2021年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）下载

2021 年普通高等学校招生全国统一 考试（全国乙卷） 数学（文） 一､选择题 1.已知全集U {1,2,3,4,5}，集合 M {1,2} ，N {3,4}，则CU (M  N)  （ ) A.{5} B.{1,2} C.{3,4} D.{1,2,3,4} 2.设iz  4  3i ，则 z  A.3 4i （）B.–3 4i C.3 4i D.3 4i 3.已知命题 p : xR,sin x 1；命题 q :xR,e|x| 1，则下列命题中为真命题的是（ ）A. p  q B.p  q C. p q D.( p  q) 答案： A解析： 根据正弦函数的值域sin x[1,1] ，sin x 1，故xR ，p为真命题，而函数 y  e|x| 为偶函数，且 x  0 时， y  ex 1，故xR p  q 为真，选 A. ，y  e|x| 1恒成立.则 q也为真命题，所以 xx4.函数 f (x)  sin  cos 的最小正周期和最大值分别是（ ）33A.3 B.3 和和222C.6 D.6 和和2答案： C解析： x  f (x)  2 sin( ) 342 1f (x)max  2 ，T   6 .3故选 C. x  y  4, 5.若 x, y 满足约束条件 x  y  2, 则z  3x  y 的最小值为（ ）y  3, A.18 B.10 C. D. 64答案： C解析： 根据约束条件可得图像如下， z  3x  y 的最小值，即 y  3x  z 图像可知 y  3x  z 过点 B(1,3) 时满足题意，即 zmin  3 3  6 ， y 轴截距最小值.根据 .12 5 12 6.cos2  cos2 （）1A. 23B. 32C. 23D. 2答案： D解析： 12 5 12 12 12 12 63cos2  cos2  cos2  cos2 (  )  cos2 sin2  cos ∴选 D. 2 12 2117.在区间 (0, )随机取 1个数，则取到的数小于 的概率为（ ）233A. 42B. 31C. 31D. 6答案： B解析： 111在区间(0, )随机取 1个数，可知总长度 d  ，取到的数小于 ，可知取到的长度范围 22311dd2331d  ，根据几何概型公式 p  ，∴选 B. 328.下列函数中最小值为 4的是（ ）A. y  x2  2x  4 4B. y |sin x |  |sin x | C. y  2x  22x 4D. y  ln x  ln x 答案： C解析： 对于 A， y  x2  2x  4  x2  2x 1 3  (x 1)2  3  3.不符合， 44对于 B， y |sin x |  ，令 t |sin x |[0,1]，∴ y  t  ，|sin x | t根据对勾函数 ymin 1 4  5 不符合， 42x 对于 C， y  2x  22x  2x  ，令 t  2x  0 ，44∴y  t  2 t  22  4 ，tt当且仅当 t  2时取等，符合， 44对于 D， y  ln x  ，令 t  ln xR ，y  t  .ln x t根据对勾函数 y (,4][4,) ，不符合. 1 x 9.设函数 f (x)  ，则下列函数中为奇函数的是（ ）1 x A. f (x 1) 1 B. f (x 1) 1 C. f (x 1) 1 D. f (x 1) 1 答案： B解析： 1 x 1 x 2f (x)   1 ，1 x 2f (x) 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到 g(x)  为奇函数. x所以选 B. 10.在正方体 ABCD  A B C1D1 中， P为 B D1 的中点，则直线 PB 与 AD1 所成的角为 1112346A. B. C. D. 答案： D解析： 做出图形， AD / /BC1 ，所以 PBC1 为异面直线所成角，设棱长为 1. 1226BC1  2 ，B P  ，PC1  ，BP  .12223 1 2   BC12  BP2 C1P2 2BP BC1 3622cosPBC1  ，即 PBC1  ，故选 D. 262  2 2×2  y2 1 11.设 B是椭圆 C:P的上顶点，点 在C 上，则 PB 的最大值为 55A. 2B. 65C. D. 2答案： A解析： x2 方法一：由C :  y2 1 ，B(0,1) 5x  5 cos y  sin 则C的参数方程： .| PB | (sin 1)2  ( 5cos)2  4sin2   2sin  6 125 452 4(sin  )2  .45∴| PB |max ，故选 A. 2×02 方法二：设 P(x0 , y0 ) ，则  y02 1(y0 [1,1]) ①， B(0,1) .5因此| PB |2  x02  (y0 1)2 ②将①式代入②式化简得： 125 25 145| PB |2  4(y0  )2  ，当且仅当 y0   时| PB |的最大值为 ，故选A. 444212.