 C 的标准方程化为一般方程，由此利用 ρ2=x2+y2，x=ρcosα， y=ρsinα，能求出圆 C 的极坐标方程． （Ⅱ）由直线 l 的参数方程求出直线 l 的一般方程，再求出圆心到直线距离，由 此能求出直线 l 的斜率． 【解答】解：（Ⅰ）∵圆 C 的方程为（x+6）2+y2=25， ∴x2+y2+12x+11=0， ∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα， ∴C 的极坐标方程为 ρ2+12ρcosα+11=0． （Ⅱ）∵直线 l 的参数方程是 （t 为参数）， ∴t= ，代入 y=tsinα，得：直线 l 的一般方程 y=tanα•x， ∵l 与 C 交与 A，B 两点，|AB|= 圆心到直线的距离 d= ，圆 C 的圆心 C（﹣6，0），半径 r=5， ．∴圆心 C（﹣6，0）到直线距离 d= 解得 tan2α= ，∴tanα=± =± =，．∴l 的斜率 k=± ．【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题， 解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用． 　[选修 4-5：不等式选讲] 24．已知函数 f（x）=|x﹣ |+|x+ |，M 为不等式 f（x）＜2 的解集． （Ⅰ）求 M； （Ⅱ）证明：当 a，b∈M 时，|a+b|＜|1+ab|． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；59：不等 第 28 页（共 29 页） 式的解法及应用． 【分析】（I）分当 x＜ 时，当 ≤x≤ 时，当x＞ 时三种情况，分别求解 不等式，综合可得答案； （Ⅱ）当 a，b∈M 时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即 a2b2+1＞a2+b2，配方后，可 证得结论． 【解答】解：（I）当 x＜ 时，不等式f（x）＜2 可化为： ﹣x﹣x﹣ ＜2， 解得：x＞﹣1， ∴﹣1＜x＜ ≤x≤ 时，不等式f（x）＜2 可化为： ﹣x+x+ =1＜2， 此时不等式恒成立， ≤x≤ ， ，当∴当 x＞ 时，不等式f（x）＜2 可化为：﹣ +x+x+ ＜2， 解得：x＜1， ∴ ＜x＜1， 综上可得：M=（﹣1，1）； 证明：（Ⅱ）当 a，b∈M 时， （a2﹣1）（b2﹣1）＞0， 即 a2b2+1＞a2+b2， 即 a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab， 即（ab+1）2＞（a+b）2， 即|a+b|＜|1+ab|． 【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档． 第 29 页（共 29 页）