2021年上海市夏季高考数学试卷下载

2021 年上海市夏季高考数学试卷 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1、已知 z1 1 i, z2  2  3i （其中 i为虚数单位），则 z1  z2  AI B  3、若 x2  y2  2x  4y  0 ,则圆心坐标为 ．2、已知 A  x 2x 1 ,B  1,0,1 , 则uuur uuur 则 AB AC  4、如图边长为 3 的正方形 ABCD, 35、已知 f (x)  2, 则f 1(1)  x6.已知二项式 x  a 5 的展开式中， x2 的系数为80 ，则 a  ________． x  3 z7、已知 ,目标函数 z  x  y ，则 的最大值为 2x  y  2  0 3x  y 8  0 8、已知无穷递缩等比数列 a  3,b  a , a的各项和为9, 则数列 b  n的各项和为   1n2n n9、在圆柱底面半径为 1,高为 2 , AB 为上底底面的直径,点C 是下底底面圆弧上的一个动点，点C 绕 着下底底面旋转一周，则 ABC 面积的范围 10.甲、乙两人在花博会的 A、B、C、D 不同展馆中各选 的概率为________． 2个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同 11、已知抛物线 y2  2px( p  0) ,若第一象限的点 A、B 在抛物线上，抛物线焦点为 F, AF  2, BF  4, AB  3, 则直线 AB 的斜率为 12.已知 ai N* (i 1,2,9) ，且对任意 k N* 2  k  8 都有 ak  ak1 1 或ak  ak1 1中有且仅 有一个成立， a1  6 ，a9  9 ，则 a1  a9 的最小值为________． 二、选择题（本大题共有 4 题，每题 5 分，满分 20 分） 13、以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ）A. f (x)  3x B. f (x)  x3 C. f (x)  log3x D. f (x)  3x 3x  3t  4t 14、已知参数方程 (t [1,1]) ,以下哪个图像是该方程的图像 （ ）y  2t  1 t2 2215.已知 f x  3sin x  2 ，对于任意的 x2  0,   ，都存在 x1  0, ，使得 f x +2 f x  3 成立，则下列选项中， 可能的值是（ ）  123 4 6 7 5A. B. C. D. 555x , y , x , y , x , y x  y  x  y  x  y 16、已知两两不同的 3 满足 ，112231122331x y x y 2x y 0 x  y x  y x  y ，且，，，则下列选项中恒成立的是（ ）11332211223322A. 2×2  x1  x3 B. 2×2  x1  x3 C. x2  x1x3 D. x2  x1x3 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分,解答下列各题必须写出必要的步骤) 17、如图，在长方体 ABCD  A B C1D1 中， AB  BC  2, AA  3 111（1)若 P 是边 A D1 的动点，求三棱锥 P  ADC 的体积； 1（2)求 AB1 与平面 ACC1A1 所成的角的大小. 18、在Δ ABC 中，已知 a  3,b  2c 2 （1)若 A  , 求Δ ABC 的面积；（2)若 2sinBsinC 1,求Δ 3ABC 的周长. 19.已知某企业今年（2021 年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度（一年有四个季度）营 业额都比前一季度多 0.05 亿元，该企业第一季度是利润为 0.16 亿元，以后每一季度的利润都比前一 季度增长 4% .（1）求 2021 第一季度起 20 季度的营业额总和； （2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的18% ？