2013 年浙江省高考数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5 分）（2013•浙江）设集合 S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则 S∩T=（ ） [﹣4，+∞） A． （﹣2，+∞） B． [﹣4，1] C． （﹣2，1] D． 2．（5 分）（2013•浙江）已知 i 是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（ ） 5﹣5i 7﹣5i A． B． C．5+5i D．7+5i 3．（5 分）（2013•浙江）若 α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（ ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（5 分）（2013•浙江）设 m、n 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，（ ） A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m∥α，m∥β，则 α∥β C．若 m∥n，m⊥α，则 n⊥α D．若 m∥α，α⊥β，则 m⊥β 5．（5 分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ） 3333 A． 108cm B． 100 cm C． 92cm D． 84cm 6．（5 分）（2013•浙江）函数 f（x）=sinxcos x+cos2x 的最小正周期和振幅分别是（ ） A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2 7．（5 分）（2013•浙江）已知 a、b、c∈R，函数 f（x）=ax2+bx+c．若 f（0）=f（4）＞f（1），则（ ） A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0 8．（5 分）（2013•浙江）已知函数 y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y=f′（x）的图象如图所示，则 该函数的图象是（ ） A． B． C． D． 9．（5 分）（2013•浙江）如图 F1、F2 是椭圆 C1： +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点 A、B 分别是 C1、C2 在第二、 四象限的公共点，若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是（ ） A． B． C． D． 10．（5 分）（2013•浙江）设 a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下： a∧b= a∨b= 若正数 a、b、c、d 满足 ab≥4，c+d≤4，则（ ） A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分. 11．（4 分）（2013•浙江）已知函数 f（x）= ，若 f（a）=3，则实数 a= _________ ． 12．（4 分）（2013•浙江）从三男三女 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的概率均相等），则 2 名都是女同学的 概率等于 _________ ． 13．（4 分）（2013•浙江）直线 y=2x+3 被圆 x2+y2﹣6x﹣8y=0 所截得的弦长等于 _________ ． 14．（4 分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于 _________ ． 第 2 页 共 16 页 15．（4 分）（2013•浙江）设 z=kx+y，其中实数 x、y 满足 若 z 的最大值为 12，则实数 k= _________ ． 16．（4 分）（2013•浙江）设 a，b∈R，若 x≥0 时恒有 0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则 ab 等于 _________ ． 17．（4 分）（2013•浙江）设 、为单位向量，非零向量 =x +y ，x、y∈R．若 、的夹角为 30°，则 的最大值等于 _________ ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14 分）（2013•浙江）在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2asinB= b． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 a=6，b+c=8，求△ABC 的面积． 19．（14 分）（2013•浙江）在公差为 d 的等差数列{an}中，已知 a1=10，且 a1，2a2+2，5a3 成等比数列． （Ⅰ）求 d，an； （Ⅱ） 若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|． 20．（15 分）（2013•浙江）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥面 ABCD，AB=BC=2，AD=CD= ，PA= ∠ABC=120°，G 为线段 PC 上的点． ，（Ⅰ）证明：BD⊥面 PAC； （Ⅱ）若 G 是 PC 的中点，求 DG 与 PAC 所成的角的正切值； （Ⅲ）若 G 满足 PC⊥面 BGD，求 的值． 21．（15 分）（2013•浙江）已知 a∈R，函数 f（x）=2×3﹣3（a+1）x2+6ax （Ⅰ）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）若|a|＞1，求 f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值． 22．（14 分）（2013•浙江）已知抛物线 C 的顶点为 O（0，0），焦点 F（0，1） （Ⅰ）求抛物线 C 的方程； 第 3 页 共 16 页 （Ⅱ） 过F 作直线交抛物线于 A、B 两点．若直线 OA、OB 分别交直线 l：y=x﹣2 于 M、N 两点，求|MN|的最小 值． 第 4 页 共 16 页 2013 年浙江省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5 分）（2013•浙江）设集合 S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则 S∩T=（ ） [﹣4，+∞） A． （﹣2，+∞） B． [﹣4，1] C． （﹣2，1] D． 考点： 交集及其运算．756122 专题： 计算题． 分析： 找出两集合解集的公共部分，即可求出交集． 解：∵集合 S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]， 解答： ∴S∩T=（﹣2，1]． 