2012年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）下载

第 1 页 共 14 页 绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定 位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得 分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（56 分）： 3  i 1．计算： （ 为虚数单位）。 i1 i 2．若集合 A  {x | 2x 1  0} cos x ，B  {x || x 1| 2}，则 A  B  。23．函数 f (x)  的值域是 。sin x 1 4．若 n  (2,1) 是直线 表示）。 l的一个法向量，则 l的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值 25．在 (x  )6 的二项展开式中，常数项等于 。x16．有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、 为公比的等比数列，体积分别记为 2V1，V2，，Vn，，则 lim(V1 V2 Vn )  。[n 7．已知函数 f (x)  e|xa| （a为常数）。若 f (x) 在区间[1,)上是增函数，则 a的取值范围 是。8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面，则该圆锥的体积为 。9．已知 y  f (x)  x2 是奇函数，且 f (1)  1，若 g(x)  f (x)  2 ，则 g(1)  。6。10．如图，在极坐标系中，过点 M (2,0) 的直线 l与极轴的夹角  ，若将 l的极坐标方程写成   f () 的形式，则 f ()  11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选 择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。 312．在平行四边形 ABCD 中， A  ，边 AB 、AD 的长分别为 2、1，若 M、N分别是边 | BM | |CN | BC 、CD 上的点，且满足 ，则 AM  AN 的取值范围是 。| BC | |CD | 113．已知函数 y  f (x)的图象是折线段 ABC ，其中 A(0,0) 、B( ,5) 、C(1,0) ，2第 1 页 共 14 页 第 2 页 共 14 页 函数 y  xf (x) 14．如图， AD （与0  x  1）的图象与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱， BC  2 ，若 AD  2c 为常数，则四面体 ABCD 的体积的最 x轴围成的图形的面积为 。，且AB  BD  AC  CD  2a ，其中 a、c大值是 。[来 二、选择题（20 分）： 15．若1 2i 是关于 A．b  2,c  3 x的实系数方程 x2  bx  c  0 的一个复数根，则（ B．b  2,c  3 C．b  2,c  1 ）D．b  2,c  1 16．在 ABC 中，若sin2 A  sin2 B  sin2 C ，则 ABC 的形状是（ ）[来 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 17．设10  x1  x2  x3  x4  104 ，x5  105 ，随机变量 1 取值 x1、x2、x3、x4、x5 的概率 x1  x2 x2  x3 x3  x4 x4  x5 x5  x1 均为 0.2 ，随机变量 2 取值 、、、、的概率也均为 0.2 ，若 22222记D1、D2 分别为1、2 的方差，则（ ）A． D1  D2 C． D1  D2 B． D1  D2 D． D1 与 D2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关 1n 25 18．设 an  sin ，Sn  a1  a2  an ，在 S1, S2 ,, S100 中，正数的个数是（ ）nA．25 B．50 C．75 D．100 三、解答题（74 分）： 19．（6+6=12 分）如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA  [来 PC 的中点，已知 AB  2 PA  2，求： （1）三角形 PCD 的面积； （2）异面直线 BC AE 所成的角的大小。 底面 ABCD ，E是，AD  2 2 ，与20．（6+8=14 分）已知函数 f (x)  lg(x 1) （1）若 0  f (1 2x)  f (x)  1，求 的取值范围； （2）若 g(x) 是以 2 为周期的偶函数，且当 0  x  1时，有 g(x)  f (x) ，求函数 y  g(x) x [1,2]）的反函数。 ．x（21．（6+8=14 分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向 为y轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 12 海里 A处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 y  x2 ；②定位后救援船即刻沿 49 直线匀速前往救援；③救援船出发 t小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t ．（1）当t  0.5 时，写出失事船所在位置 救援船速度的大小和方向； P的纵坐标．若此时两船恰好 会合，求 （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？ 