x2 20、已知  :  y2 1,F、F2 是其左右焦点， P(m,0)(m  2) ,直线 l过点 P交于A、B 两点， 12且A在线段 BP 上. uuur uuur 是上顶点， BF  PF , （1)若 B求m的值； 的距离为 11uuur uuur 114 15 15 （2)若 F A F2 A  , 且原点 O到直线 l，求直线 l 的方程； 3uuur uuur （3)证明：证明：对于任意 m  2, 总存在唯一一条直线使得 F A / /F2B .121、如果对任意 x1, x2  ¡ 使得 x1  x2  S 都有 f (x1)  f (x2 ) S ,则称 f (x) （1)判断并证明 f (x)  2x 1是否是[0,) 关联？是否是[0,1]关联？ 是 S 关联的. （2) f (x) 是3  关联的，在[0,3)上有 f (x)  x2  2x ,解不等式 2  f (x)  3 ；（3)“ f (x) 是3  关联的，且是[0,) 关联”当且仅当“ f (x) 是[1,2] 关联的”． 22021 年上海市夏季高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1.已知 z1 1 i, z2  2  3i （其中 i为虚数单位），则 z1  z2  ．【思路分析】复数实部和虚部分别相加 z  z  3 4i 【解析】： 12【归纳总结】本题主要考查了复数的加法运算，属于基础题． 2、已知 A  x 2x 1 ,B  1,0,1 , 则 AI B  【思路分析】求出集合 A，再求出 AB1 【解析】： A  x 2x 1  x x  ，所以 AI B  1,0 2【归纳总结】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题． 3、若 x2  y2  2x  4y  0 ,则圆心坐标为 【思路分析】将圆一般方程化为标准方程，直接读取圆心坐标 22×2  y2  2x  4y  0 （x 1）（y  2） 5 所以圆心为 【解析】： 可以化为 (1,2) 【归纳总结】本题主要考查了圆的方程，属于基础题． uuur uuur 则 AB AC  4、如图边长为 3 的正方形 ABCD, 【思路分析】利用向量投影转化到边上. uuur uuuruuur 【解析】方法一： AB AC  AB 2 =9 uuur uuur | AC | 3 2 uuur uuur  AC , AB  4方法二：由已知| AB | 3 ，，，uuur uuur AB AC  33 2 2则 9 ； 2【归纳总结】本题考查了平面向量的数量积的定义、正方形的几何性质；基础题； 35、已知 f (x)  2, 则f 1(1)  x【思路分析】利用反函数定义求解. 3【解析】由题意，得原函数的定义域为： ( , 0) U(0 ,  ) ，结合反函数的定义，得1  2 ，x解得 x  3，所以， f 1(1)  3 ；【归纳总结】本题主要考查了反函数的定义的应用，属于基础题． 6.已知二项式 x  a 5 的展开式中， x2 的系数为80 ，则 a  ________． 【思路分析】利用二项式展开式通项公式求解. 【解析】Tr1  C5r ar x5r  r  3,C53a3  80,a  2 【归纳总结】本题考查了二项式定理的通项公式、组合数公式与指数 幂运算；基础题。 3x  3 z7、已知 ,目标函数 z  x  y ，则 的最大值为 2x  y  2  0 3x  y 8  0 【思路分析】作出不等式表示的平面区域，根据 z 的几何意义求最值. 【解析】如图，可行域的三个顶点为： (3 , 4) 结合直线方程与 的几何意义，得x  3 y  1，则 z最大值 =4 、(2 , 2) ， (3 , 1)， z，；当x  3, y  1, zmax  4 【归纳总结】本题主要考查线性规划的规范、准确作图与直线方程中“参数”的几何意义与数形结 合思想； 8、已知无穷递缩等比数列 a  3,b  a , a 的各项和为9, 则数列 b 的各项和为 n n     1n2n 【思路分析】利用无穷递缩等比数列求和公式建立方程求出公比，再得到bn 通项公式，根据特点求 和. a1 323【解析】 S   9  q  ，1 q 1 q 24b218 5bn  a2n  a1 q2n1  3( )2n1  b  2,q0  Sb  1149391 q0 1 【归纳总结】本题考查了数列的基本问题：等比数列与无穷递缩等比数列的各项和的概念与公式； 同时考查了学生的数学阅读与计算能力。 