故选 D 点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5 分）（2013•浙江）已知 i 是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（ ） 5﹣5i A． 7﹣5i B． C．5+5i D．7+5i 考点： 复数代数形式的乘除运算．756122 专题： 计算题． 分析： 直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式． 解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i． 解答： 故选 C． 点评： 本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力． 3．（5 分）（2013•浙江）若 α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（ ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．756122 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必 要条件． 解答： 解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”， 当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如 α= 等， ∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件， 故选 A． 点评： 本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法． 4．（5 分）（2013•浙江）设 m、n 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，（ ） A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m∥α，m∥β，则 α∥β C．若 m∥n，m⊥α，则 n⊥α D．若 m∥α，α⊥β，则 m⊥β 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．756122 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 第 5 页 共 16 页 分析： 用直线与平面平行的性质定理判断 A 的正误；用直线与平面平行的性质定理判断 B 的正误；用线面垂直的 判定定理判断 C 的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断 D 的正误． 解答： 解：A、m∥α，n∥α，则 m∥n，m 与 n 可能相交也可能异面，所以 A 不正确； B、m∥α，m∥β，则 α∥β，还有 α 与 β 可能相交，所以 B 不正确； C、m∥n，m⊥α，则 n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故 C 正确． D、m∥α，α⊥β，则 m⊥β，也可能 m∥β，也可能 m∩β=A，所以 D 不正确； 故选 C． 点评： 本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力． 5．（5 分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ） 3333 A． 108cm B． 100 cm C． 92cm D． 84cm 考点： 由三视图求面积、体积．756122 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为 6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为 4，4，3 的一个三棱锥 （长方体的一个角）．据此即可得出体积． 解答： 解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为 6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为 4，4，3 的一个三棱 锥（长方体的一个角）． ∴该几何体的体积 V=6×6×3﹣ 故选 B． =100． 点评： 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键． 6．（5 分）（2013•浙江）函数 f（x）=sinxcos x+cos2x 的最小正周期和振幅分别是（ ） A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2 考点： 两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．756122 专题： 计算题；三角函数的图像与性质． 第 6 页 共 16 页 分析： f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角 函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出 ω 的值，求出函数的最小正周期 即可． 解答： 解：f（x）= sin2x+cos2x=sin（2x+ ）， ∵﹣1≤sin（2x+ ）≤1，∴振幅为 1， ∵ω=2，∴T=π． 故选 A 点评： 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练 掌握公式是解本题的关键． 7．（5 分）（2013•浙江）已知 a、b、c∈R，函数 f（x）=ax2+bx+c．若 f（0）=f（4）＞f（1），则（ ） A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0 考点： 二次函数的性质．756122 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由 f（0）=f（4）可得 4a+b=0；由 f（0）＞f（1）可得 a+b＜0，消掉 b 变为关于 a 的不等式可得 a＞0． 解答： 解：因为 f（0）=f（4），即 c=16a+4b+c， 所以 4a+b=0； 又 f（0）＞f（1），即 c＞a+b+c， 所以 a+b＜0，即 a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故 a＞0． 故选 A． 点评： 本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题． 8．（5 分）（2013•浙江）已知函数 y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y=f′（x）的图象如图所示，则 该函数的图象是（ ） A． B． C． D． 