第 2 页 共 14 页 第 3 页 共 14 页 22．（4+6+6=16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线C1 ：2×2  y2  1 ．（1）过 的面积； （2）设斜率为 1 的直线 （3）设椭圆C2 到直线 MN 的距离是定值。 C1 的左顶点引 C1 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及 x轴围成的三角形 l交C1 于 P、Q两点，若 l与圆 x2  y2  1相切，求证：OP  OQ 2 上的动点，且OM  ON ，求证： ；：4×2  y2  1，若 M、N分别是C1 、CO23．（4+6+8=18 分）对于数集 X  {1，x1，x2，，xn }，其中 0  x1  x2    xn n  2，定义向量集Y  {a | a  (s,t),s  X ,t  X}，若对任意 a1 Y ，存在 a2 Y ，使得 a1  a2  0 ，则称 ．例如{1,1,2}具有性质 （1）若 x  2 ，且{1,1,2, x}具有性质 ，X具有性质 PP．P，求 ，求证：1 X ，且当 xn  1时， x1  1 ，且 x1  1 x2  q 为常数），求有穷数列 x1，x2，，xn 的通项公 x的值； （2）若 XX具有性质 PP；（3）若 具有性质 、（q式。 第 3 页 共 14 页 第 4 页 共 14 页 2012 上海高考数学试题（理科）答案与解析 一．填空题 3-i 1．计算： =（i 为虚数单位）. 1+i 【答案】1-2i 3-i (3-i)(1-i) 2-4i 【解析】 ===1-2i. 1+i (1+i)(1-i) 2【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数 化即可. 2．若集合 A  {x | 2x 1  0} ，B  {x || x 1| 2}，则 A  B  .1【答案】  ,3 21【解析】根据集合 A 2x 1 0，解得 x  ，由 x 1  2,得到,1 x  3，所以 21A  B  ,3 .2【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法. 解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决. 2cos x 3．函数 f (x)  的值域是 .sin x 1 532【答案】  , 21【解析】根据题目 f (x)  sin xcos x  2  sin 2x  2 ，因为 1  sin 2x  1，所以 25232 f (x)   .【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小. 考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质. 4．若 n  (2,1) 是直线 表示）. l的一个法向量，则 l的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值 【答案】 arctan 2 【解析】设直线的倾斜角为 ，则 tan  2,  arctan 2 .第 4 页 共 14 页 第 5 页 共 14 页 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的 倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 25．在 (x  )6 的二项展开式中，常数项等于 .x【答案】 160 2【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是T4  C36 x3 ( )3  160 .x【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档 题. 16．有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、 为公比的等比数列，体积分别记为 2V1，V2，，Vn，，则 lim(V1 V2  Vn )  .n 8【答案】 71【解析】由正方体的棱长组成以 1为首项， 为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以 211871 为首项， 为公比的等比数列，因此，lim(V1 V2 Vn )  .n 1881 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知 识较综合. 7．已知函数 f (x)  e|xa| （a为常数）.若 f (x) 在区间[1,)上是增函数，则 a的取值范围 是.【答案】  ,1 xa , x  a e【解析】根据函数 f (x)  exa 看出当 x  a 时函数增函数，而已知函数 f (x) 在exa , x  a 区间 上为增函数，所以 1, a的取值范围为：  ,1 .【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的 运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目， 难度适中. 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面，则该圆锥的体积为 .第 5 页 共 14 页 第 6 页 共 14 页 3 【答案】 31【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为 r，母线长为 l，根据条件得到 l2  2 ，解得母线长 21133l  2 ，2r  l  2,r  1所以该圆锥的体积为：V圆锥  Sh   22 12   .33【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他 的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题. 9．