9、在圆柱底面半径为 着下底底面旋转一周，则 ABC 面积的范围 【思路分析】注意几何题设与几何性质选择求 ABC 面积的的方法； 【解析】由题意，当点 在下底底面圆弧上的运动时，ABC 的底边 1,高为 2 , AB 为上底底面的直径,点C 是下底底面圆弧上的一个动点，点C 绕 CAB  2 ，所以， ABC 面积的取值与高C2O1 相关； C2O  AC1 时， C2O1 最大为： C2O  12  22  5 当，ABC 面积的 111最大值为： 2 5  5 ；21当AB  BC1 时，C2O1 最小为： BC1  2 ，ABC 面积的最大值为： 22  2 ；2所以， ABC 面积的取值范围为：[2 ,5] ；【归纳总结】本题主要考查了圆柱的几何性质，简单的数学建模（选择求三角形面积的方案），等 价转化思想。 10.甲、乙两人在花博会的 A、B、C、D 不同展馆中各选 的概率为________． 2 个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同 【思路分析】注意“阅读，理解”，等价为“两个”排列组合题； 【解析】由题意 四个不同的场馆，每人可选择的参观方法有：C42 种，则甲、乙两 个人每人选 个场馆的参观方法有：C42 C42 种； A、 B 、C 、 D 2由此，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：C41 C31 C21 种； （或等价方法 1：甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：C41  P2 种）； 34（或等价方法 2【补集法】：甲、乙两人参观两个不同一个场馆的参观方法有：C42 C22 种； 甲、乙两人参观两个相同场馆的参观方法有：C42 种； 所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：1C42 C22 C42 种）； C41 C31C21 24 36 23所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的概率为： p  ；C42 C42 【归纳总结】本题主要考查考生的“数学阅读理解”，然后将古典概型问题等价转化为：两个排列、 组合题解之；有点“区分度”； 11、已知抛物线 y2  2px( p  0) ,若第一象限的点 A、B 在抛物线上，抛物线焦点为 F, AF  2, BF  4, AB  3, 则直线 AB 的斜率为 【思路分析】注意理解与应用抛物线的定义以及直线斜率公式的特征； 【解析】方法一：如图，设 A(x1 , y1) ，B(x2 , y2 ) ，再由抛物线的定义结合题 pp设得| AF | x1  2 ，| BF | x2  4 ，则 x2  x1  2 ，22又| AB | (x2  x1)2  (y2  y1)2  3，解得 y2  y1  5 ，Hy2  y1 x2  x1 5则直线 AB 的斜率为： ；2方法二：过 直线 AB 由抛物线定义，得 AA  2 A、B分别向准线引垂线，垂足为 A、B，11与x轴的交点为 P，，BB  4 ，AH  BB1 于 H，11则BN  BB  HB  BB  AA  2，又由已知| AB | 3，则| AH | 5 ， 11115结合平面几何中，“内错角相等”，所以，直线 AB 的斜率为： tan BPF  tan ABH  )2方 法 三 ： ： 结 合 本 题 是 填 充 题 的 特 点 ， 数 形 结 合 并 利 用 “ 二 级 结 论 ” ， 弦 长 公 式 1 k2 | x2  x1 | 3 ，55即1 k2 2  3，解得 k   ，结合题设与图像 k  0 ，所以 k  ）22【归纳总结】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于解析几何的基本计算，甚至都不需要 利用几何关系。定义、弦长、斜率都是解析几何的基本概念与公式；而用好抛物线的定义、数形结 合与平面几何的性质，则可减少计算量； 考查了学生直观想象核心素养，通过几何意义容易求出斜 率来； 12.已知 ai N* (i 1,2,9) ，且对任意 k N* 2  k  8 都有 ak  ak1 1 或ak  ak1 1中有且仅 有一个成立， a1  6 ，a9  9 ，则 a1  a9 的最小值为________． 