考点： 函数的图象．756122 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项． 解：由导数的图象可得，函数 f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，图象是下凹型的；在[0，1]上增长速 解答： 度逐渐变小，图象是上凸型的， 故选 B． 点评： 本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题． 第 7 页 共 16 页 9．（5 分）（2013•浙江）如图 F1、F2 是椭圆 C1： +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点 A、B 分别是 C1、C2 在第二、 四象限的公共点，若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是（ ） A． B． C． D． 考点： 椭圆的简单性质．756122 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意 ，解此方程组可求得 x，y 的值，利用双曲线的定义及性质即 可求得 C2 的离心率． 解答： 解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点 A 为椭圆 C1： +y2=1 上的点， ∴2a=4，b=1，c= ；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即 x+y=4；① 又四边形 AF1BF2 为矩形， ∴+=，即 x2+y2=（2c）2= =12，② 由①②得： ，解得 x=2﹣ ，y=2+ ，设双曲线 C2 的实轴长为 2a，焦距为 2c， 则 2a=，|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2 ，2c=2 =2 ，∴双曲线 C2 的离心率 e= = 故选 D． =．点评： 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题． 10．（5 分）（2013•浙江）设 a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下： a∧b= a∨b= 若正数 a、b、c、d 满足 ab≥4，c+d≤4，则（ ） A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2 考点： 函数的值．756122 专题： 计算题；新定义． 分析： 依题意，对 a，b 赋值，对四个选项逐个排除即可． 解答： 解：∵a∧b= ，a∨b= ，第 8 页 共 16 页 正数 a、b、c、d 满足 ab≥4，c+d≤4， ∴不妨令 a=1，4，则 a∧b≥2 错误，故可排除 A，B； 再令 c=1，d=1，满足条件 c+d≤4，但不满足 c∨d≥2，故可排除 D； 故选 C． 点评： 本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题． 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分. 11．（4 分）（2013•浙江）已知函数 f（x）= ，若 f（a）=3，则实数 a= 10 ． 考点： 函数的值．756122 专题： 计算题． 分析： 利用函数的解析式以及 f（a）=3 求解 a 即可． 解答： 解：因为函数 f（x）= ，又 f（a）=3， 所以 ，解得 a=10． 故答案为：10． 点评： 本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力． 12．（4 分）（2013•浙江）从三男三女 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的概率均相等），则 2 名都是女同学的 概率等于 ． 考点： 古典概型及其概率计算公式．756122 专题： 概率与统计． 分析： 由组合数可知：从 6 名学生中任选 2 名共有 =15 种情况，2 名都是女同学的共有 =3 种情况，由古典概 型的概率公式可得答案． 解答： 解：从 6 名学生中任选 2 名共有 =15 种情况， 满足 2 名都是女同学的共有 =3 种情况， 故所求的概率为： 故答案为： =点评： 本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题． 13．（4 分）（2013•浙江）直线 y=2x+3 被圆 x2+y2﹣6x﹣8y=0 所截得的弦长等于 4 ． 考点： 直线与圆的位置关系．756122 专题： 计算题；直线与圆． 分析： 求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可． 解：圆 x2+y2﹣6x﹣8y=0 的圆心坐标（3，4），半径为 5， 解答： 圆心到直线的距离为： ，第 9 页 共 16 页 因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理， 所以直线 y=2x+3 被圆 x2+y2﹣6x﹣8y=0 所截得的弦长为：2× =4 ．故答案为：4 ．点评： 本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查转化思想与计算能力． 14．（4 分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于 ． 考点： 程序框图．756122 专题： 图表型． 分析： 由题意可知，该程序的作用是求解 S=1+ +++的值，然后利用裂项求和即可求解． + 的值． 解答： 解：由题意可知，该程序的作用是求解 S=1+ ++而 S=1+ +++=1+1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ = ． 故答案为： ． 点评： 本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能． 15．（4 分）（2013•浙江）设 z=kx+y，其中实数 x、y 满足 2 ． 若 z 的最大值为 12，则实数 k= 考点： 简单线性规划．756122 专题： 计算题；不等式的解法及应用． 分析： 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数 z=kx+y 对应的直线进行平 移．经讨论可得当当 k＜0 时，找不出实数 k 的值使 z 的最大值为 12；当 k≥0 时，结合图形可得：当 l 经过 点 C 时，zmax=F（4，4）=4k+4=12，解得 k=2，得到本题答案． 