已知 y  f (x)  x2 是奇函数，且 f (1)  1，若 g(x)  f (x)  2 ，则 g(1)  .【答案】 1 【解析】因为函数 y  f (x)  x2 为奇函数，所以 g(1)  f (1)  2,又f (1)  1,所以，g(1)  3, f (1)  3, g(1)  f (1)  2  3  2  1 f (1)   f (1). .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数 y  f (x)为奇函数，所以 有f (x)   f (x)这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中. 610．如图，在极坐标系中，过点 M (2,0) 的直线 l与极轴的夹角  ，若将 l的极坐标方程写成   f () 的形式，则 f ()  .1【答案】 sin( ) 61【解析】根据该直线过点 M (2,0) ，可以直接写出代数形式的方程为： y  (x  2) ，将此化成 21极坐标系下的参数方程即可 ，化简得 f ()  .sin( ) 6【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为 主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于 中档题，难度适中. 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选 择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 2【答案】 3第 6 页 共 14 页 第 7 页 共 14 页 【解析】一共有 27 种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有 18 种，所以根据古典 2概型得到此种情况下的概率为 .3【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于 中档题. 312．在平行四边形 ABCD 中， A  ，边 AB 、AD 的长分别为 2、1，若 M、N分别是边 | BM | |CN | BC 、CD 上的点，且满足 ，则 AM  AN 的取值范围是 .| BC | |CD | 【答案】 2,5 【解析】以向量 AB 所在直线为 x轴，以向量 AD 所在直线为 y轴建立平面直角坐标系，如图所 51示，因为 AB  2, AD  1，所以 A(0,0), B(2,0),C( ,1)D( ,1). 设2215155 1 5 1 5 1 3N(x,1)(  x  ),则BM  CN , CN  – x , BM  – x , M (2   x,(  x)sin ). 22224 2 8 44 2 21 x 5 3 2 3x 根据题意，有 AN  (x,1), AM  (  , ) . 84821 x5 3 2 3x 1252所以 AM AN  x(  )   x  ，所以 2  AM  AN  5. 848642NDACM10 5510 B246【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实 注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中. 113．已知函数 y  f (x)的图象是折线段 ABC ，其中 A(0,0) 、B( ,5) 、C(1,0) ，2函数 y  xf (x) 0  x  1）的图象与 轴围成的图形的面积为 （x.第 7 页 共 14 页 第 8 页 共 14 页 54【答案】 1210x,0  x  【解析】根据题意得到， f (x)  从而得到 110x 10,  x 1 212110×2 ,0  x  y  xf (x)  所以围成的面积为 210x 10x,  x 1 211554210xdx  1 (10×2 10x)dx  ，所以围成的图形的面积为 .S   042【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的 运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后 的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14．如图， AD 与BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱， BC  2 ，若 AD  2c ，且AB  BD  AC  CD  2a ，其中 为常数，则四面体ABCD 的体积的最 a、c大值是 .2【答案】 c a2  c2 1 3【解析】据题 AB  BD  AC  CD  2a ，也就是说，线段 AB  BD与线段AC  CD 的长度 是定值，因为棱 AD 与棱 BC 互相垂直，当 BC  平面ABD 时，此时有最大值，此时最大值 2为： c a2  c2 1 .3【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件 构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题. 二、选择题（20 分） 15．若1 2i 是关于 A．b  2,c  3 【答案】 B x的实系数方程 x2  bx  c  0 的一个复数根，则（ B．b  2,c  3 C．b  2,c  1 ）D．b  2,c  1 【解析】根据实系数方程的根的特点1 2i 也是该方程的另一个根，所以 1 2i 1 2i  2  b ，即b  2 ，(1 2i)(1 2i)  3  c ，故答案选择 B. 