【思路分析】注意阅读与等价转化题设中的递推关系； 【答案】31； 【解析】方法一：由题设，知： ai 1 ；a2  a1 1 a3  a2 1 …或a2  a3 1中恰有一个成立； 或a3  a4 1中恰有一个成立； a8  a7 1 或a8  a9 1中恰有一个成立； 5则① a2  a1 1 7 a1  a2  a9  25 2(a3  a5  a7），当 a3  a5  a7 =1时， a1  a2  a9 的和为最小值为： 31； ， a3  a4 1， a5  a6 1， a7  a8 1， 则②则a2  a3 1 ， a4  a5 1， a6  a7 1， a8  a9 1， a1  a2  a9  26  2(a4  a6  a8），当 a4  a6  a8 =1时， a1  a2  a9 的和为最小值为： 32； 因此， a1  a2  a9 的最小值为：31）； 方法二：： a2  a1 1 或 a2  a3 1中恰有一个成立；等价为： a2  a1 1或 a3  a2 1中恰有一个 成立； a3  a2 1 …或a3  a4 1中恰有一个成立；等价为： a3  a2 1 a8  a9 1中恰有一个成立；等价为： a3  a2 1 或a4  a3 1中恰有一个成立； a8  a7 1 或或a9  a8 1中恰有一个成立； 又要求 a1  a2  a9 的和为最小，所以，希望尽量出现 1 和 2， 则有数列：6，1，2，1，2，1，2，8，9 或 6，7，1，2，1，2，1，2，9； 因此， a1  a2  a9 的最小值为：31；） 方法三：：设bk  ak1  ak ，bk 或bk1 恰好只有一个为 1； ①b  b3  b5  b7 1, a1  6,a2  7,a3 1,a4  a3 1 2,a5 1,a6  a5 1 2,a7 1,a8  a7 1 2, 1a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7  a8  a9  6  7 1 2 1 2 1 2  9  31 ②b2  b4  b6  b8 1, a8  8,a2 1,a3  a2 1 2,a4 1,a5  a4 1 2,a7 1,a7  a6 1 2, a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7  a8  a9  6 1 2 1 2 1 2 8  9  32 a1  a2  a9 的最小值为31 ）方法四：：由题设，知： ai 1；由题设，得： a2  a1 1  a3  a2 1  a4  a3 1  a5  a4 1  a6  a5 1  a7  a6 1  a8  a7 1  a9  a8 1  再结合题设，要使 a1  a2  a9 的和为最小， ①考虑按  ： a1  a2  a9  (a1  a3  a7  a9 )  (a2  a4  a6  a8 )  6  9  (a3  a5  a7 )  (a1  a3  a5  a7  4)  25  2(a3  a5  a7 )  25  23  31 当且仅当 a3  a5  a7 1时，等号成立； ②考虑按  ： a1  a2  a9  (a1  a3  a7  a9 )  (a2  a4  a6  a8 )  6  9  (a3  a5  a7 )  (a1  a3  a5  a7  4)  20  2(a3  a5  a7 ) 6 20  2(a2  a4  a6  3)  26  2(a2  a4  a6 )  26  23  32  31 当且仅当 a2  a4  a6 1时，等号成立；） 【归纳总结】本题的核心点在对于两个递推关系的理解与等价转化，然后，结合题设要求“和最 小”；进行枚举或递推分析；对于考试的分析问题、解决问题能力有一定要求；主要考察了学生逻 辑推理核心素养，根据题设推理出 1，2 连续造型值最小，从而判断出整体的最小值，虽然较为简单 但容易出错； 二、选择题（本大题共有 4 题，每题 5 分，满分 20 分） 13、以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ A. f (x)  3x B. f (x)  x3 【思路分析】注意研究函数性质的方法； ）C. f (x)  log3x D. f (x)  3x 【解析】排除法：B、C、D 涉及函数都是增函数； 【归纳总结】本题主要考查函数性质的研究方法；基础题； 3x  3t  4t 14、已知参数方程 (t [1,1]) ,以下哪个图像是该方程的图像 （ ）y  2t  1 t2 【思路分析】注意利用集合观点，根据方程研究曲线的方法； 【 解 析 】 方 法 一 （ 特 值 法 ） ： 令 y  2t 1t2  0 ， 解 得 t  1, 0 ,1， 代 入 参 数 方 程 ， 得 x 1, 0 , 1 ，所以，方程对应的曲线一定过 (1, 0) 、 (0 ,0) 、 (1, 0)，故选 B； 方法二：在方程对应的曲线上任取一点 P(x1 , y1)，对应的参数为：t1 ，3x1  3t1  4t1 由题意，得 ；y  2t 1t2 1113x2  3(t1)  4(t1)  x1 当t  t1 时，代入已知的参数方程 ，得 ，y  2(t ) 1 (t )2  y 2111所以，点Q(x2 , y2 )  (x1 ,  y1) 也在方程对应的曲线上， 所以，方程对应的曲线关于原点成中心对称； 133取t  ，代入参数方程，则 x 1 ，y  ，即点 R(1, ) 在曲线上； ） 22233验证点 S(1,  )、T(1, )都不在曲线上； 221因为，当 x  3t  4t3 1时，t  1 或t  ，2731233当y  2t 1t2   时， t   或t   ，所以，点 S(1,  ) 不在方程对应的曲 222线上； 故，方程对应的曲线不关于 x轴成对称； 1因为，当 x  3t  4t3  1时，t 1 或t   ，231233当y  2t 1t2  时， t  或t  ，所以，点T(1, )不在方程对应的曲线上； 222故，方程对应的曲线不关于 y 轴成对称；故选 B； 【归纳总结】本题主要通过参数方程这个载体，考查了根据方程研究曲线的方法与过程；方法 1： 结合选择题的特点，使用了“特值法”；方法 2：从参数方程视角实践根据方程研究曲线。 2215.已知 f x  3sin x  2 ，对于任意的 x2  0,   ，都存在 x1  0, ，使得 f x +2 f x  3 成立，则下列选项中， 可能的值是（ ）  123 4 6 7 A. B. C. D. 5555【思路分析】注意仔细审题，关注关键词“任意的”、“都存在”； 【解析】方法一：由题设 f (x1)  2 f (x2 )  3，变形得 f (x1)  3 2 f (x2 ) ，22又由题设“ f (x)  3sin x  2 对任意的 x1 [0 , ]，都存在 x2 [0 , ]使得 f (x1)+2 f (x2 )=3 成立”， 2若设函数 f (x)  3sin x  2 对任意的 x1 [0 , ]的值域为 A，2设函数 y  3 2 f (x2 )  1 6sin(x2 ) ，x2 [0 , ]的值域为 B ，则 A  B ， 7 5又 因 为f (x1)[2 , 5]； 而y  3 2 f (x2 )  1 6sin(x2 ) ， 当  = 7 19 时 ， x2  [ ,] ， 510 19 10 19 10 y  3 2 f (x2 )  1 6sin(x2 )[1 6sin , 5]，而1 6sin  0.85  2 符合题意； sin x1 1 方法二：由题意，得3sin x1  2  2[3sin(x2 )  2]  3，解得 sin(x2 )  ，22sin x1 1 1又对于任意的 x1 [0 ,] 时， sin(x2 )  [1,  ] ，22221原问题，等价为：当 x2 [0 ,]时，即 x2  [ ,  ]时， sin(x2 ) 取遍[1,  ] 能所有 2的数； 所以，一定存在整数 k ， 7 63 223 211 62使得：[2k  , 2k  ]  [ ,  ]或者[2k  , 2k  9 ]  [ ,  ] ，6 67 8 6解得 [2k  , 2k  ]或者 [2k  , 2k  ]，所以选 D；） 66方法三： f (x1)  3sin x1  2,2 f (x2 +)  6sin（x2 +） 4, f (x1)+2 f (x2 +)=3 81sinx1  2sin(x2 )  1,sinx1 [0,1],sin(x2 )[1, ] 27 643 219 59 30 30  [2k ,2k  6 ]或 [2k  ,2k  ],k z 37 5  , x1  0, x2 [0,2 ]上有2解，x2  ,[0, ],舍去 的可能值是 ，选 D 52【归纳总结】本题本质就是求三角函数的值域，通过关键词“任意”、“存在”与方程，构建了以 集合间关系为解题的“切入点”，同时考查了：函数与方程、数形结合、等价转化思想；主要考查 了学生数学抽象核心素养，通过整体代入法解决三角函数问题。 