2021 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷 类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑: 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. A x 2 x 4 B 2,3,4,5 A B 1. 设集合 ,,则 ()22,3 3,4 2,3,4 A. B. C. C. D. D. z z i 2. 已知 ,则 ()z 2i A. B. 6 2i 6 2i 4 2i 4 2i 3. 已知圆锥的底面半径为 ,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )2A. B. C. D. 242 2 4 2 6f x 7sin x 4. 下列区间中,函数 单调递增的区间是( )2π3 23 2,2 0, ,π , A. B. C. D. 2×2 y2 FFMF MF 5. 已知 ,是椭圆 :的两个焦点,点 在上,则 的最大值为( )CC1 M121294A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 sin 1 sin 2 6. 若 ,则 ()tan 2 sin cos 6522565AB. C. D. 5y ex a,b 7. 若过点 可以作曲线 的两条切线,则( )eb a ea b A. B. D. 0 a eb 0 b ea C. 8. 有 6 个相同的球,分别标有数字 1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取 1 个球,甲表示 事件“第一次取出的球的数字是 1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”,丙表示事件“两次取出的球的 数字之和是 8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”,则( )A. 甲与丙相互独立 C. 乙与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁相互独立 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. xxxyyyy x c 9. 有一组样本数据 ,2 ,…, n ,由这组数据得到新样本数据 ,2 ,…, n ,其中 (11ii为i 1,2,,n),c 非零常数,则( )A. 两组样本数据的样本平均数相同 的B. 两组样本数据 样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样数据的样本极差相同 P cos,sin 1 P cos ,sin 2 P cos ,sin A 1,0 ( ) ,10. 已知 为坐标原点,点 ,,O3 ,则( ) OP OP AP AP A. C. B. D. 1212 OAOP3 OP OP OAOP OP OP 1212322A 4,0 B 0,2 11. 已知点 在圆 上,点 、,则( )Px 5 y 5 16 A. 点 到直线 的距离小于 的距离大于 P10 2AB B. 点 到直线 PAB PB 3 2 C. 当 最小时, PBA PB 3 2 D. 当 最大时, PBA 1 ,其中 ABC A B C AB AA 1 0,1 12. 在正三棱柱 1 中, ,点 满足 P,BP BC BB 111 0,1 ,则( )A. 当 B. 当 C. 当 D. 当 △AB P 1 时, 的周长为定值 1 1 P A BC 时,三棱锥 的体积为定值 11 A P BP 时,有且仅有一个点 P,使得 121A B AB P 1 时,有且仅有一个点 P,使得 平面 12三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. f x x3 a2x 2x a 13. 已知函数 是偶函数,则 ______. 2xp 0 Q14. 已知 为坐标原点,抛物线 :()的焦点为 ,为上一点, 与轴垂直, OCy 2px PCFPF xPQ OP FQ 6 ,则 的准线方程为______. 为轴上一点,且 ,若 Cf x 2x 1 2ln x 15. 函数 的最小值为______. 16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为 20dm12dm 的长方形纸,对折 1 次共可以得到 ,10dm12dm 20dm6dm 两种规格的图形,它们的面积之和 S1 240dm2 ,对折 2 次共可以得到 ,,三种规格的图形,它们的 5dm12dm 10dm6dm 20dm3dm S 180dm2 n面积之和 ,以此类推,则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为______;如果对折 次, 2n2S 那么 ______ .dm kk1 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. an 1,n为奇数, aa 1 a,n1 17. 已知数列 满足 n1an 2,n为偶数. b a bbb(1)记 2n ,写出 ,2 ,并求数列 的通项公式; n1na(2)求 的前 20 项和. n18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛,有 A,B 两类问题,每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并 从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束:若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一 个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分,否则得 0 分: B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分,否则得 0 分,己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8,能正 确回答 B 类问题的概率为 0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答 A 类问题,记 为小明的累计得分,求 的分布列; XX的(2)为使累计得分 期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由. 2ac19. 记 是内角 ,,的对边分别为 ,, .已知 ,点 在边 D上, ABC BDsin ABC asinC (1)证明: BD b (2)若 ABCbAC b ac .;,求 .AD 2DC cosABC 20. 如图,在三棱锥 中,平面 平面 ,,为的中点. BD A BCD BCD OABD AB AD (1)证明: ;OA CD 的(2)若OCD 是边长为 1 等边三角形,点 在棱 上, ,且二面角 E BC D 的大小为 DE 2EA EAD ,求三棱锥 的体积. 45 A BCD xOy F 17,0 1 F2 17,0 MF MF 2 21. 在平面直角坐标系 中,已知点 、,点 的轨迹为 .CM12(1)求 的方程; C12Q的两条直线分别交 x (2)设点 在直线 上,过 于A、B两点和 P,两点,且 CTTTA TB TP TQ PQ 的斜率之和. ,求直线 的斜率与直线 AB f x x 1 ln x 22. 已知函数 . f x (1)讨论 的单调性; 1 1 2 e .abln a alnb a b (2)设 ,为两个不相等的正数,且 ,证明: ba b
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