第 8 页 共 14 页 第 9 页 共 14 页 【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档 题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意. 16．在 ABC 中，若sin2 A  sin2 B  sin2 C ，则 ABC 的形状是（ ）A．锐角三角形 【答案】C B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 abc【解析】由正弦定理，得  sin A,  sin B,  sinC, 代入得到 a2  b2  c2 ，2R 2R 2R a2  b2  c2 2ab 由余弦定理的推理得 cosC  择 C  0，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选 【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定 理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于 中档题. 17．设10  x1  x2  x3  x4  104 ，x5  105 ，随机变量 1 取值 x1、x2、x3、x4、x5 的概率 x1  x2 x2  x3 x3  x4 x4  x5 x5  x1 均为 0.2 ，随机变量 2 取值 、、、、的概率也均为 0.2 ，22222若记 D1、D2 分别为1、2 的方差，则（ ）A． D1  D2 C． D1  D2 B． D1  D2 D． D1 与 D2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关 【答案】 A 【解析】 由随机变量1,2 的取值情况，它们的平均数分别为： 11 x  x x2  x3 x3  x4 x4  x5 x5  x 1  12×1  (x1  x2  x3  x4  x5 ), ，x2   x1, 5522222且随机变量1,2 的概率都为 0.2 ，所以有 D1 ＞D2 . 故选择 A. 【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基 础，本题属于中档题. 1n 25 18．设 an  sin ，Sn  a1  a2  an ，在 S1, S2 ,, S100 中，正数的个数是（ ）nA．25 B．50 C．75 D．100 【答案】D [解析] 对于 1≤k≤25,ak≥0(唯 a25=0),所以 Sk(1≤k≤25)都为正数. 第 9 页 共 14 页 第 10 页 共 14 页 当 26≤k≤49 时,令 25   ,则 k  k ,画出 k终边如右, 25 其终边两两关于 x 轴对称,即有sin k  sin(50  k) ,所以 Sk  11 sin +12 sin 2 ++213 sin 23 +24 sin 24 +0 111+=+26 sin 26 +27 sin 27 +1k sin k 1y13 12 11 sin +12 sin 2 ++(214  26 )sin 24  1k )sin(50  k) ,其中 k=26,27,,49,此时 0  50  k  k 所以 50k  1k  0 ,又 0  (50  k)  24   ,所以sin(50  k)  0 从而当 k=26,27,,49时,Sk 都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49>0. 对于 k 从 51到 100的情况同上可知 Sk 都是正数. 综上,可选 D. +(213  27 )sin 23 +123 24 2 ……1(,50k 1×26 27 … 49 48 ,…38 37 [评注] 本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析 Sk 的符号,为此,需借助分 类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性, 此为攻题之关键. 三、解答题（本大题共有 5题，满分 74分） 19．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA⊥底面 ABCD，E 是 PC 的中点.已知 AB=2， AD=2 ，PA=2.求： 2（1）三角形 PCD 的面积；（6分） （2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.（6分） [解]（1）因为 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥CD，又 AD⊥CD，所以 CD⊥平面 PAD， 从而 CD⊥PD. ……3 分 ……6 分 E因为 PD= 22  (2 2)2  2 3，CD=2， 所以三角形 PCD 的面积为 12  2 2 3 2 3 （2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， z.PA则 B(2, 0, 0)，C(2, 2 ,0)，E(1, , 1)， 22AE  (1, 2,1) ，BC  (0, 22, 0) .