x , y , x , y , x , y 3 满足 x  y  x  y  x  y ，16、已知两两不同的 11223112233x y x y 2x y 0 x  y x  y x  y ，且，，，则下列选项中恒成立的是（ ）11332211223322A. 2×2  x1  x3 B. 2×2  x1  x3 C. x2  x1x3 D. x2  x1x3 【思路分析】注意通过审题与理解，进行合理的转化 x  s  a, y  s  a,a  0 11x  s b, y  s  b,b  0  a2  c2  2b2 , s2 b2  0 【解析】方法一： 22x3  s  c, y3  s  c,c  0 (a  c)2  2(a2  c2 )  (a  c)2  a2  c2  2ac  2(a2  c2 )  4b2 a,b,c  0  a  c  2b  x1  x3  2×2 方法二：举特例去选择， x1  4, y1  5, x2  2, y2  7, x3 1, y3  8,代入 方法三：令 x1  y1  x2  y2  x3  y3  2a ，则由已知 x1  a , x2  a , x3  a ，又由 x1(2a  x1)  x3 (2a  x3 )  2×2 (2a  x2 ) （*），构造函数 f (x)  x(2a  x) （*） 即为 f (x1)  f (x3 )  2 f (x2 )，结合函数图像， ，x1  x f (x1)  f (x3 ) x1  x3 f ( 3 )   f (x2 ) ，又函数在 ( , a) 递增，所以  x2 ） 222【归纳总结】本题主要考察了考学生数学数据处理与数学建模核心素养，通过换元、引入参数或根 据条件结构转化为二次函数问题，再通过函数的凹凸性确定出答案，难度较大； 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分,解答下列各题必须写出必要的步骤) 17、如图，在长方体 ABCD  A B C1D1 中， AB  BC  2, AA  3 111（1)若 P 是边 A D1 的动点，求三棱锥 P  ADC 的体积；（2)求 AB1 与平面 ACC1A1 所成的角的大小. 1【思路分析】（1)利用体积计算公式计算；（2）证明OB  平面ACC1A1 ，找到线面角度，再计算 111 1 【解析】（1)如图 1，VPADC  SADC h   223  2 3 2 ；3（2）如图 2， QOB  AC1,OB  OO OB  平面ACC1A   B AO1 为AB1 与平面 ACC1A 11111111B O 226 26 11所成的角；在 RtB AO1 中 B O 2,AB1  13,sin  ,  arcsin 111AB1 13 13 13 9图 1 图 2 【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角的求法，理解线面角的定义，考查学生的空间立体感、 逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 18、在Δ ABC 中，已知 a  3,b  2c 2 （1)若 A  , 求Δ ABC 的面积；（2)若 2sinBsinC 1,求Δ ABC 的周长. 3【思路分析】（1）由已知利用余弦定理即可求解b，c 的值；再利用面积公式求Δ ABC 的面积． （2）根据b  2c 2sinBsinC 1建立关于角度的三角方程，求解sinC,sin B 的值，在求sin A 则根据正弦定理以及 a  3 ，则三边可求． 与，b2  c2  a2 2bc (2c)2  c2 32 13 7 76 7 7【解析】（1)cosA    c  ,b  ；2(2c)c 2112 313 7 739 3 SABC  bcsin A  2c2 sin  2( )2  222214 12b  2c  sin B  2sinC  22sinCsinC 1 sinC  ,sin B  （2） 334 2 95sin A  sin(B C)  sinBcosC cosBsinC  asinC 42  5 9c  , 三角形周长l  a  b  c  a+3c  3 4 2 5 sin A 3【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式在解三角形中的应用，考查 了计算能力和转化思想，属于中档题． 19.已知某企业今年（2021 年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度（一年有四个季度）营 业额都比前一季度多 0.05 亿元，该企业第一季度是利润为 0.16 亿元，以后每一季度的利润都比前一 季度增长 4% .