第 10 页 共 16 页 解答： 解：作出不等式组 表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部， 其中 A（2，0），B（2，3），C（4，4） 设 z=F（x，y）=kx+y，将直线 l：z=kx+y 进行平移，可得 ①当 k＜0 时，直线 l 的斜率﹣k＞0， 由图形可得当 l 经过点 B（2，3）或 C（4，4）时，z 可达最大值， 此时，zmax=F（2，3）=2k+3 或 zmax=F（4，4）=4k+4 但由于 k＜0，使得 2k+3＜12 且 4k+4＜12，不能使 z 的最大值为 12， 故此种情况不符合题意； ②当 k≥0 时，直线 l 的斜率﹣k≤0， 由图形可得当 l 经过点 C 时，目标函数 z 达到最大值 此时 zmax=F（4，4）=4k+4=12，解之得 k=2，符合题意 综上所述，实数 k 的值为 2 故答案为：2 点评： 本题给出二元一次不等式组，在目标函数 z=kx+y 的最大值为 12 的情况下求参数 k 的值，着重考查了二元 一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 16．（4 分）（2013•浙江）设 a，b∈R，若 x≥0 时恒有 0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则 ab 等于 ﹣1 ． 考点： 函数恒成立问题．756122 专题： 转化思想；函数的性质及应用． 22由题意，x≥0 时恒有 0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1） ，考察（x2﹣1） ，发现当 x=±1 时，其值都为 0，再对照不 分析： 等式左边的 0，可由两边夹的方式得到参数 a，b 满足的方程，从而解出它们的值，即可求出积 解答： 解：验证发现， 当 x=1 时，将 1 代入不等式有 0≤a+b≤0，所以 a+b=0； 当 x=﹣1 时，将﹣1 代入不等式有 0≤2﹣a+b≤0，所以 b﹣a=﹣2 联立以上二式得：a=1，b=﹣1 所以 ab=﹣1 故答案为﹣1 点评： 本题考查函数恒成立的最值问题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解， 本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，将问题灵活转化是解题的关键 17．（4 分）（2013•浙江）设 的最大值等于 2 ． 、为单位向量，非零向量 =x +y ，x、y∈R．若 、的夹角为 30°，则 考点： 数量积表示两个向量的夹角．756122 专题： 平面向量及应用． 第 11 页 共 16 页 分析： 由题意求得 =，| |= =，从而可得 ，===再利用二次函数的性质求得 的最大值． 解答： 解：∵ 、为单位向量， 和的夹角等于 30°，∴ =1×1×cos30°= ．∵非零向量 =x +y ，∴| |= ==，∴====，故当 =﹣ 时， 故答案为 2． 取得最大值为 2， 点评： 本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档 题． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14 分）（2013•浙江）在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2asinB= b． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 a=6，b+c=8，求△ABC 的面积． 考点： 正弦定理；余弦定理．756122 专题： 解三角形． 分析： （Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出 sinA 的值，由 A 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的 度数； （Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将 a，b+c 及 cosA 的值代入求出 bc 的值，再由 sinA 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 的面积． 解答： 解：（Ⅰ）由 2asinB= b，利用正弦定理得：2sinAsinB= sinB， ∵sinB≠0，∴sinA= 又 A 为锐角， ，则 A= ；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即 36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc， ∴bc= ，又 sinA= 则 S△ABC= bcsinA= ，．点评： 此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 19．（14 分）（2013•浙江）在公差为 d 的等差数列{an}中，已知 a1=10，且 a1，2a2+2，5a3 成等比数列． （Ⅰ）求 d，an； 第 12 页 共 16 页 （Ⅱ） 若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|． 考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．756122 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （Ⅰ）直接由已知条件 a1=10，且 a1，2a2+2，5a3 成等比数列列式求出公差，则通项公式 an 可求； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{an}的前 11 项大于等于 0，后面的项小于 0，所以分类讨论求 d ＜0 时|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的和． 解答： 解：（Ⅰ）由题意得 ，即 ，整理得 d2﹣3d﹣4=0．解得 d=﹣1 或 d=4． 当 d=﹣1 时，an=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11． 当 d=4 时，an=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6． 所以 an=﹣n+11 或 an=4n+6； （Ⅱ）设数列{an}的前 n 项和为 Sn，因为 d＜0，由（Ⅰ）得 d=﹣1，an=﹣n+11． 则当 n≤11 时， ．当 n≥12 时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=﹣Sn+2S11= ．综上所述， |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= ．点评： 本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的 数学思想方法和学生的运算能力，是中档题． 20．（15 分）（2013•浙江）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥面 ABCD，AB=BC=2，AD=CD= ，PA= ∠ABC=120°，G 为线段 PC 上的点． ，（Ⅰ）证明：BD⊥面 PAC； （Ⅱ）若 G 是 PC 的中点，求 DG 与 PAC 所成的角的正切值； （Ⅲ）若 G 满足 PC⊥面 BGD，求 的值． 