……8 分 Dy设AE 与BC 的夹角为，则 B2AEBC 4，=  .Ccos  22 4 22 |AE||BC| x由此可知，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是  ……12 分 4[解法二]取 PB 中点 F，连接 EF、AF，则 EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线 PABC 与 AE 所成的角 ……8 分 、AF= 、AE=2 FE在AEF 中，由 EF= 22D知所以∠AEF=  AEF 是等腰直角三角形， .B4C因此异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是  ……12 分 4【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能 力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题 源于《必修 2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面， 考查空间想象能力，属于中档题． 20．已知函数 f (x)  lg(x 1) .第 10 页 共 14 页 第 11 页 共 14 页 （1）若 0  f (1 2x)  f (x) 1，求 x的取值范围；（6分） （2）若 g(x) 是以 2 为周期的偶函数，且当 0  x 1时，有 g(x)  f (x) ，求函数 y  g(x) (x[1, 2])的反函数.（8分） 2  2x  0 [解]（1）由 ，得 1 x 1 .x 1  0 22x x1 由0  lg(2  2x)  lg(x 1)  lg 22x 1 得1 10 .……3 分 x1 13因为 x 1  0，所以 x 1 2  2x 10x 10 ， 23  x  .1 x 1 13由1 得  32  x  .……6 分  23  x  3（2）当 x[1,2]时，2-x[0,1]，因此 y  g(x)  g(x  2)  g(2  x)  f (2  x)  lg(3  x) 由单调性可得 y [0, lg2] 因为 x  3 10y ，所以所求反函数是 y  3 10x .……10 分 .，x[0, lg2]. ……14 分 【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指 数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题． 21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向 12 海 y里 A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 P12 49 y  x援船出发 2 ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 t小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当t  0.5时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） xOA（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） 7212 [解]（1）t  0.5时，P 的横坐标 xP= 7t  ，代入抛物线方程 y  x49 2中，得 P 的纵坐标 yP=3. ……2 分 ……4 分 949 由|AP|= ，得救援船速度的大小为 949 海里/时. 272730 7由 tan∠OAP=312 ，得∠OAP=arctan 30 ，故救援船速度的方向 7为北偏东 arctan 30 弧度. ……6 分 小时追上失事船，此时位置为 (7t,12t2 ) （2）设救援船的时速为 v海里，经过 t.22vt  (7t)2  (12t2 12)2 ，整理得 v 144(t  )  337 .……10 分 1t 2 由因为t2  2 ，当且仅当 t =1 时等号成立， 1t 2 所以 v2 144 2  337  252 ，即 v  25 .因此，救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. 22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线C1 : 2×2  y2 1 （1）过 1 的左顶点引 1 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成 的三角形的面积；（4分） ……14 分 .CC（2）设斜率为 1 的直线 l 交 OP⊥OQ；（6分） C1 于 P、Q 两点，若 l 与圆 x2  y2 1相切，求证： 第 11 页 共 14 页 第 12 页 共 14 页 （3）设椭圆C2 : 4×2  y2 1. 若 M、N 分别是C1 、C2 上的动点，且 OM⊥ON， 求证：O 到直线 MN 的距离是定值.（6分） 2[解]（1）双曲线C1 : x  y2 1，左顶点 A( 2 , 0) ，渐近线方程： y  2 x .12222过点 A与渐近线 y  2 x 平行的直线方程为 y  2 (x  )，即 y  2 x 1 .24x   y  2 x 解方程组 ，得 .……2 分 1y  2y  2 x 1 212所以所求三角形的面积 1为 S  | OA|| y | .8……4 分 ……6 分 （2）设直线 PQ 的方程是 y  x  b.因直线与已知圆相切， |b| 故1，即b2  2 .2y  x  b 2×2  y2 1 由，得 x2  2bx  b2 1  0 .x  x  2b 12设 P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则 .x1x2  b2 1 又 2，所以 OP OQ  x1x2  y1 y2  2x1x2  b(x1  x2 )  b2  2(b2 1)  b  2b  b2  b2  2  0 ，故 OP⊥OQ. ……10 分 （3）当直线 ON 垂直于 x 轴时， 223|ON|=1，|OM|= ，则 O 到直线 MN 的距离为 .3当直线 ON 不垂直于 x 轴时， 22设直线 ON 的方程为 y  kx （显然| k | ），则直线 OM 的方程为 y   1k x .21x  y  kx 4k 2 1k 2 4k 2 由，得 ，所以| ON |2  .k 2 4k 2 y2  4×2  y2 1 1k 2 同理| OM |2  .