设 a  0 ，若 x  a 为函数 f (x)  a(x  a)2 (x b) 的极大值点，则 A.a  b B.a  b C.ab  a2 D.ab  a2 答案： D解析： 2f (x)  2a(x  a)(x b)  a(x  a)  a(x  a)(3x  2b  a) 当a  0 时，原函数先增再减后增. 原函数在 f (x)  0的较小零点时取得极大值. a  2b 即当a  ，即 a  b ，∴ a2  ab .3a  0 时，原函数先减再增后减. 原函数在 f (x)  0的较大零点时取得极大值. a  2b 即a  ，a  b ，，a2  ab ，故选 D. 3二、填空题 13.已知向量 a  (2,5) b  (,4)，若 a / /b，则   .答案： 85解析： 8a / /b 24  5    .可得 5由已知 x2 y2 1 14.双曲线 的右焦点到直线 的距离为 .x  2y 8  0 45答案： 5解析： x2 y2 | 38| 12  22 1的右焦点为 (3,0) 到直线 的距离 d   5 .x  2y 8  0 ，4515.记 ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，面积为 3，B  60 ,a2  c2  3ac，则b  .答案： 2 2 解析： 1由面积公式 S  acsin B  3 ，且 B  60，解得 ac  4 ，2又由余弦定理b2  a2  c2  2accos B ，a2  c2  3ac，且b  0 解得b  2 2 .16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的 三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）. 答案： ②⑤或③④ 解析： 由高度可知，侧视图只能为②或③. ， BABC 5， 侧视图为②，如图（1），平面 PAC 平面 ABC AC  2，俯视图为⑤. ，PA  PC  2， ACAB 5， 俯视图为③，如图（2）， PA平面 ABC PA 1 ，BC  2 ，俯视图 为④. 17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用 一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.410.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y ，样本方差分别记为 s12 和s22 .（1）求 x ， y ， ， ； s12 s22 （ 2） 判 断 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 是 否 有 显 著 提 高 （ 如 果 s12  s22 y  x  2 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则 10 不认为有显著提高）. 答案： 见解析 解析： 9.8 10.310 10.2  9.9  9.8 10 10.110.2  9.7 x  y  10 ；10 10.110.4 10.110 10.110.310.6 10.5 10.4 10.5 10.3 .10 1s12  (0.04  0.09  0.04  0.01 0.04  0.01 0.04  0.09) 10 10.36  0.036 10 1s22  (0.04  0.01 0.04  0.09  0.04  0.09  0.04  0.01 0.04) 10 10.4  0.04 .10 （2） y  x 10.310  0.3 s12  s22 10 0.036  0.04 2 2  2 0.0076 .10 ∵则 0.3  0.09  2 0.076 0.0304 ，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较 旧设备有显著提高； 没有显著提高. 18.如图，四棱锥 P  ABCD 的底面是矩形， PD  底面 ABCD PB  AM （1）证明：平面 PAM 平面 PBD ， M 为 BC 的中点，且 .﹔（2）若 PD  DC 1，求四棱锥 P  ABCD 的体积. 答案： 见解析 解析： nan 19.设{an}是首项为 列. 1的等比数列，数列{bn}满足bn  .已知 a1 ，3a2 ，9a3 ，成等差数 3（1）求{an} 和{bn}的通项公式； Sn （2）记 Sn ，和 Tn 分别为{an} 和{bn}的前 n项和.证明：Tn  .2答案： 见解析 解析： 设{an}的公比为 q，则 an  qn1 ，1因为 a1 ，3a2 ，9a3 成等差数列，所以1 9q2  23q ，解得 q  ，311 3n 1131故又an  ( )n1 ，Sn   (1 ) . 