（1）求 2021 第一季度起 20 季度的营业额总和； （2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的18% ？【思路分析】（1）根据每个季度比上个季度营业额增加 0.05 亿元可以知道数列为一个等差数列， 求解 20 季度营业收入总额为即为等差数列前 20 项的和；（2）通过数列通项公式建立数列不等式， 利用计算器计算求解不等式即可。 【解析】（1）设 an 为第 n 季度的营业额，bn 为利润，由题意得， an 的首项为1.1亿元， 公差为 0.05 亿元, 2021到 2025 年， 所以 20 季度营业收入总额为： S20  20a1  2019 d  31.5（亿元） 2（2）由已知得， an  a1  (n 1)d 1.1 0.5(n 1) 由已知的， bn 的首项为 0.16 亿元，公比为1.04 即bn  b qn1  0.161.04n1 ,1所以 an 18%  bn ，利用计算器 991 可得， nmin  26 所以 2027 年第二季度该公司的利润首次超过该季度营业收入的18% 【归纳总结】本题主要考查了等差、比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用，考查了阅读理解能 力、计算能力，属于中档题． 10 x2 20、已知  :  y2 1,F、F2 是其左右焦点， P(m,0)(m  2) ,直线 l过12点P交于A、B 两点，且 uuur uuur 是上顶点， BF  PF ,求 m A在线段 BP 上. （1)若 B的值； 11uuur uuur 114 15 15 （2)若 F A F2 A  , 且原点 O到直线 l的距离为 ，求直线 uuur uuur l 的方程； 3（3)证明：对于任意 m  2, 总存在唯一一条直线使得 F A / /F2B .1uuur uuur 【思路分析】（1）根据椭圆的定义以及 BF  PF 建立关于 m 的方程； 11（2）通过原点 O到直线 l的距离建立关于直线斜率的方程，求解斜率；（3）找到直线斜率与 m 的 uuur uuur 函数关系，结合函数关系式判断 是否是唯一解使得 F A / /F2B ； m  2 1×2 【解析】（1) :  y2 1,F( – 1, 0) 、F（1,0），BF  2, PF  1 m ；12112uuur uuur BF  PF ,1 m  2,m  1 2 11uuur 1uuur （2）设 A(x1, y1),F A  (x1 1, y1),F2 A  (x1 1, y1), ；uuur uuur 114F A F2 A  x12  y12 1, x12  y12  , 3343x12  y12  ,66 A( ,)x12 33 y12 1  2 666设l : y  k(x  )   kx  (k 1) 原点 O到直线 l的距离为 ，3334 15 15 66k  334 15 15 1d   3k2 10k  3  0  3  k  3或k  A在线段 BP 上， k  3,舍去） （1 k2 3l :3x 9y  4 6 0 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，直线l : x  hy  m 设（3）   y2 1 m y1 1 m m1 m 1 m 1 m 1 F A/ /F B ，则 ， y2  y1 12联立直线与椭圆得 x  hy  m  h2  2 y2  2mhy  m2  2  0. 2x y2 1  2 2mh m2  2 h2  2 即y1  y2   , y1 y2  所以h2  2 m 1 m 1 2mh m1 m2  2 1 y1   ,y12  h2  2 m 1 h2  2 h(2n 1) m 1 h2 (m 1)2 m2  2 代入 y1  ，2h2  2 m 1 h2  2 h2  2 11 m2 1 h2  m2  2 h2  2 ，m h h  m h 2h  2m  4 2222222所以  1h2  2m2  4  h  2m2  4  k  h  0 ，2m2  4   即对于任意 ，使得 F A / /F2B 的直线有且仅有一条； m  2 1【归纳总结】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及根与系数的关系的应用，属于难题． 