……13 分 2k 2 1 设 O 到直线 MN 的距离为 d，因为 (| OM |2  | ON |2 )d2 | OM |2| ON |2 ，3k 2 3 3111所以 d 2  3，即 d= 2 1 .|OM |2 |ON|2 k3综上，O 到直线 MN 的距离是定值. ……16 分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准 方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲 线，它的离心率为 2 ，它的渐近线为 y  x ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解 题时间，本题属于中档题 ． 23．对于数集 X {1, x1, x2,, xn}，其中 0  x1  x2   xn ，n  2 ，定义向量集 Y {a | a  (s,t), s  X , t  X}. 若对于任意 具有性质 P. 例如 X {1,1, 2}具有性质 P. ，存在 ，使得 ，则称X a1 Y a2 Y a1 a2  0 （1）若 x＞2，且{1,1, 2, x}，求 x 的值；（4分） 第 12 页 共 14 页 第 13 页 共 14 页 （2）若 X 具有性质 P，求证：1X，且当 xn＞1 时，x1=1；（6分） （3）若 X 具有性质 P，且 x1=1，x2=q（q 为常数），求有穷数列 x1, x2,, xn 的通 项公式.（8分） [解]（1）选取 a1  (x, 2)，Y 中与 所以 x=2b，从而 x=4. a1 垂直的元素必有形式 (1, b) .……2 分 ……4 分 （2）证明：取 a1  (x1, x1)Y .设 a2  (s, t)Y 满足 .a1 a2  0 由(s  t)x1  0 得s  t  0，所以 s、、t异号. 因为-1 是 X 中唯一的负数，所以 st 中之一为-1，另一为 1， 故 1X. ……7 分 假设 xk 1，其中1 k  n ，则 0  x1 1 xn .选取 a1  (x1, xn )Y ，并设 a2  (s, t)Y 满足 ，即 sx1  txn  0 ，a1 a2  0 则若sst、t异号，从而 =-1，则 2，矛盾； =-1，则 xn  sx1  s  xn ，矛盾. s、t 之中恰有一个为-1. 若所以 x1=1. ……10 分 ……12 分 （3）[解法一]猜测 xi  qi1 ，i=1, 2,…, n. 记Ak {1,1, x2,, xk }，k=2, 3,…, n. 先证明：若 Ak 1 具有性质 P，则 k .当 ≥1. Ak 也具有性质 P. 任取 a1  (s, t) 当，s、tAs、t中出现-1 时，显然有 满足 ；a2 a1 a2  0 s  1 t  1时， 且s、t因为 Ak 1 具有性质 P，所以有 ，s1 、t1  Ak 1 ，使得 ，a2  (s1, t1) 1 中有一个是-1，不妨设 1 =-1. k 1 且 1  k 矛盾.所以 1  a1 a2  0 从而 假设 s1 和 tst1  AtAk ，则t1  xk 1 .由 (s, t)(1, xk 1)  0，得 s  txk 1  xk 1 ，与 sAtAk .从而 Ak 也具有性质 P. ……15 分 现用数学归纳法证明： xi  qi1 ，i=1, 2,…, n. 当 n=2 时，结论显然成立； 假设 n=k 时， Ak {1,1, x2,, xk }有性质 P，则 xi  qi1 ，i=1, 2,…, k； 当 n=k+1 时，若 Ak 1 {1,1, x2,, xk , xk 1}有性质 P，则 Ak {1,1, x2,, xk } 也有性质 P，所以 Ak 1 {1,1, q,, qk 1, xk 1} .取a1  (xk 1, q) ，并设 a2  (s, t)满足 ，即 xk 1s  qt  0 .由此可得 s 与 t 中 a1 a2  0 有且只有一个为-1. 若t  1，则 1，不可能； 所以 s  1 ，xk 1  qt  q  qk 1  qk ，又 xk 1  qk 1 ，所以 xk 1  qk .综上所述， xi  qi1 xi  qi1 ，i=1, 2,…, n. ……18 分 s1 t1   t 2[解法二]设 a1  (s1, t1) ，a2  (s2 , t2 ) ，则 等价于 .a1 a2  0 s2 记B {st | s  X ,t  X ,| s || t |}，则数集 X 具有性质 P当且仅当数集 B 关于 原点对称. ……14 分 注意到-1 是 X 中的唯一负数， B  (, 0) {x2,  x3,,  xn}共有 n-1 个数， 第 13 页 共 14 页 第 14 页 共 14 页 所以 B  (0,  )也只有 n-1 个数. xn xn1 xn xn2 xn x2 xn x1  xn 由于 ，已有 n-1 个数，对以下三角数阵 xn xn x2 xn x1   xn1 xn1 xn2 xn1 xn3 xn1 x1 xn2 …… x2 x1 xn x1 xn1 x2 xn xn1 x2 x1    注意到 ，所以 ，从而数列的通项公式为 x1 x1 xn1 xn2 xk  x1(x2 )k 1  qk 1 【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予 ，k=1, 2,…, n. ……18 分 x1 题，通过定义“ 具有性质 ”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的 XP基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视． 第 14 页 共 14 页