323n 1 32n13n 1 nbn  ，则Tn   ，3n 31 32 33 3n1 3n 11123n 1 n3n1 两边同乘 ，则 Tn   ，3332 33 34 3n 211111n两式相减，得 Tn    ，33 32 33 34 3n 3n1 131(1 )3n 2n3n1 11n即 Tn   (1 )  ，323n 3n1 11 331n342n  3 23n 整理得Tn  (1 )  ，43n 23n 32n  3 314n  3 2Tn  Sn  2(  )  (1 )    0 ，423n 23n 23n Sn 故Tn  .220.已知抛物线 （1）求 的方程，  为坐标原点，点 P 在C 上，点Q 满足 PQ  9QF ，求直线OQ 斜率的最大值. C：y2  2px( p  0) 的焦点 F 到准线的距离为 2 . C （2）已知 O答案： 见解析 解析： （1）由焦点到准线的距离为 p，则 p  2 .抛物线 c的方程： y2  4x .y02 （2）设点 P( ,y0 ) ，Q(xQ , yQ ) ，F(1,0) . 4  .∵PQ  9QF y02 9  y02 y02 410 x   9 9xQ x  QQ∴(xQ  , y  y )  9(1 x ,y )  4Q0QQ4yQ  y0  9xQ y0 y  Q10 yQ xQ y0 111则kOQ .y02 9y0 3949  2y0 441∴直线OQ 斜率的最大值为 . 321.已知函数 f (x)  x3  x2  ax 1 （1）讨论 f (x) 的单调性； .（2）求曲线 y  f (x) 过坐标原点的切线与曲线 y  f (x) 的公共点的坐标. 答案： 见解析 解析： 2（1） f (x)  3x  2x  a 1（i）当   4 12a  0 ，即 a  时， f (x)  0 恒成立，即 f (x) 在f (x) 在xR 上单调 3递增. 11 13a （ ii ） 当  4 12  0， 即a  时 ，f (x)  0解 得 ，x1  ，331 13a x2  .31 13a 1 13a 1 13a 1 1 3a ∴f (x) 在(, )，(,)单调递增，在 (,)单在333311调 递 减 ， 综 上 所 述 ： 当a  时 ，f (x) 在R上 单 调 递 增 ； 当a  时 ，f (x) 331 13a 1 1 3a (,)单调递减. 332（2）设可原点切线的切点为 (t,t3 t2  at 1) ，切线斜率 k  f (t)  3t  2t  a .又 t3 t2  at 1 t3 t2  at 1 k  ，可得  3t2  2t  a .化简得 (t 1)(2t2  t 1)  0 ，即 ttt 1.∴切点为 (1,a 1) ，斜率 k  a 1，切线方程为 y  (a 1)x ，将 y  (a 1)x y  x3  x2  ax 1联立可得 x3  x2  ax 1 (a 1)x ，化简得 (x 1)2 (x 1)  0，解得 x1 1 x2  1.∴过原点的切线与 y  f (x) 公共点坐标为 (1,a 1) (1,a 1) ，，，.22.在直角坐标系 xOy 中， C 的圆心为C(2,1) ，半径为 （1）写出 C 的一个参数方程; 1. （2）过点 F(4,1) 作C 的两条切线.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系， 求这两条切线的极坐标方程. 答案： 见解析 解析： x  2  cos （1） C 的参数方程为 （ 为参数） y 1 sin （2） C 的方程为 (x  2)2  (y 1)2 1 ①当直线斜率不存在时，直线方程为 x  4 ，此时圆心到直线距离为 2  r ，舍去； ②当直线斜率存在时，设直线方程为 y 1 k(x  4) ，化简为 kx  y  4k 1 0 ，| 2k 1 4k 1| 此时圆心C(2,1)到直线的距离为 d   r 1 ，k2 1 化简得 2 | k | k2 1 ，3两边平方有 4k2  k2 1，所以 k   3代入直线方程并化简得 x  3y  3  4  0 或x  3y  3  4  0 化为极坐标方程为 5 6 cos  3 sin  4  3   sin(  )  4  3 6或 cos  3 sin  4  3   sin(  )  4  3 .23.已知函数 f (x) | x  a |  | x  3| .（1）当 a 1时，求不等式 f (x)  6的解集； （2）若 f (x)  a ，求 a 的取值范围. 答案： 见解析 解析： 当a 1时， f (x)  6 | x 1|  | x  3| 6 ，当当当x  3时，不等式  1 x  x 3  6 ，解得 x  4 3  x 1时，不等式  1 x  x  3  6 ，解得 x x 1时，不等式  x 1 x  3  6 ，解得 x  2 ；；.综上，原不等式的解集为 (,4][2,) （2）若 f (x)  a ，即 f (x)min  a .，因为 f (x) | x  a |  | x  3|| (x  a)  (x  3) || a  3|（当且仅当 (x  a)(x  3)  0 时， 等号成立），所以 f (x)min | a  3| ，所以| a  3| a ，即 a  3  a 或a  3  a ，解得 3a( ,) .2