21、如果对任意 x1, x2  ¡ 使得 x1  x2  S 都有 f (x1)  f (x2 ) S ,则称 f (x) （1)判断并证明 f (x)  2x 1是否是[0,) 关联？是否是[0,1]关联？ 是S 关联的. （2) f (x) 是3  关联的，在[0,3)上有 f (x)  x2  2x ,解不等式 2  f (x)  3 ；（3)“ f (x) 是3 关联的，且是[0,) 关联”当且仅当“ f (x) 是[1,2] 关联的”．   【思路分析】（1）根据“关联”定义进行判断； （2）根据“ f (x) 是 3 关联”有： f (x  3)  f (x)  3 ；以及函数解析式作出函数图像，利用图   像解不等式； （3）分为充分性、必要性两个方面证明； 【解析】 (1)x1  x2 [0,), f (x1)  f (x2 )  (2×1 1)  (2×2 1)  x1  x2 [0,), f (x)  2x 1 [0,) 关联； 是x1  x2 [0,1], f (x1)  f (x2 )  (2×1 1)  (2×2 1)  2(x1  x2 )[0,2], f (x)  2x 1不是[0,1]关联； 2（2) 是以 3 为周期的函数，然后就是要在 里面， [2  x,3  x] f (x)  x  x  3x [1 3,5] 两个周期中可以找到解,答案是 可以看出只有 [0,3),[3,6) （3）充分性： ，且 递增，所以对于 f (x) x 1 y  x  2  f (x 1)  f (x) 1 成立。 f (x) 1 f (x 1)  f (y)  f (x  2)  f (x)  2 必要性： 可以得到 ，， f (x 1)  f (x) 1 f (x  2)  f (x 1) 1 f (x  2)  f (x)  2 f (x 1)  f (x) 1 故对 于是 则有 ，我们对 用关联的条件得到 f (x) 1 f (y 1)  f (y) 1 x  y  x 1 f (x)  f (y) x, y 1 [1,2] .对于正整数 ，x  n  y  x  n 1 n.也成立. f (y)  f (y  n)  n  f (x)  n  f (x) 方法二：（1）①设 x  x  0, ，x1  x2 1且为 0, ，12f (x1)  f (x2 )  2×1 1 2×2 1 =2(x1  x2 )  2 且满足 0, ，f (x)  2x 1 是0, 关联的. ②设 x  x  0,1 ，f (x )  f (x )  2x 1 2x 1=2(x  x ) 0,2 ，1212121212 故f (x)  2x 1不是 0,1 关联的. （2）因为 f (x) 是3关联的，所以当任意的 x  R 时， f (x  3)  f (x)  3 ，   又 x 0,3 时， f (x)  x2  2x ，函数图像如下图： .易知， a 1 3 ，∴原不等式的解为 a,5 即为 1 3,5 （3）证明： f (x)  f (x) 可以设 g(x)  f (x  x)  f (x) 1是 关联，可知对任意的x  R 有 ， f (x 1)  f (x) 1   x  x  0 12是0, 关联，可知对任意的 x , x  0, 有，为不减函数； 12f (x1)  f (x2 )  0 ，当当x 1时， g(1)  f (x 1)  f (x) 1 ，x  2 时， g(2)  f (x  2)  f (x)  f (x 1) 1 f (x)  2 ，因为当 x确定时， g(x) 是关于 x 的不减函数，所以 x 1，2 ，g x  1，2 有f (x) 是是1,2 关联. ②当 f (x) 1,2 关联，有 x 1,2 ，∴ g(x)  f (x  x)  f (x) 1,2 ，当g(1)  f (x 1)  f (x) 1,2 ，g(2)  f (x  2)  f (x) 1,2 时， 假设 g(1)>1，有 f (x 1)  f (x)>1. ，  f (x  2)  f (x)>f (x 1) 1 f (x)  2 又∵ g(2)  f (x  2)  f (x) 1,2 ，矛盾. 故只有 g(1) 1，易得 g(2)  2 .利用 f (x 1)  f (x) 1 得f (x) 是1  关联， ，依次可得 g(n)  n ， ， nZ 即当 x n,n 1 ，有 g(x) n,n 1 ，当在 n   时， x 0, ，g x  0, .【归纳总结】本题主要考查了新定义以及函数性质的综合应用，体现了数形结合思想的应用，同时 考查了学生分析理解能力、推理能力、计算能力，属于难题． 13