考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．756122 专题： 空间位置关系与距离；空间角． 第 13 页 共 16 页 分析： （Ⅰ）由 PA⊥面 ABCD，可得 PA⊥BD；设 AC 与 BD 的交点为 O，则由条件可得 BD 是 AC 的中垂线，故 O 为 AC 的中点，且 BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得 BD⊥面 PAC． （Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO 为 DG 与平面 PAC 所成的角，求出 GO 和 AC 的值，可 得 OC、OD 的值，再利用直角三角形中的边角关系求得 tan∠DGO 的值． （Ⅲ）先证 PC⊥OG，且 PC= =．由△COG∽△PCA，可得 ，解得 GC 的值，可得 PG=PC﹣GC 的值，从而求得 的值． 解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥面 ABCD，∴PA⊥BD． 解答： ∵AB=BC=2，AD=CD= ，设 AC 与 BD 的交点为 O，则 BD 是 AC 的中垂线，故 O 为 AC 的中点，且 BD⊥AC． 而 PA∩AC=A，∴BD⊥面 PAC． （Ⅱ）若 G 是 PC 的中点，则 GO 平行且等于 PA，故由 PA⊥面 ABCD，可得 GO⊥面 ABCD，∴GO⊥OD， 故 OD⊥平面 PAC，故∠DGO 为 DG 与平面 PAC 所成的角． 由题意可得，GO= PA= △ABC 中，由余弦定理可得 AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12， ∴AC=2 ，OC= ．．∵直角三角形 COD 中，OD= =2， ∴直角三角形 GOD 中，tan∠DGO= =．（Ⅲ）若 G 满足 PC⊥面 BGD，∵OG⊂平面 BGD， ∴PC⊥OG，且 PC= =．由△COG∽△PCA，可得 ，即 ，解得 GC= ，∴PG=PC﹣GC= ﹣=，∴== ． 点评： 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档 题． 21．（15 分）（2013•浙江）已知 a∈R，函数 f（x）=2×3﹣3（a+1）x2+6ax （Ⅰ）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）若|a|＞1，求 f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值． 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．756122 专题： 导数的综合应用． 分析： （Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方 程； （Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值． 解：（Ⅰ）当 a=1 时，f′（x）=6×2﹣12x+6，所以 f′（2）=6 解答： ∵f（2）=4，∴曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为 y=6x﹣8； （Ⅱ）记 g（a）为 f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值． 第 14 页 共 16 页 f′（x）=6×2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a） 令 f′（x）=0，得到 x1=1，x2=a 当 a＞1 时， x0（0，1） +1（1，a） ﹣a（a，2a） 2a f′（x） f（x） 00+4a3 极大值 3a﹣1 0单调递增 单调递减 极小值 e2（3﹣a） 单调递增 比较 f（0）和 f（a）=a2（3﹣a）的大小可得 g（a）= 当 a＜﹣1 时， ；﹣2a ﹣28a3﹣24a2 （1，﹣2a） +X0（0，1） ﹣1f′x） 0极小值 3a﹣1 f（x） 0单调递减 单调递增 ∴g（a）=3a﹣1 ∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为 g（a）= ．点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论 的数学思想，属于中档题． 22．（14 分）（2013•浙江）已知抛物线 C 的顶点为 O（0，0），焦点 F（0，1） （Ⅰ）求抛物线 C 的方程； （Ⅱ） 过F 作直线交抛物线于 A、B 两点．若直线 OA、OB 分别交直线 l：y=x﹣2 于 M、N 两点，求|MN|的最小 值． 考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．756122 专题： 综合题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点 F（0，1）可直接求得 p，确定出抛物线的开口方向，写出它的 标准方程； （II）由题意，可 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 的方程为 y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程 联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值． 解答： 解：（I）由题意可设抛物线 C 的方程为 x2=2py（p＞0）则 =1，解得 p=2，故抛物线 C 的方程为 x2=4y （II）设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 的方程为 y=kx+1 第 15 页 共 16 页 由消去 y，整理得 x2﹣4kx﹣4=0 所以 x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|= =4 由解得点 M 的横坐标为 xM= ==，同理可得点 N 的横坐标为 xN= 所以|MN|= |xM﹣xN|=| 令 4k﹣3=t，t 不为 0，则 k= 当 t＞0 时，|MN|=2 ﹣|=8 ||= ＞2 当 t＜0 时，|MN|=2 =2 ≥综上所述，当 t=﹣ 时，|MN|的最小值是 点评： 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求 解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题 最后求最值时引入变量 t，就起到了简化计算的作用 第 16 页 共 16 页
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